§ 9. Оператор Гамильтона. Некоторые его применения

Пусть мы имеем функцию . В каждой точке области, где определена и дифференцируема функция , определяется градиент

Градиент функции иногда обозначают так:

знак 7 читается «набла».

1) Равенство (2) удобно символически записать так:

и рассматривать символ

как «символический вектор». Этот символический вектор называется оператором Гамильтона или набла-оператором (-оператором). Из формул (2) и (2) следует, что при «умножении» символического вектора V на скалярную функцию и получается градиент этой функции:

2) Можно составить скалярное произведение символического вектора V на вектор

(см. § 8). Итак,

3) Составим векторное произведение символического вектора V на вектор

(см. § 7). Итак,

Из сказанного следует, что употребление символического вектора V позволяет очень коротко выражать векторные операции. Рассмотрим еще несколько формул.

4) Векторное поле называется потенциальным векторным полем, если вектор F есть градиент некоторой скалярной функции или

В этом случае проекции вектора F будут

Из этих равенств следует (см. т. I, гл. VIII, § 12)

или

Следовательно, для рассматриваемого вектора F

Таким образом, получаем

Применяя оператор V. равенство (7) на основании формул (4) и (6) можно записать так:

Пользуясь тем свойством, что для умножения векторного произведения на скаляр достаточно умножить на этот скаляр один из сомножителей, запишем:

Здесь оператор V снова обладает свойствами обыкновенного вектора: векторное произведение вектора на себя равно нулю.

Векторное поле , для которого называется безвихревым. Из равенства (7) следует, что всякое потенциальное поле является безвихревым.

Справедливо и обратное заключение, т. е. если некоторое векторное поле F является безвихревым, то оно потенциально. Справедливость этого утверждения следует из рассуждений, проведенных в конце § 7.

5) Векторное доле , для которого т. е. векторное поле, в котором отсутствуют источники (см. § 8), называется сокеноидальным или трубчатым. Докажем, что

т. е. что поле вихрей свободно от источников.

Действительно, если , то

и поэтому

С помощью оператора V равенство (8) запишется так:

Левую часть этого равенства можно рассматривать как векторноскалярное (смешанное) произведение, трех векторов: , из которых два одинаковых. Это произведение, очевидно, равно нулю.

6) Пусть имеем скалярное поле . Определим поле градиентов:

Найдем далее или

Правая часть этого выражения обозначается

или символически

Символ

называется оператором Лапласа.

Следовательно, равенство (9) можно записать так:

С помощью оператора V равенство (11) записываем в виде

Заметим, что уравнение

или

называется уравнением Лапласа. Функция, удовлетворяющая уравнению Лапласа, называется гармонической функцией.