§ 2. Основные действия над комплексными числами

1. Сложение комплексных чисел. Суммой двух комплексных чисел называется комплексное число, определяемое равенством

Из формулы (1) следует, что сложение комплексных чисел» изображенных векторами, производится по правилу сложения векторов (рис. 163, а).

Рис. 163.

2. Вычитание комплексных чисел. Разностью двух комплексных чисел называется такое комплексное число, которое, будучи сложено с дает в сумме комплексное число

Отметим, что модуль разности двух комплексных чисел равен расстоянию между точками, изображающими эти числа на плоскости комплексной переменной (рис. 163, б):

3. Умножение комплексных чисел. Произведением комплексных чисел называется такое комплексное число, которое получается, если мы перемножаем эти числа как двучлены по правилам алгебры, учитывая только, что

и вообще при любом целом

На основании этого правила получаем

или

Пусть комплексные числа даны в тригонометрической форме:

Найдем произведение этих чисел:

Таким образом,

т. е. произведение двух комплексных чисел есть такое комплексное число, модуль которого равен произведению модулей сомножителей, а аргумент равен сумме аргументов сомножителей.

Замечание 1. Произведение сопряженных комплексных чисел в силу равенства (3) выражается так:

или

Произведение сопряженных комплексных чисел равняется квадрату модуля каждого из них.

4. Деление комплексных чисел. Деление комплексных чисел определяется как действие, обратное умножению.

Пусть Тогда есть такое комплексное число, что Если

ТО

или

х и у определяются из системы уравнений

Решая систему, находим

Окончательно получаем

Практически деление комплексных чисел выполняется следующим образом: чтобы разделить на умножим делимое и делитель на комплексное число, сопряженное делителю (т. е. на ).

Тогда делителем будет действительное число; разделив на него действительную и мнимую части делимого, получим частное:

Если комплексные числа даны в тригонометрической форме:

то

Для проверки этого равенства достаточно умножить делитель на частное:

Таким образом, модуль частного двух комплексных чисел равен частному модулей делимого и делителя; аргумент частного равен разности аргументов делимого и делителя.

Замечание 2. Из правил действий над комплексными числами следует, что в результате операций сложения, вычитания, умножения и деления комплексных чисел получается снова комплексное число.

Если правила действий над комплексными числами применить к действительным числам, рассматривая их как частный случай комплексных, то эти правила будут совпадать с обычными правилами действий, известными из арифметики.

Замечание 3. Вернувшись к определениям суммы, разности, произведения и частного комплексных чисел, легко проверить, что если в этих выражениях заменить каждое комплексное число сопряженным, то и результаты указанных действий заменяются

сопряженными числами. Отсюда, в частности, вытекает следующая теорема.

Теорема. Если в многочлен с действительными коэффициентами Айхп подставить вместо число а затем сопряженное число то и результаты этих подстановок будут взаимно сопряженными.