3. Элементарная теория затухающего осциллятора (колебательного контура)

Рассмотрим материальную точку с массой совершающую колебания относительно некоторого положения равновесия. Уравнение движения точки имеет вид

где — квазиупругая постоянная, а — коэффициент трения. Будем считать, что трение прямо пропорционально скорости. Уравнение (3.1) обычно записывают в виде

где

Предположим, что затухание в рассматриваемой колебательной системе невелико. На рис. 3.1 представлена типичная форма затухающих колебаний. Характерное время затухания амплитуды колебаний обозначим через . Решение уравнения (3.2) имеет вид

Добротность резонатора (колебательного контура) определяется

Рис. 3.1. Колебания затухающего осциллятора. характерное время затухания амплитуды колебаний.

следующим образом:

Запишем выражение (3.4) в виде

где — потери энергии за один период. Воспользуемся формулами (3.3) и запишем добротность резонатора иначе (энергия осциллятора пропорциональна квадрату амплитуды):

где

При

откуда

Через обозначено характерное время затухания энергии. Для удобства расчетов целесообразно принять, что продолжительность колебаний ограничена и равна т. Таким образом, мы заменяем затухающий осциллятор, амплитуда колебаний которого экспоненциально уменьшается до нуля, некоторым усредненным осциллятором с нёизменной амплитудой, но значительно меньшей продолжительностью колебаний. Колебания такого осциллятора показаны на рис. 3.2, а. Здесь формально введено отрицательное время, хотя

Рис. 3.2,а — колебательный процесс с продолжительностью, равной — форма его спектра.

продолжительность всего временного интервала не изменилась. Осциллятор обладает строго определенной частотой колебаний Однако его спектр достаточно сложен ввиду конечного времени колебаний (рис. 3.2, б). В аналитическом виде уширение спектра можно рассчитать с помощью известного преобразования Фурье. Представим осциллятор, характеристики которого показаны на рис. 3.2, функцией

Фурье-образ имеет вид

Следовательно,

где

Приведенный выше интеграл не относится к числу элементарных; его значения можно найти в соответствующем сборнике математических таблиц.

Предположим, что рассматриваемый осциллятор является источником электромагнитного излучения (например, колеблющимся электроном). Поскольку напряженность поля волны пропорциональна квадрату амплитуды, запишем

Функция типа хорошо известна в математическом анализе. Ее главный максимум соответствует значению аргумента а побочные минимумы — значениям Положения побочных максимумов определяются решением следующего трансцендентного уравнения:

Положения и значения максимумов приведены в табл. 3.1. Практически основная часть функции располагается в интервале Первые побочные минимумы определяются выражением

Таблица 3.1. Значения и положения последовательных максимумов функции

Разность можно условно рассматривать как полуширину главного максимума функции

Воспользуемся формулой (3.6) и определим связь между добротностью осциллятора и шириной спектральной линии его излучения (колебаний):

Рассмотрим теперь оптический резонатор, образованный двумя зеркалами с коэффициентами отражения (рис. 2.3). Считая, что электромагнитная волна начинает свой путь в некоторой точке резонатора, распространяется по направлению к первому зеркалу, а затем после отражения от обоих зеркал возвращается в исходную точку, можно записать

В полученном выражении учтены только потери интенсивности излучения, обусловленные неидеальным отражением. Далее имеем

Коэффициент Г, определяющий затухание энергии в системе (в расчете на один цикл), нетрудно выразить через характерное время затухания т. За время световой луч пройдет в резонаторе путь, соответствующий одному циклу, откуда

Если

Полуширину спектральной линии можно теперь записать в виде