Глава 2. РАСПРОСТРАНЕНИЕ ВОЛН В ВОЛОКОННЫХ СВЕТОВОДАХ

Для понимания нелинейных явлений в волоконных световодах необходимо рассмотреть теорию распространения электромагнитных волн в нелинейной среде с дисперсией. Цель этой главы - получить основное уравнение распространения оптических импульсов в одномодовых световодах. В разд. 2.1 вводятся уравнения Максвелла и основные понятия, такие, как линейная и нелинейная индуцированная поляризация и диэлектрическая проницаемость, зависящая от частоты. Понятие мод волоконного световода вводится в разд. 2.2, в котором обсуждается также, при каком условии световод будет одномодовым. В разд. 2.3 рассматривается теория распространения импульсов в нелинейной среде с дисперсией в приближении медленно меняющихся амплитуд в предположении, что ширина спектра импульса много меньше частоты электромагнитного поля. В разд. 2.4 обсуждаются численные методы, используемые для решения уравнения распространения. Особое внимание уделено методу расщепления по физическим факторам с использованием быстрого преобразования Фурье на дисперсионном шаге он отличается большей скоростью счета по сравнению с большинством разностных схем.

2.1. УРАВНЕНИЯ МАКСВЕЛЛА

Как и все электромагнитные явления, распространение оптического поля в волокне описывается уравнением Максвелла. В системе эти уравнения имеют вид [1]

где и - векторы электрического и магнитного полей, и В-векторы электрической и магнитной индукции соответственно. Источниками электромагнитного поля являются вектор плотности тока

и плотности заряда При отсутствии свободных зарядов в среде, например, как в волоконном световоде,

Векторы электрической и магнитной индукции и В возникают как отклик среды на электрическое и магнитное поля Е и Н, распространяющиеся в среде, и связаны с ними следующими соотношениями:

где - диэлектрическая и магнитная постоянные вакуума, Р и М - электрическая и магнитная поляризации. В случае волоконного световода, являющегося немагнитным веществом, .

Уравнения Максвелла могут быть использованы для получения уравнения, описывающего распространение света в волоконных световодах:

где используется соотношение , с - скорость света в вакууме. Чтобы завершить описание, нужно ввести связь между индуцированной поляризацией Р и электрическим полем Е. Вообще говоря, чтобы определить Р, нужно использовать квантовомеханическую теорию. Однако такой подход часто бывает необходим только тогда, когда частота оптического поля близка к резонансным частотам среды. В противном же случае, вдали от резонансных частот, для связи Р и Е можно использовать феноменологическое соотношение (1.3.1), которое справедливо в волоконных световодах в области длин волн мкм. представляющей интерес для изучения нелинейнооптических эффектов. Рассмотрим нелинейные эффекты только третьего порядка, определяемые Индуцированная поляризация состоит из двух частей:

где - линейная и - нелинейная части, связанные с электрическим полем в самом общем случае соотношениями [2, 3]

Эти соотношения справедливы в дипольном приближении, когда предполагается, что отклик среды является локальным.

Уравнения (2.1.7)-(2.1.10) составляют общий формализм описания нелинейных эффектов низшего порядка в волоконных световодах. Ввиду их сложности необходимо сделать несколько упрощающих приближений. Наиболее общее упрощение состоит в том, что нелинейная поляризация в (2.1.8) считается малым возмущением полной индуцированной поляризации. Такое предположение оправданно, так как в волоконных световодах Поэтому первым шагом будет решение уравнения (2.1.7) при . Так как уравнение (2.1.7) линейно по Е, оно имеет простой вид в спектральном представлении:

где - фурье-компоненты определяемые как

а - диэлектрическая проницаемость, зависящая от частоты следующим образом:

здесь фурье-преобразование функции Вообше а следовательно, и комплексные величины. Используя определение

показатель преломления и и коэффициент поглощения а можно выразить через действительную и мнимую части как

здесь обозначают соответственно действительную и мнимую части. Частотная зависимость и и а в волоконных световодах обсуждалась в разд. 1.2.

Прежде чем решать уравнение (2.1.11), сделаем еще два упрощения. Во-первых, пренебрежем мнимой частью так как ввиду низких потерь в световодах мнимая часть мала по сравнению с действительной. Тогда можно заменить на Во-вторых, полагая и независимым от пространственных координат в оболочке и сердцевине (для световода со ступенчатым профилем показателя преломления), можно считать, что

здесь используются равенства При таких упрощениях уравнение (2.1.11) принимает вид

В следующем разделе уравнение (2.1.18) решается в случае световода со ступенчатым профилем показателя преломления; находятся моды такого световода.