10.2. ПАРАМЕТРИЧЕСКОЕ УСИЛЕНИЕ

Частично вырожденное четырехволновое смешение приводит к переносу энергии из волны накачки в две волны с частотами, смещенными от частоты накачки в стоксову и антистоксову области на величину даваемую выражением (10.1.10). Если в световод вводится только излучение накачки и выполняется условие согласования фаз, то генерация стоксовой и антистоксовой волн с частотами может инициироваться шумами подобно тому, как это происходит при ВКР и ВРМБ. С другой стороны, если в световод вместе с накачкой вводится слабый сигнал частоты он усиливается, причем одновременно генерируется новая волна частоты Этот процесс называют параметрическим усилением, В данном разделе выводится выражение для параметрического усиления. причем рассматривается нелинейное взаимодействие четырех волн. Рассматривается общий случай

В качестве исходного берегся волновое уравнение (2.3.1) для полного электрического поля , где дается выражением (10.1.1). Подставим в волновое уравнение выражения (10.1.2) и (10.1.4) вместе с аналогичным выражением для линейной части поляризации. Предположим, что излучение непрерывно или квазинепрерывно, да зависимостью компонент поля от времени можно пренебречь. Пространственная структура поля учитывается выражением

где пространственное распределение поля по сечению световода [12]. Эволюция амплитуд подчиняется системе четырех связанных уравнений, которые в параксиальном приближении записываются следующим образом [30]:

где расстройка волновых векторов дается выражением

величины от до это эффективные показатели преломления для соответствующих четырех мод световода. Заметим, что й, и могут не совпадать, если волны накачки и даже совпадающие по частоте, распространяются в разных модах. Интеграл перекрытия дается выражением (1.7.16), а новый интеграл перекрытия выражением [12]

где угловые скобки означают усреднение по поперечным координатам При выводе уравнений (10.2.2) (10.2.5) мы пренебрегли зависимостью от частоты. Параметр это нелинейный показатель преломления, определенный выражением (2.3.13), где соответствует эффективному показателю преломления данной моды. (Черта сверху введена для отличия от возникающего в (10.1.9)).

Уравнения (10.2.2) - (10.2.5) являются общими в том смысле, что они включают эффекты ФСМ, ФКМ, истощение накачки и четырехволновое смешение: решаются они, вообще говоря, только численно. Однако для понимания физики описываемых данными уравнениями процессов полезно рассмотреть упрощенную ситуацию когда волны накачки значительно интенсивнее стоксовой и антистоксовой волн и остаются неистощенными в процессе взаимодействия. Для дальнейшего упрощения предположим, что все интегралы перекрытия приблизительно одинаковы, т.е.

где - эффективная площадь сердцевины, введенная в разд. 2.3. Это приближение справедливо для одномодовых световодов. Легко Расширить анализ на случай несовпадающих интегралов перекрытия [12]. Введем коэффициент нелинейности используя определение

где у некоторое среднее значение. (Последнее равенство справедливо, если пренебречь разницей оптических частот.) Решения уравнений (10.2.2) и (10.2.3) можно записать в виде

где - исходные мощности волн накачки в точке Это решение идентично тому, что было получено в разд. 7.3, и показывает, что в отсутствие истощения волны накачки распространяются без искажений, если не считать возмущений фазы, возникающих в результате ФСМ и ФКМ. Подставляя (10.2.10) и (10.2.11) в (10.2.4) и (10.2.5), получаем

где

Теперь введем

для и 4. Используя соотношения (10.2.12) -(10.2.15), получаем

где

Уравнения (10.2.16) и (10.2.17) определяют рост стоксовой и антистоксовой волн, возникающих в результате четырехволнового смешения. Их общее решение записывается в виде [12]

где определяются из граничных условий, а коэффициент параметрического усиления дается в виде

Здесь введены параметры

— суммарная начальная мощность накачки.

При выводе выражения для параметрического усиления предполагалось, что две волны накачки различимы. Если же они неразличимы ни по частоте, ни по поляризации и пространственной структуре, и сумме (10.1.2) нужно рассматривать только три члена. Коэффициент параметрического усиления будет по-прежнему даваться выражением (10.2.21), только в этом случае а у. заменяется на

На рис. 10.1 показана зависимость от для нескольких значений Усиление максимально при или Область, в которой существует усиление, определяется неравенством Все эти свойства следуют из выражений (10.2.21) и (10.2.23). Смещение максимума усиления от точки вызвано вкладом ФСМ и ФКМ в разницу фаз в уравнении (10.2.23). Это смещение меньше, если в процессе участвуют две различные волны накачки.

Интересно сравнить коэффициенты параметрического и ВКР-усиления [7]. Из (10.2.21), взяв можно получить выражение для максимального коэффициента параметрического усиления:

Рис. 10.1. Зависимость параметрического усиления от расстройки волновых векторов для нескольких значений мощности накачки Смешение максимума усиления от точки обусловлено эффектами ФСМ и ФКМ.

где у взято из выражения (10.2.9), дР определяется выражением

а длина волны накачки Приняв получим м/Вт. Это приблизительно в 2 раза больше, чем максимальное значение (см. рис. 8.1). Таким образом, пороговая мощность четырехволнового смешения меньше пороговой мощности ВКР, но только если выполняется условие фазового синхронизма. На практике, однако, в длинных световодах доминирует ВКР. Это происходит из-за того, что в длинном световоде условие синхронизма трудно выполнить по всей длине из-за вариаций диаметра сердцевины. Длина когерентности определяется как

где максимальная допустимая расстройка волновых векторов. Заметное четырехволновое смешение происходит на длине Полоса параметрического усиления обсуждается в разд. 10.4.1.