2.3. ОСНОВНОЕ УРАВНЕНИЕ РАСПРОСТРАНЕНИЯ

Большинство нелинейных эффектов в волоконных световодах изучаются с использованием импульсов длительностью от нс до Когда такие импульсы распространяются в световоде, на их форму и спектр влияют как дисперсионные, так и нелинейные эффекты. В этом разделе мы выведем основное уравнение, описывающее распространение оптических импульсов в волоконных световодах, как в нелинейной среде с дисперсией. Начнем вывод с волнового уравнения (2.1.7) Используя уравнения (2.1.8) и (2.1.17), его можно записать в виде

где линейная и нелинейная части индуцированной поляризации связаны с электрическим полем Е соотношениями (2.1.9) и (2 1.10).

Для того чтобы решить уравнение (2.3.1), нужно сделать несколько упрощающих предположений. Во-первых, будем считать малым возмущением по отношению к Во-вторых, предположим, что состояние поляризации оптического поля сохраняется вдоль длины волокна, так что справедлив скалярный подход. В-третьих, будем считать оптическое поле квазимонохроматическим, т. е. спектр с центром на частоте имеет ширину Доз, такую, что Так как последнее допущение верно для импульсов длительностью

Используя приближение медленно меняющихся амплитуд, можно выделить быстро изменяющуюся часть электрического поля, записав

где «компл. обозначает комплексно-сопряженное выражение, х единичный вектор в направлении поляризации электрического поля, которое предполагается линейно-поляризованным в направлении оси - медленно изменяющаяся функция времени (по отношению к периоду оптической волны). Поляризации и также можно выразить подобным же образом, записав

Лнейную часть поляризации можно получить, подставляя уравнение (2.3.3) в уравнение (2.1.9). В результае имеем

где фурье-преобразование определяемое так же, как в уравнении (2.1.12).

Подставив уравнение (2.3.4) в уравнение (2.1.10), получаем уравнение для нелинейной поляризации которое существенно упрощается, если предположить, что нелинейный отклик мгновенный. Тогда зависимость от времени в уравнении (2.1.10) будет в виде трех дельта-функний . В результате получаем, что

Приближение мгновенного нелинейного отклика означает пренебрежение дисперсией Оно допустимо для импульсов длительностью так как электронный вклад в проявляется в волоконных световодах во временном масштабе Подставив уравнение (2.3.2) в уравнение (2.3.6), находим, что состоит из одной части, осциллирующей на частоте и другой, осциллирующей на частоте третьей гармоники которой обычно пренебрегают в световодах (см. гл. 10). Используя уравнение (2.3.4), для получаем

где -нелинейный вклад в диэлектрическую проницаемость, определяемый как

Чтобы получить волновое уравнение для медленно меняющейся амплитуды более удобно использовать спектральное представление. В общем случае это невозможно, так как уравнение (2.3.1) нелинейное ввиду зависимости от интенсивности. Поэтому приближенно считается постоянной при выводе уравнения распространения для [7, 8]. Это приближение оправдано с точки зрения приближения медленно меняющихся амплитуд и того, что считается малым возмущением. Подставляя уравнения (2.3.2)-(2.3.4) в уравнение (2.3.1), находим, что фурье-компоненты определяемые как

удовлетворяют уравнению

где

есть диэлектрическая проницаемость, нелинейная часть которой определяется уравнением (2.3.8). Так же как и в уравнении (2.1.14), можно из диэлектрической проницаемости определить показатель преломления и коэффициент поглощения а. Величина и получается зависимой от интенсивности из-за поэтому удобно использовать определение

Используя выражение и уравнения (2.3.8), (2.3.11) и (2.3.12), получаем нелинейный показатель преломления

Линейный показатель. преломления и коэффициент поглощения а связаны с действительной и мнимой частями как и в уравнениях (2.1.15) и (2.1.16).

Уравнение (2.3.10) можно решить, используя метод разделения переменных. Будем искать решение в виде

где - медленно меняющаяся функция - волновое число, которое будет определено позднее. Уравнение (2.3.10) сводится к двум следующим уравнениям для

Получая уравнение (2.3.16), мы пренебрегли второй производной используя предположение, что медленно меняющаяся функция Волновое число определяем как решение уравнения (2.3.15) для мод волоконного световода, следуя тому же способу, который использовался в разд. 2.2. Диэлектрическую проницаемость в уравнении (2.3.15) можно приближенно выразить так:

где малое возмущение:

Уравнение (2.3.15) решается с использованием теории возмущений первого порядка [9]. Сначала находятся распределение поля моды и соответствующая постоянная распространения при Для одномодового световода соответствует основной моде определяемой уравнениями (2.2.13) и (2.2.14) или, в гауссовском приближении, уравнением (2.2.15). Затем в уравнении (2.3.15) учитывается эффект . В первом приближении не влияет на распределение поля моды но изменяет собственное значение Р:

где

На этом завершается формальное решение уравнения (2.3.1) в низшем порядке возмущений Используя уравнения (2.3.2) и (2.3.12), электрическое поле Е можно записать в виде

Фурье-преобразование медленно меняющейся амплитуды удовлетворяет уравнению (2.3.16), которое может быть записано как

где было использовано уравнение (2.3.19) и приближения

Обратное фурье-преобразование уравнения (2.3.22) дает уравнение распространения для . С этой целью разложим в ряд Тейлора в окрестности

где

Кубическим слагаемым и слагаемыми более высокого порядка в этом

разложении обычно пренебрегают, если ширина спектра Это соответствует квазимонохроматическому приближению, использованному при выводе уравнения (2.3.22), и справедливо для импульсов длительностью Если для некоторого значения (вблизи длины волны нулевой дисперсии световода, как отмечалось в разд. 1.3.3), может возникнуть необходимость включить в рассмотрение кубический член. Подставим уравнение (2.3.23) в уравнение (2.3.22) и сделаем обратное фурье-преобразование:

Фурье-преобразование оператора заменяется оператором дифференцирования В результате получаем

Член с описывает эффект оптических потерь и нелинейные эффекты. Использовав уравнения (2.3.18) и (2.3.20) для после подстановки их в уравнение (2.3.26) получаем

где нелинейный коэффициент у определяется выражением

Параметр называется эффективной площадью моды; он равен

Для определения эффективной площади моды в основном используют распределения поля основной моды из уравнений (2.2.13) и (2.2.14). Ясно, что зависит от параметром волокна: радиуса сердцевины и разности показателей преломления сердцевины и оболочки. Ее можно без труда оценить, используя гауссовское приближение основной моды (2.2.15):

Параметр гауссовской моды зависит от параметров световода и может быть определен из рис. 2.1 и уравнения (2.2.11). Обычно

в видимой области спектра и в диапазоне в области 1,5 мкм. Поэтому у может изменяться в диапазоне в зависимости от длины волны, если положить см2/Вт.

Уравнение (2.3.27) описывает распространение оптических импульсов в одномодовых световодах. Оно описывает эффекты оптических потерь хроматической дисперсии и нелинейности Физический смысл параметров рассматривается в разд. 1.2.3. В частности, огибающая импульса распространяется с групповой скоростью характеризует дисперсию групповых скоростей (ДГС). ДГС может быть положительной или отрицательной в зависимости от того, длина волны X больше или меньше длины волны нулевой дисперсии световода (см. рис. 1.5). В области аномальной дисперсии величина отрицательная, и в волоконном световоде могут распространяться оптические солитоны (гл. 5). Обычно параметр в видимой области спектра и равен на длине волны 1,55 мкм; смена знака происходит около 1,3 мкм.

Уравнение распространения (2.3.27) хорошо описывает многие нелинейные эффекты, тем не менее его в некоторых случаях в зависимости от условий эксперимента следует модифицировать. Например, уравнение (2.3.27) не учитывает эффектов вынужденного неупругого рассеяния ВРМБ и ВКР, обсуждавшихся в разд. 1.3.2. Если пиковая мощность импульса больше некоторого порогового уровня, под действием ВКР и ВРМБ энергия этого импульса накачки может быть передана стоксову импульсу, распространяющемуся совместно с импульсом накачки (в прямом или противоположном направлении). Эти два импульса взаимодействуют друг с другом посредством ВКР или ВРМБ усиления и фазовой кросс-модуляции. Похожая ситуация возникает, когда два импульса на разных длинах волн (спектральное расстояние между ними больше, чем их ширины спектров) вводятся в световод. Распространение нескольких импульсов описывается системой уравнений, подобных уравнению (2.3.27), модифицированных так, чтобы учесть эффекты ФКМ и ВКР или ВРМБ-усиления. Нлинейные эффекты, связанные с распространением одновременно в волокне многих импульсов, обсуждаются в гл 7-9.

Уравнение (2.3.27) также следует модифицировать, если рассматривается распространение сверхкоротких импульсов длительностью Ширина спектра таких импульсов становится сравнимой с несущей частотой и некоторые приближения, сделанные при выводе уравнения (2.3.27), становятся необоснованными. Кроме того, спектр таких коротких импульсов достаточно широкий так что под действием ВКР низкочастотные компоненты спектра могут усиливаться, получая энергию от высокочастотных компонент спектра того же импульса. В результате спектр короткого

импульса смещается в длинноволновую область спектра при распространении в световоде. Это явление называется вынужденным комбинационным саморассеянием [10]. Физически этот эффект объясняется запаздывающим нелинейным откликом среды [11]. При выводе уравнения (2.3.27) в этом случае нельзя использовать уравнение (2.3.6), нужно использовать более общую форму записи нелинейной поляризации (2.1.10). Включение в рассмотрение этих эффектов в приближении малых возмущений [12] дает три дополнительных члена в уравнении (2.3.27). Обобщенное уравнение распространения принимает вид

Легко объяснить смысл последних трех членов более высокого порядка малости в уравнении (2.3.31). Член, пропорциональный характеризует кубическое слагаемое в разложении постоянной распространения в уравнении (2.3.23). Этот член описывает дисперсионные эффекты высшего порядка, которые становятся важными для сверхкоротких импульсов с их широкими спектрами, даже когда длина волны к находится далеко от длины волны нулевой дисперсии [13, 14]. Член, пропорциональный характеризует первую производную медленно меняющейся части нелинейной поляризации в уравнении (2.3.1). Этот член вызывает самоукручение крыла импульса (образование ударной волны огибающей), явление, привлекшее большое внимание [15-23]. Параметр а, приближенно равен

где у определяется в уравнении (2.3.38).

Последний член уравнения (2.3.31), пропорциональный возникает как результат запаздывающего нелинейного отклика и описывает эффект самосмещения частоты (вынужденного комбинационного саморассеяния) [10, 11]. В общем выражении (2.1.10) для нелинейной поляризации фурье-преобразование восприимчивости третьего порядка -комплексная, зависящая от частоты функция. Мнимая часть связана с ВКР-усилением и вносит вклад в мнимую часть а действительная часть вносит вклад в действительную часть Моделируя этот эффект, часто пренебрегают действительной частью записав в виде

где у - параметр нелинейности, определенный в уравнении (2.3.28),

и связано с наклоном линии ВКР-усиления [11], если предположить, что оно линейно изменяется вблизи несущей частоты (см. разд. 8.1). Величина порядка

Прежде чем решать уравнение (2.3.31), полезно перейти в систему координат, движущуюся с групповой скоростью импульса (так называемые бегущие координаты). Выполним преобразование

и, использовав уравнения (2.3.31)-(2.3.33), получим

Это уравнение можно использовать для изучения распространения импульсов длительностью до . В случае импульсов длительностью такой, что можно использовать более простое уравнение

которое также можно получить из уравнения (2.3.27), используя преобразование (2.3.34). В особом случае уравнение (2.3.36) называется нелинейным уравнением Шредингера, подробно изученным в связи с солитонами [27 30]. Проводя аналогию, уравнение (2.3.35) иногда называют обобщенным нелинейным уравнением Шредингера.

Важно отметить, что уравнение (2.3.35) описывает эффект задержанного нелинейного отклика среды приближенно, В более общем случае нелинейная часть показателя преломления рассматривается зависящей от времени. Тогда уравнение (2.3.35) заменяется на уравнение [26]

где удовлетворяет уравнению

Время отклика оценивается величиной путем сопоставления

результатов эксперимента [26] и предсказаний уравнений (2.3.37). Уравнение (2.3.38) предполагает экспоненциальный спад нелинейного отклика, и его решение имеет вид

Уравнение (2.3.35) можно получить, разлагая в ряд Тейлора в окрестности Т и сохраняя только член первого порядка. В обшем случае экспонента в уравнении (2.3.39) заменяется на функцию отклика которая находится на основании спектра ВКР-усиления.