2.4. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ

Уравнение распространения -нелинейное дифференциальное уравнение с частными производными, которое, вообще говоря, нельзя решить аналитически, за исключением некоторых частных случаев, когда для решения применим метод обратной задачи рассеяния [27]. Поэтому часто для изучения нелинейных эффектов в световодах необходимо численное моделирование. Для этой цели можно использовать множество численных методов [31-38], которые можно отнести к одному из двух классов: 1) разностные методы и 2) псевдоспектральные методы. Вообще говоря, псевдоспектральные методы на порядок или даже более быстрее при той же точности счета [39]. Одним из наиболее широко используемых методов решения задачи распространения импульсов в нелинейной среде с дисперсией является фурье-метод расщепления по физическим факторам (SSFM) [33, 34]. Относительно большая скорость счета этим методом по сравнению с большинством методов конечных разностей достигается благодаря использованию алгоритма быстрого фурье-преобразования [40] В этом разделе кратко описывается фурье-метод с расщеплением по физическим факторам, а также его применение для задачи распространения импульсов в волоконном световоде.

Чтобы понять принцип метода удобно формально записать уравнение (2.3.35) в виде

где - дифференциальный оператор, учитывающий дисперсию и поглощение в линейной среде, а нелинейный оператор, описывающий действие нелинейностей световода на распространение импульса. Эти операторы записываются следующим образом:

Вообще говоря, дисперсия и нелинейность действуют в световоде совместно В методе SSFM приближенное решение получают, предполагая, что при распространении оптического поля на малое расстояние в световоде нелинейные и дисперсионные эффекты действуют независимо, а именно распространение от точки к описывается в два уже последовательных шага. На первом действует только нелинейность и в уравнении (2.4.1). На втором шаге действует только дисперсия и в уравнении (2.4.1). Математически

Действие экспоненциального оператора можно выполнить в фурье-представлении, следуя формуле

где обозначает оператор фурье-преобразования, можно получить из уравнения (2.4.2), заменяя дифференциальный оператор с на , где - частота в спектральном представлении. Так как в фурье-пространстве есть просто число, уравнение (2.4.5) решается непосредственно. Использование алгоритма БПФ [40] делает решение уравнения (2 4.5) относительно быстрым. Именно по этой причине данный метод быстрее (вплоть до двух порядков величины) для большинства разностных методов [39].

Чтобы оценить точность SSFM-метода, заметим, что формально точное решение уравнения (2 4.1) дается уравнением

если предположить независимым от Здесь полезно вспомнить формулу Бейкера Хаусдорфа [41] для двух некоммутирующих операторов

где . Сравнение уравнений (2.4.4) и (2.4.6) показывает, что БПФ игнорирует некоммутагивность операторов и Подставляя в уравнение находим, что слагаемое, содержащее наибольшую ошибку, происходит из одинарного коммутатора . Таким образом, SSFM имеет точность до второго порядка по шагу

Точность метода может улучшить, применив другую процедуру

прохождения оптическим импульсом одного шага (от до ) В этой процедуре уравнение (2.4.4) заменяется следующим уравнением:

Главное отличие состоит в том, что действие нелинейности учитывается в середине, а не на краю шага. Из-за симметричной формы экспоненциального оператора в уравнении (2.4.8) этот метод называют симметричным [42]. В интеграле в центральной экспоненте полезно включить зависимость от нелинейного оператора Если шаг А достаточно мал, интеграл можно приближенно записать как так же, как в уравнении (2.4.4). Наибольшее преимущество этой симметризованной формы уравнения (2.4.8) состоит в том, что ошибка в этом случае будет третьего порядка малости по Л, так как она будет определяться двойным коммутатором в уравнении (2.4.7). Это можно доказать, применив уравнение (2.4.7) дважды к уравнению (2.4.8).

Точность метода можно еще улучшить, если приблизить интеграл в уравнении (2.4.8) более того, нежели величиной Самый простой способ - это применение для вычисления интеграла правила трапеций:

Однако применить уравнение (2.4.9) не просто, так как неизвестно в центре сегмента в точке Нужно воспользоваться методом итераций, который начинается заменой на Затем находится из уравнения (2.4.8), которое в свою очередь используется для нахождения величины . Итерационная процедура требует дополнительных затрат времени, тем не менее полное время расчета можно сократить, увеличив размер шага благодаря увеличению точности численного алгоритма. На практике достаточно всего двух итераций.

Применять SSFM-метод относительно просто. Как показано на рис. 2 2, длина световода делится на множество сегментов, которые не обязательно должны быть одинаковой длины. Оптический импульс преобразуется от сегмента к сегменту в соответствии с уравнением (2.4.8). А именно, оптическое поле сначала проходит расстояние на котором действует только дисперсия групповых скоростей; при этом используются алгоритм БПФ и уравнение (2.4.5) В точке поле умножается на нелинейный фактор, который характеризует действие нелинейности на полной длине сегмента А, и,

Рис. 2.2. Схема симметризованного -метода, используемого для численного моделирования Длина световода разбивается на большое количество сегментов длины . Внутри сегмента действие нелинейности учитывается в центральной точке, указанной штриховой линией.

наконец, поле проходит оставшееся расстояние где действует только дисперсия; в результате получается . Таким образом, предполагается, что нелинейность действует только в средней точке каждого сегмента (штриховые линии на рис. 2.2).

SSFM-метод применялся для решения многих разнообразных задач оптики, таких, как распространение волн в атмосфере [42, 43], в световодах с градиентным профилем показателя преломления [44, 45], в полупроводниковых лазерах [46 48], в неустойчивых резонаторах [49, 50] и в волноводных ответвителях [51, 52]. Этот метод часто называют методом распространения пучка [44 52], если его применяют для описания стационарного распространения, когда дисперсия заменяется дифракцией. В частном случае описания распространения импульсов в волоконных световодах он впервые применялся в 1973 г. [28]. В настоящее время SSFM-метод широко распространен [53 64] ввиду его большей скорости по сравнению с разностными методами [39]. Он относительно прост в применении, но требует осторожности в выборе размеров шагов по и Г, чтобы сохранить нужную точность. В частности, нужно проверять точность, вычисляя сохраняющиеся величины, такие, как энергия импульса (в отсутствие поглощения), вдоль длины волокна. Оптимальный выбор размера шага зависит от степени сложности задачи. Существует несколько рекомендаций в выборе шага; иногда необходимо повторять вычисления, уменьшив шаг, чтобы быть уверенным в точности численного моделирования.