3.2. ДИСПЕРСИОННОЕ УШИРЕНИЕ ИМПУЛЬСОВ

В этом разделе мы рассматриваем действие ДГС на распространение импульсов в линейной дисперсионной среде [4 18], полагая в уравнении Если определить нормированную амплитуду в соответствии с уравнением (3.1.3), то будет удовлетворять следующему дифференциальному уравнению в частных производных:

Это уравнение совпадает с уравнением, которое описывает дифракцию света в поперечном направлении в одномерном случае. В самом деле, эффекты во времени, связанные с дисперсией, имеют близкие аналогии с пространственными дифракционными эффектами [2] Уравнение (3.2.1) легко решить, используя фурье-метод. Если фурье-преобразование ), такое, что

то оно удовлетворяет простому дифференциальному уравнению

решение которого записывается в виде

Уравнение (3.2.4) показывает, что ДГС изменяет фазу в каждой спектральной компоненте импульса на величину, зависящую от частоты и длины распространения. Хотя такие изменения не влияют на спектр импульса, они могут изменить форму импульса. Подставляя уравнение (3.2.4) в уравнение (3.2.2), получаем общее решение уравнения (3.2.1).

где есть фурье-преобразование начального импульса при

Для простоты рассмотрим случай гауссовского импульса, имеющего вначале вид [9]

где - полуширина импульса (по уровню интенсивности от максимальной), введенная в разд. 3.1. На практике вместо удобно использовать полную длительность по уровню половины максимальной интенсивности Для гауссовского импульса эти две величины связаны соотношением

Используя уравнения (3.2.5) (3.2.7) и выполнив интегрирование, амплитуду на любой длине световода можно записать в виде

Таким образом, гауссовские импульсы сохраняют свою форму, но его длительность увеличивается:

где дисперсионная длина Уравнение (3.2 10) показывает, что ДГС уширяет импульс. Степень уширения определяется дисперсионной длиной При определенной длине световода более короткий импульс уширится больше, так как его дисперсионная длина меньше. При гауссовский импульс уширяется в раз. На рис. 3.1 показаны при трех длинах что демонстрирует степень дисперсионного уширения гауссовского импульса.

Сравнение уравнений (3.2.7) и (3.2.9) показывает, что импульс, вначале не имеющий частотной модуляции, приобретает частотную модуляцию, проходя через световод. Это можно ясно увидеть, записав в форме

Рис. 3.1. Дисперсионное уширение гауссовского импульса в световоде при Дисперсионная длина где параметр ДГС. Штриховая линия показывает начальный импульс при

где

Зависимость фазы от времени означает, что мгновенная частота вдоль импульса отлична от несущей частоты Эта разница частот равна производной — (знак «минус» появляется вследствие выбора зависимости в уравнении (2.3.2)) и выражается уравнением

Уравнение (3.2.13) показывает, что частота изменяется линейно по импульсу. Этот случай называется линейной частотной модуляцией. Частотная модуляция зависит от знака Разница частот отрицательна на переднем фронте импульса и линейно увеличивается по импульсу в области нормальной дисперсии в области аномальной дисперсии наблюдается противоположное поведение.

Процесс дисперсионного уширения импульса состоит в том, что, как отмечалось в разд. 1.2.3, из-за ДГС разные частотные компоненты импульса распространяются по световоду с несколько различными скоростями. А именно, длинноволновые компоненты движутся быстрее, чем коротковолновые в области нормальной дисперсии в области аномальной дисперсии наблюдается

обратное. Длительность импульса может оставаться неизменной, если только все спектральные компоненты распространяются с одной скоростью или, что то же самое, если Любые временные задержки разных спектральных компонент приводят к уширению импульса.

Из уравнения (3.2.10) следует, что уширение гауссовского импульса, на входе не обладавшего частотной модуляцией, не зависит от знака параметра дисперсии Таким образом, при определенной величине дисперсионной длины импульс уширяется одинаково в области как нормальной, так и аномальной дисперсии в световоде. Поведение изменяется, однако, если гауссовский импульс вначале имеет некоторую частотную модуляцию [10]. В случае линейной частотной модуляции гауссовского импульса начальное поле записывается в виде (ср. уравнение (3.2.7))

где С - параметр модуляции. Используя уравнение (3.2.11), находим, что частота увеличивается линейно от переднего фронта импульса к заднему, если и уменьшается, если Будем называть частотную модуляцию положительной и отрицательной в зависимости от того, положителен или отрицателен параметр С. Величину С можно оценить, исходя из ширины спектра гауссовского импульса. Подставляя уравнение (3.2.14) в уравнение (3.2.6), получаем для С (0, со) выражение

Полуширину спектра (по уровню интенсивности от максимальной) находим из уравнения (3.2.15):

В отсутствие частотной модуляции импульс спектральноограниченный и выполняется соотношение Ширина спектра увеличивается в раз, если есть линейная частотная модуляция. Из измерений используя уравнение (3.2.16), можно получить

Прошедшее через световод поле находится, если подставить из уравнения (3.2.15) в уравнение (3.2.5). Уравнение можно проинтегрировать аналитически и получить выражение

Таким образом, даже частотно-модулированный гауссовский

импульс сохраняет гауссовскую форму при распространении. Длительность импульса после прохождения длины световода связана с начальной длительностью соотношением [10]

Из этого уравнения видно, что уширение зависит от знаков параметра и параметра частотной модуляции С. Гауссовский импульс монотонно уширяется с увеличением если . Если же то импульс сначала снимается. Рис. 3.2 иллюстрирует это зависимостью коэффициента уширения импульса от (при Дисперсионная длина определена в уравнении (3.1.5). В случае длительность импульса становится минимальной при

Минимальная величина длительностью импульса при равна

Используя уравнения (3.2.16) и (3.2.10), находим, что при импульс спектрально ограничен, так как

Начальное сжатие импульса в случае можно объяснить на

Рис. 3.2. Коэффициент уширения импульса в зависимости от расстояния для частотно-модулированного гауссовского импульса. Штриховая линия соответствует гауссовскому импульсу без частотной модуляции. В случае имеют место точно такие же кривые, если поменять знак коэффициента частотной модуляции С.

основании уравнения (3.2.13), описывающего наводимую дисперсией частотную модуляцию на гауссовский импульс, сначала модуляцией не обладавший. Когда импульс имеет вначале частотную модуляцию при условии наводимая дисперсией частотная модуляция противоположна по знаку по сравнению с начальной частотной модуляцией. В результате частотная модуляция импульса при распространении в световоде уменьшается, а импульс сжимается. Минимальной длительность импульса становится в точке, где две частотные модуляции компенсируют друг друга. При последующем увеличении длины распространения частотная модуляция из-за дисперсии начинает преобладать над начальной частотной модуляцией и импульс начинает уширяться. Результирующую частотную модуляцию как функцию можно получить из уравнения (3.2.17), используя определение (3.2.11) и (3.2.13). Это решение подтверждает качественную картину, описанную выше.

Импульсы, излучаемые многими лазерами, можно приближенно считать гауссовскими, тем не менее часто бывает необходимо рассмотреть другие формы импульсов. Обобщенный интерес представляют импульсы, имеющие форму гиперболического секанса, которые естественно возникают в связи с оптическими солитонами (см. гл. 5). Амплитуда поля таких импульсов на входе в световод имеет форму

где коэффициент частотной модуляции С определяет начальную частотную модуляцию, аналогичную той, что описывается уравнением (3.2.14). Поле находится из уравнений (3.2.5), (3.2.6) и (3.2.21). К сожалению, для негауссовских импульсов не всегда можно вычислить интеграл в уравнении (3.2.5) аналитически. Поэтому на рис. 3.3 показаны результаты численных вычислений формы импульсов, прошедших расстояния при отсутствии частотной модуляции в начале световода Сравнение рис. 3.1 и 3.3 показывает, что качественные черты дисперсионного уширения почти одинаковы для гауссовского импульса и импульса формы гиперболического секанса. Отметим, что появляющееся в уравнении (3.2.21), с полной длительностью на уровне половины максимальной интенсивности FWHM связано соотношением

Этим выражением следует пользоваться, если при сравнении используется FWHM. Аналогичное выражение для гауссовского импульса дается уравнением (3.2.8).

До сих пор рассматривались импульсы с относительно широкими

Рис. 3.3. Формы импульсов при возникающие в процессе дисперсионного уширения импульса, у которого при была форма гиперболического секанса (штриховая линия). Сравните рис. 3.1, где показан случай гауссовского импульса.

передним и задним фронтами. Но, как и можно было ожидать, дисперсионное уширение оказалось чувствительным к крутизне фронтов импульса. Вообще говоря, импульс с более крутыми передним и задним фронтами уширяется быстрее просто потому, что такой импульс имеет более широкий начальный спектр. Импульсы, излучаемые потупроводниковыми лазерами, попадают в эту категорию и не могут, вообще говоря, быть аппроксимированы гауссовским импульсом. При моделировании влияния крутизны фронтов импульса на дисперсионное уширение можно использовать импульсы супергауссовской формы. В случае супергауссовского импульса уравнение (3.2.14) принимает обобщенную форму [17]

где параметр определяет степень крутизны фронта. Случай соответствует случаю гауссовских импульсов с частотной модуляцией. При больших форма импульса приближается к прямоугольной с резким передним и задним фронтами. Если определить время нарастания импульса как длительность увеличения интенсивности с 10 до 90% от пикового значения, то из уравнения (3.2.23) можно получить, что

Следовательно, параметр можно определить из измерений

На рис. 3.4 показаны формы импульсов в точках в случае супергауссовского импульса без частотной модуляции Его нужно сравнить с рис. 3.1, где показан случай гауссовского импульса Различие между этими случаями можно отнести к более крутым переднему и заднему фронтам супергауссовского импульса. При распространении гауссовский импульс сохраняет свою форму, а супергауссовский импульс, кроме того что уширяется с большей скоростью, еще и искажает свою форму. Дальше уширение супергауссовского импульса можно объяснить его более широким спектром по сравнению с гауссовским импульсом вследствие большей крутизны фронтов. Задержка каждой спектральной компоненты, вызываемая ДГС, непосредственно связана с разностью ее частоты и средней частоты поэтому, чем больше спектр, тем больше скорость уширения импульса.

Для импульсов сложной формы, подобной той, которая показана на рис. 3.4, не совсем правильно измерять длительность импульса по уровню половины максимальной интенсивности. Точнее будет описывать длительность таких импульсов среднеквадратичной шириной а, определяемой уравнением [8, 9]

Рис. 3.4. Формы импульсов, получающиеся в точках когда начальный импульс при имеет супергауссовскую форму (штриховая линия). Сравните рис. 3.1, где показан случай гауссовского импульса.

где

С целью показать, как уширение импульса зависит от крутизны фронтов импульса, на рис. 3.5 представлен коэффициент уширения для супергауссовских импульсов как функция длины распространения для в диапазоне от 1 до 4. Здесь - это начальная среднеквадратичная длительность импульса при Случай соответствует гауссовскому импульсу; с увеличением фронты импульса становятся более крутыми. Как следует из уравнения (3.2.24), время нарастания импульса обратно пропорционально поэтому ясно, что импульс, время нарастания которого короче, уширяется быстрее. Кривые на рис. 3.5 представлены для случая начального импульса, не имеющего частотной модуляции Если в начале импульсы частотно модулированы, то величина их уширения зависит от знака произведения . Качественное поведение подобно случаю гауссовского импульса показанному на рис. 3.2. В частности, даже супергауссовский импульс сначала сжимается, если Можно аналитически определить коэффициент уширения импульса. Используя уравнения (3.2.5) и (3.2.23) (3.2.26), получаем [18]

где Г - гамма-функция. Для гауссовского импульса это уравнение переходит в уравнение (3.2.18).

Начальное сжатие импульсов, обладающих частотной модуляцией, наблюдалось в экспериментах [11, 12] по распространению в световоде оптических импульсов, излучаемых полупроводниковым лазером с непосредственной прямой модуляцией. В первом эксперименте [11] входной импульс на длине волны 1,54 мкм имел положительную частотную модуляцию После 104 км распространения в световоде в области аномальной дисперсии импульс уширился почти в 5 раз. Во втором эксперименте [12] полупроводниковый лазер излучал импульсы на длине волны 1,21 мкм, обладающие отрицательной частотной модуляцией После 1,5 км распространения в световоде при нормальной дисперсии импульс сжался от 190 до Когда длина световода была увеличена до 6 км, длительность импульса увеличилась до в соответствии с показанным на рис. 3.2 качественным поведением. В другом эксперименте [16] был получен значительно

Рис. 3.5. Коэффициент уширения в зависимости от длины для нескольких супергауссовских импульсов с разными значениями . Случай соответствует гауссовскому импульсу. Фронты импульсов становятся круче с увеличением .

более короткий импульс (длительностью на длине волны 1,3 мкм от полупроводникового лазера с распределенной затравкой путем переключения усиления. Импульсы обладали отрицательной частотной модуляцией поэтому применялся световод со смещенной дисперсией, имеющей положительную ДГС на длине волны 1,3 мкм Импульс сжимался в 3 раза в световоде длиной 4,8 км, а потом, при увеличении длины световода, начинал уширяться.