Глава 5. ОПТИЧЕСКИЕ СОЛИТОНЫ

Нелинейные свойства оптических световодов самым ярким образом проявляются в области аномальной (отрицательной) дисперсии. Здесь могут существовать так называемые солитоны образования, обусловленные совместным действием дисперсионных и нелинейных эффектов. Сам термин «солитон» относится к специальному типу волновых пакетов, которые могут распространяться на значительные расстояния без искажения своей формы и сохраняются при столкновениях друг с другом. Солитоны изучаются также во многих других разделах физики [1-5]. Солитонный режим распространения в волоконных световодах интересен не только как фундаментальное явление, возможно практическое применение солитонов в волоконно-оптических линиях связи. В данной главе изучается распространение импульсов в области отрицательной дисперсии групповых скоростей, особое внимание уделяется солитонному режиму распространения. В разд. 5.1 рассматривается явление модуляционной неустойчивости. Показано, что при наличии нелинейной фазовой самомодуляции (ФСМ) стационарная гармоническая волна неустойчива относительно малых возмущений амплитуды и фазы. В разд. 5.2 обсуждается метод обратной задачи рассеяния (ОЗР), который может быть использован для нахождения солитонных решений уравнения распространения. Здесь же рассматриваются свойства так называемого фундаментального солитона и солитонов высших порядков. Следующие две главы посвящены применению солитонов в некоторых системах. В разд. 5.3 рассматривается солитонный лазер; разд. 5.4 посвящен использованию солитонов в волоконно-оптических линиях связи. Нелинейные эффекты высших порядков, такие, как дисперсия нелинейности и задержка по времени нелинейного отклика, рассматриваются в разд. 5.5.

5.1. Модуляционная неустойчивость

Во многих нелинейных системах стационарное волновое состояние оказывается неустойчивым: совместное действие нелинейных и дисперсионных эффектов приводит к его модуляции [6-31]. Такое I явление, называемое модуляционной неустойчивостью,

исследовалось в самых разных областях физики: гидродинамике [7, 8], нелинейной оптике [9 11], физике плазмы [12 15]. Что касается волоконной оптики, то для наблюдения модуляционной неустойчивости требуется отрицательная дисперсия; сам эффект проявляется как распад непрерывной или квазиненрерывной периодической волны на последовательность сверхкоротких импульсов [16-23]. Отрицательная дисперсия необходима и для существования оптических солитонов. В действительности оба этих явления тесно связаны, что было отмечено уже в ранних работах [6 11]. В данном разделе явление модуляционной неустойчивости рассматривается как введение в теорию солитонов.

Вначале рассмотрим упрощенное уравнение распространения (2.3.36). Если пренебречь потерями, уравнение приобретает вид

и в литературе, посвященной солитонному режиму распространения, называется нелинейным уравнением Шредингера [1 5]. Как уже обсуждалось в разд. 2.3, - амплитуда огибающей волнового пакета. величина дисперсии групповых скоростей, у параметр нелинейности при ФСМ. В случае непрерывного излучения амплитуда А в начале световода не зависит от Т. Предполагая, что функция продолжает оставаться независимой от времени Т при распространении по световоду, мы можем получить стационарное решение уравнения (5.1.1)

где - мощность излучения при фазовый сдвиг, определяемый выражением

Выражение (5.1.2) показывает, что непрерывное излучение должно распространяться по световоду без изменения, за исключением дополнительного фазового сдвига, зависящего от интенсивности. (При наличии потерь в световоде мощность излучения, естественно, Уменьшается.)

Выясним вопрос об устойчивости стационарного решения (5.1.2). Для этого рассмотрим малое возмущение стационарного решения

и исследуем динамику малого возмущения ). Подставляя (5.1.4) в (5.1.1) и линеаризуя по а. получаем

Представим общее решение в виде

где К и П-волновое число и частота возмущения Уравнение (5.1.5) переходит в систему двух однородных уравнений для Эта система имеет нетривиальное решение только в том случае, если К и П удовлетворяют дисперсионному соотношению

где

Нелинейная длина определена в уравнении (3.1.5). Из дисперсионного соотношения (5.1.7) видно, что устойчивость стационарного состояния существенно зависит от того, в области положительной (нормальной) или отрицательной дисперсии световода распространяется излучение. В случае положительной дисперсии групповых скоростей волновое число К действительно при всех значениях и стационарное состояние устойчиво относительно малых возмущений. С другой стороны, в случае отрицательной дисперсии групповых скоростей становится мнимым при и возмущение экспоненциально нарастает по . В результате непрерывное решение (5 1.2) является неустойчивым в случае Данный вид неустойчивости называется модуляционной неустойчивостью, так как при этом возникает спонтанная модуляция стационарного состояния. Похожие виды неустойчивости встречаются во многих других нелинейных системах. Их часто называют неустойчивостями, вызванными самовоздействием [32, 33].

Рассмотрим частотную зависимость коэффициента усиления для модуляционной неустойчивости. Значение коэффициента усиления (по мощности) на частоте можно получить из (5.1.7). используя условие Соответствующее выражение для коэффициента усиления

где значение коэффициента усиления (на частоте для возмущения, сдвинутого на частоту относительно частоты падающего излучения Усиление отлично от нуля для случая

На рис. 5.1 изображены кривые усиления при трех различных уровнях мощности. Величины соответствуют обычным световодам кварцевого стекла на длине волны 1,55 мкм. Кривая усиления симметрична относительно так что усиление исчезает при Максимум усиления достигается

Рис. 5.1. Кривые усиления модуляционной неустойчивости при трех уровнях мощности излучения. Параметры световода: км

при двух значениях частот

и имеет величину

где было использовано выражение (5.1.8). Пиковое значение коэффициента усиления не зависит от дисперсии и возрастает линейно с мощностью падающего излучения.

При выводе уравнения (5.1.9) мы пренебрегли влиянием потерь в световоде а на модуляционную неустойчивость. Действие потерь в основном заключается в том, что коэффициент усиления модуляционной неустойчивости уменьшается по длине световода из-за уменьшения мощности излучения [19]. В уравнении (5.1.9) следует заменить на Модуляционная неустойчивость развивается до тех пор, пока остается т. е. нелинейная длина меньше, чем длина затухания Можно исследовать также влияние образования ударной волны огибающей [24], если вместо уравнения (3 1.1) использовать (2.3.35). Основное действие этого эффекта на модуляционную неустойчивость заключается в том, что скорость Развития неустойчивости уменьшается, а спектральный интервал ее существования сужается по сравнению с величинами, изображенными

на рис. 5.1. В работах [28, 30] рассматривались эффекты, обусловленные учетом дисперсионных членов высших порядков и нелинейных членов. Уравнение (5.1.9) позволяет оценить коэффициент усиления для модуляционной неустойчивости лишь в первом приближении, чего, однако, достаточно для большинства практически значимых случаев

Как будет показано в разд. 10 3 .2, модуляционная неустойчивость может трактоваться как четырехволновое смешение с синхронизмом за счет ФСМ. Если сигнал с частотой распространяется совместно с непрерывным излучением накачки с частотой сигнал должен усиливаться (коэффициет усиления определяется из уравнения (5.1.9)), если С физической точки зрения два фотона интенсивного излучения накачки с частотой преобразуются в два различных фотона: один на частоте сигнала а другой на холостой частоте Случай, когда сигнал вводится одновременно с излучением накачки, иногда называют индуцированной модуляционной неустойчивостью [18, 23] в отличие от случаев одной волны излучения.

Даже когда в световоде распространяется лишь одно излучение накачки, модуляционная неустойчивость может привести к спонтанному распаду стационарной гармонической волны на периодическую последовательность импульсов. Спонтанно испущенные или тепловые фотоны действуют в этой ситуации в качестве сигнального излучения, усиливающегося за счет модуляционной неустойчивости. Поскольку наибольшее значение коэффициента усиления наблюдается для частот Пмакс (где Пмакс определяется выражением (5.1.10)), эти частотные компоненты усиливаются больше всего. Поэтому прямым доказательством спонтанной модуляционной неустойчивости может служить наличие двух дополнительных спектральных компонент, расположенных симметрично по обе стороны от центральной частоты со спектральной отстройкой Во временном представлении стационарная гармоническая волна преобразуется в периодическую последовательность импульсов с периодом , где

Модуляционная неустойчивость в области отрицательной дисперсии волоконных световодов набчюдалась в эксперименте [22] когда -пикосекундные импульсы -лазера (длины волны генерации 1,319 мкм) проходили через световод длиной 1 км с дисперсией На рис. 5.2 изображены автокорреляционная функция и спектр излучения на выходе из световода при пиковой мощности излучения Вт. Расположение боковых спектральных компонент находится в согласии с предсказанным уравнением (5.1.10) Расстояние между максимумами в обратно пропорционально в соответствии с теорией. Боковые спектральные компоненты второго порядка, которые видны на рис. 5.2, также

Рис. 5.2. Автокорреляционная функция и спектр излучения на выходе из световода длиной 1 км (длительность начальных импульсов пиковая мощность излучения Модуляция в и наличие боковых спектральных компонент обусловлены модуляционной неустойчивостью [22].

описываются теорией [16]. В данном эксперименте для того, чтобы избежать ВРМБ, используются -пикосекундные импульсы, а не непрерывное излучение. Тем не менее, поскольку период модуляционной неустойчивости относительно широкие -пико-секундные импульсы обеспечивают условие квазинепрерывности для наблюдения этого явления.

В аналогичных экспериментах [23] модуляционная неустойчивость индуцировалась введением сигнала наряду с импульсами -лазера. Сигналом служило излучение -лазера, работающего в режиме одной продольной моды. Данный лазер мог перестраиваться в диапазоне нескольких нанометров вблизи длины волны генерации -лазера. Мощность сигнала была много меньше пиковой мощности излучения импульсов -лазера Вт. Тем не менее наличие сигнала приводило к распаду импульсов -лазера на периодическую последовательность импульсов, период которой составлял величину, обратную разности частот сигнала и излучения накачки. Более того, данный период можно было регулировать перестройкой длины волны Р-лазера. На рис. 5.3 изображены для двух различных длин волн сигнала. Поскольку длительность наблюдаемых импульсов менее данный метод позволяет генерировать субпикосекундные импульсы, частотой следования которых можно управлять, перестраивая длину волны сигнала.

Когда длительность импульсов излучения накачки менее возможно возникновение модуляционной неустойчивости при действии других механизмов, при этом отпадает необходимость в спонтанной эмиссии или в сигнальном излучении. Одним из таких механизмов является ФСМ. Если уширение спектра за счет ФСМ приближается к Пмакс, то спектральные компоненты в окрестности Пмакс начинают действовать в качестве сигнального излучения, усиливаясь за счет модуляционной неустойчивости. Можно оценить длину световода, на которой ширина спектра приближается к , используя

Рис. 5.3. АКФ, демонстрирующие индуцированную модуляционную неустойчивость при двух различных длинах волн сигнального излучения. Период модуляций можно регулировать перестройкой полупроводникового лазера, работающего в качестве источника сигнала

из уравнения (4.1.9) и приравнивая В случае импульса гауссовской формы это условие удовлетворяется, когда

где дисперсионная длина, введенная в разд. 3.1. Численное решение уравнения (5.1.1) подтверждает, что модуляционная неустойчивость оптических импульсов, вызванная ФСМ, существует [29]. В частности, на входном импульсе развивается глубокая модуляция с частотой и в спектре излучения появляются боковые компоненты с той же частотой отстройки. Чтобы подтвердить, что модуляционная неустойчивость может возникать подобным образом, были также проведены эксперименты [29].

Анализ устойчивости стационарного решения уравнения (5.1.1) в линейном приближении показывает, что малые возмущения первоначально будут нарастать по экспоненциальному закону, определяемому уравнением (5.1.9). Ясно, что экспоненциальный рост не может продолжаться до бесконечности, поскольку спектральные компоненты на част отах растут за счет излучения накачки на частоте истощение накачки в конце концов замедляет скорость роста [26]. Динамика модулированного состояния определяется уравнением (5.1.1). Численное решение этого уравнения для начального условия в виде синусоидальной модуляции, наложенной на стационарное состояние, показывает [18], что синусоидальная модуляция преобразуется в последовательность узких импульсов, разделенных периодом начальной модуляции. Расстояние, необходимое для образования

такой последовательности, зависит от начальной глубины модуляции и обычно составляет величину При дальнейшем распространении пиковая структура деформируется и в конце концов возвращается к первоначальному состоянию. Аналитическое решение уравнения (5.1.1) показывает, что данное поведение является общим для произвольной периодической модуляции стационарного состояния [21]. При соответствующем выборе длины световода можно использовать явление индуцированной модуляционной неустойчивости для генерации последовательности коротких оптических импульсов, частотой повторения которых можно управлять. Также было предложено использовать данное явление для полностью волоконного оптического переключателя [31]. Однако данное явление имеет и свою отрицательную сторону. Модуляционная неустойчивость может оказаться ограничивающим фактором для когерентных систем связи [19, 20, 25], поскольку она приводии к нежелательной амплитудной модуляции сигнала.

Существование модуляционной неустойчивости в области отрицательной дисперсии групповых скоростей указывает на то, что характер решения уравнения (5.1.1) существенно отличается в случае Оказывается, что это уравнение имеет особые решения, которые либо не меняются по либо являются периодичными [34 36]. Что же касается волоконных световодов, то данные решения известны как оптические солитоны, которые возникают благодаря совместному действию дисперсионных и нелинейных эффектов. Следующий раздел посвящен свойствам оптических солитонов.