171. Сложение и вычитание комплексных чисел.

Сумма векторов представляет собою замыкающую многоугольника, составленного из слагаемых векторов. Принимая во внимание, что проекция замыкающей равна сумме проекций составляющих, мы приходим к следующему определению сложения комплексных чисел:

Нетрудно видеть, что сумма комплексных чисел не зависит от порядка слагаемых (переместительный закон) и что слагаемые можно объединять в группы (сочетательный закон), ибо такими свойствами обладают сумма вещественных чисел и сумма вещественных чисел

Как мы упоминали выше, комплексное число а отождествляется с вещественным числом а. Точно так же число записывают просто в виде (чисто мнимое число). Пользуясь определением сложения, мы можем утверждать, что комплексное число есть сумма вещественного числа а и чисто мнимого числа , то есть

Вычитание определяется как действие, обратное сложению, т. е. разность

определяется из условия

или, в силу (4) и и окончательно получаем

Вычитание комплексного числа как мы видим, равносильно сложению уменьшаемого и комплексного числа Это соответствует следующему: вычитание векторов сводится к сложению вектора уменьшаемого с вектором, по величине равным вычитаемому, а по направлению ему противоположным.

Рассмотрим вектор начальной точке которого соответствует комплексное число и концу число Этот вектор представляет собой, очевидно, разность векторов и, следовательно, ему соответствует комплексное число

равное разности комплексных чисел, соответствующих его концу и его началу.

Рис. 169.

Установим теперь свойства модуля суммы и разности двух комплексных чисел. Принимая во внимание, что модуль комплексного числа равен длине соответствующего этому числу вектора и что одна сторона треугольника короче суммы двух других, получим (рис. 170)

причем знак равенства будет иметь место лишь в том случае, когда векторы, соответствующие комплексным числам и а имеют одинаковое направление, т. е. когда аргументы этих чисел или равны, или отличаются на кратное . Доказанное свойство имеет, очевидно, место и в случае любого числа слагаемых:

т. е. модуль суммы меньше или равен сумме модулей слагаемых, причем знак равенства имеет место лишь в том случае, когда аргументы слагаемых равны или отличаются кратным

Рис. 170.

Принимая во внимание, что сторона треугольника больше разности двух других сторон, можем, кроме того, написать

т. е. модуль суммы двух слагаемых больше или равен разности модулей этих слагаемых. Равенство будет иметь место лишь в том случае, когда направления соответствующих векторов противоположны.

Вычитание векторов и комплексных чисел приводится, как это мы видели выше, к сложению, и для модуля разности двух комплексных чисел будем, как и для модуля суммы, иметь (рис. 170)