Глава 3. ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ ДЛЯ НЕОДНОРОДНЫХ АНИЗОТРОПНЫХ ТЕЛ

В этой главе рассматриваются полные и частные функционалы, участвующие в формулировке вариационных принципов трехмерной теории упругости. Соответствующие общие и частные вариационные принципы в различных пространствах состояний содержатся в обобщенных формулировках, приведенных в гл. 2, § 1, и могут быть получены путем конкретизации параметров пространства состояний и дополнительных условий (если они имеются). Функционалы, рассмотренные в данной главе, помещены в таблицах 3.1-3.13 в конце книги.

§ 1. Вводные замечания

1.1. Рассматриваемое неоднородное анизотропное упругое тело занимает объем V, ограниченный поверхностью с внешней нормалью Всюду в объеме V задан вектор объемных сил а на поверхности заданы некоторые компоненты вектора поверхностных сил (напряжений) и дополнительные компоненты вектора перемещений и. Будем различать статические и геометрические граничные условия, смотря по тому, будут ли они касаться поверхностных сил или перемещений. Краткие сведения и пояснения по используемой тензорной форме записи уравнений и функционалов см. в Приложении 2.

Полное решение краевой задачи теории упругости включает построение трех взаимосвязанных полей. Поле деформаций представляет собой симметричную часть тензорного поля градиентов перемещений и

и связано с полем напряжений законом Гука в прямой (1.2) или обратной (1.3) форме

Поля перемещений и напряжений подчиняются статическим (4) и геометрическим (5) граничным условиям

где штрих и двойной штрих соответственно показывают, что равенство относится только к заданным компонентам поверхностных сил и перемещений, так что скалярное произведение равно нулю.

Выражения означают, что скалярное умножение ограничено теми компонентами поверхностных сил или перемещений, которые входят в статические или геометрические граничные условия соответственно.

Поле напряжений должно удовлетворять уравнениям равновесия

Уравнения равновесия (6) имеют общее решение

где частное решение неоднородного уравнения, а произвольный симметричный двухвалентный тензор (тензор функций напряжений) с шестью независимыми компонентами [3.10, 3.3, 3.5]. Существуют другие разновидности общего решения (см. § 2.2в).

Зависимости Коши (1) между перемещениями и деформациями являются общим решением уравнений совместности деформаный

Уравнения (1) и (8) эквивалентны в том смысле, что из существования для данного вектора и такого, что выполняется (1), следует справедливость (8), а (8) влечет за собой существование вектора и такого, что выполняется (1), Точно так же зависимости (7) и (6) эквивалентны.

Геометрические граничные условия (5) могут быть заданы в дифференциальной форме — в виде деформационных граничных условий [0.3, 3.8], а статические уравнения на поверхности (4) — в интегральной форме, в функциях напряжений. В этом случае могут быть заданы некоторые компоненты тензоров тангенциальной и иэгибной деформаций поверхности и дополнительные компоненты тензора функций напряжений.

Деформационные граничные условия имеют вид

где заданные компоненты тангенциальных и из гибных деформаций поверхности в системе координат, нормально связанных с этой поверхностью (см. § 7); здесь

Деформации поверхности упругого тела выражаются через ее перемещения точно так же, как деформации базисной поверхности оболочки (см. гл. 4, § I) - через ее перемещения Это нетрудно проверить, если выразить в трехмерные ковариантные производные через поверхностные.

Деформации следует задавать так, чтобы выполнялись условия неразрывности поверхности, аналогичные уравнениям неразрывности для оболочек.

Уравнения (9) являются условиями стационарности функционала Кастильяно; выражения для возникают также при выводе функционала Лагранжа в форме (см. §§ 2.2 и 2.1 в).

Статические граничные условия в функциях напряжений имеют вид

где заданные компоненты тензора функций напряжений в системе координат, связанной с поверхностью заданные производные по нормали к от этих компонентов (см. табл. 3.2).

Величины связаны с заданными поверхностными и объемными силами равенством

где частное решение уравнений равновесия (6). Таким образом, для отыскания по заданным необходимо сначала найти частное решение системы трехмерных уравнений с частными производными (6), а затем — частное решение системы двумерных уравнений (10а).

Следует иметь в виду, что эквивалентность (5) и (9), а также (4) и (10), соблюдается с точностью до постоянных интегрирования. Если условия (5) заданы на одной связной части поверхности то (5) и (9) эквивалентны с точностью до жесткого смещения. В этом случае заданные тангенциальные и

изгибмые деформации и поверхности связаны с заданными перемещениями равенствами

где — поверхностная ковариантная производная от поверхностного вектора (см. Приложение 2, а также гл. 4). В случае, когда условия (9) охватывают несколько различных связных частей поверхности необходимо учитывать уравнения, согласующие взаимные смещения различных связных частей:

где перемещения и углы поворота в точках принадлежащих различным связным участкам поверхности Уравнения (12) могут быть получены с помощью формул Чезаро (см., например, [3.3]).

1.2. Все функционалы обозначены буквой с индексом, которым, как правило, служит первая буква названия; например, функционал Лагранжа, функционал Кастильяно, полные функционалы. Наиболее важные, с нашей точки зрения, функционалы и их дополнительные и естественные условия размещены в табл. Между их аргументами установлено соответствие

которое приводит к тому, что функционалы Лагранжа (табл. 3.1) и Кастильяно (табл. 3.2), полные функционалы лагранжевой серии (табл. 3.3) и кастильяновой серии (табл. 3.4) с одинаковыми номерами имеют соответствующие наборы независимых

переменных, т. е. соответствующие пространства состояний. При этом дополнительные условия и условия стационарности также оказываются соотнесенными друг с другом: геометрические уравнения со статическими, физические в прямой форме с физическими в обратной форме.