3.2.2.2. Алгоритм Уиндхема

(А-P algorithm) [186] минимизирует функционал ; поскольку результатом работы алгоритма является не только матрица разбиения но и матрица весов прототипов Ксхп то Q: (Р) будет записываться в виде

Таким образом, алгоритм Уиндхема находит решение оптимизационной задачи в следующем виде:

В силу особенностей функционала алгоритм нахождения

оптимального разбиения Р несколько отличается от остальных нечетких оптимизационных кластер-процедур.

Параметры алгоритма: с — число нечетких кластеров в искомом разбиении Р;

Схема алгоритма:

1. Выбирается начальное разбиение на с нечетких классов, так что матрица начального разбиения имеет с строк и столбцов;

2. Полагается и вычисляется матрица весов прототипов в соответствии с соотношением (3.32);

3. Полагается и вычисляется матрица разбиения в соответствии с соотношением (3.31);

4. Вычисляется матрица весов прототипов на основании матрицы в соответствии с соотношением (3.32);

5. Выбирается некоторая мера отклонения и сравниваются значения если то и алгоритм прекращает работу, в противном случае полагается и осуществляется переход на шаг 3.

При фиксированной матрице весов прототипов К матрица разбиения Р, строящаяся в соответствии с формулой (3.31), минимизирует по всем матрицам разбиения ), так что выполняется Аналогично минимизируется матрицей К, строящейся по формуле (3.32), так что ; таким образом, алгоритм уменьшает значение целевой функции на каждой итерации. Учитывая это обстоятельство, а также то, что функция неотрицательна, следует, что последовательность сходится, так что при любом алгоритм остановится после конечного числа шагов.

Относительное уменьшение целевой функции также может быть использовано для прекращения работы алгоритма, для чего на шаге 5 алгоритма условие может быть заменено выражением вида Такая нормализация

обладает тем преимуществом, что выбор порога не зависит от величины целевой функции. К примеру, выбор порога интерпретируется как останов вычислений в случае, когда целевая функция уменьшается менее чем на 0.01 процента.

Вопросы, связанные с выбором начального разбиения на шаге алгоритма, также подробно рассматриваются в работе [186, с. 165-166].