ГЛАВА 2. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ НЕЧЕТКИХ МНОЖЕСТВ

2.1. Нечеткие множества

2.1.1. Понятие взвешенной принадлежности и основные определения теории нечетких множеств

Пусть X — некоторое множество элементов и А — некоторое множество, являющееся подмножеством множества X, так что Тогда то обстоятельство, что некоторый элемент множества X является также элементом множества А? выражается с помощью записи , Иными словами, элемент принадлежит множеству А. В противном случае, если элемент не принадлежит множеству А, используется выражение . Понятие принадлежности некоторого элемента множеству А можно также выразить с помощью характеристической функции значения которой указывают, является или не является элементом множества А. Таким образом, множество А задается простым перечислением элементов таких, что поскольку элементы, для которых не принадлежат множеству А.

Вместе с тем, зачастую оказывается существенным вопрос не только о принадлежности или непринадлежности некоторого элемента множеству А, а о том, до какой степени является элементом множества А. Сама постановка такого вопроса требует обобщения понятия принадлежности элемента множеству, и, как следствие, речь может идти уже о взвешенной принадлежности элемента множеству А: элемент может принадлежать множеству А в той или иной степени. Соответствующим образом обобщается понятие характеристической функции

Нечеткое множество определяется [192] как совокупность упорядоченных пар, составленных из элементов универсума и соответствующих степеней принадлежности функции принимающих значения в интервале [0, 1]. Поскольку функция принадлежности полностью описывает нечеткое множество, то оно может задаваться непосредственно в виде функции принадлежности

Таким образом, нечеткое множество вводится путем расширения двухэлементного множества принадлежностей до интервала [0,1]. Значения функции принадлежности не стоит отождествлять с вероятностью принадлежности элемента нечеткому множеству А, поскольку степень принадлежности элемента универсума некоторому нечеткому множеству, определенному на этом универсуме, не имеет, как правило, вероятностной природы. Как правило, при записи некоторого нечеткого множества А элементы х, для которых как и в четком случае, опускают. В дальнейшем определение основных понятий теории нечетких множеств будет основано на изложении [34].

Носителем нечеткого множества А называется множество точек, таких, что . Ядром нечеткого множества А называется множество точек, таких, что Точки в которых именуются точками перехода.

Множеством уровня а или -срезом нечеткого множества А, представленным на рис. 2.1, называется обычное подмножество универсума которое определяется выражением

где , а множество строгого уровня а или строгий -срез нечеткого множества А, в свою очередь, определяется выражением

Рис. 2.1. Нечеткое множество и его а-срез

Иными словами, является образом интервала при обратном отображении что выражается соотношением

Таким образом, носитель нечеткого множества А можно определить как множество строгого уровня 0, а ядро нечеткого множества А, соответственно, как множество уровня 1. В соответствии с теоремой декомпозиции [27, с.44], любое нечеткое множество можно разложить по его -срезам следующим образом:

Нечеткое множество уровня а определяется [147] как множество упорядоченных пар

где

Обычное множество, ближайшее к нечеткому, определяется следующим образом:

Высотой нечеткого множества А называется величина Нечеткое множество А называется нормальным, если в случае, когда нечеткое множество А называется субнормальным. Субнормальное нечеткое множество А можно нормализовать в соответствии с формулой

Если X — линейное векторное пространство, то нечеткое множество А будет выпуклым тогда и только тогда, когда его функция принадлежности выпукла, то есть для каждой пары точек функция принадлежности нечеткого множества А удовлетворяет неравенству

для всех

Понятие нечеткого множества может обобщаться различным образом [27], [34, с. 19-29], Одним из обобщений понятия нечеткого множества является понятие нечеткого множества типа . Приведенное выше определение нечеткого множества, в соответствии с которым функция принадлежности нечеткого множества А на универсуме X определяется выражением задает нечеткое множество типа 1. Нечеткое множество типа есть нечеткое множество, значениями функции принадлежности которого являются нечеткие множества типа .

Для записи нечетких множеств используются различные формы. К примеру, . Заде использует следующие обозначения [24]. Если универсум записывать в виде

или

где символ обозначает объединение, а не арифметическое суммирование, то нечеткое множество А универсума X будет записываться в виде

или, соответственно, в виде

где представляют собой степени принадлежности элементов нечеткому множеству А, а символ используется для различения компонент и во избежание неопределенности, так что записи (2.10), (2.11) можно интерпретировать как представление нечеткого множества А в виде объединения составляющих его одноточечных нечетких множеств

Если носитель нечеткого множества А имеет мощность континуума, то используется запись

где — функция принадлежности нечеткого множества А, а символ J обозначает объединение нечетких синглетонов по рассматриваемому универсуму

На рис. 2.2 представлены некоторые возможные виды функции принадлежности нечетких множеств с континуальным носителем на универсуме X : унимодальная (U), мультимодальная (М), субнормальная (S), амодальная (А).

Рис. 2.2. Виды функции принадлежности нечетких множеств

Достаточно полный обзор функций принадлежности содержится в [27].