§ 1. ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ ЗОНЫ НОСИТЕЛЕЙ ТОКА В ДИЭЛЕКТРИКАХ И ПОЛУПРОВОДНИКАХ

Для понимания действия лазера на р - n-переходе необходимо вспомнить основные сведения о структуре энергетических уровней носителей тока в диэлектриках и полупроводниках. Проводимость этих материалов зависит от числа электронов и дырок в единице объема и от их подвижности. В энергетической зоне шириной от Е до произвольной электронной системы в условиях термодинамического равновесия количество электронов определяется выражением [11]

где — плотность разрешенных состояний, — статистическая функция распределения Ферми — Дирака. Эта функция описывает вероятность заселения данного энергетического состояния. Для свободных электронов в металле где С — некоторая постоянная, а функция имеет вид

где энергия Ферми. Значение Ерпри температуре 0 К представляет собой наивысшую энергию электрона. Очевидно, что в диэлектрике или полупроводнике имеет иной физический смысл, чем в металле. В диэлектрике зона, заполненная электронами (так называемая валентная зона), отделена от пустой зоны проводимости энергетическим интервалом, который называется запрещенной зоной. Это означает, что вероятность заполнения произвольного уровня в запрещенной зоне близка к нулю. В полупроводнике уровень Ферми расположен как раз в запрещенной зоне, примерно в середине зоны. Положение уровня Ферми в общем виде

определяется основным уравнением

где — число электронов в единице объема. С помощью упрощенной модели полупроводника с узкими валентной зоной и зоной проводимости и широкой запрещенной зоной можно приближенно определить функцию распределения и прежде всего энергию Ферми. Допустим, что узкие зоны достаточно хорошо характеризуются значениями энергий (рис. 13.2). Обозначим число возможных энергетических состояний в каждой зоне через При температуре О К в идеальном диэлектрике зона проводимости пуста, а валентная зона заполнена до предела. При плотности электронов в указанных зонах равны

Положим

Физически это означает, что электроны попадают в зону проводимости только из валентной зоны, а другие ниже расположенные зоны не учитываются. Из выражений (13.4) и (13.5) получаем

Эта ситуация изображена на рис. 13.2.

В общем случае ширина валентной зоны или зоны проводимости может быть сравнима с шириной запрещенной зоны. Тогда число электронов в зоне проводимости определяется выражением

где через обозначен верхний край зоны проводимости (рис. 13.3). Опуская преобразования, которые читатель может найти в любой книге по физике твердого тела, запишем окончательные выражения для числа электронов в зоне проводимости и дырок в валентной зоне:

Рис. 13.2. Положение уровня (точнее, квазиуровня) Ферми в идеальном диэлектрике в предположении, что ширины валентной зоны и зоны проводимости малы по сравнению с шириной запрещенной зоны.

Рис. 13.3. Схема энергетических зон в диэлектрике с указанием плотности энергетических уровней в каждой зоне.

где — эффективные массы электрона и дырки соответственно. Поскольку эффективная масса носителя зависит от его энергии, величина в выражении (13.8) соответствует нижней части зоны проводимости, в выражении (13.9) — верхней части валентной зоны. Если принять, что то

При уровень Ферми располагается точно в середине запрещенной зоны. Обычно

Диэлектрик довольно несложно превратить в полупроводник введением примесных атомов, валентность которых больше или меньше валентности основных атомов. Например, германий или кремний при введении в них примеси пятивалентного фосфора становятся полупроводниками n-типа (избыток электронов). Дополнительные электроны занимают энергетический уровень, расположенный в запрещенной зоне вблизи нижней границы зоны проводимости. Если же ввести в кремний или германий трехвалентные

Рис. 13.4. Энергетическая структура примесных полупроводников n- и р-типов.

Рис. 13.5. Смещение уровня Ферми в зависимости от температуры.

частицы (например, бор или алюминий), получается полупроводник р-типа (недостаток электронов). При введении примесей в энергетической структуре образуются два новых уровня — донорный и акцепторный (рис. 13.4). Переход электронов с донорного уровня в зону проводимости или образование дырок при переходе электронов из валентной зоны на акцепторный уровень (на рис. 13.4 эти процессы обозначены стрелками) приводит к созданию носителей тока и превращению вещества в полупроводник. Поскольку указанные переходы зависят прежде всего от температуры, электропроводность такого полупроводника в сильной степени зависит от температуры. Считают, что при температурах, близких к абсолютному нулю, уровень Ферми располагается в середине запрещенной зоны. В этом случае тепловое возбуждение носителей тока очень мало. Качественный характер зависимости положения уровня Ферми от температуры показан на рис. 13.5.

Энергия электрона в нижней части зоны проводимости или дырки в верхней части валентной зоны равна

где — модуль волнового вектора; эта величина определяет также импульсы носителя в единицах — постоянная Планка. Если масса носителя не зависит от направления,

Рис. 13.6. Зонная структура кремния в направлении [100] в зависимости от волнового вектора к.

то изоэнергетические поверхности постоянных имеют сферическую форму. В общем случае эффективная масса является тензорной величиной. При соответствующем выборе трех направлений в пространстве этот тензор можно привести к диагональному виду, тогда составляющие массы вдоль выбранных направлений будут равны

Составляющие эффективной массы определяют путем исследования явлений переноса или циклотронного резонанса. На рис. 13.6 показана [11] энергетическая структура кремния в направлении кристаллографической оси [100]. Ниже запрещенной зоны показаны три валентные зоны, в которых электроны имеют различные эффективные массы.

а. Переход носителя тока через запрещенную зону

При переходе электрона из валентной зоны в зону проводимости должны выполняться законы сохранения импульса и энергии:

Здесь к и к — волновые векторы (импульсы) до и после перехода, — волновой вектор поглощенного фонона, — энергия этого фонона, — вектор обратной решетки, обеспечивающей векторный характер величины к в приведенной зоне Бриллюэна. Как видно из рис. 13.7, минимальная энергия фонона, достаточная для возбуждения электрона, равна Однако такой переход связан со значительным изменением импульса, так как минимум зоны проводимости смещен относительно максимума валентной зоны (в координатах ).

Рис. 13.7. Прямой (без изменения значения вектора к) и непрямой (с поглощением или испусканием фонона) переходы.

Переход из валентной зоны в зону проводимости может произойти в результате поглощения кванта инфракрасного излучения. Ширина запрещенной зоны у кремния равна 1,21 эВ, у германия — 0,785 эВ. Легко подсчитать необходимую длину волны излучения. Если рассматривать акт возбуждения как соударение фотона с электроном, то

где а — волновой вектор фотона. Поскольку величина а мала по сравнению с к (величина, обратная к, имеет порядок постоянной кристаллической решетки, т. е. несколько ангстрем), можно записать

Это означает, что прямой оптический переход происходит в вертикальном направлении (см. рис. 13.7), т. е. ему должна соответствовать энергия, которая больше Однако экспериментально наблюдается поглощение фотонов с энергией, очень близкой к что говорит о возможности непрямых переходов (рис. 13.7). Согласно Холлу, Бардину и Блатту, в действительности осуществляется оптический переход с изменением к и одновременным поглощением или испусканием фонона:

Непрямой переход может осуществляться между максимумом валентной зоны и минимумом зоны проводимости. В полупроводниковых лазерах чаще всего используют прямой переход Например, в арсениде галлия эффективная масса носителей тока изотропна. Для электронов в зоне проводимости она составляет а для дырок в валентной зоне принимает три разных значения: где — масса свободного электрона.

В диапазоне очень низких температур, когда число подходящих фононов невелико, поглощение такого типа маловероятно и

Однако при высоких температурах поглощение фононов возможно:

б. Время жизни неосновных носителей

Рассмотрим полупроводник -типа, у которого число электронов в зоне проводимости значительно превышает число дырок в валентной зоне. В этом случае дырки называются неосновными носителями. В условиях термодинамического равновесия число дырок,

рекомбинирующих с электронами, равно числу электронов, освобождаемых в процессе теплового возбуждения. При прохождении тока дырки инжектируются в область с проводимостью n-типа. Число дырок можно также увеличить, осветив полупроводник световым пучком. Поглощение фотонов электронами валентной зоны приводит к образованию электронно-дырочных пар. Неосновные носители при движении в кристалле участвуют в процессе рекомбинации. Можно принять, что скорость рекомбинации пропорциональна избытку концентрации носителей; избыточная концентрация спадает по закону где время жизни неосновного носителя. Это время можно определить, измеряя скорость уменьшения числа дырок, инжектированных в область проводимости.

Интересно, что рекомбинация происходит не только в объеме полупроводника, но и на его поверхности. Эксперимент показал весьма критичную зависимость этого процесса от качества поверхности. Например, в монокристалле германия n-типа (с сопротивлением 19 Ом-см при комнатной температуре) время изменялось от 180 до в зависимости от размеров образца и степени гладкости его поверхности. Считают, что в процессе рекомбинации электроннодырочных пар важную роль играют некоторые «центры катализа».

в. Полупроводниковые р — n-переходы

На рис. 13.8 изображен -переход в полупроводнике, а также положение энергетических зон в неравновесных условиях (б) и в условиях термодинамического равновесия При введении в прямой контакт двух полупроводников с разными типами проводимости электроны из области дрейфуют в область а дырки — из области в область Это приводит к образованию

Рис. 13.8. Полупроводниковый р - n-переход (а) и структура энергетических и в нем в неравновесных (б) и равновесных (в) условиях.

пространственного заряда (рис. 13.8, в) и выравниванию положений уровней Ферми по обе стороны перехода. Пространственные заряды создают разность потенциалов Равновесие носит динамический характер: дырочный ток точно скомпенсирован током электронов. Если поляризовать в проводящем направлении, т. е. подключить отрицательный полюс источника к области а положительный — к области то потенциальный барьер для дырок, дрейфующих в область снижается. Следует учитывать два направленных навстречу друг другу дырочных тока и два электронных. Поляризация полупроводника приводит к тому, что соответствующие токи не компенсируют друг друга. Легко показать, что равнодействующий ток в цепи будет равен

при приложении к переходу напряжения в проводящем направлении и

при напряжении, приложенном в запирающем направлении.