§ 7. Несобственные интегралы

1. Интегралы с бесконечными пределами. Пусть функция определена и непрерывна при всех значениях таких, что а Рассмотрим интеграл

Этот интеграл имеет смысл при любом . При изменении b интеграл изменяется, он является непрерывной функцией b (см. § 4). Рассмотрим вопрос о поведении этого интеграла при (рис. 222).

Рис. 222.

Определение. Если существует конечный предел

то этот предел называют несобственным интегралом от функции на интервале и обозначают так:

Следовательно, по определению имеем

Говорят, что в этом случае несобственный интеграл существует или сходится. Если при не имеет

конечного предела, то говорят, что не существует, или расходится.

Легко выяснить геометрический смысл несобственного интеграла в случае, когда если интеграл выражает площадь области, ограниченной кривой y = f(x), осью абсцисс и ординатами то естественно считать, что несобственный интеграл выражает площадь неограниченной (бесконечной) области, заключенной между линиями и осью абсцисс.

Рис. 223.

Аналогичным образом определяются несобственные интегралы и для других бесконечных интервалов:

Последнее равенство следует понимать так: если каждый из несобственных интегралов, стоящих справа, существует, то существует (сходится) по определению и интеграл, стоящий слева.

Пример 1. Вычислить интеграл (Рис. 223 и 224).

Рис. 224.

Решение. По определению несобственного интеграла находим

Рассмотренный интеграл выражает площадь бесконечной криволинейной трапеции, заштрихованной на рис. 224.

Пример 2. Установить, при каких значениях а (рис. 225) интеграл сходится и при каких расходится.

Решение. Так как , то . Следовательно, относительно рассматриваемого интеграла можно сделать следующие выводы: если , то , т. е. интеграл сходится; если то , т. е. интеграл расходится. При интеграл расходится.

Рис. 225.

Пример 3. Вычислить

Решение. Второй интеграл равен у (см. пример 1). Вычислим первый интеграл:

Следовательно,

Во многих случаях бывает достаточно установить, сходится данный интеграл или расходится, и оценить его значение. Для этого могут быть полезными следующие теоремы, которые мы приведем без доказательств, а применение их докажем на примерах. Теорема 1. Если для всех выполняется неравенство

и если сходится, то также сходится, при

этом

Пример 4. Исследовать, сходится ли интеграл

Решение. Заметим, что при Далее» Следовательно, сходится и его значение меньше 1.

Теорема 2. Если для всех выполняется неравенство причем расходится, то расходится и интеграл

Пример 5. Исследовать, сходится ли интеграл

Замечаем, что . Но

Следовательно, расходится и данный интеграл.

В последних двух теоремах рассматривались несобственные интегралы от неотрицательных функций. Для случая функции меняющей знак в бесконечном интервале, имеет место следующая теорема.

Теорема 3. Если интеграл сходится, то сходится и интеграл

В этом случае последний интеграл называется абсолютно сходящимся.

Пример 6. Исследовать сходимость интеграла

Решение. Здесь подынтегральная функция знакопеременная. Замечаем, Следовательно, интеграл

сходится. Отсюда следует, что сходится и данный интеграл.

2. Интеграл от разрывной функции. Пусть функция определена и непрерывна при а а при с функция либо не определена, либо терпит разрыв. В этом случае нельзя говорить об интеграле как о пределе интегральных сумм, так как не непрерывна на отрезке , и поэтому этот предел может и не существовать.

Интеграл от функции разрывной в точке с, определяется следующим образом:

Если предел, стоящий справа, существует, то интеграл называют несобственным сходящимся интегралом, в противном случае интеграл называют расходящимся.

Если функция имеет разрыв в левом конце отрезка (т. е. при х = а), то по определению

Если функция имеет разрыв в некоторой точке внутри отрезка , то полагают

если оба несобственных интеграла, стоящих в правой части равенства, существуют.

Пример 7. Вычислить

Решение.

Пример 8. Вычислить интеграл

Решение. Так как внутри отрезка интегрирования существует точка где подынтегральная функция разрывна, то интеграл нужно представить как сумму двух слагаемых: Вычислим каждый предел отдельно: Следовательно, на участке интеграл расходится. Значит, на участке интеграл также расходится.

Таким образом, данный интеграл расходится на всем отрезке Отметим, что если бы мы стали вычислять данный интеграл, не обращая внимания на разрыв подынтегральной функции в точке то получили бы неверный результат. Действительно, что невозможно (рис. 226).

Рис. 226.

Замечание. Если функция определенная на отрезке имеет внутри этого отрезка конечное число точек разрыва то интеграл от функции на отрезке определяется следующим образом:

если каждый из несобственных интегралов в правой части равенства сходится. Если же хотя бы один из этих интегралов расходится, то и называется расходящимся.

Для определения сходимости несобственных интегралов от разрывных функций и оценки их значений часто могут быть применены теоремы, аналогичные теоремам для оценки интегралов с бесконечными пределами.

Теорема Г. Если на отрезке функции разрывны в точке с, причем во всех точках этого отрезка

выполнены неравенства

сходится, то также сходится.

Теорема II. Если на отрезке функции разрывны в точке с, причем во всех точках этого отрезка выполнены неравенства

и расходится, то и расходится.

Теорема III. Если функция, знакопеременная на отрезке , разрывная только в точке с, и несобственный интеграл от абсолютной величины этой функции сходится, то сходится также интеграл от самой функции.

В качестве функций, с которыми удобно сравнивать функции, стоящие под знаком несобственного интеграла, часто берут Легко проверить, что сходится при расходится при а 1.

Это же относится и к интегралам

Пример 9. Сходится ли интеграл

Решение. Подынтегральная функция разрывна в левом конце отрезка Сравнивая ее с функцией имеем

Несобственный интеграл существует. Следовательно, несобственный интеграл от меньшей функции, т. е. тоже существует.