5.2. ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ СОЛИТОНЫ И СОЛИТОНЫ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ

Нелинейное уравнение Шредингера (НУШ) (5.1.1) принадлежит к специальному классу уравнений, которые можно точно решить, используя метод обратной задачи рассеяния (ОЗР). Этот метод был открыт Гарднером и др. [37]. Захаров и Шабат [34] использовали его для решения НУШ; данный метод стал важным инструментом в математической физике [1-5]. Метод ОЗР по духу похож на метод преобразования Фурье, который обычно используют для решения нелинейных уравнений в частных производных. Этот подход состоит в определении подходящей задачи рассеяния, потенциал которой и есть искомое решение. Значение поля входного излучения используется для получения начальных данных рассеяния, динамика которых вдоль оси легко находится из решения линейной задачи рассеяния. Поскольку метод ОЗР в деталях изложен во многих книгах [1 5], мы лишь кратко опишем, как он используется для решения Уравнения (5.1.1).

Используя в уравнении (5.1.1) замены

мы получаем

где значение пиковой мошности, длительность начального импульса, параметр определяется как

Дисперсионная длина и нелинейная длина были определены формулами (3.1.5). Уравнение (5.2.2) идентично уравнению (4.2.1) с той лишь разницей, что здесь мы пренебрегли потерями в световоде . В области отрицательной дисперсии групповых скоростей Параметр можно исключить из уравнения (5.2.2) заменой

В этом случае уравнение (5.2.2) принимает стандартную форму нелинейного уравнения Шредингера:

Для уравнения (5.2.5) справедливо следующее соотношение подобия. Если -решение этого уравнения, то также является решением; произвольный нормировочный множитель.

В методе ОЗР прямая задача рассеяния, связанная с уравнением (5.2.5), сводится к системе [34]

где и - амплитуды волн, рассеянных на потенциале - собственное значение. Уравнения (5.2.6) и (5.2.7) используются, чтобы для данного начального условия получить начальные данные рассеяния. Прямая задача рассеяния характеризуется коэффициентом отражения который играет роль, аналогичную коэффициенту

Фурье в фурье-анализе. Он также характеризуется наличием связанных состояний, которые соответствуют полюсам на комплексной -плоскости. Таким образом, начальные данные рассеяния состоят из коэффициента отражения. комплексных полюсов и их вычетов где если существует таких полюсов. Хотя параметр в (5.2.3) не обязательно является целым числом, такое же обозначение используется для числа полюсов для того, чтобы подчеркнуть, что целые величины определяют количество полюсов. Динамику данных рассеяния по длине световода получают из (5.2.6) и (5.2.7), используя хорошо известные методы [3, 34].

Потенциал восстанавливается из данных рассеяния при использовании метода ОЗР. В общем случае для этого требуется решить сложное линейное интегральное уравнение. Однако в частном случае, когда для начального потенциала обращается в нуль, может быть определено при решении системы алгебраических уравнений. Данный случай и соответствует солитонам. Порядок солитона характеризуется числом полюсов или собственных значений Об шее решение имеет вид [34]

где

получаются из решения следующей системы линейных уравнений:

В общем случае собственные значения комплексны Действительная часть определяет изменение скорости солитона по сравнению с групповой скоростью Для того чтобы -солитонное состояние оставалось связанным, необходимо, чтобы все компоненты распространялись с одинаковыми скоростями. Математически это означает, что все полюса должны лежать на прямой, параллельной мнимой оси. Не нарушая общности, можно предположить, что они лежат на мнимой оси, так что Подставляя в уравнение (5.2.9), для получаем

Из видно, что солитон порядка определяется где в общем случае комплексны. Тем не менее

действительных постоянных не являются независимыми. В частности, если предполагается, что солитон симметричен относительно то вычеты связаны с собственными значениями соотношениями [38]

Фундаментальный солитон соответствует случаю единственного собственного значения Как это следует из (5.2.8) (5.2 12), фундаментальный солитон имеет вид

Собственное значение определяет амплитуду солитона. Канонический вид фундаментального солитона получается при выборе и так что Уравнение (5.2.14) соответственно приобретает вид

Для волоконных световодов решение (5.2.15) означает, что импульс в форме гиперболического секанса с длительностью и пиковой мощностью выбраны такими, что в уравнении будет распространяться в идеальном световоде (без потерь) без искажения своей формы на произвольно большие расстояния. Именно это свойство фундаментальных солитонов делает их привлекательными для передачи информации в системах оптической связи [35]. Значение пиковой мощности фундаментального солитона определяется из формулы (5.2.3) при подстановке

где определяется из (3.2.22); длительность импульса на полувысоте по интенсивности, величина, обычно используемая на практике. Для значений параметров и у, типичных для световодов из кварцевого стекла на длине волны 1,55 мкм, пиковая мощность при а при она уменьшается до 50 мВт. При использовании световодов со смещенной дисперсией с значение Р, уменьшается в 10 раз

Солитоны высших порядков также описываются общим решением (5.2.8). Различные комбинации собственных значений и вычетов дают бесконечное множество форм солитонов. Среди них особую роль играют солитоны, имеющие начальную форму при

где порядок солитона N - целое число. Значение пиковой мощности, необходимой для создания солитона порядка, определяется из уравнения (5.2.3) и оказывается в раз больше мощности, необходимой для возбуждения фундаментального солитона. Для солитона второго порядка распределение поля получается из уравнений (5.2.8) (5.2.13) при выборе Соответствующее выражение для амплитуды поля [36]:

Интересным свойством этого решения является то, что периодична с периодом Такую же периодичность имеют все солитоны высших порядков [34]. Используя определение из (5.2.1), можно записать период солитона как

где Периодичность динамики солитонов высших порядков проиллюстрирована рис. 5.4 для частного случая Здесь показано изменение формы импульса на одном периоде солитона. При распространении импульса по световоду его длительность

Рис. 5.4. Динамика формы трехсолитонного импульса на одном периоде солитона. Обратите внимание на расщепление импульса вблизи и последующее восстановление.

Рис. 5.5. Динамика спектра трехсолитонного импульса на одном периоде солитона.

первоначально уменьшается, затем на расстоянии он расщепляется на два, далее обе компоненты сливаются, формируя при первоначальный импульс. Эта картина повторяется на каждом периоде солитона. Эффект сокращения длительности импульса на начальном этапе его распространения может быть использован для сжатия импульсов (см. гл. 6).

Для того чтобы понять физический смысл наблюдаемого явления, полезно взглянуть на динамику спектра, изображенного на рис. 5.5 для случая Изменения в форме импульса и его спектре возникают при совместном действии фазовой самомодуляции (ФСМ) и дисперсии групповых скоростей. При ФСМ получается положительная частотная модуляция, так что передний фронт смещается в стоксову (относительно несущей частоты) область, а задний фронт в антистоксову область. Уширение спектра за счет ФСМ ясно видно на рис. 5.5 при хорошо заметна типичная для ФСМ модуляция. При отсутствии дисперсии групповых скоростей форма импульса оставалась бы неизменной (см. разд. 4.1). Отрицательная дисперсия, однако, сжимает импульс, так как он имеет положительную частотную модуляцию (см. разд. 3.2). Сокращает свою длительность только центральная область импульса, поскольку только гам сдвиг частоты практически линеен. Из-за того что интенсивность импульса в центральной его области существенно увеличивается, спектр его также значительно изменяется (см. рис. 5.5 для ). Именно совместным действием дисперсионных и нелинейных эффектов объясняется характер динамики импульса, изображенной на рис. 5.4. В случае фундаментального солитона дисперсия и ФСМ компенсируют друг друга таким образом, что ни форма импульса, ни его спектр не изменяются при распространении по

световоду. В случае солитонов высших порядков на начальном этапе доминируют эффекты, связанные с ФСМ, но вскоре дисперсионные эффекты «наверстывают упушенное», что приводит к сжатию импульса (см. рис. 5 4). Теория солитонов показывает, что для импульсов с формой в виде гиперболического секанса, имеющих пиковую мощность, определяемую формулой (5.2.3), совместное действие этих эффектов приводит к тому, что динамика импульса оказывается периодичной; первоначальная форма восстанавливается на расстояниях, кратных периоду солитона определенному согласно (5.2.19). Для обычных световодов на основе плавленого кварца на длине волны 1,55 мкм. Период солитона составляет величину порядка для и изменяется как То, становясь равным 8 км при Для световодов со смещенной дисперсией возрастает на порядок при тех же значениях

Возникает естественный вопрос: что случится, если начальная форма импульса или значение пиковой мощности отличаются от тех, которые требуются по соотношению (5.2.17). Вначале рассмотрим случай, когда значение пиковой мощности не точно соответствует мощности солитона и величина N, полученная из (5.2.3), не является целым числом. Сапума и Яджима [36] использовали теорию возмущений для решения уравнений (5.2.6) и (5.2.7). Оказывается, что импульс в процессе распространения по световоду «подстраивает» свою длительность, становясь солитоном. При этом часть его энергии рассеивается. Импульс асимптотически преобразуется в солитон, порядок которого есть целое число N, ближайшее к начальному значению N. Если записать

то солитонная часть соответствует форме начального импульса

Длительность импульса в уравнении (5.2.21)

Для фундаментального солитона длительность возрастает, если в случае солитон вообще не образуется. С другой стороны, если то импульс сужается.

Влияние начальной формы импульса на формирование солитона может быть исследовано при численном решении уравнения (5.2.5). На рис. 4.7 из гл. 4 изображена динамика гауссовского импульса, имеющего начальное распределение поля в виде

Хотя форма импульса изменяется при его распространении, поскольку вначале она отличается от гиперболического секанса фундаментального солитона. Интересной особенностью рис. 4.7 является то, что гауссовский импульс здесь асимптотически стремится к фундаментальному солитону. Эволюция фактически заканчивается при что соответствует примерно трем периодам солитона. Похожая картина имеет место и для импульсов с другими начальными формами, например с супергауссовской. Длительность солитона в конечном состоянии и расстояние, необходимое для эволюции импульса в солитон, зависит от начальной формы, но качественно поведение остается одним и тем же. Ясно, что солитон может быть сформирован в том случае, если пиковая мощность начального импульса превышает пороговую величину.

Хасэгава и Тапперт первыми указали на возможность солитонного режима распространения в волоконных световодах [35]. Впервые в экспериментах солитоны наблюдались Молленауэром и др. [39]. В этом эксперименте использовался лазер на центрах окраски, работающий в режиме синхронизации мод (длительность импульсов длина волны генерации 1,55 мкм, что находится в области минимальных потерь световода. Импульсы распространялись по одномодовому световоду длиной диаметр сердцевины световода 9,3 мкм. Параметры световода, использованного в эксперименте; Подставляя в выражение (5.2.16), получаем значение пиковой мощности фундаментального солитона порядка I Вт. В эксперименте значение пиковой мощности изменялось в пределах форма импульсов и спектр измерялись на выходе световода. Поскольку прямое измерение формы пикосекундных импульсов затруднительно, обычно пользуются измерением автокорреляционной функции На

Рис. 5.6. Автокорреляционные функции (нижний ряд) и соответствующие спектры (всрхиий ряд) на выходе световода при различных значениях пиковой мощности на входе. Спектр и АКФ начального импульса показаны в прямоугольной рамке. Масштаб интенсивностей произвольный, так как все кривые были приведены к одной и той же высоте [39].

рис. 5.6 изображены автокорреляционные функции и спектры импульсов при разных уровнях входной мощности. Для сравнения там же показаны и спектр лазерных импульсов (без световода). Ширина спектра начальных импульсов соответствует практически спектрально-ограниченным импульсам без частотной модуляции.

При малых уровнях вводимой мощности импульсы при распространении испытывают дисперсионное уширение, что находится в согласии с результатами разд. 3.2. При возрастании вводимой мощности импульсы на выходе сужались; конечная длительность совпадала с начальной при значении вводимой мощности в Вт. Этот уровень мощности соответствует формированию фундаментального солитона; теоретически рассчитано значение 1 Вт. Налицо достаточно хорошее согласие, если учесть наличие ряда не очень хорошо известных отклонений от идеального случая. В частности, форма импульса на входе в световод не является точным гиперболическим секансом.

При более высоких уровнях вводимой мощности в форме импульса на выходе световода обнаруживается многопичковая структура. Например, при представляет собой трехпичковую структуру, которая соответствует расщеплению самого импульса на два, что аналогично поведению трехсолитонного импульса вблизи точки (см. рис. 5.4). Наблюдаемый спектр также имеет характерные особенности (рис 5.5) вблизи . Период солитона для экспериментальных параметров составляет 1,26 км. Таким образом, для использованного в эксперименте -метрового отрезка световода . Поскольку уровень мощности также практически в 9 раз превышает мощность фундамента чьного солитона, то данные на рис. 5.6 действительно соответствуют случаю Этот вывод подтверждается автокорреляционной функцией при Вт. Наблюдаемая пятипичковая структура соответствует расщеплению лазерного импульса на три, что соответствует предсказаниям солитонной теории для солитона четвертого порядка

Периодичность солитонов высших порядков означает, что такие импульсы должны восстанавливать первоначальную форму и спектр на расстояниях, кратных периоду солитона. Такое восстановление наблюдалось для солитонов второго и третьего порядков в экспериментах [40], где длина световода 1,3 км соответствовала примерно одному периоду солитона. В другом эксперименте [41] эффект сжатия солитонов высших порядков на начальном этапе распространения, изображенный на рис. 5.4 для случая наблюдался для значений вплоть до 13. Подробнее это обсуждается в гл. 6. Солитоны высших порядков также наблюдались на выходе лазера на красителе с синхронизацией мод на сталкивающихся пучках, работающего в видимом диапазоне (длина волны генерации 620 нм), посредством

внесения в лазерный резонатор оптических элементов с отрицательной дисперсией групповых скоростей [42]. В этой системе также наблюдались асимметричные солитоны второго порядка [43]. Пространственные моды нелинейного планарного волновода тоже могут быть интерпретированы как солитоны высших порядков [44].

Поскольку для формирования солитонов требуется отрицательное значение дисперсии групповых скоростей, солитоны не могут существовать в волоконных световодах на длинах волн, меньших длины волны нулевой дисперсии (~ 1,3 мкм). Тем не менее существование другого типа солитона, известного как «темный» солитон, было предсказано в [45] как решение уравнения (5.2.2) при условии Данный факт привлек значительное внимание [46 - 50]. Решение имеет вид отдельного провала на однородном фоне. Если наложить граничное условие, что стремится к конечной величине для больших значений то для нахождения солитонных решений первого и высших порядков можно пользоваться методом Фундаментальный солитон имеет вид

Поведение солитонов высших порядков в случае положительной дисперсии групповых скоростей коренным образом отличается от случая отрицательной [48]. Существование темных солитонов было подт верждено в экспериментах [49, 50]. В эксперименте [49] 26-пикосекундные импульсы (на 595 нм) с провалом в центре шириной распространялись по световоду длиной 52 м. В другом эксперименте [50] на вход 10-метрового световода поступали относительно длинные 100-пикосекундные импульсы с провалом шириной служащим темным импульсом. Импульсы на выходе имели параметры, предсказанные уравнением (5.2.2).

Интересной задачей также являет исследование распространения импульса вблизи длины волны нулевой хроматической дисперсии, так что . Тогда дисперсионные эффекты низшего порядка определяются членом с в разложении (2.3.23). Данный случай рассматривался в разд. 4.2. Динамика импульса определяется уравнением (4.2.5). Если пренебречь потерями в световоде и считать, что коэффициент положителен, это уравнение приобретает вид

где определяется как

Дисперсионная длина определена в формуле (3.3.3).

Рис. 5.7. Форма импульса и его спектр в точке при распространении на длине волны нулевой дисперсии импульса, имеющего форму гиперболического секанса и такую пиковую мощность, что Штриховые кривые представляют исходный импульс и его спектр (даны для сравнения)

Уравнение (5.2.25) трудно решить методом ОЗР. Численное решение показывает [51], что в случае начальный импульс, имеющий форму гиперболического секанса, преобразуется на длине в фундаментальный солитон, в котором содержится примерно половина энергии начального импульса. Оставшаяся доля энергии переносится осцилляпионной структурой у заднего фронта, постепенно рассеиваясь на распространении.

На рис 5.7 изображены форма импульса и его спектр при для случая также приведены данные для начального импульса при Самой замечательной особенностью является расщепление спектра на два ясно различимых пика [52]. Эти пики соответствуют двум самым удаленным от несущей частоты компонентам в спектре при ФСМ (см. рис. 4 2). Так как длинноволновая компонента лежит в области отрицательной дисперсии групповых скоростей, возможно формирование солитона в этой спектральной области. Энергия из другой спектральной компоненты рассеивается из-за того, что эта часть импульса распространяется в области положительной дисперсии. Именно задняя часть импульса и рассеивается при распространении, так как при ФСМ спектральные компоненты на заднем фронте сдвигаются в коротковолновую область. Из рис. 5.7 видно, что импульс имеет длинную осциллирующую огибающую в задней части, которая продолжает отделяться от переднего фронта с увеличением При из передней части импульса формируется фундаментальный солитон. Важно отметить, что, поскольку существует спектральное уширение из-за ФСМ, входной импульс в действительности не распространяется на длине волны нулевой дисперсии, даже если вначале было Фактически импульс создает себе

свою собственную через ФСМ. Эффективная величина определяется уравнением (4.2.7) и больше для импульсов с большими значениями пиковой мощности. Вообще говоря, солитонам на длине волны нулевой дисперсии требуется меньшая мощность, чем тем, которые распространяются в области отрицательной дисперсии групповых скоростей. Это видно из сравнения уравнений (5.2.3) и (5.2.26). Для достижения одинаковых значений и для случая длины волны нулевой дисперсии требуется мощность в Раз меньше. В обычном световоде для формирования -пикосекундного солитона на 1,3 мкм требуется в 100 раз меньшая мощность, чем на 1.55 мкм, если длина волны излучения в первом случае хорошо совпадает с длиной волны нулевой дисперсии [51].

В данном разделе были рассмотрены эффекты, связанные с кубическим членом нелинейной поляризации, записанным в виде (2.3.6). При очень больших уровнях мощности нелинейный отклик начинает насыщаться, поэтому необходимо включать члены высших порядков. Каплан [53] обобщил нелинейное уравнение Шредингера (5.2.5), заменив в нелинейном члене на произвольную функцию Оказывается, что при определенных условиях поведение солитона становится бистабильным. При заданном значении энергии импульса бистабильные солитоны могут распространяться в двух состояниях; при этом можно осуществлять переключение из одного состояния в другое [54]. Вопросы устойчивости бистабильных состояний привлекли большое внимание [55]. В волоконных световодах бистабильное поведение пока не наблюдали, поскольку для этого необходимы чрезвычайно высокие значения мощности. Для этой цели более подходящими могут быть среды с легко насыщающейся нелинейностью. В заключение отметим, что солитоны могут существовать в волноводах с пространственно-периодичной величиной показателя преломления, так как волна, распространяющаяся в такой среде, также описывается нелинейным уравнением Шредингера [56].