173. Деление комплексных чисел.

Деление комплексных чисел определяется как действие, обратное умножению. Таким образом, если модуль и аргумент делимого, а модуль и аргумент делителя, то нетрудно видеть, что деление имеет один определенный результат, если делитель отличен от нуля, и что модуль частного будет а аргумент его Обозначая частное в виде дроби, можем написать

Итак, модуль частного равен частному модулей делимого и делителя, и аргумент частного равен разности аргументов лимого и делителя. Если , то формула (9) теряет смысл.

Если делимое и делитель даны не в тригонометрической форме, а в виде и то, выражая в формуле (9) модули и аргументы через получим следующее выражение для частного:

которое можно получить и непосредственно, рассматривая I как иррациональность и умножая числитель и знаменатель на комплексное число, сопряженное со знаменателем, для того чтобы освободиться от иррациональности в знаменателе

и окончательно,

Раньше [172] мы указали на то, что переместительный, сочетательный и распределительный законы сохраняют свою силу и при сложении и умножении комплексных чисел, а потому для выражений, содержащих комплексные числа, оказываются справедливыми все те преобразования, которые являются следствиями этих законов и которые хорошо известны в применении к вещественным числам. Сюда относятся, например: правило вынесения за скобку, раскрытие скобок, простейшие формулы, формула бинома Ньютона в случае целого положительного показателя, формулы, относящиеся к прогрессиям, и т. д.

Отметим еще одно важное свойство выражений, содержащих комплексные числа, связанные знаками первых четырех действий.

Из формул (4), (5), (7) и (10) непосредственно вытекает следующее предложение: если в сумме, разности, произведении и частном заменим все числа сопряженными, то и результаты действий заменятся сопряженными.

Так, например, заменяя в формуле и на получим

Указанное свойство будет, очевидно, справедливым и для любого выражения, содержащего комплексные числа, связанные знаками первых четырех действий.