Конформные отображения.

Если аналитическая функция переводит взаимно однозначно область плоскости z в область плоскости то говорят, что она осуществляет конформное отображение области на область Д.

Роль конформных отображений в теории функций и ее приложениях определяется следующей почти тривиальной теоремой.

Рис. 15.

Если — аналитическая функция в области то сложная функция есть аналитическая функция в области Теорема эта вытекает из равенства

Имея в виду, что функции анайитичеекие, заключаем, что оба множителя правой части имеют пределы, а следовательно, в каждой точке z области отношение имеет однозначный предел Это доказывает аналитичность функции — Доказанная теорема показывает, что изучение аналитических функций в области может быть сведено к изучению аналитических функций в области Если геометрическая структура области проще, то этим упрощается изучение функции.

Наиболее важным классом областей, в которых приходится изучать аналитические функции, является класс односвязных областей. Так наг зываются области, граница которых состоит из одного куска (рис. 15, а) в отличие от областей, граница которых распадается на несколько кусков (например, области, изображенные на рис. и 15, в).

Заметим, что иногда приходится также изучать функции в области, лежащей не внутри кривой, а вне ее. Если граница такой области состоит только из одного куска, то область также называется односвязной (рис. 15, г).

В основе теории конформных отображений лежит следующая замечательная теорема Римана.

Для произвольной односвязной области можно построить аналитическую функцию, дающую конформное отображение круга радиуса 1 с центром в начале координат на область так, чтобы центр круга отображался в заданную точку области и произвольное направление в центре круга переходило в произвольное направление в точке Эта теорема показывает, что изучение функций комплексного переменного в произвольных односвязных областях можно свести к изучению функций, заданных, например, в единичном круге.

Поясним в общих чертах, каким образом изложенные факты могут быть приложены к задаче теории крыла. Пусть мы хотим изучить течение около заданной формы крылового профиля.

Рис. 16.

Если мы умеем отобразить конформно область течения, внешнюю к профилю, на область, внешнюю относительно круга, то можно построенное выше выражение для характеристической функции течения около круга, использовать для построения характеристической функции течения, окрло профиля.

Пусть — плоскость круга, z — плоскость профиля, — функция, реализующая отображение области, внешней к профилю, на внешность круга, Причем

Обозначим через а точку круга, соответствующую острию профиля А, и построим циркуляционное течение, обтекающее круг и имеющее одну из точек схода струй в а (рис. 16). Эту функцию будем обозначать через :

Линии тока этого течения определяются уравнениями

Рассмотрим теперь функцию

и пусть

Докажем, что есть характеристическая функция течения около профиля со сходом струй в точке А. Прежде всего течение, определяемое функцией обтекает профиль. Для того чтобы это доказать, надо установить, что контур профиля есть линия тока, т. е. что на контуре профиля:

Но это вытекает из того, что

и точки лежащие на профиле, соответствуют точкам лежащим на (окружности, а на окружности

Рис. 17.

Так же просто доказывается, что А есть точка схода струй. Можно доказать, что соответствующим подбором скорости набегающего потока на круг можно получить около профиля течение с произвольной скоростью набегающего потока на профиль.

Важная роль конформных отображений в теории функций и ее приложениях выдвинула задачи нахождения конформных отображений одной области на другую при заданной геометрической форме областей. В ряде простейших, но полезных случаев эта задача может быть решена при помощи элементарных функций комплексного переменного. Однако в общем случае нельзя обойтись элементарными функциями. Как уже говорилось, Риман высказал общую теорему теории конформных отображений, однако он не дал строгого доказательства этой теоремы. Потребовались усилия многих крупных математиков в течение ряда десятилетий, чтобы найти полное доказательство теоремы Римана.

В тесной связи с различными путями доказательств теоремы Римана развивались методы общего построения приближенным путем конформных отображений областей. Фактическое построение конформного отображения одной области на другую представляет собой иногда весьма трудную задачу. Для изучения ряда общих свойств функции часто фактически не надо знать конформного отображения одной области на другую, а достаточно использовать лишь те или другие геометрические свойства его. Это привело к широкому изучению геометрических свойств конформных отображений. Для того чтобы дать представление о теоремах такого рода, приведем формулировку одной из них.

Пусть круг радиуса 1 на плоскости z с центром в начале координат отображается на некоторую область причем начало координат переходит в точку области (рис. 17). Если мы рассматриваем произвольное отображение круга на область то нельзя высказать никаких утверждений о поведении отображения в точке Для конформных отображений имеет место следующее замечательное предложение.

Растяжение в начале координат не превосходит четырех радиусов круга с центром в вписанного в область

Различным вопросам теории конформных отображений были посвящены многочисленные исследования советских математиков. В этих работах были получены точные формулы для многих интересных классов конформных отображений, исследовались методы приближенного расчета конформных отображений, а также установлен ряд общих геометрических теорем о конформном отображении.