Главная > Введение в физику лазеров
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
425
426
427
428
429
430
431
432
433
434
435
436
437
438
439
440
441
442
443
444
445
446
447
448
449
450
451
452
453
454
455
456
457
458
459
460
461
462
463
464
465
466
467
468
469
470
471
472
473
474
475
476
477
478
479
480
481
482
483
484
485
486
487
488
489
490
491
492
493
494
495
496
497
498
499
500
501
502
503
504
505
506
507
508
509
510
511
512
513
514
515
516
517
518
519
520
521
522
523
524
525
526
527
528
529
530
531
532
533
534
535
536
537
538
539
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

§ 4. МАТРИЦА ПЛОТНОСТИ

С помощью матрицы плотности чаще всего рассчитывают средние значения и распределение вероятностей физических величин, если точная волновая функция системы неизвестна. В таких случаях говорят, что система находится в смешанном состоянии.

Допустим, что состояние системы можно описать волновой функцией

где

— полная ортонормированная последовательность функций. Пусть — оператор некоторой физической величины рассматриваемой системы. Среднее значение по определению равно

В матричной форме квантовой механики каждому оператору А ставится в соответствие матрица, определяемая следующим образом:

где — полная ортонормированная последовательность функций. С учетом (36.39) выражение (36.38) принимает вид

Допустим, что состояние системы точно не известно, т. е. невозможно определить коэффициенты в формуле (36.37), а можно определить лишь средние значения произведения , т. е. стсп.

Тогда

Положим

Величины называются элементами матрицы плотности. Теперь

Пользуясь правилом умножения элементов матрицы, запишем формулу (36.43) в виде

Сумма диагональных элементов матрицы называется ее следом. Его обычно обозначают символом

Величина называется также статистическим оператором. Чтобы найти его в явном виде, обычно пользуются связью между энтропией и матрицей плотности, а иногда и другими параметрами, описывающими состояние рассматриваемой системы. Поскольку точная волновая функция системы априори неизвестна, мы не располагаем полной информацией о системе. Основной величиной, которая служит мерой недостатка информации, является энтропия. В случае когда система полностью определена, энтропия тождественно равна нулю. Полная неопределенность системы соответствует максимальному значению энтропии. Максимализуя энтропию S при дополнительных условиях, которые отражают уровень нашей информации о системе, можно найти явный вид матрицы плотности. Воспользуемся с этой целью следующим уравнением квантовой статистики:

и условием нормировки матрицы плотности

Допустим далее, что единственной известной величиной является средняя энергия системы:

При условиях (36.47) и (36.48) следует так выбрать чтобы энтропия S была максимальной. Допуская возможность перестановки операций дифференцирования и определим вариации выражений (36.46), (36.47) и (36.48):

Однако условие максимума S требует, чтобы

После умножения уравнений (36.50) и (36.51) на неопределенные коэффициенты Лагранжа X и Р система уравнений (36.49) — (36.51) обращается в одно уравнение:

Оно справедливо только тогда, когда

или

Не определенный выше коэффициент находится из условия нормировки (36.47); получаем

что с учетом (36.54) дает

Знаменатель в последнем выражении называется статистической суммой. Из формул (36.55) и (36.45) следует, что

Здесь остался не определенным параметр Чтобы установить его физический смысл, рассмотрим резонатор, заполненный электромагнитным излучением, которое находится в равновесии со стенками, имеющими температуру Т. Рассчитаем среднюю энергию, заключенную в одной моде с частотой . С этой целью воспользуемся гамильтонианом

который получается из более общего выражения (36.24) в пренебрежении энергией нулевых колебаний, т. е. членом В соответствии с (36.56) получаем

где

Ряд в знаменателе формулы (36.58) с учетом (36.59) сходится к

Если принять во внимание также, что

то формула (36.58) принимает следующий окончательный вид:

Это формула Планка. Из принципа соответствия известно, что в классическом пределе, т. е. при должно определять энергию классического гармонического осциллятора. С учетом этого, а также приближенного выражения

определяем параметр (3:

где — постоянная Больцмана. Таким образом, мы нашли явный вид матрицы плотности, соответствующий максимуму энтропии при условиях (36.47) и (36.48):

Выражение (36.64) можно рассматривать как эквивалент классической функции распределения вероятностей. Однако это выражение справедливо лишь для системы, находящейся в стационарном состоянии, т. е. в состоянии термодинамического равновесия. Тогда гамильтониан и матрица плотности не изменяются во времени. В случае электромагнитного поля гамильтониан становится явной функцией времени, т. е. к части не зависящей от времени, следует добавить член . В этом случае матрица плотности становится функцией времени, и ее эволюция описывается уравнением Неймана

в котором скобки обозначают коммутатор. Если возмущение, вносимое полем, невелико, это уравнение можно решить методом последовательных приближений. Принимают, что в нулевом приближении, т. е. в отсутствие поля, формула (36.64) справедлива. В первом приближении матрицу плотности находят из

уравнения

в котором обозначает момент начала возмущения, а определяется выражением (36.64). Формула (36.66) вместе с (36.64) и (36.45) позволяет определять квантовомеханические средние значения любых физических величин в случае, когда система выведена возмущением из состояния равновесия.

Чтобы проиллюстрировать применение уравнения движения Неймана, найдем изменение во времени элементов матрицы плотности для двухуровневого атома, возмущенного электромагнитным полем. Пусть энергии уровней равны

Соответствующие им стационарные волновые функции обозначим через Поскольку система, согласно предположению, двухуровневая, ее матрица плотности будет состоять из двух строк и двух столбцов. В матричной форме уравнение (36.65) принимает вид

где введены обозначения

и использован тот факт, что являются собственными функциями гамильтониана Считая, что получаем

(кликните для просмотра скана)

(кликните для просмотра скана)

(кликните для просмотра скана)

(кликните для просмотра скана)

(кликните для просмотра скана)

Рис. 36.1. Профессор В. Лэмб (младший) из Йельского университета (США). Создатель теории лазера, один из известных современных физиков.

систему из четырех уравнений:

Эта система с учетом релаксационных процессов (затухание возбужденных состояний атома) положена в основу теории газового лазера, развитой Лэмбом. Значение системы заключается в том, что хотя она относится к микроструктуре среды, она позволяет рассчитать макроскопическую поляризацию среды, выразив ее через недиагональные элементы матрицы Численные расчеты выполняются методом последовательных приближений,

В приведенном ниже списке литературы указаны работы общего характера как по теоретическим основам квантовой электроники [1, 2, 4, 5, 6], так и по теории лазера [3, 7, 8].

ЛИТЕРАТУРА

(см. скан)

1
Оглавление
email@scask.ru