2.1.2. Основные операции над нечеткими множествами

Пусть А и В — два нечетких множества, определенные на универсуме X. Для определения основных операций над нечеткими множествами целесообразно использование традиционной формы записи, преимущественно используемой в литературе по нечетким множествам.

Включение нечеткого множества А в нечеткое множество В, которое представлено на рис. 2.3, определяется условием

Равенство нечеткого множества А нечеткому множеству В, которое представлено на рис. 2.4, определяется условием

Дополнение нечеткого множества А, представленное на рис. 2.5, определяется условием

В теории нечетких множеств для обозначения операции взятия минимума используется символ а, а для обозначения операции взятия максимума — символ

Рис. 2.3. Включение одного нечеткого множества в другое

Рис. 2.4. Равенство нечетких множеств

Рис. 2.5. Дополнение нечеткого множества

Пересечение нечетких множеств А и В, представленное на рис. 2.6, определяется как наибольшее нечеткое подмножество, содержащееся одновременно и в нечетком множестве А, и в нечетком множестве

Рис. 2.6. Пересечение нечетких множеств

Объединение нечетких множеств А и В, представленное на рис.

2.7, определяется как наименьшее нечеткое подмножество, содержащееся одновременно и в нечетком множестве А, и в нечетком множестве

Рис. 2.7. Объединение нечетких множеств

В работе [27] также рассматривается обобщение понятия расстояния на случай нечетких множеств. В частности, относительное

обобщенное расстояние Хемминга между нечеткими множествами А и В определяется по формуле

где так что очевидно, что Относительное евклидово расстояние между нечеткими множествами А и 5 определяется по формуле

где так что

Более полный обзор операций над нечеткими множествами содержится в [27], [34].