в. Конфокальный резонатор

Конфокальный резонатор (рис. 7.6) состоит из двух вогнутых зеркал, расположенных на расстоянии друг от друга, причем равно сумме фокусных расстояний зеркал. Обычно оба зеркала одинаковы, поэтому где — радиус кривизны зеркала. Конфокальная система играет чрезвычайно важную роль в газовых лазерах. Ее оптическая юстировка очень проста, а требования к точности установки зеркал не слишком высоки.

Предположим [3], что поле вблизи первого зеркала (после отражения) имеет вид где — постоянный амплитудный множитель, а функции описывают распределения полей на зеркале в направлениях х и у соответственно. Пусть зеркало имеет форму квадрата со стороной . Поле на втором зеркале рассчитывается так же, как и выше, с помощью уравнения Френеля — Кирхгофа

где — поверхность первого зеркала, — угол между направлением и нормалью к зеркалу. Имеется в виду, что расстояние между зеркалами много больше их поперечных размеров.

Модовая структура после многократных отражений является следствием отображения поля. Следовательно, можно считать, что

Рис. 7.6. Конфокальный резонатоо [2].

поле линейно зависит от функций

где

Коэффициент отоп, как и у, несет в себе информацию об изменениях амплитуды и фазы поля. Далее имеем

Следовательно,

Поскольку Однако это упрощение нельзя использовать при определении фазового коэффициента, который очень чувствителен к изменениям расстояния Расстояние равно (см. обозначения на рис. 7.6):

Но

Следовательно,

Фазовый множитель будет иметь вид

Теперь соотношение (7.24) принимает вид

Положим

где число Френеля; пусть также

При такой форме записи безразмерных переменных выражение (7.25) принимает вид

Положим

Запишем теперь выражение (7.26) в виде двух отдельных зависимостей

Выражения (7.28) представляют собой однородные уравнения Фредгольма II рода (см. [6, 71). Опуская детальные аналитические выкладки, необходимые для решения этой системы уравнений, приведем приближенное решение, которое справедливо для значений с порядка нескольких десятков и для пучков, не слишком удаленных от геометрической оси резонатора (параксиальное приближение):

где — многочлен Эрмита.

Собственные функции описывают распределения полей на зеркалах. Значения фазы можно определить из условия, что в резонансе изменение фазы при двукратном прохождении света вдоль резонатора (туда и обратно), т. е. полном обходе резонатора, составляет где — целое число.

Из формулы (7.27) с учетом (7.30) получаем

Поскольку

Коэффициент 2 в левой части равенства является результатом двух отражений света от зеркал. Следовательно (так как

Как видно из выражения (7.31), модовая структура является вырожденной. Увеличение индекса поперечных мод или на 2 приводит к такому же изменению длины волны (или частоты), как и изменение индекса на единицу. Вырождение снимается, если резонатор не идеально конфокальный. Для основной моды имеем

Простейшие поперечные моды характеризуются следующими значениями К (при

Следовательно,

На практике индекс обычно опускают, так как он очень велик. Дифракционные потери энергии на один проход составляют

(См. рис. 7.10 — графики потерь на нескольких простых модах конфокального резонатора.)

В газовых лазерах часто применяют неконфокальные резонаторы. Возникает вопрос, какова стабильность таких систем? Рассмотрим систему двух вогнутых зеркал, расположенных на расстоянии друг от друга. Для обеспечения расчетов удобно заменить систему сферических зеркал эквивалентной системой двух тонких линз. Распространение сферической волны и ее прохождение сквозь линзы определяется лишь одним параметром — радиусом кривизны фронта волны Для описания распространения гауссова пучка необходимы два параметра: радиус фронта волны (в дальней зоне) и диаметр пучка (см. рис. 5.3), которые записываются в виде одного комплексного параметра Если линзы расположены на расстоянии друг от друга, то параметр пучка, прошедшего через первую линзу с кривизной принимает значение перед второй линзой, причем

После прохождения через вторую линзу имеем

а затем после возвращения к первой линзе (А) —

Линза А преобразует пучок в соответствии с выражением

Поскольку теперь пучок совершил полный обход резонатора или эквивалентной ему системы линз, условие стабильности имеет вид

откуда

Следовательно,

Гауссов пучок имеет конечную ширину, поэтому мнимая часть

Рис. 7.7. Области стабильности и нестабильности резонатора с вогнутыми зеркалами [2].

последнего выражения должна отличаться от нуля, т. е.

или

поскольку обозначения зеркал совершенно произвольны. Таким образом,

Это важное соотношение характеризует стабильность резонатора с вогнутыми зеркалами. Области стабильности и нестабильности, описываемые выражением (7.36), показаны на рис. 7.7.