3.3. ДИСПЕРСИЯ ВЫСШЕГО ПОРЯДКА

Дисперсионное уширение импульсов, обсуждавшееся в разд. 3.2, обусловлено членом низшего порядка в разложении (2.3.23). Хотя вклад этого члена в большинстве практически значимых случаев преобладает над другими, иногда необходимо учитывать член более высокого порядка, пропорциональный Например, если длина волны излучения к близка к длине волны нулевой дисперсии то при этом основной вклад в эффекты ДГС дает . В случае ультракоротких импульсов, когда часто бывает необходимо учитывать дисперсию высшего порядка даже если , так как параметр разложения уже не настолько мал, чтобы в разложении (2.3.23) пренебрегать членами выше

В этом разделе будут рассмотрены вместе эффекты ДГС, связанные с без учета нелинейных эффектов. Соответствующее

уравнение распространения для амплитуды А получается из уравнения (2.3.35) в пренебрежении нелинейными членами. Из уравнения (3.1.3) следует, что нормализованная амплитуда удовлетворяет уравнению

Это уравнение можно решить, используя метод Фурье (разд. 3.2). Вместо уравнения (3.2.5) получается следующее уравнение для прошедшего поля:

где фурье-преобразование входного поля определяется в уравнении (3.2.6). Если определено начальное поле , то на основании уравнения (3.3.2) можно изучить дисперсионные эффекты высшего порядка. В частности, можно рассмотреть гауссовский, супергауссовский импульсы или импульс формы гиперболического секанса аналогичным образом, как в разд. 3.2. Для гауссовского импульса можно получить аналитическое решение в виде функций Эйри [6].

Как и следует ожидать, эволюция импульса в световоде зависит от относительных величин которые в свою очередь зависят от соотношения между и Если то и обычно Однако даже когда отличается от всего на 10 нм. Для того чтобы сравнивать относительную важность в уравнении (3.3.1), удобно ввести дисперсионную длину, связанную с дисперсионным членом высшего порядка, которая определяется уравнением

где характеризует длительность импульса. Дисперсионная длина связанная с определяется как Дисперсионные эффекты высшего порядка играют существенную роль, только когда или Для -пикосекундного импульса это условие означает, что при типичном значении Такие величины принимает, только когда отличается от не более чем на нм! На практике фиксировать такой точностью очень трудно, поэтому вклад обычно пренебрежимо мал по сравнению с Это на самом деле имеет место в эксперименте [19, 20], где пикосекундные импульсы на длине волны мкм распространяются на несколько километров. Ситуация коренным образом изменяется для сверхкоротких импульсов с

Рис. 3.6. Формы импульсов при в присутствии дисперсии высшего порядка, имевших при гауссовскую форму (штриховая линия). Сплошная линия соответствует случаю Пунктирной линией показан эффект малых когда точно не совпадают и

длительностью в фемтосекундном диапазоне. Например, может быть порядка при пока вклад еще существен. Так как для таких величин то влияние дисперсии высшего порядка можно экспериментально увидеть при распространении -фемтосекундных импульсов на несколько метров в световоде вблизи так чтобы нм.

На рис. 3.6 показаны формы импульсов при для начального гауссовского импульса без частотной модуляции в уравнении (3.2.14)] для двух случаев (сплошная линия) и величины такой, что (штриховая линия). Гауссовский импульс остается гауссовским, когда в уравнении определяется только вкладом действие дисперсии высшего порядка, определяемое вкладом искажает форму импульса. Он становится асимметричным и имеет осциллирующую структуру на одном из своих фронтов. В случае положительной величины (он показан на рис. 3.6) осцилляции появляются на заднем фронте импульса. Когда отрицательно, осцилляции развиваются на переднем фронте импульса. В случае возрастает глубина осцилляций, так что интенсивность спадает до нуля между соседними периодами. Однако даже относительно малая величина существенно сглаживает эти осцилляции. В случае показанном на рис. 3.6, осцилляции почти исчезают и импульс имеет Длинный хвост на заднем фронте. Для больших величин таких,

Рис. 3.7. Эволюция супергауссовского импульса при вдоль световода в случаях Осцилляции на заднем фронте импульса появляются под действием дисперсии высшего порядка.

что форма импульса становится близкой к гауссовской и дисперсия высшего порядка играет относительно малую роль.

Уравнение (3.3.2) можно использовать для анализа эволюции импульсов с другими формами огибающей и начальной частотной модуляцией. В качестве примера на рис. 3.7 показана эволюция супергауссовского импульса без начальной частотной модуляции на длине волны нулевой дисперсии при в уравнении (3.2.23). Ясно, что формы импульсов могут сильно меняться в зависимости от начальных условий. На практике чаще представляет интерес не детальная структура импульса, а степень его дисперсионного уширения. Так как длительность импульсов, показанных на рис. 3.6, 3.7, измерять на уровне половины максимальной интенсивности не совсем правильно, будем использовать среднеквадратичную длительность, определяемую уравнением (3.2.25). В случае входного гауссовского импульса можно получить простое аналитическое выражение для а, которое учитывает действие и начальной частотной модуляции С на дисперсионное уширение [10].

Чтобы вычислить из уравнения (3.2.25), нужно определить используя уравнение (3.2.26). Так как фурье-преобразование функции определяется в уравнении (3.3.2), удобно вычислять в спектральном представлении. Используя фурье-преобразование интенсивности импульса

и дифференцируя его раз, получаем

Используя уравнение (3.3.5), из уравнения (3.2.26) найдем, что

где нормировочная постоянная определяется как

Из теоремы о свертке следует, что

Выполняя дифференцирование и переходя к пределу в уравнении (3.3.6), получаем

В случае гауссовского импульса частотной модуляцией для из уравнений (3.2.15) и (3.3.2) можно получить следующее уравнение:

Один или два раза дифференцируя это уравнение и подставляя результат в уравнение (3.39), находим, что интегрирование по можно выполнить аналитически. Таким способом можно получить и Подставляя получающиеся выражения в уравнение (3.2.25), находим [10], что

где - начальная среднеквадратичная длительность гауссовского импульса обладающего частотной модуляцией. Как и должно быть, уравнение (3.3.11) сводится к уравнению (3.2.18) при Похожее уравнение для можно получить и в случае супергауссовского импульса [18]. Полученное выражение обобщает уравнение (3.2.27) на случай дисперсии высшего порядка.

Из уравнения (3.3.11) следует несколько интересных выводов. Вообще говоря, свой вклад в уширение импульса вносят и но зависимость их относительно вклада от параметра частотной модуляции С качественно разная. Вклад зависит от знака тогда как вклад не зависит ни от знака ни от знака С. Таким образом, в сравнении с поведением, показанным на рис. 3.2, частотно-модулированный импульс на длине волны нулевой дисперсии

Рис. 3.8. Коэффициент уширения частотно-модулированного гауссовского импульса вблизи такой, что в зависимости от длины распространения. Штриховая линия соответствует случаю так что становится бесконечной

никогда не может сжиматься. Тем не менее даже небольшое смещение частоты от частоты нулевой дисперсии может привести к начальному сжатию импульса. Эта ситуация иллюстрируется рис. 3.8, на котором изображен коэффициент уширения как функция длины распространения при Для сравнения штриховой линией показано уширение, имеющее место в случае точного совпадения длины волны импульса с длиной волны нулевой дисперсии

В области аномальной дисперсии групповых скоростей вклад может компенсировать вклад так что дисперсионное уширение уменьшается по сравнению со случаем При больших значениях таких, что уравнение (3.3.11) можно аппроксимировать следующим образом:

здесь мы использовали уравнения (3.1.5) и (3.3.3). Линейная зависимость среднеквадратичной длительности импульса от длины распространения при больших основная черта, присущая всем импульсам независимо от формы.

Уравнение. (3.3.11) можно обобщить на случай частично когерентного света [10]. Спонтанное излучение всех источников света вызывает случайные амплитудные и фазовые флуктуации, которые приводят к некоторой конечной ширине линии спектра источника на частоте Если ширина линии много меньше ширины спектра

(определяемой уравнением (3.2 16) для частотно-модулированного гауссовского импульса), ее влиянием на уширение импульса можно пренебречь. Однако многие источники света, используемые в оптической связи (такие, как светодиоды и многомодовые полупроводниковые лазеры), не удовлетворяют этому условию; становится необходимым учитывать действие ширины линии источника В случае гауссовского спектра уравнение (3.3.11) принимает обобщенную форму [10]

где полуширина на уровне гауссовского спектра. Это уравнение описывает уширение частотно-модулированного гауссовского импульса в линейной среде с дисперсией в наиболее общем случае. В следующем разделе с помощью этого уравнения обсуждается влияние эффекта ДГС на работу волоконно-оптических систем связи.