Глава 5. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ВАРИАЦИОННЫХ ПРИНЦИПОВ ДЛЯ АНАЛИЗА И РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ И ТЕОРИИ ОБОЛОЧЕК

Все приведенные в предыдущих главах вариационные функционалы теорий упругости и оболочек являются эффективным средством качественного анализа вариационных и дифференциальных формулировок и служат теоретической основой для построения прямых вариационных и вариационно-разностных методов, получающих все большее развитие и применение благодаря возрастающим возможностям ЭЦВМ. В этой главе показаны некоторые возможности теоретического анализа сложных задач теорий упругости и оболочек и практического применения вариационных формулировок для построения алгоритмов решения этих задач и исследования их точности.

§ 1. Различные формы вариационных уравнений теории упругости и теории оболочек

Вариационные уравнения, соответствующие функционалам, приведенным в гл. 3 и 4, можно вывести обычным путем по правилам вариационного исчисления. Левые части их имеют энергетическую структуру и выражают работу обобщенных сил на соответствующих возможных обобщенных перемещениях (для вариационного уравнения Лагранжа) или обобщенных перемещений (деформаций) на возможных обобщенных силах (для уравнения Кастильяно), или их комбинаций в полных и различных смешанных формах. При этом возможными называются обобщенные перемещения (силы), которые удовлетворяют дополнительным условиям, наложенным на них, следующим из дополнительных условий данного

функционала. В вариационных уравнениях для полных функционалов все обобщенные силы и обобщенные перемещения возможны.

В этом смысле вариационному уравнению Лагранжа соответствует принцип возможных перемещений, уравнению Кастильяно — принцип возможных напряженных состояний, а полным и другим частным — различные общие и частные вариационные принципы (см. гл. 1, § 2).

Интегрирование по частям с применением формулы Грина, Стокса или Остроградского позволяет получить несколько форм одного и того же вариационного уравнения.

Для полного функционала существует следующая форма:

где вариации независимых аргументов функционала, левые части уравнений, выражающих равенства соответственно в области и на ее границе и приведенных в таблицах функционалов, для трехмерного тела, для оболочки, постоянные множители, которые с целью упрощения были отброшены в записи условий стационарности, приведенных в таблицах функционалов, гл. 3 и 4. Равенство (1) может служить для контроля правильности вариационного уравнения полного функционала. Таким образом, имеющиеся в таблицах функционалов сведения, а именно: условия стационарности, позволяют для полных функционалов упростить процедуру вывода вариационных уравнений и составить их по форме (1).

Для частных функционалов такая непосредственная взаимосвязь между условиями стационарности и вариационным уравнением отсутствует. Дополнительные условия, наложенные на аргументы функционала, влекут за собой (см. гл. 1) дополнительные условия для вариаций которые необходимо

учитывать при выводе условий стационарности. В гл. 1 было указано два способа получения условий стационарности частного функционала: а) из вариационного уравнения для соответствующего полного функционала путем наложения дополнительных условий; б) с помощью общих решений для дополнительных условий или выбора допустимого подпространства для варьируемых функций.

Приведем несколько примеров получения вариационных уравнений полных и частных функционалов.

Пример 1. Вариационное уравнение полного функционала в основном пространстве состояний (табл. 3.3) имеет вид

где все вариации независимы. Выражение которое в силу симметрии тензора а равно с помощью формулы дифференцирования произведения и равенства можно представить в виде Объемный интеграл от первого слагаемого можно преобразовать в поверхностный по формуле Остроградского (см. Приложение 2) и получить другую форму вариационного уравнения (2):

Вариационное уравнение в форме (3) используется для вывода условий стационарности, а также в методе Бубнова — Галеркина, в форме (2)- в методе

Ритца и при выводе вариационно-разностных схем (см. §§ 3 и 4).

Пример 2. Вариационное уравнение полного функционала в деформациях и функциях напряжений в теории оболочек (табл. 4.3) может быть получено таким же путем, как (2), с заменой объемных интегралов поверхностными, а поверхностных контурными, и преобразовано к нескольким различным формам; приведем две из них:

(см. скан)

Пример 3. Вариационное уравнение Кастильяно теории оболочек в усилиях может быть получено из частного функционала Кастильяно (табл. 4.2):

Здесь вариации связаны однородными уравнениями равновесия и однородными граничными условиями, так как и должны удовлетворять дополнительным условиям функционала. Поэтому из (6) нельзя непосредственно сделать никаких выводов об условиях стационарности.

Пример 4. Смешанное вариационное уравнение теории пологих оболочек для прямоугольной в плане изотропной оболочки в декартовых координатах может быть получено, например, из смешанного функционала (табл. 4.5):

В силу дополнительных условий к функционалу должны удовлетворять однородным граничным условиям на С.