2.2.2. Основные операции над нечеткими отношениями

Пусть R и S — два произвольных бинарных нечетких отношения на множестве

Включение нечеткого отношения R в нечеткое отношение S определяется условием

Дополнение R нечеткого отношения R определяется условием

Пересечение нечетких отношений R и S определяется условием

Объединение нечсгких отношений R и S определяется условием

Пусть — универсальные множества, так что нечеткое отношение R определено на а нечеткое отношение S — соответственно на тогда -композицией нечетких отношений называется отношение , определяемое условием

Свойство транзитивности нечетких отношений (2.26) может быть выражено, таким образом, в виде условия

Если в условии (2.34) операцию взятия минимума а заменить на операцию взятия среднего арифметического, получится следующее определение операции композиции:

именуемое (max-sum)-композицией. Возможны также и другие определения операции композиции нечетких отношений; например, в работе [9] рассмотрена операция (max-)-композиции:

полученная заменой в условии (2.34) операции взятия минимума а на операцию умножения.

Как и при рассмотрении нечетких множеств, при рассмотрении нечетких отношений вводится понятие -среза, так что -срезом некоторого бинарного нечеткого отношения R называется обычное отношение на универсуме которое определяется выражением

где , что, в свою очередь, в соответствии с теоремой декомпозиции [27, с. 75], позволяет представить нечеткое отношение R в виде иерархии обычных отношений:

Естественно, что смысл термина «декомпозиция» в этом случае отличается от смысла данного термина, когда речь идет о композиции нечетких отношений. В работе [9] подробно рассматриваются особенности операции декомпозиции нечетких отношений эквивалентности, которая находит обширное применение в задачах кластерного анализа. Поскольку большое значение в приложениях теории нечетких отношений играют транзитивные нечеткие отношения, необходимо рассмотреть операцию преобразования исходного нетранзитивного отношения в транзитивное. Данная операция, именуемая транзитивным замыканием, впервые была рассмотрена в работах [163], [193].

(max-min)-транзитивным замыканием бинарного нечеткого отношения R на множестве где называется бинарное нечеткое отношение R на множестве X, определяемое следующим образом:

где отношения определяются рекурсивно:

Иллюстративным примером данной операции может послужить нечеткое отношение, представленное таблицей 2.4 и являющееся (max-min)-транзитивным замыканием нечеткой толерантности Т, представленной таблицей 2.3. Соответствующий (max-min)-транзитивному замыканию Т нечеткой толерантности Т граф изображен на рис. 2.9.

Таблица 2.4. (max-min)-транзитивное замыкание Т нечеткой толерантности Т

Рис. 2.9. Граф нечеткого отношения Т

В работе [34] формулируется теорема, в соответствии с которой транзитивное замыкание R любого бинарного нечеткого отношения R транзитивно и является наименьшим транзитивным отношением, включающим то есть , и для любого транзитивного отношения S, такого, что R с S, следует

Следует отметить [34, с. 45], что при транзитивном замыкании некоторого нечеткого отношения из свойств (2.15) — (227) сохраняются только свойства (2.15), (2.21), (2.24), (2.25), (2.26), (2.27).

(min-max)-транзитивным замыканием [27, с. 137-138] бинарного нечеткого отношения R на множестве где называется бинарное нечеткое отношение R на множестве X, определяемое следующим образом:

где отношения определяются рекурсивно:

Полное рассмотрение операций над нечеткими отношениями содержится в [27], а применение аппарата нечетких графов к решению задач кластерного анализа рассматривается в работе [190].