172. Умножение комплексных чисел.

Произведение двух комплексных чисел мы определяем аналогично произведению вещественных чисел, а именно: произведение рассматривается как число, составленное из множимого, как множитель составлен из единицы.

Вектор, соответствующий комплексному числу с модулем и аргументом может быть получен из единичного вектора, длина которого равна единице и направление которого совпадает с положительным направлением оси ОХ, путем его удлинения в раз и поворота в положительном направлении на угол

Произведением некоторого вектора на вектор назовем вектор, который получится, если к вектору применить вышеуказанные удлинение и поворот, при помощи которых вектор получается из единичного вектора, причем последнему соответствует, очевидно, вещественная единица.

Если суть модули и аргументы комплексных чисел, соответствующих векторам то произведению этих векторов будет, очевидно, соответствовать комплексное число с модулем и аргументом . Мы приходим, таким образом, к следующему определению произведения комплексных чисел:

Произведением двух комплексных чисел называется такое комплексное число, модуль которого равен произведению модулей сомножителей и аргумент — сумме аргументов сомножителей.

Таким образом, в том случае когда комплексные числа написаны в тригонометрической форме, будем иметь

Выведем теперь правило составления произведения для того случая, когда комплексные числа даны не в тригонометрической форме:

Пользуясь указанным выше обозначением модулей и аргументов сомножителей, можем написать

согласно определению умножения (6):

откуда

и окончательно получим

В случае сомножители являются вещественными числами и произведение приводится к произведению ахаг этих чисел. В случае равенство (7) дает

т. е. квадрат мнимой единицы равен

Вычисляя последовательно целые положительные степени , получим

и вообще, при всяком целом положительном

Правило умножения, выражаемое равенством (7), можно формулировать так: комплексные числа надо перемножать, как буквенные многочлены, считая

Если а есть комплексное число то комплексное число называется сопряженным с а, и его обозначают через а. Согласно формулам (3) имеем из равенства (7) вытекает

а следовательно,

т. е. произведение сопряженных комплексных чисел равно квадрату модуля каждого из них.

Отметим еще очевидные формулы

Из формул (4) и (7) непосредственно следует, что сложение и умножение комплексных чисел подчиняются переместительному закону, т. е. сумма не зависит от порядка слагаемых, а произведение — от порядка сомножителей. Нетрудно проверить и справедливость сочетательного и распределительного законов, выражающихся следующими тождествами:

Предоставляем сделать это читателю.

Заметим, наконец, что произведение нескольких сомножителей будет иметь модуль, равный произведению модулей сомножителей, и аргумент, равный сумме аргументов сомножителей. Таким образом, произведение комплексных чисел будет равно нулю тогда и только тогда, когда, по крайней мере, один из сомножителей равен нулю.