Глава 9. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ РИМАНА

Во вводной главе было показано, что к понятию определенного интеграла приводят такие важные задачи естествознания, как задача о вычислении площади криволинейной трапеции и задача об определении пути, пройденного материальной точкой, двигающейся со скоростью за промежуток времени от до Целью данной главы является построение строгой теории определенного интеграла Римана.

§ 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ИНТЕГРАЛА. ИНТЕГРИРУЕМОСТЬ

Рассмотрим функцию определенную в каждой точке сегмента Введем понятия разбиения сегмента измельчения этого разбиения и объединения двух разбиений.

Определение 1. Будем говорить, что задано разбиение сегмента если заданы точки такие, что Разбиение сегмента будем в дальнейшем обозначать символом

Определение 2. Разбиение сегмента называется измельчением разбиения того же сегмента, если каждая точка разбиения совпадает с одной из точек разбиения

Определение 3. Разбиение сегмента называется объединением разбиений того же сегмента, если все точки разбиений являются точками разбиения и других точек разбиение не содержит.

Заметим, что объединение двух разбиений является измельчением каждого из них.

Рассмотрим на сегменте функцию принимающую в каждой точке сегмента конечные значения. По данному разбиению построим число, так называемую «интегральную сумму», где — некоторая точка сегмента Подчеркнем, что интегральная сумма зависит как от разбиения так и от выбора точек на сегментах Если обозначить через разность то интегральную

сумму, в дальнейшем часто обозначаемую просто через можно записать и так:

Сегменты иногда называют частичными сегментами, а точки — промежуточными точками.

Число договоримся называть диаметром разбиения Введем фундаментальные понятия предела интегральных сумм и интегрируемости функции по Риману.

Определение 4. Число I называется пределом интегральных сумм при стремлении диаметра разбиений к нулю, если для всякого существует такое число что из условия при любом выборе промежуточных точек следует неравенство

Легко убедиться в том, что может существовать только один предел интегральных сумм а при

Для обозначения предела интегральных сумм употребляют символ

Определение 5. Функция называется интегрируемой по Риману на сегменте [а, b], если для этой функции на указанном сегменте существует предел I ее интегральных сумм о при стремлении диаметра разбиений к нулю.

Число I называется определенным интегралом Римана от функции в пределах от а до b и обозначается символом

Таким образом, по определению Отметим, что число а называют нижнимпределом интегрирования, а число — верхним пределом интегрирования. Переменную х под знаком определенного интеграла можно заменить на любую другую переменную, т. е. справедливы равенства

Выясним геометрический смысл интегральной суммы. Рассмотрим криволинейную трапецию, т. е. фигуру, ограниченную графиком

непрерывной неотрицательной функции заданной на сегменте двумя прямыми перпендикулярными к оси абсцисс, и сегментом оси абсцисс (рис. 9.1). Очевидно, интегральная сумма отвечающая выбранному разбиению и данному обозначенному на рисунке выбору точек представляет собой площадь ступенчатой фигуры, заштрихованной на этом рисунке.

Рис. 9.1

В следующей главе будет сформулировано понятие площади произвольной плоской фигуры и установлено, что предел при площади указанной пенчатой фигуры равен площади криволинейной трапеции.

Приведем простейший пример интегрируемой по Риману функции. Покажем, что функция интегрируема на любом сегменте причем Действительно, при любом разбиении и любом выборе точек на сегментах справедливо равенство Следовательно,

для любого разбиения и любого выбора точек Поэтому

Докажем следующее

Утверждение. Если функция не является ограниченной на сегменте то эта функция не интегрируема на этом сегменте. Пусть не ограничена на Покажем, что для любого разбиения интегральную сумму .) можно сделать сколь угодно большой по абсолютной величине только за счет выбора промежуточных точек В самом деле, если функция не ограничена на сегменте а сегмент разбит на конечное число сегментов то функция будет неограниченной хотя бы на одном частичном сегменте разбиения. Не нарушая общности, будем считать, что не ограничена на сегменте На

остальных сегментах промежуточные точки выберем произвольными и фиксируем. Обозначим через величину

Рассмотрим теперь функцию только на сегменте Поскольку функция не ограничена на этом сегменте, то для любого наперед заданного положительного числа М найдется точка из этого сегмента такая, что

Отсюда следует, и поэтому

Теперь уже совсем просто убедиться в неинтегрируемости функции на сегменте . В самом деле, предположим, что интегрируема на , т. е. для нее существует предел I интегральных сумм при стремлении диаметра разбиения к нулю. В силу доказанного выше для разбиения с как угодно малым диаметром и для положительного числа найдется интегральная сумма о, удовлетворяющая условию , из которого в силу неравенства вытекает, что (для разбиения с как угодно малым диаметром Это противоречит определению 4 предела интегральных сумм.

Итак, мы доказали, что интегрируемыми на сегменте могут являться только ограниченные на этом сегменте функции. Естественно возникает вопрос: всякая ли ограниченная на сегменте функция является интегрируемой на этом сегменте?

Докажем, что функция Дирихле равная нулю в иррациональных и единице в рациональных точках сегмента представляет собой пример ограниченной и неинтегрируемой на этом сегменте функции.

Для разбиения с как угодно малым диаметром взяв в качестве всех промежуточных точек иррациональные точки, мы получим интегральную сумму равную нулю, а взяв в качестве всех промежуточных точек рациональные точки, мы получим интегральную сумму равную Если бы существовал предел I интегральных сумм при стремлении к нулю, то для положительного числа и Для достаточно малого мы получили бы откуда а это противоречит тому, что