Особенности физических явлений в микромире.

Дискретность (атомизм) в микромире. Основные свойства элементарных частиц, с которыми мы встречаемся в микромире, такие, например, как масса и заряд, являются неизменными признаками, характерными для каждого рода частиц. В существовании элементарных частиц с точно одинаковыми для данного рода частиц свойствами (в так называемой тождественности частиц) выражается атомизм, свойственный микромиру и составляющий его отличительную черту.

Сложные частицы, такие, например, как атомы, ядра атомов, поскольку они образуются из вполне определенных элементарных частиц, также обладают атомистическими свойствами. Для каждого типа сложных частиц, например для атомных ядер с данным числом протонов и данным числом нейтронов, существует своя последовательность вполне определенных возможных внутренних состояний, каждое из которых скачкообразно отделено от другого изменениями энергии и момента количества движения на определенную величину. Состояние с наименьшей возможной энергией называется основным или «нормальным» состоянием. Остальные состояния с большими энергиями называются возбужденными.

Для того чтобы перевести систему из основного состояния в возбужденное, необходимое, чтобы энергия внешнего воздействия

была равна разности в энергиях состояний или превышала ее, иначе по прекращении внешнего воздействия сложная частица останется в том же состоянии, в котором она была до воздействия.

Дискретность состояний сложных атомных систем является одной из важнейших особенностей микромира. Экспериментально эта дискретность доказывается прямыми опытами, например известными из курса атомной физики опытами Франка и Герца по упругому и неупругому рассеянию электронов, или опытами Штерна и Герлаха, измерявших магнитные моменты атомов.

В последнем случае было показано, что существует только определенные, дискретные ориентации магнитного момента относительно внешнего магнитного поля. Поскольку магнитный момент связан с вращением атомов, опыты Штерна и Герлаха доказывают, что вращательный импульс или момент количества движения атома тоже может иметь только дискретные значения.

Дискретность, или, как иногда говорят, квантованность, проявляется и во многих других случаях и является типичным свойством физических величин в микромире.

Дуализм: частицы — волны. Основным новым физическим свойством частиц микромира, определяющим особенности поведения этих частиц, является одновременное наличие у одной и той же частицы и дискретных и волновых свойств. Такой, как говорят, корпускулярно-волновой дуализм был обнаружен в начале XX в. у электромагнитного излучения — света, а в 1925 г. — у электронов.

В начале XX в. Планк, исследуя законы излучения абсолютно черного тела, пришел к выводу, что тела могут излучать энергию только определенными порциями — квантами. Такое ограничение никак не вытекает из основ классической физики. Согласно теории Планка энергия кванта определяется формулой

где частота излучения, круговая частота, постоянная Планка

Несколько лет спустя А. Эйнштейн обнаружил, что своеобразные и несогласующиеся с классическими законами физики свойства фотоэлектрического эффекта (явления, при котором электромагнитное излучение поглощается в атоме и вызывает вылет электрона с оболочки атома) находят естественное объяснение, если допустить существование фотона — корпускулы электромагнитного излучения со строго определенными энергией и импульсом, определяемыми длиной световой волны

где длина волны света. Другими словами, Эйнштейн допустил, что излучение не только испускается определенными порциями —

квантами, но и в дальнейшем существует и поглощается В виде этих обособленных порций.

Гипотеза фотонов просто объясняла две главные особенности фотоэффекта: зависимость числа выбитых электронов от интенсивности светового потока и зависимость энергии каждого электрона от частоты световых волн, тогда как разработанная ранее волновая теория не могла дать этому объяснения (подробнее эффект фотоэлектрического выбивания электронов будет рассмотрен в гл. 4). Измерения частоты падающих световых волн и энергии выбитых электронов позволили определить величину постоянной и подтвердить соотношение (1) между энергией и частотой фотона.

Через 25 лет де Бройль выдвинул гипотезу, дополняющую этот закон: всякая частица обладает волновыми свойствами; каждой частице с импульсом можно поставить в соответствие некоторую волну с длиной частотой и волновым числом . Соотношение де Бройля можно записать в следующем виде:

Если масса покоя частицы то ее энергия равна

Импульс является корпускулярной характеристикой частиц, волновой. Обе характеристики связаны между собой соотношением де Бройля (2) посредством постоянной Планка Благодаря малости постоянной длины волн для макроскопических тел ничтожно малы и наличие их не может быть замечено. Таким образом, волновые свойства частиц проявляются только в микромире.

Первое подтверждение этой гипотезы было получено в опытах по дифракции электронов на кристаллах. Опыты по дифракции и интерференции такого типа являются наиболее убедительным и прямым доказательством наличия волновых свойств у частиц. Впоследствии они были осуществлены также с молекулами и нейтронами.

Наиболее полно аналогия явления дифракции и интерференции частиц с такими же явлениями в оптике проявляется лишь в том случае, когда размеры систем, с которыми эти частицы взаимодействуют, соизмеримы с дебройлевской длиной волны; например, для нейтрона, движущегося с тепловой скоростью, равной 2 105 см/сек, длина волны де Бройля равна 1 А, или см, что близко к размерам постоянной кристаллической решетки.

С точки зрения классической механики свойства частицы и свойства волны взаимно исключают друг друга. Поэтому развитие

новых представлений потребовало новой физической теории, которая получила название квантовой или волновой механики.

Дальнейшее развитие вопроса о дуализме материи привело к созданию квантовой теории поля, которая обобщает выводы о корпускулярной и волновой природе частиц. Она основана на положении, что любому полю сил можно сопоставить кванты этого поля. Так, например, световые кванты являются теми частицами, которые создают электромагнитное поле. Создание в пространстве волнового электромагнитного поля на языке корпускулярного аспекта теории соответствует испусканию фотонов. Интенсивность волнового поля в данной точке (квадрат амплитуды волны) пропорциональна плотности потока фотонов или вероятности их обнаружения в этой точке. Аналогичный смысл имеют волны де Бройля: их интенсивность определяет вероятность обнаружения частицы в данной точке. Последовательная теория этих волн была создана Шредингером.

Волновое поле частиц, описываемое функцией координат и времени для каждой данной системы, т. е. для каждого данного потенциального поля, может быть найдено из решения уравнения, носящего название уравнения Шредингера: для стационарных состояний (состояний, не зависящих времени) оно имеет вид

где - так называемый гамильтониан, или оператор гамильтона, в котором

потенциальная энергия частицы, находящейся в точке полная энергия.

Решением этого дифференциального уравнения и является волновая функция квадрат модуля которой определяет вероятность обнаружить частицу в точке При этом если потребовать, чтобы решение имело физический смысл (было бы однозначно, непрерывно и имело непрерывные первые производные), то при применении уравнения Шредингера к атому водорода автоматически получаются постулаты Бора.

Для случая свободной частицы связанная с ней плоская волна де Бройля описывается волновой функции вида

она может быть получена из решения общего уравнения Шредингера для нестационарного случая, отличающегося от (3) заменой

где обозначают волновое число и частоту, которые связаны с энергией и импульсом уравнениями

Решения удовлетворяющие условиям конечности непрерывности и однозначности получаются только при определенном дискретном ряде значений энергии (входящей в уравнение в качестве параметра). Такие значения энергии называются собственными значениями. Все решение определяется квантовыми числами где принимает целые значения и эквивалентно главному квантовому числу Бора. Оно характеризует энергию состояния. Число при данном может равняться и называется орбитальным квантовым оно определяет величину момента количества движения электрона на орбите. Число совпадает с магнитным квантовым числом, определяющим величину проекции этого вектора на выбранное направление.

Первоначально Шредингер предпринял попытку истолковать корпускулы, и в частности электроны, как волновые пакеты. Эта попытка потерпела неудачу: пакеты с течением времени расплываются и могут даже разделиться на две части, а необходимым признаком элементарных частиц является их неделимость. Так, электрон не может в процессе дифракции разделиться на части, тогда как волна, например, на границе двух сред разделяется на отраженную и преломленную.

Если же целостность частиц при таких процессах, как отражение, должна сохраняться, то частица либо отразится, либо пройдет во вторую среду. Соответственно этому связь между волнами и частицами получила статистическое истолкование: квадрат амплитуды волны в данном месте, измеряющий ее интенсивность, есть мера вероятности обнаружить частицу в этом месте. С позиций такого истолкования весь ход событий в физической микросистеме определяется вероятностными законами.

Соотношение неопределенности. Наличие волновых свойств у микрочастиц неизбежно должно внести какие-то ограничения в применимость понятий и параметров, которые характеризуют частицу в классической физике.

В классической механике всякая частица в любой момент времени занимает строго определенное место в пространстве и обладает определенным импульсом. Состояние системы частиц полностью характеризуется совокупностью их координат и импульсов.

Существование волновых свойств вносит значительное ограничение в возможность такого описания системы микрочастиц.

Свободная частица, движущаяся с постоянной скоростью, описывается волной с постоянной частотой и амплитудой, так называемой монохроматичёской волной, имеющей бесконечную протяженность. Это означает, что свободную частицу с равной вероятностью можно обнаружить в любой точке безграничного пространства. Действительно, синусоидальные колебания, создаваемые бегущей волной

имеют место в любой точке х.

Однако наличие корпускулярных свойств требует, чтобы частицу можно было локализовать в пространстве и времени. Если же микрочастица описывается волновой функцией, сосредоточенной в малой области пространства т. е. если положение частицы определено с точностью то это означает, что соответствующая ей волна уже не может быть монохроматической. Действительно, из теории рядов Фурье известно, что, взяв сумму синусоид и косинусоид с различными можно добиться того, чтобы результирующая функция имела любое требуемое распределение в пространстве, например, чтобы она была равна нулю всюду, кроме ограниченной области. Полученная таким образом функция будет показывать, что частица заведомо находится внутри этой ограниченной области. Чем меньше пространство, в котором «заперта» частица, тем больший набор разнообразных плоских волн нужно взять, чтобы получить -функцию, выражающую такое распределение вероятности. Но по формуле де Бройля (3) разные длины волн соответствуют разным скоростям частицы. Взяв набор длин волн, мы уже не сможем сказать, какова именно скорость частицы. Следовательно, чем в меньшем объеме локализована частица, тем менее определенна ее скорость. Можно строго показать, что неопределенности в положении и в скорости вдоль той же оси (До связаны соотношением

Его также можно записать в виде

Оно носит название соотношения неопределенности Гейзенберга.

Из этого соотношения следует, что если частица находится в состоянии, в котором неопределенность ее положения мала,

то неопределенность ее импульса должна быть велика, и наоборот. Таким образом, в квантовой механике утрачивается привычное для классической физики представление о траектории частицы.

Указанная особенность механики микрочастиц не связана с какой-либо непознаваемостью микромира или неполноценностью современной теории; дело лишь в том, что к микрочастицам неприменимы многие представления классической физики, и в частности ограничение на применимость понятия координаты и импульса к миру элементарных частиц определяется написанным соотношением неопределенности.

Пока физика ограничивалась исследованием процессов, в которых участвуют тела с относительно большой массой, нельзя было заметать волновые свойства тел и в силу малости нельзя было в опытах почувствовать ограничений, налагаемых соотношением неопределенности.

Приведем простой расчет. Положим, что положение нашего шарика массой в задано с максимальной практически возможной еще точностью в см. Тогда из соотношения неопределенности следует, что

т. е. неопределенность в значении скорости тела такова, что она лежит далеко за пределами практически возможной точности ее измерения.

Применим теперь это же соотношение к определению координаты электрона, масса которого равна Допустим, что нужно определить его положение с точностью до размеров атома, чтобы можно было установить, к какому атому он относится, В этом случае см.

Тогда

Но в атоме электрон в среднем имеет кинетическую энергию порядка что как раз соответствует см/сек. Таким образом, в этом случае неопределенность имеет тот же порядок, что и средняя величина скорости

Может возникнуть вопрос: как же тогда согласовать фотографии в камере Вильсона или следы в ядерной эмульсии, на которых видны пути частиц, с соотношением неопределенности, которое не вяжется с представлением о траектории микрочастиц? Здесь нужно принимать во внимание то, что след частицы определяет ее местоположение не точно, а лишь в пределах толщины следа (или размеров капельки тумана в камере Вильсона). Это характеризует неопределенность в координате частицы. Размеры капелек имеют порядок см, т. е. см.

Тогда для электрона см/сек. При больших энергиях будет очень мала по сравнению с и частица в указанных пределах точности будет вести себя, как классическая частица.

Помимо соотношения неопределенности для координаты и импульса, в квантовой физике существует еще соотношение неопределенности для энергии и времени которое записывается следующим образом:

Соотношение (5) легко может быть получено из выражения (4), если учесть, что следовательно,

Смысл этого соотношения может быть двоякий. Энергия системы, находящейся в возбужденном состоянии в течение времени не может иметь точного значения. Неопределенность величины энергии связана с временем выражением (5). Величина называется шириной возбужденного уровня. Время в течение которого атом находится в возбужденном состоянии, называется средним временем жизни. Чем меньше среднее время жизни атома в данном состоянии, тем больше неопределенность в энергии этого состояния.

Во-вторых, производя измерение энергии системы за время мы не можем получить значение энергии с вероятной ошибкой, меньшей Это истолковывается так же, как возможность отклониться от закона сохранения энергии на величину за время Более подробно с примерами использования соотношения неопределенности мы будем встречаться в дальнейшем.

Момент количества движения и спин. Вращательное движение частицы в классической механике принято характеризовать моментом количества движения, который определяется как векторное произведение радиуса вектора, соединяющего частицу с центром вращения, на импульс частицы:

Эта величина в механике является интегралом движения в поле центральных сил. В простом случае, когда частица двигается по окружности радиуса с постоянной скоростью у, численное значение момента количества движения равно

и в классической механике эта величина может принимать любые значения. В микромире же согласно законам квантовой механики момент количества движения микрочастицы «квантуется». Он может принимать определенные дискретные значения,

пропорциональные постоянной Планка Модуль его может принимать только значение

где называется орбитальным квантовым числом, имеющим в случае орбитального движения целочисленные значения

У квантовомеханического вектора не могут одновременно иметь точные значения все три его проекции на оси координат. Поэтому для момента количества движения одновременно могут иметь определенные значения только его модуль и одна проекция на выделенное в пространстве направление.

Эта проекция может принимать только целочисленные (в единицах значения. Максимальное значение проекции на любое направление, например на ось равно

Величину остальных возможных проекций на то же направление можно получить, вычитая последовательно из по

т. е. величина проекции момента количества движения может принимать всего целочисленных значений от до

В состоянии, в котором одна из проекций имеет определенное значение, другие две его проекции уже не имеют определенного значения, (кроме случая когда

В качестве примера на рис. 1 изображены возможные значения проекций вектора при

Рис. 1. Момент количества движения: а — в классической механике; б - возможные значения проекции (при

Из формул (6) и (7) видно, что величина максимальной проекции всегда меньше величины самого момента. Это означает, что момент количества движения микрочастицы никогда не бывает

ориентирован точно вдоль выбранного направления. Между ними всегда имеется некоторый угол. Это является следствием свойств квантовомеханического вектора. Действительно, если бы момент был ориентирован точно по выбранному направлению, то были бы одновременно известны все три его проекции (так как две из них равнялись бы нулю).

В отличие от классической физики в экспериментах с микрочастицами всегда измеряется не абсолютная величина момента количества движения а лишь одна из возможных его проекций, равная

Только при величина проекции практически совпадает со значением момента количества движения и свойства микрочастицы приближаются к свойствам классической частицы.

В дальнейшем, для простоты, будем называть орбитальным моментом количества движения величину или в единицах просто Следует иметь в виду, что в действительности эта величина равна максимальной проекции момента.

Кроме орбитального момента количества движения большинство микрочастиц обладают собственным моментом количества движения, абсолютная величина которого равна

Квантовое число называют обычно спином частицы. Спин — столь же фундаментальный параметр частицы, как масса и заряд. Наличие спина можно связать с вращением частицы вокруг собственной оси; однако это лишь грубая аналогия с классическим волчком. В отличие от волчка частицу нельзя удержать от вращения и ее вращение нельзя ускорить. Спин — это неотъемлемое свойство частицы.

Максимальная проекция спина на любое направление, аналогично проекции орбитального момента, равна Величина максимальной проекции в отличие от проекции орбитального момента может равняться как целому, так и иолуцелому числу (в единицах постоянной Планка

Спиновое квантовое число 5 у разных частиц может иметь значение » Для электрона, например, спиновое квантовое число равно Это означает, что вектор спина электрона имеет модуль, равный

Число возможных проекций спина определяется величиной, равной Следовательно, для электрона существуют только два значения проекции спина на выбранное направление, равные соответственно

Со спином связаны статистические свойства коллектива частиц данного типа или? как говорят, «статистика» [2]. Существуют

два различных вида статистики: статистика Бозе — Эйнштейна и статистика Ферми — Дирака. Основное их различие состоит в том, что в коллективе частиц, подчиняющихся статистике Ферми-Дирака выполняется принцип Паули, согласно которому в каждом квантовом состоянии отдельной частицы в сложной связанной системе (ядро, атом) не может находиться одновременно более одной частицы.

Например, в атоме состояние каждого отдельного электрона приближенно задается при помощи четырех квантовых чисел: (напомним, что главное квантовое число, принимающее значения характеризует энергию частицы в данном состоянии; - азимутальное квантовое число, изменяющееся от О до характеризует момент количества движения частицы в пространстве; его проекция на заданное направление, принимающее значения определяет ориентацию момента количества движения и проекция спийа на это же направление, равная или или и определяющая ориентацию внутреннего момента количества движения).

Принцип Паули констатирует, что в атоме не может быть двух электронов с одинаковыми значениями всех четырех квантовых чисел. Если два электрона имеют одинаковые и одинаковые то они должны отличаться друг от друга либо направлением спина, либо проекцией орбитального момента, так что для них возможны не все, а лишь некоторые определенные значения

Все частицы с полуцелым спином подчиняются статистике Ферми-Дирака и называются фермионами. Все частицы с целым спином подчиняются статистике Бозе-Эйнштейна и называются бозонами. Для них принцип Паули не выполняется, но зато действует некоторое другое определенное ограничение на вид возможных состояний коллектива бозонов, а именно совокупная волновая функция такой системы не должна менять своего значения при перестановке двух частиц между двумя индивидуальными состояниями.

Полный момент количества движения частицы состоит из орбитального и спинового моментов, которые суммируются по правилам сложения квантовых векторов.

Так, например, для протона, спин которого равен полный момент может равняться либо сумме орбитального момента и спина:

если они направлены в одну сторону, либо разности этих величин

если они направлены в противоположные стороны (рис. 2). Этот результат является следствием квантовых свойств спина, так как именно в силу этих свойств проекция спина на направление орбитального момента может равняться только

Рис. 2. Полный момент количества движения протона: а — при совпадении направлений орбитального момента и спина; б - при противоположных направлениях орбитального момента и спина (при

Полный момент количества движения протона обладает всеми свойствами механического момента микрочастицы. Величина проекции этого момента на любое направление в пространстве может принимать значений, отличающихся друг от друга на от до

Рис. 3. Магнитный момент заряженной частицы, двигающейся по круговой орбите

Магнитный момент. У заряженных частиц, имеющих механический момент количества движения согласно классической электродинамике, должен существовать и магнитный момент Допустим для простоты, что заряженная частица движется по круговой орбите. Тогда ее движение эквивалентно наличию элементарного тока где заряд частицы, частота обращения (рис. 3).

Величина магнитного момента создаваемого током равна

где радиус орбиты. Умножая и деля правую часть этого выражения на массу частицы и подставив получим:

или

Так как то величина представляет собой механический момент колйчества движения частицы т. е.

Следовательно, магнитный момент заряженной частицы всегда пропорционален ее механическому моменту. Поскольку механический момент частиц в квантовой механике определяется выражением (6), то численное значение модуля вектора магнитного момента, обусловленного орбитальным движением частицы, должно быть равно

а проекция магнитного момента возникающего за счет орбитального движения электрона, всегда антипараллельна орбитальному моменту количества движения I и численно равна

Величина определяемая константами , называется магнетоном Бора, она равна

Ввиду того что частицы обладают помимо орбитального также собственным моментом, должен появиться еще дополнительный магнитный момент связанный с этим видом вращения. Однако выше уже говорилось, что происхождение спина нельзя объяснить простым вращением заряженного шарика электрона вокруг своей оси. Поэтому нельзя ожидать, что здесь будет справедливо соотношение (8). И действительно, из опыта было найдено выражение, отличающееся от (8) в два раза:

Объяснение этого соотношения было получено в релятивистской квантовой механике Дирака. Учитывая, что максимальная проекция находим, что величина также численно равна магнетону Бора:

Если выражать магнитный момент электрона в магнетонах Бора, а механический момент вращения в единицах , то можно записать:

Коэффициент называется гиромагнитным отношением. Как видно из формул (9) и (10), для орбитального движения электрона оно равно единице , а для спинового движения двум Полный магнитный момент частицы получается сложением магнитных моментов, возникающих за счет ее орбитального и спинового движений:

Если направление вектора магнитного момента параллельно вектору механического момента то считают значение положительным: если они антипараллельны то

Если частицу, обладающую спиновым магнитным моментом, поместить в магнитное поле, то спин и ее ось «вращения» могут быть ориентированы только в нескольких определенных направлениях. Мы уже говорили, что для частицы со спином, равным половине, возможны только две ориентации: в данном случае либо вдоль поля, либо против поля (рис. 4,а). Для частицы со спином, равным единице, возможны три ориентации оси вращения относительного магнитного поля: либо по полю (проекция , либо против поля (проекция либо перпендикулярно полю если при этом считать, что направление магнитного поля совпадает с направлением оси (рис. 4,б).

Рис. 4. Возможная ориентация частйц во внешнем магнитном поле: а — при ; б - при