§ 4. МАТРИЦА ПЛОТНОСТИ

С помощью матрицы плотности чаще всего рассчитывают средние значения и распределение вероятностей физических величин, если точная волновая функция системы неизвестна. В таких случаях говорят, что система находится в смешанном состоянии.

Допустим, что состояние системы можно описать волновой функцией

где

— полная ортонормированная последовательность функций. Пусть — оператор некоторой физической величины рассматриваемой системы. Среднее значение по определению равно

В матричной форме квантовой механики каждому оператору А ставится в соответствие матрица, определяемая следующим образом:

где — полная ортонормированная последовательность функций. С учетом (36.39) выражение (36.38) принимает вид

Допустим, что состояние системы точно не известно, т. е. невозможно определить коэффициенты в формуле (36.37), а можно определить лишь средние значения произведения , т. е. стсп.

Тогда

Положим

Величины называются элементами матрицы плотности. Теперь

Пользуясь правилом умножения элементов матрицы, запишем формулу (36.43) в виде

Сумма диагональных элементов матрицы называется ее следом. Его обычно обозначают символом

Величина называется также статистическим оператором. Чтобы найти его в явном виде, обычно пользуются связью между энтропией и матрицей плотности, а иногда и другими параметрами, описывающими состояние рассматриваемой системы. Поскольку точная волновая функция системы априори неизвестна, мы не располагаем полной информацией о системе. Основной величиной, которая служит мерой недостатка информации, является энтропия. В случае когда система полностью определена, энтропия тождественно равна нулю. Полная неопределенность системы соответствует максимальному значению энтропии. Максимализуя энтропию S при дополнительных условиях, которые отражают уровень нашей информации о системе, можно найти явный вид матрицы плотности. Воспользуемся с этой целью следующим уравнением квантовой статистики:

и условием нормировки матрицы плотности

Допустим далее, что единственной известной величиной является средняя энергия системы:

При условиях (36.47) и (36.48) следует так выбрать чтобы энтропия S была максимальной. Допуская возможность перестановки операций дифференцирования и определим вариации выражений (36.46), (36.47) и (36.48):

Однако условие максимума S требует, чтобы

После умножения уравнений (36.50) и (36.51) на неопределенные коэффициенты Лагранжа X и Р система уравнений (36.49) — (36.51) обращается в одно уравнение:

Оно справедливо только тогда, когда

или

Не определенный выше коэффициент находится из условия нормировки (36.47); получаем

что с учетом (36.54) дает

Знаменатель в последнем выражении называется статистической суммой. Из формул (36.55) и (36.45) следует, что

Здесь остался не определенным параметр Чтобы установить его физический смысл, рассмотрим резонатор, заполненный электромагнитным излучением, которое находится в равновесии со стенками, имеющими температуру Т. Рассчитаем среднюю энергию, заключенную в одной моде с частотой . С этой целью воспользуемся гамильтонианом

который получается из более общего выражения (36.24) в пренебрежении энергией нулевых колебаний, т. е. членом В соответствии с (36.56) получаем

где

Ряд в знаменателе формулы (36.58) с учетом (36.59) сходится к

Если принять во внимание также, что

то формула (36.58) принимает следующий окончательный вид:

Это формула Планка. Из принципа соответствия известно, что в классическом пределе, т. е. при должно определять энергию классического гармонического осциллятора. С учетом этого, а также приближенного выражения

определяем параметр (3:

где — постоянная Больцмана. Таким образом, мы нашли явный вид матрицы плотности, соответствующий максимуму энтропии при условиях (36.47) и (36.48):

Выражение (36.64) можно рассматривать как эквивалент классической функции распределения вероятностей. Однако это выражение справедливо лишь для системы, находящейся в стационарном состоянии, т. е. в состоянии термодинамического равновесия. Тогда гамильтониан и матрица плотности не изменяются во времени. В случае электромагнитного поля гамильтониан становится явной функцией времени, т. е. к части не зависящей от времени, следует добавить член . В этом случае матрица плотности становится функцией времени, и ее эволюция описывается уравнением Неймана

в котором скобки обозначают коммутатор. Если возмущение, вносимое полем, невелико, это уравнение можно решить методом последовательных приближений. Принимают, что в нулевом приближении, т. е. в отсутствие поля, формула (36.64) справедлива. В первом приближении матрицу плотности находят из

уравнения

в котором обозначает момент начала возмущения, а определяется выражением (36.64). Формула (36.66) вместе с (36.64) и (36.45) позволяет определять квантовомеханические средние значения любых физических величин в случае, когда система выведена возмущением из состояния равновесия.

Чтобы проиллюстрировать применение уравнения движения Неймана, найдем изменение во времени элементов матрицы плотности для двухуровневого атома, возмущенного электромагнитным полем. Пусть энергии уровней равны

Соответствующие им стационарные волновые функции обозначим через Поскольку система, согласно предположению, двухуровневая, ее матрица плотности будет состоять из двух строк и двух столбцов. В матричной форме уравнение (36.65) принимает вид

где введены обозначения

и использован тот факт, что являются собственными функциями гамильтониана Считая, что получаем

(кликните для просмотра скана)

(кликните для просмотра скана)

(кликните для просмотра скана)

(кликните для просмотра скана)

(кликните для просмотра скана)

Рис. 36.1. Профессор В. Лэмб (младший) из Йельского университета (США). Создатель теории лазера, один из известных современных физиков.

систему из четырех уравнений:

Эта система с учетом релаксационных процессов (затухание возбужденных состояний атома) положена в основу теории газового лазера, развитой Лэмбом. Значение системы заключается в том, что хотя она относится к микроструктуре среды, она позволяет рассчитать макроскопическую поляризацию среды, выразив ее через недиагональные элементы матрицы Численные расчеты выполняются методом последовательных приближений,

В приведенном ниже списке литературы указаны работы общего характера как по теоретическим основам квантовой электроники [1, 2, 4, 5, 6], так и по теории лазера [3, 7, 8].

ЛИТЕРАТУРА

(см. скан)