2.2. Нечеткие отношения

2.2.1. Определение нечеткого отношения; свойства и классификация нечетких отношений

Бинарным нечетким отношением R между множествами X и Y будет называться функция где — функция принадлежности отношения — базовые множества; [0,1] — отрезок вещественной прямой от 0 до 1. В случае, когда множества X и Y в силу связи между объектами совпадают, нечеткое отношение где X — базовое множество, или, иначе говоря, универсум, называется нечетким отношением на множестве Другими словами, бинарное нечеткое отношение является нечетким множеством на декартовом произведении базовых множеств. В дальнейшем, за некоторыми исключениями, которые будут оговариваться особо, рассматриваются нечеткие отношения на множестве X. Поскольку нечеткое отношение может определяться как нечеткое множество на декартовом произведении базовых множеств, так что нечеткое отношение R на множестве X может задаваться непосредственно в виде функции принадлежности для нечетких отношений сохраняются многие результаты, полученные для нечетких множеств. В частности, понятие нечеткого отношения

также может обобщаться, и одним из обобщений понятия нечеткого отношения является понятие нечеткого отношения типа .

В зависимости от свойств, которыми они обладают, выделяют различные типы нечетких отношений. Среди всех рассматриваемых в специальной литературе свойств нечетких отношений, полагая, что S — некоторое произвольное бинарное нечеткое отношение на множестве следует особо отметить следующие свойства:

рефлексивность:

слабая рефлексивность:

сильная рефлексивность:

антирефлексивность:

слабая антирефлексивность:

сильная антирефлексивность:

симметричность:

антисимметричность:

асимметричность:

полнота сильная:

полнота слабая:

(max-min)-транзитивность:

(min-max)-транзитивность:

Очевидно, к примеру, что если нечеткое отношение обладает свойством (2.17), то оно обладает и свойством (2.15), так же, как наличие

у нечеткого отношения свойства (2.20) подразумевает и наличие у него свойства (2.18). Наиболее полно свойства нечетких отношений рассмотрены в работах [27], [28], [34]. Классификация нечетких отношений может быть представлена, как и в работе [27], в виде таблицы 2.1.

Таблица 2.1. Классификация основных нечетких отношений (см. скан)

Более подробная классификация нечетких отношений приводится в работе [34]. Следует отметить, что различные авторы, рассматривая разные типы нечетких отношений, используют различные названия и обозначения. Помимо вышеприведенных нечетких отношений, особо следует отметить нечеткое отношение моделирования [1], [2], определяющее соответствие между внешней средой и внутренней моделью внешнего мира, а также отношение похожести, предложенное Э. Г. Распини [39] и применяемое при рассмотрении теоретических аспектов нечеткого подхода в кластер-анализе.

В рамках нечеткого подхода к решению задач автоматической классификации традиционно применяются нечеткие отношения эквивалентности, именуемые также отношениями подобия и традиционно обозначаемые символом S, а также нечеткие отношения сходства, называемые еще нечеткими толерантностями, нечеткими отношениями безразличия или нечеткими отношениями неразличимости и обозначаемые символом Т. Кроме того, в задачах автоматической классификации применяются также нечеткие отношения различия, являющиеся дополнениями нечетких отношений эквивалентности и обозначаемые символом Z), а также нечеткие отношения несходства, являющиеся дополнениями нечетких толерантностей и, в свою очередь, обозначаемые символом Подробное рассмотрение вопросов, относящихся

к применению нечетких отношений в задачах классификации, содержится в работе [190].

В работах [174], [175], [16] были предложены нечеткие отношения сильной, слабой и строгой слабой толерантностей, а в работе [177] были рассмотрены их дополнения, именуемые соответственно нечеткими отношениями сильного, слабого и строгого слабого несходства. Строгая слабая толерантность отличается от слабой толерантности выполнением строгого неравенства в условии (2.16):

а строгое слабое несходство отличается от слабого несходства, соответственно, выполнением строгого неравенства в условии (2.19):

Основные свойства, по которым выделяют различные нечеткие толерантности, а также нечеткие отношения несходства, представлены таблицей 2.2.

Таблица 2.2. Нечеткие толерантности и нечеткие отношения несходства, применяемые в кластер-анализе (см. скан)

Нечеткому отношению R на множестве X можно поставить в соответствие взвешенный граф, где каждая пара вершин из X соединяется дугой с весом Очевидно, что симметричных отношений такой граф будет неориентированным. В качестве иллюстрации целесообразно привести пример, представленный в работе [163]. Пусть множество элементов, на котором задана нечеткая толерантность Г, представленная таблицей 2.3. Соответствующий ей граф изображен на рис. 2.8.

Таблица 2.3

Нечеткая толерантность Т на множестве X

Рис. 2.8. Граф сходства нечеткой толерантности Т

Необходимо отметить, что представленная в таблице 2.3 и на рис. 2.8 нечеткая толерантность Т является нечеткой сильной толерантностью

В завершение рассмотрения основных понятий и определений нечетких отношений следует указать, что нечеткие отношения слабой и строгой слабой толерантностей могут применяться для представления сходства динамических объектов [176]. В задачах кластерного анализа преимущественно используются нечеткие сильные и обычные толерантности, для которых выполняется соотношение и нечеткие отношения сильного и обычного несходства, для которых, соответственно, выполняется условие . В дальнейшем нечеткие сильные и обычные толерантности будут обозначаться символом Т

без индекса, а нечеткие отношения сильного и обычного несходства — соответственно, символом без индекса.

Свойства и содержательная интерпретация нечетких эквивалентностей и нечетких толерантностей, а также их дополнений подробно рассматриваются в работах [12], [27], [28], [34], [67], [68], [193].