5.5. НЕЛИНЕЙНЫЕ ЭФФЕКТЫ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ

Свойства оптических солитонов, рассмотренные до сих пор в этой главе, основаны на упрощенном уравнении распространения (5.1.1). Как показано в разд. 2.3, в случае когда длительность импульса короче необходимо учитывать нелинейные и дисперсионные члены высших порядков и использовать уравнение (2.3.35). Необходимость учета дисперсии нелинейности (второй член в правой части) была осознана довольно давно [101-106]. Необходимость учесть эффект, связанный с конечным временем отклика нелинейности (последний член в правой части), стала очевидной, когда было открыто новое явление, известное как вынужденное комбинационное саморассеяние [107]. С тех пор нелинейным эффектам высшего порядка, возникающим из-за задержки нелинейного от клика в световоде, стали уделять значительное внимание [108 - 117]. В данном разделе рассмотрено влияние нелинейностей высших порядков на свойства солитонов.

В терминах безразмерных переменных определенных соотношениями уравнение (2.3.35) приобретает следующий

где предполагается, что импульс распространяется в области отрицательной дисперсии групповых скоростей полаг мы пренебрегаем потерями в световоде. Параметр определен в формуле (5.2.3). Параметры определяют соответственно эффекты дисперсии высшего порядка, дисперсии нелинейности и задержки нелинейного отклика. Их явное выражение:

Все три параметра изменяются обратно пропорционально длительности импульса; ими можно пренебречь при Они становятся заметными для фемтосекундных импульсов. Например, и тк для -фемтосекундного импульса распространяющегося на 1.55 мкм в обычном световоде из кварцевого стекла, если принять

Рассмотрим сначала влияние дисперсии нелинейности, определяемое параметром При условии и в уравнении (5.5.1) динамика импульса определяется следующим уравнением:

Как было показано в разд. 4.3, действие дисперсии нелинейности при отсутствии дисперсии групповых скоростей приводит к образованию ударной волны на заднем фронте импульса. Это обусловлено зависимостью групповой скорости от интенсивности: вершина импульса начинает двигаться медленнее, чем его края. Дисперсия групповых скоростей ослабляет укручение фронта волны, но из-за дисперсии нелинейности центр импульса все равно сдвигается. Это свойство проиллюстрировано рис. 5.16, где изображена форма импульса при и 10 для результат получен численным решением уравнения (5.5.3) при начальном условии Поскольку при вершина импульса движется медленнее, чем края, она сдвигается к заднему фронту. Задержка хорошо аппроксимируется выражением при Хотя при распространении импульс немного уширяется (примерно на 20% при он тем не менее сохраняет солитонную природу. Это позволяет предположить, что уравнение (5.5.3) имеет солитонное решение, к которому импульс асимптотически эволюционирует. Такое решение действительно

Рис. 5.16. Формы импульсов при для фундаментального солитона при учете дисперсии нелинейности Для сравнения штриховой кривой показана начальная форма импульса. Сплошные кривые совпадают с штриховой в том случае, когда

сушествует и имеет вид [102]

где М связано со сдвигом несущей частоты. В результате этого сдвига изменяется групповая скорость. Сдвиг вершины на рис. 5.16 как раз и обусловлен изменением групповой скорости. Явная форма зависит от М и других параметров: и В пределе она переходит в гиперболический секанс (5.2.15). Следует также отметить, что уравнение (5 5.3) может быть преобразовано в так называемое модифицированное нелинейное уравнение Шредингера (аналогичное (5.5.3), но без третьего члена), чьи солитоноподобные решения широко изучались в физике плазмы [118 121].

Действие дисперсии нелинейности на солитоны высших порядков знаменательно тем, что оно приводит к развалу таких солитонов на составные части; это явление называется распадом связанного состояния солитонов [104]. На рис. 5.17 изображен распад солитона второго порядка при При таком большом значении параметра два солитона полностью разделяются на расстоянии в два периода солитона и продолжают удаляться друг от друга при дальнейшем распространении по световоду. Качественно похожее поведение имеет место и при меньших значениях 5, за исключением того, что для распада требуется большее расстояние. Понять физику распада можно, используя метод ОЗР с дисперсией нелинейности, действующей как возмущение [36]. В отсутствие дисперсии нелинейности два солитона образуют связанное состояние, поскольку они распространяются с одинаковой скоростью (собственные

Рис. 5.17. Распад солитона второго порядка вызванный дисперсией нелинейности Показана динамика импульса на пяти периодах солитона.

значения имеют одинаковые действительные части). Эффект дисперсии нелинейности снимает вырождение так, что два солитона распространяются с различными скоростями. В результате они пространственно разделяются, и это разделение увеличивается практически линейно с расстоянием [106]. Отношение высот на рис. 5.17 практически равно 9, что находится в согласии с ожидаемым отношением где и -мнимые части собственных значений, определенных в разд. 5.2. Солитоны третьего и высших порядков демонстрируют похожую картину распада. В частности, солитон третьего порядка распадается на три солитона [106], высота их вершин также находится в согласии с теорией ОЗР

Действие дисперсии высшего порядка на распад солитона может быть учтено включением члена с третьей производной в уравнение (5.5.1) Качественно поведение остается тем же самым. Фактически дисперсия высшего порядка сама может приводить к распаду связанного состояния даже при отсутствии нелинейных эффектов высшего порядка при условии, что параметр 5 превышает пороговую величину [122]. Для солитона второго порядка пороговая величина но она уменьшается до 0,006 для Для обычных кварцевых световодов на длине волны 1,55 мкм 5 превышает 0,022 для импульсов короче Тем не менее этот порог может быть достигнут для импульсов длиннее в 10 раз, если использовать световод со смещенной дисперсией.

Эффект задержки нелинейного отклика описывается последним, пропорциональным членом в уравнении (5.5.1) На качественном Уровне влияние этого члена на распад аналогично действию дисперсии нелинейности. В частности, даже относительно небольшое

Рис. 5.18. Распад солитона второго порядка вызванный задержкой нелинейного отклика световода

значение приводит к распаду солитонов высших порядков [114, 117]. На рис. 5.18 изображен распад солитона второго порядка при Чтобы выделить особенности, связанные с задержкой нелинейного отклика, остальными эффектами высшего порядка пренебрегли, положив Сравнение рис. 5.17 и 5.18 показывает сходство и различие в картине распада, обусловленного двумя различными механизмами. Важное отличие заключается в том, что относительно меньшие по сравнению с значения тк могут вызвать распад связанного состояния на данном расстоянии. Например, если на рис. 5.17 взять то солитон не расщепляется в пределах Эта особенность указывает на то, что эффект тк на практике доминирует над дисперсией нелинейности.

Еще одно важное отличие рис. 5.17 от 5.18 заключается в том, что в случае дисперсии нелинейности оба солитона задерживаются, в то время как в другом случае малоинтенсивныи солитон ускоряется и оказывается на переднем фронте начального импульса. Физический смысл такого поведения можно понять из рис. 5.19, где дано сравнение спектра импульса при с исходным спектром солитона второго порядка, динамика которого представлена на рис. 5.18. Сдвинутый в длинноволновую область спектральный пик соответствует интенсивному солитону, сдвинутому вправо на рис. 5 18, в то время как спектральная компонента, сдвинутая в коротковолновую область, соответствует другому пику, сдвинутому влево на рис. 5.18. Поскольку коротковолновые компоненты распространяются быстрее чем длинноволновые, они сдвигаются вперед, в то время как остальные задерживаются по сравнению с начальным импульсом. Именно это и видно на рис. 5.18.

Наиболее важная особенность на рис. 5.19 значительный сдвиг солитонного спектра в длинноволновую область, примерно в 4 раза

превышающий начальную ширину спектра при Такой длинноволновый сдвиг действительно наблюдался в эксперименте [107], где -фемтосекундные импульсы распространялись по -метровому отрезку одномодового световода. Этот эффект называют самосдвигом частоты солитона (вынужденным комбинационным саморассеянием), поскольку он вызван самим импульсом. Попытка объяснить наблюдаемый длинноволновый едвш как воздействие задержки нелинейного отклика на распространение субпикосекундных импульсов была дана в [108] С физической точки зрения сдвиг в длинноволновую область можно объяснить, исходя из эффекта ВКР. Для импульсов короче начальная ширина их спектра достаточно велика для того, чтобы комбинационное усиление могло эффективно усиливать длинноволновые компоненты за счет коротковолновых, действующих в качестве накачки (см. гл. 8). Этот процесс продолжается по длине световода так, что энергия из длинноволновых компонент передается к коротковолновым. Такая перекачка энергии проявляется в виде длинноволнового сдвига солитонного спектра, увеличивающегося с расстоянием. Простая модель [108] показывает, что длинноволновый сдвиг зависит от длительности импульса как Такой вывод также можно сделать, исходя из рис. 5.18, где задержка солитона возрастает как Так как период солитона пропорционален То изменяется как Поскольку прямо пропорционально длинноволновому сдвигу, то последний изменяется гак же как

В общем случае для импульсов короче в уравнение (5.5.1) необходимо включать все три члена высшего порядка, поскольку здесь уже нельзя пренебречь всеми тремя параметрами [114].

Рис. 5 19. Спектр импульса при для тех же параметров, что и на рис. 5.18. Штриховой кривой показан спектр начального импульса

Рис. 5.20. Динамика формы импульса и его спектра для случая Остальные параметры:

На рис. 5.20 изображены формы импульсов и их спектры для случая солитона второго порядка при Эти величины примерно соответствуют -фемтосекундному импульсу распространяющемуся по обычному кварцевому световоду на длине волны 1,55 мкм. Распад солитона происходит на одном периоде солитона см); при этом основной пик сдвигается к заднему фронту со значительной скоростью, увеличивающейся с расстоянием. Этот сдвиг обусловлен уменьшением групповой скорости, которое в свою очеречь вызвано длинноволновым сдвигом спектрального максимума солитона. Если использовать для преобразования результатов рис. 5.20 в физические единицы, то -фемтосекундный импульс сдвигается почти на или 20% своей несущей частоты при распространении на см.

В случае когда входной пиковой мощности достаточно для возбуждения солитона высшего порядка, так что спектр импульса трансформируется в несколько компонент, каждая из которых соответствует фундаментальному солитону, возникающему при расщеплении исходного импульса. Подобная картина наблюдалась в эксперименте [115], где -фемтосекундные импульсы с пиковой мощностью до распространялись в световодах длиной до 1 км. Самый длинноволновый пик связывался с солитоном, чья

длительность была наименьшей после а затем нарастала при увеличении длины световода. Экспериментальные результаты находились в согласии с предсказаниями уравнения (5.5.1). Данный случай рассмотрен в разд. 8.4 в контексте солитонных эффектов при вынужденном комбинационном рассеянии. Там также описываются комбинационные солитонные лазеры.

Хотя уравнение (5.5.1) и описывает успешно распространение фемтосекундных импульсов в волоконных световодах, оно является лишь приближенным. Как показано в разд. 2.3, при более точном подходе необходимо использовать уравнение (2.3.27), где в учитывают зависящий от времени отклик нелинейности световода. В простом приближении предполагают, что подчиняется уравнению (2.3.38), соответствующему экспоненциальному затуханию нелинейного отклика со временем релаксации Численные расчеты показывают [112], что картина динамики качественно похожа на изображенную на рис. 5.20. В частности, найдено, что длинноволновый сдвиг солитона возрастает линейно по Численная модель использовалась для подгонки результатов эксперимента [113], где -фемтосекундные импульсы распространялись в световоде со смещенной дисперсией. Эксперимент позволил оценить время релаксации величиной Однако понимание того, как ведет себя солитон в фемтосекундном диапазоне длительностей, еще далеко от полного.