Глава 4. ФАЗОВАЯ САМОМОДУЛЯЦИЯ (ФСМ)

Интересным проявлением зависимости показателя преломления нелинейной среды от интенсивности является фазовая самомодуляция (ФСМ) явление, которое ведет к спектральному уширению оптических импульсов [1 -9]. ФСМ это аналог самофокусировки, но развивающийся во времени. В самом деле, он впервые наблюдался в связи с изучением нестационарной самофокусировки оптических импульсов, распространяющихся в ячейке, заполненной . Используя пикосекундные импульсы, Альфано и Шапиро наблюдали ФСМ в твердых телах и стеклах [4]. Самые первые наблюдения ФСМ в волоконных световодах были проведены с использованием волокон, сердцевина которых была заполнена Систематическое изучение ФСМ в кварцевых световодах было проведено Столеном и Лином [9]. В этой главе ФСМ обсуждается применительно к оптическим волокнам, в которых значительную роль играет дисперсия групповых скоростей (ДГС). В разд. 4.1 мы рассматриваем случай чистого эффекта ФСМ, пренебрегая влиянием ДГС. Совместное действие ДГС и ФСМ рассматривается в разд. 4.2; особенно подчеркивается возникновение частотной модуляции из-за ФСМ. В разд. 4.3 обсуждаются нелинейные эффекты высших порядков, такие, как эффект самоукручения волнового фронта импульса, возникающий из-за зависимости групповой скорости от интенсивности [2].

4.1. СПЕКТРАЛЬНОЕ УШИРЕНИЕ ПОД ДЕЙСТВИЕМ ФСМ

Полное описание ФСМ в световодах требует численного решения уравнения распространения (2.3.31), полученного в разд. 2.3. Для импульсов длительностью можно использовать более простое уравнение (2.3.36). Если пренебречь влиянием ДГС на ФСМ, можно еще более упростить уравнение (2.3.36), положив равным нулю. Условия, при которых можно пренебречь ДГС, были получены в разд. 3.1, где для импульса вводятся нелинейная и дисперсионная длины (см. уравнение (3.1.5)). Длительность импульса и пиковая мощность должны быть такими, чтобы где длина световода. Из уравнения (3.1.7) следует, что ДГС можно

пренебречь для относительно широких импульсов с большой пиковой мощностью

Если использовать нормализованную амплитуду , определенную в уравнении (3.1.3), то уравнение распространения (3.1.4) в приближении принимает вид

где а учитывает оптические потери в световоде. Нелинейная длина

где пиковая мощность и у-параметр, связанный с нелинейным показателем преломления уравнением (2.3.28). Решение уравнения (4.1.1) имеет вид

где ) - амплитуда поля при и

где

Из уравнения (4.1.3) следует, что ФСМ вызывает набег фазы, зависящий от интенсивности, тогда как форма импульса, определяемая остается неизменной. Нелинейный набег фазы ), согласно уравнению (4.1.4), увеличивается с увеличением длины распространения Величина гэфф играет роль эффективной длины, которая из-за потерь меньше z. В световоде без потерь Максимальный набег фазы возникает в центре импульса при Ввиду того что нормирована так, что

Физический смысл нелинейной длины ясен из уравнения (4.1.6): это эффективная длина распространения, на которой Для типичного значения нелинейного параметра в видимом диапазоне при мощности и уменьшается обратно пропорционально с увеличением мощности.

Уширение спектра из-за ФСМ возникает вследствие зависимости от времени, так как изменение фазы импульса во времени означает сдвиг мгновенной оптической частоты от основной частоты при перемещении вдоль импульса. Изменение частоты определяется уравнением

где знак минус возникает вследствие выбора в уравнении (2.3.2). Как отмечалось в разд. 3.2, изменение во времени можно рассматривать как частотную модуляцию импульса. Частотная модуляция наводится ФСМ и растет по величине с длиной распространения. Другими словами, генерация новых частотных компонент происходит непрерывно по мере распространения по световоду, вызывая уширение спектра по отношению к его начальной ширине при

Степень спектрального уширения зависит от формы импульса. Рассмотрим, например, случай супергауссовского импульса, начальное поле которого задается уравнением (3.2.23). Частотная модуляция вследствие ФСМ для такого импульса будет тогда

Параметр для гауссовского импульса равен 1. Для больших величин начальный импульс приближается к прямоугольной форме, увеличивая крутизну своих переднего и заднего фронтов. На рис. 4.1 показаны изменения нелинейного набега фазы и частоты вдоль импульса при в случаях гауссова и супергауссова импульсов. Так как прямо пропорционален в уравнении (4.1.4), то его изменение во времени точно совпадает с формой интенсивности импульса. Изменение во времени

Рис. 4.1. Изменение во времени набега фазы и частотной модуляции наводимой ФСМ Для гауссовского (штриховая линия) и супергауссовского (сплошная линия) импульсов.

частотной модуляции имеет несколько интересных особенностей. Во-первых, отрицательно на переднем фронте (красное смещение) и становится положительным на заднем фронте (синее смещение). Во-вторых, частотная модуляция линейна и положительна в большой центральной части гауссовского импульса. В-третьих, частотная модуляция значительно больше для импульсов с более крутыми фронтами. В-четвертых, поведение супергауссовского импульса отличается от поведения гауссовского, так как частотная модуляция на нем появляется только на склонах импульса и не имеет линейного участка.

Оценить величину спектрального уширения, вызываемого ФСМ, можно на основе пиковых величин (см. рис. 4.1). Количественно эти пиковые значения можно найти, вычисляя максимумы в уравнении (4.1.8). Полагая первую производную по времени равной нулю, находим максимальное значение

где определено в уравнении (4.1.6), константа равна

Значение слабо зависит от да; при и уменьшается до 0,74 при увеличении т. Чтобы получить коэффициент уширения спектра, нужно связать начальную ширину спектра Лео и длительность . В случае гауссовского импульса без частотной модуляции Лео (уравнение (3.2.16)), где Лео полуширина по уровню 1/е. Уравнение (4.1.9) тогда принимает вид

Из этого уравнения следует, что коэффициент уширения спектра приблизительно равен величине максимального набега фазы фмас-В случае супергауссовского импульса оценить Лео трудно из-за того, что его спектр негауссовский. Тем не менее если предположить, что Лео приблизительно равно Т, 1, где - время нарастания импульса, определяемое уравнением (3.2.24), то из уравнения (4.1.9) следует, что коэффициент уширения также равен максимальному фазовому набегу фмакс. ФСМ может значительно уширить спектр, так как можно достичь фмакс . В случае интенсивных сверхкоротких импульсов уширенный спектр может иметь ширину и более [4]; это явление иногда называют генерацией суперконтинуума.

Действительную форму спектра импульса можно получить, выполнив обратное преобразование Фурье уравнения (4.1.3) следующим образом:

Рис. 4.2. Рассчитанное ФСМ-уширение спектра гауссовского импульса без частотной модуляции. На спектрах указаны максимальные набеги фазы соответствующие пику импульса [9].

В общем случае спектр зависит не только от формы импульса, но и от начальной частотной модуляции импульса. На рис. 4.2 показаны спектры гауссовских импульсов без начальной частотной модуляции для нескольких величин максимального набега фазы фмакс. При фиксированной длине световода фмакс линейно зависит от пиковой мощности в соответствии с уравнением (4.1.6). Таким образом, эволюцию спектров, показанную на рис. 4.2, можно наблюдать экспериментально, увеличивая пиковую мощность. На рис. 4.3 изображены экспериментальные спектры импульса (близкого к гауссовскому, излучаемого аргоновым лазером, после прохождения световода длиной с размером сердцевины 3.35 мкм [9]. На спектрах обозначена величина для каждого случая, что дает возможность сравнивать их с вычисленными спектрами (рис. 4.2). Небольшая асимметрия, наблюдаемая в эксперименте, может быть связана с асимметрией формы входного импульса [9]. Видно полное совпадение результатов теории и эксперимента.

Наиболее характерной особенностью спектрального уширения, вызываемого ФСМ (рис. 4.2 и 4.3), является осциллирующая структура в центральной части спектра. Как правило, спектр состоит из многих пиков, крайние пики - наиболее интенсивные. Число пиков линейно зависит от фмакс. Возникновение осцилляций можно объяснить на основе рис. 4.1, где показана зависимость частотной модуляции, наводимой ФСМ, от времени. Одна и та же частотная модуляция наблюдается при двух значениях Т, т. е. импульс имеет одинаковую

Рис. 4.3. Экспериментальные спектры импульса, близкого по форме к гауссовскому, на выходе из -метрового световода. На спектрах указаны максимальные набеги фазы линейно зависящие от пиковой мощности импульса [9].

мгновенную частоту в двух разных точках импульса. На качественном уровне эти две точки можно представить как две волны на одной частоте, но с разными фазами, которые могут интерферировать конструктивно или деструктивно в зависимости от их относительной разности фаз. Многопиковая структура спектра импульса-результат такой интерференции [1]. Математически в фурье-интеграл (уравнение (4.1.12)) наибольший вклад вносят именно те два значения времени, при которых мгновенная частота одна и та же. Эти вклады, будучи комплексными величинами, могут складываться в фазе или в противофазе. На самом деле, можно воспользоваться методом стационарной фазы, чтобы получить аналитическое выражение для верное при больших значениях Из этого выражения следует, что число пиков на ФСМ-уширенном спектре импульса приближенно можно выразить следующим соотношением [3]:

Уравнение (4.1.13) вместе с уравнением (4.1.11) можно использовать для оценки начальной ширины спектра или длительности

импульса, если он не обладал частотной модуляцией [6]. Однако такой метод является точным, если . Более точную меру спектрального уширения можно получить с использованием среднеквадратичной ширины спектра определяемой уравнением

где угловые скобки обозначают среднее по ФСМ-уширенному спектру, определяемому уравнением (4.1.12). Более конкретно можно записать, что

Используя процедуру, подобную той, что применялась в разд. 3.3, можно получить коэффициент спектрального уширения

где -начальная среднеквадратичная ширина спектра.

Как упоминалось выше, следует ожидать зависимости ФСМ-уширения спектра от формы импульса и начальной частотной модуляции, если таковая имеется. На рис. 4.4 сравниваются спектры гауссовского и супергауссовского импульсов полученные численным интегрированием с использованием уравнений (3.2.23) и (4.1.12).

Рис. 4.4. Сравнение ФСМ-уширения спектров для случаев гауссовского и супергауссовского импульсов без начальной частотной модуляции при пиковой мощности, соответствующей Начальный спектр расположен на несущей частоте

Рис. 4.5. Влияние начальной частотной модуляции на ФСМ-уширение спектров гауссовского импульса при С = 5 (положительная частотная модуляция) и (отрицательная частотная модуляция). Эти спектры следует сравнить с левым спектром на рис. 4.4. где Во всех случаях

В обоих случаях предполагается, что начальный импульс не имеет частотной модуляции Длина волокна и пиковая мощность подбираются таким образом, чтобы фтах Качественное различие между двумя спектрами можно пояснить на основании рис. 4.1, где была показана частотная модуляция, наводимая ФСМ, для гауссовского и супергауссовского импульсов. Область частот, где расположен спектр супергауссовского импульса, почти в три раза шире из-за того, что максимальная частотная модуляция, определяемая уравнением (4.1.9), в случае супергауссовского импульса почти в три раза больше. Несмотря на то, что каждый из спектров на рис. 4.4 имеет 5 максимумов в соответствии с уравнением (4.1.13), в случае супергауссовского импульса большая часть энергии остается в центральном пике. Это происходит потому, что частотная модуляция почти равна нулю в центральной части супергауссовского импульса (рис. 4.1) вследствие того, что его интенсивность почти однородна при Частотная модуляция возникает главным образом вблизи переднего и заднего фронтов. С увеличением крутизны фронтов хвосты спектра на рис. 4.4 расширяются на больший частотный диапазон, но в то же время они несут меньше энергии, так как частотное модулирование будет возникать в меньшей временной области.

Начальная частотная модуляция также может приводить к существенным изменениям спектров импульсов, уширенных вследствие ФСМ. Это иллюстрируется рис. 4.5, где показаны спектры гауссовского импульса с положительной и отрицательной частотными модуляциями в уравнении при таких же условиях, что и на

рис. 4.4, т. е. . Сравнение этих спектров со спектром гауссовского импульса без частотной модуляции (левая часть рис. 4.4) показывает, что начальная частотная модуляция может привести к качественным изменениям в спектральном уширении, вызываемом ФСМ. Положительная частотная модуляция увеличивает число максимумов на спектре, тогда как в случае отрицательной частотной модуляции (ЧМ) имеет место обратное. Это объясняется тем, что частотная модуляция, наводимая ФСМ, линейна и положительна (частота увеличивается с увеличением Т) в центральной части импульса (см. рис. 4.1). Таким образом, она складывается с начальной частотной модуляцией при приводя к увеличению осцилляций. В случае два вклада в частотную модуляцию имеют разные знаки в центре импульса. Крайние максимумы на рис. 4.5 для возникают вследствие остаточной частотной модуляции на переднем и заднем фронтах.