7. Очерк теории оптических резонаторов

§ 1. ФОРМУЛА ГЕЛЬМГОЛЬЦА—КИРХГОФА

Согласно теории Гельмгольца — Кирхгофа электромагнитное возмущение в некоторой точке Р пространства представляет собой суперпозицию элементарных волн, источник которых располагается в некоторой плоскости а, отделяющей точку Р от истинного источника. Точно так же можно рассчитать возмущение в точке Р, если известен аналитический сигнал (например, действительной составляющей этого сигнала является электрическое поле световой еолны) на замкнутой поверхности охватывающей точку Р. Эти вопросы достаточно подробно рассмотрены в классической книге Борна и Вольфа [1]. Формула Гельмгольца — Кирхгофа для аналитического сигнала в точке Р имеет вид

где и — функция, зависящая только от координат, S — замкнутая поверхность, охватывающая точку — расстояние некоторой точки поверхности S от точки — наружная нормаль к поверхности. Функция и удовлетворяет волновому уравнению

Допустим теперь, что отверстие А в непрозрачном экране является источником электромагнитных волн, которые облучают точку Р

Рис. 7.1. Пояснительная схема к выводу формулы Френеля — Кирхгофа

(рис. 7.1). Пусть действительный источник находится в точке Если диаметр отверстия велик по сравнению с , но мал по сравнению с расстояниями и можно показать, что выражение (7.1) преобразуется к виду

где — оптический (аналитический) сигнал, определенный в плоскости отверстия. Обозначая в общем случае значение аналитического сигнала на отверстии через и принимая обозначения углов, указанные на рис. 7.1, получаем

где угол равен Полученное выражение называется интегральной формулой Френеля — Кирхгофа.