4.3. ОБРАЗОВАНИЕ УДАРНОЙ ВОЛНЫ ОГИБАЮЩЕЙ

До сих пор обсуждение ФСМ было основано на упрощенном уравнении (2.3.36), которое учитывало только эффекты низшего порядка ФСМ и ДГС. В случае сверхкоротких импульсов (длительностью необходимо учитывать дисперсионные и нелинейные эффекты высшего порядка, используя уравнение (2.3.35). Важным нелинейным эффектом высшего порядка является образование ударной волны огибающей, определяемое вторым членом в правой час этого уравнения. Этот эффект обусловлен зависимостью групповой скорости от интенсивности [35-38]. Впервые его влияние на ФСМ было рассмотрено в жидких нелинейных средах [2] и впоследствии расширено на случай распространения импульсов в волоконных световодах [39 42]. Образование ударной волны ведет к асимметрии ФСМ-уширения спектра [15] и в этой связи привлекло большое внимание. В этом разделе рассматривается влияние данного эффекта на форму и спектр сверхкоротких импульсов, распространяющихся в одномодовых световодах.

Если пренебречь в уравнении (2.3.35) последним членом, предположив, что нелинейный отклик мгновенный, и воспользоваться уравнением (3.1.3) для нормированной амплитуды то можно получить следующее уравнение:

где три характерные длины, которые были введены в гл. 3; они определяются как

Образование ударной волны описывается последним членом уравнения (4.3.1). параметр 5 определяется как

I де Топт период оптической волны . В видимой области спектра Тот — поэтому — малая величина, превышающая 0,01 только при

Прежде чем рассматривать численные решения уравнения (4.3.1), поучительно рассмотреть сначала бездисперсионный случай, положив . В этом частном случае уравнение (4.3.1) можно решить аналитически [37, 40]. Для простоты мы пренебрежем потерями в световоде Если определить нормированную длину как уравнение (4.3.1) принимает вид

Подставив в уравнение и разделив действительную и мнимую части, получим

Так как уравнение для интенсивности (4.3.5) оказывается не связанным с уравнением для фазы (4.3.6), его можно легко решить методом характеристик. Общее решение имеет вид [37, 39]

где используется начальное условие

описывает начальную форму импульса при Из уравнения (4.3.7) следует, что каждая точка движется вдоль прямой линии от начального значения и наклон этой линии зависит от интенсивности. Это ведет к искажению формы импульса. Например, рассмотрим случай гауссовского импульса

Из уравнений (4.3.7) и (4.3.9) находим, что форма импульса после прохождения расстояния принимает вид

Чтобы получить форму импульса для некоторой величины нужно выразить из этого неявного выражения для каждого На рис. 4.15 показаны рассчитанные формы импульсов для случаев и 0,2 при Распространяясь в световоде, импульс становится несимметричным, его максимум смещается на задний фронт. В результате задний фронт становится все круче и круче с увеличением . С физической точки зрения групповая скорость зависит от интенсивности таким образом, что пик импульса движется с меньшей скоростью, чем его крылья.

Укручение заднего фронта импульса в конце концов приводит к образованию оптической ударной волны аналогично тому, как развивается акустическая ударная волна на переднем фронте звуковой волны [37]. Критическую длину формирования ударной волны огибающей можно определить из уравнения (4.3.10); устремляя в точке образования ударной волны к бесконечности, получаем [40]

Рис. 4.15. Образование ударной волны огибающей гауссовского импульса в бездисперсионном случае. Штриховой линией показана форма начального импульса при Сплошными линиями показана деформация его формы при распространении.

Рис. 4.16. Спектр гауссовского импульса на расстоянии где нелинейная длина. Дисперсия нелинейности вызывает асимметрию спектра, уширенного ФСМ. Пренебрегается эффектом ДГС.

Подобное соотношение остается справедливым и для импульса в форме гиперболического секанса с той лишь разницей, что численный коэффициент 0.39 следует заменить на 0,43. Для пикосекундных импульсов с длина км. Однако для фемтосекундных импульсов обычно становится . В результате значительное укручение волнового фронта импульса может иметь место уже на длине в несколько сантиметров. Оптическая ударная волна, соответствующая бесконечно резкому заднему фронту, никогда не формируется на практике из-за ДГС; чем круче становится волновой фронт импульса, тем большее значение имеет дисперсионный член в уравнении (4.3.1), и его нельзя игнорировать. Влияние ДГС на укручение волнового фронта будет рассмотрено в этом разделе несколько ниже. На длину формирования ударной волны также оказывают влияние и потери. В бездисперсионном случае потери световода о задерживают образование оптической ударной волны, а если то ударная волна вообще не формируется [40].

Укручение волнового фронта также оказывает воздействие на спектральное уширение, вызываемое ФСМ. В бездисперсионном случае фазу можно получить аналитически, решая уравнение (4.3.6). Спектр можно получить, взяв фурье-преобразование функции или воспользовавшись соотношением

На рис. 4.16 показан спектр, вычисленный для случая Самая примечательная черта этого спектра его асимметрия: пиковая интенсивность больше для красных компонент спектра, чем для синих. Другая особенность - это большее уширение спектра в синей области (часто говорят «в антистоксовой области», используя терминологию, принятую для вынужденного

комбинационного рассеяния), чем в красной (стоксовой) области. Эти две особенности спектра качественно объясняются изменениями формы импульса вследствие укручения волнового фронта. Во-первых, спектр асимметричен, так как асимметрична форма импульса. Во-вторых, более крутой задний фронт импульса дает большее уширение спектра в синей области, так как из-за ФСМ синие компоненты образуются на заднем фронте (рис. 4.1). При отсутствии укручения волнового фронта при параметрах, соответствующих рис. 4.16, и формируется шестипиковый ФСМ-спектр. Из-за укручения волнового фронта синяя часть спектра вытягивается. Амплитуда высокочастотных компонент спектра уменьшается, так как та же энергия теперь распределяется в более широкой спектральной области.

На спектр, показанный на рис. 4.16, сильное влияние оказывает ДГС, которую нельзя игнорировать, если в световоде распространяются сверхкороткие импульсы. В этом случае эволюцию импульса исследуют методом численного решения уравнения (4.3.1). На рис. 4.17 показаны формы импульса и спектры при и 0,4 для случая импульса, распространяющегося в области нормальной дисперсии на входе был гауссовский импульс без частотной модуляции. Параметр определяемый уравнением (4.2.3), принимается равным 10, что соответствует Чтобы легче

Рис. 4.17. Формы импульсов и их спектры при равном 0,2 (верхний ряд) и 0,4 (нижний ряд), в случае гауссовского импульса, распространяющегося в области нормальной дисперсии световода. Остальные параметры

было сравнивать результат с бездисперсионным случаем, параметр принимается равным 0,01. Форма импульса и его спектр на верхней части рис 4 17 при в бездисперсионном случае соответствуют рис. 4.15 и 4.16. Из непосредственного сравнения хорошо видно, что ДГС сильно влияет на форму импульса и спектр даже при длине распространения меньше дисперсионной длины . В нижней части рис. 4.17 показаны форма импульса и спектр при налицо качественные изменения, вызываемые ДГС. Для этих величин длина распространения превышает критическую длину формирования ударной волны определяемую уравнением (4.3.11). Именно ДГС ослабляет ударную волну, уширяя крутой задний фронт, что ясно видно из асимметрии формы импульса на рис. 4.17. Хотя на спектре нет глубоких осцилляций (см. рис. 4.16 для бездисперсионного случая), удлиненный хвост в синей области означает укручение волнового фронта. При увеличении длины распространения импульс продолжает уширяться, а спектр почти не изменяется.

Эффект образования ударной волны огибающей наблюдался экспериментально [2, 4] в жидкостях и твердых телах как большее уширение спектра в синей области по сравнению с красной. В этих ранних экспериментах ДГС играет относительно малую роль и структура спектра похожа на ту, что показана на рис. 4.16. В случае световодов эффект ДГС достаточно сильный, так что в эксперименте

Рис. 4.18. Экспериментально наблюдаемые спектры -фемтосекундных входных импульсов на выходе из -миллиметрового световода Указаны пиковые значения интенсивностей входных импульсов. Верхний спектр соответствует значению для параметров эксперимента [47].

должен наблюдаться спектр, как на рис. 4.17. В экспериментах по сжатию импульсов [47] 40-фемтосекундные оптические импульсы на длине волны 620 нм проходили через световод длиной 7 мм. На рис. 4.18 показаны экспериментальные спектры на выходе из световода при разных величинах пиковых интенсивностей. Спектр асимметрично уширяется, и хвост спектра в синей области длиннее, чем в красной, что объясняется укручением волнового фронта. В эксперименте параметр и дисперсионная длина была см, если считать (соответствующее FWHM 40 фс) для гауссовского импульса. Полагая эффективную площадь сердцевины равной найдем, что пиковая мощность, соответствующая верхней кривой на рис. 4.18, равна 200 кВт. Поэтому нелинейная длина мм и Уравнение (4.3.1) можно использовать для численного моделирования эксперимента, используя приведенные выше параметры. Учет вообще говоря, необходим [42], чтобы воспроизвести детальную структуру наблюдавшихся в эксперименте спектров на рис. 4.18.

Уравнение (4.3.1) предполагает мгновенность нелинейного отклика и справедливо, только если время отклика много меньше длительности импульса Влияние конечного времени отклика на ФСМ было исследовано, в частности, для жидких нелинейных сред, таких, как где и может быть больше длительности пикосекундных импульсов [2, 5]. В случае волоконных световодов из-за электронной природы нелинейности. Если длительности оптических импульсов необходимо учитывать конечность времени нелинейного отклика. В самой простой модели предполагается, что нелинейный отклик спадает экспоненциально, и эволюция импульса изучается на основе уравнений (2.3.37) и (2.3.39) [48]. Несколько другой подход использовать вместо уравнения (4.3.39) уравнение (2.3.35) [49]. Связь и справедливость двух подходов обсуждались в разд. 2.3. Влияние конечного времени отклика наиболее примечательно в с солитонами; оно приводит к распаду солитонов [48, 49] и смещению частоты [50, 51]. Эти эффекты будут рассмотрены в гл. 5.