Мы начнем с двух определений. Первое из них содержит ровно столько от тригонометрии, сколько нужно для наших целей: понятие o прямом угле – ортогональность.
Oпределение 4. Два элемента $f$ и $g$ из $\Re$ ортогональны, если $(f, g)=0$. Два линейных многообразия $\mathfrak{M}$ и $\mathfrak{R}$,ортогональны, если каждый элемент из $\mathfrak{M}$ ортогонален каждому элементу из $\mathfrak{R}$. Множество $\mathfrak{O}$ называется ортонормированной системой, если для всех $f, g$ из $\mathfrak{D}$
\[
(f, g)=\left\{\begin{array}{lll}
1 & \text { для } & f=g, \\
0 & \text { для } & f
eq g
\end{array}\right.
\]
(т. е. каждые два различных элемента ортогональны и каждый элемент по длине равен единице ${ }^{46}$ )). В частности, $\mathfrak{D}$ будет называться полной, если она не может быть подмножеством какойлибо другой ортонормированной системы, содержащей дополнительные элементы ${ }^{47}$ ).
Заметим еще, что утверждение о полноте ортогональной системы $\mathfrak{O}$ означает, очевидно, что не существует $f \mathrm{c}\|f\|=1$, которыи был бы ортогонален ко всей 5 (ср. прим. ${ }^{46}$ )). Но будь $f$ просто отличен от нуля и ортогонален ко всен системе $\mathfrak{O}$, то $f^{\prime}=\frac{f}{\|f\|} \cdot f$ (ведь $\|f\|>0$ ) удовлетворяет всем требованиям: $\left\|f^{\prime}\right\|=\frac{1}{\|f\|}\|f\|=1$ и $f^{\prime}$ ортогонален к $\mathfrak{O}$. Следовательно, полнота $\mathfrak{D}$ требует, чтобы любой $f$, ортогональный ко всей системе $\mathfrak{E}$, исчезал.

Второе определение таково, что оно существенно только для $\mathfrak{R}_{\infty}$, поскольку в $\mathfrak{R}_{n}$ каждое линейное многообразие – такого типа, как то, которое им описывается (ср. конец II. 3). Поэтому мы не можем дать интуитивно-геометрическую картину его смысла.
46) Действительно, $\|f\|=\sqrt{(f, f)}=1$.
47) Как видно, полные ортоғональные системы соответствуют декартовым системам координат (т. е. совокупностям единичных векторов, направленных вдоль их осей) в $\Re_{n}$.

Определение 5. Линейное многообразие, которое одновременно замкнуто, назовем замкнутым линейным многообразием. Если $\mathfrak{A}$ есть некоторое множество из $\mathfrak{R}$ и мы дополним $\{\mathfrak{A}\}$ (линеиное многообразие, натянутое на $\mathfrak{U}$ ) всеми его предельными точками, мы получим замкнутое линеиное многообразие, содержащее $\mathfrak{A}$. При этом оно будет подмножеством каждого другого замкнутого линейного многообразия, тоже содержащего $\mathfrak{H}{ }^{48}$. Мы назовем его замкнутым линейным многообразием,

Перейдем теперь к более детальному анализу $\Re$ и, в частности, к полным ортогональным системам. К тем теоремам, для которых в дополнение к $\boldsymbol{A} .$, В. потребуются $\boldsymbol{C}^{(\boldsymbol{n})}$. или $\boldsymbol{C}^{(\infty)}$, , D. и $\boldsymbol{E}$, мы будем добавлять соответственно индекс (n) или ( $\infty$ ). Теоремы общие для обоих случаев оставим по-прежнему без индексов.
Tеорема $3^{(n)}$. Каждая ортонормированная система имеет $\leqq n$ элементов и будет полной тогда и только тогда, когда она имеет $n$ элементов.
Замечание. Из первого утверждения следует, что существует максимальное значение для числа элементов ортогональных систем; те ортогональные системы, для которых достигается это максимальное значение, оказываются, по определению, полными. Итак, в случае $\boldsymbol{C}^{(\boldsymbol{n})}$. существуют полные ортогональные системы и каждая такая система имеет $n$ элементов.
Доказательство. Каждая ортогональная система (если она конечна) линеино-независима. Если ее элементы суть $\varphi_{1}, \varphi_{2}, \ldots, \varphi_{m}$, то из
\[
a_{1} \varphi_{1}+\ldots+a_{m} \varphi_{m}=0
\]

следует, что $a_{\mu}=0(\mu=1,2, \ldots, m)$; в этом можно убедиться, образуя внутреннее произведение с $\varphi_{\mu}$. Следовательно, в силу $\boldsymbol{C}^{(\boldsymbol{n})}$. система не может иметь $n+1$ элемент. Произвольная ортогональная система, таким образом, не может иметь подсистем с $n+1$ элементами. Следовательно, она конечна и содержит $\leqq n$ элементов.

Система из $n$ элементов не допускает расширения и, следовательно, полна. Однако система с $m<n$ элементами $\varphi_{1}, \ldots, \varphi_{m}$ не полна. Действительно, среди линейных комбинаций $a_{1} \varphi_{1}+\ldots+a_{m} \varphi_{m}$ не может быть $n>m$ линенно-независимых. Следовательно, в силу $\boldsymbol{C}^{(n)}$. должен существовать элемент $f$, отличный от всех $a_{1} \varphi_{1}+\ldots+a_{m} \varphi_{m}$, т. е. такой, для которого
\[
\psi=f-a_{1} \varphi_{1}-\ldots-a_{m} \varphi_{m}
\]
48) Как линейное многообразие, оно должно содержать $\{\mathfrak{2}\}$ и, поскольку оно замкнуто, то и предельные точки \{\{ी\}.

[гл. II
всегда отличен от нуля. Далее, $\left(\psi, \varphi_{\mu}\right)=0$ означает, что $a_{\mu}=\left(f, \varphi_{\mu}\right)$ $(\mu=1,2, \ldots, m)$. Следовательно, если это условие может одновременно выполняться для всех $\mu=1,2, \ldots, m$, то оно определяет таким образом $\psi$, который показывает, что система $\varphi_{1}, \ldots, \varphi_{m}$ не полна.
Теорема $3^{(\infty)}$. Каждая ортонормированная система конечна или есть счетно-бесконечная последовательность; если она полна, то она заведомо бесконечна.
Замечание. Значит, мы можем записывать все ортогональные системы в виде (возможно обрывающихся, т. е. конечных) последовательностей $\varphi_{1}, \varphi_{2}, \ldots$, что мы действительно и сделаем. Подчеркнем, что теперь число элементов системы только необходимо для ее полноты, но в отличие от случая $C^{(n)}$. этого условия еще недостаточно ${ }^{49}$ ).
Доказательство. Пусть $\mathfrak{D}$-ортонормированная система, $f$ и $g$ – два различных ее элемента. Тогда
\[
\begin{array}{c}
(f-g, f-g)=(f, f)+i g, g)-(f, g)-(g, f)=2, \\
\|f-g\|=\sqrt{2} .
\end{array}
\]

Пусть теперь $f_{1}, f_{2}, \ldots$ – существующая согласно $\boldsymbol{E}$. последовательность, всюду плотная в $\mathfrak{R}$. Для каждого $f$ из $\mathfrak{O}$ существует некоторое $f_{m}$ из последовательности, для которого $\left\|f-f_{m}\right\|<\frac{1}{2} \sqrt{2}$. $f_{m}$ и $f_{n}$, соответствующие $f$ и $g$, должны быть различны, поскольку из $f_{m}=f_{n}$ следовало бы, что
\[
\begin{aligned}
\|f-g\| & =\left\|\left(f-f_{m}\right)-\left(g-g_{m}\right)\right\| \leqq \\
& \leqq\left\|f-f_{m}\right\|+\left\|g-g_{m}\right\|<\frac{1}{2} \sqrt{2}+\frac{1}{2} \sqrt{2}=\sqrt{2} .
\end{aligned}
\]

Значит, каждому $f$ из $\mathfrak{O}$ соответствует $f_{m}$ из последовательности $f_{1}$, $f_{2}, \ldots$ с различными $f_{m}$ для различных $f$. Следовательно, $\mathfrak{O}$ или конечна, или является последовательностью.

Как и при доказательстве теоремы $3^{(n)}$, показывается, что если в $\mathfrak{R}$ есть $>m$ линенно-независимьх элементов, то система $\varphi_{1}, \ldots, \varphi_{m}$ не может быть полной Однако поскольку в силу $C^{(\infty)}$. при любом $m$ в $\Re$ имеется больше $m$ линейно-независимых векторов, то полная система должна быть бесконечной.

Следующие теоремы в той мере, в какой они говорят о сходимости, относятся только к $\boldsymbol{C}^{(\infty)}$., однако желательно их сформулировать в общей форме, имея в внду другие утверждения, которые в них содержатся.
${ }^{49}$ ) Пусть система $\varphi_{1}, \varphi_{2}, \ldots$ полна. Тогда система $\varphi_{2}, \varphi_{3}, \ldots$ не полна, хотя она и бесконечна!

Теорема 4. Пусть $\varphi_{1}, \varphi_{2}, \ldots$ – ортонормированная система. бесконечно много членов, абсолютно сходятся. В частности, для $f=g$ всегда $\sum_{
u}\left|\left(f, \varphi_{
u}\right)\right|^{2} \leqq\|f\|^{2}$.
Доказательство. Пусть $a_{v}=\left(f, \varphi_{
u}\right),
u=1,2, \ldots$ Тогда $f-\sum_{
u=1}^{N} a_{
u} \varphi_{
u}=\psi$ ортогональна ко всем $\varphi_{
u},
u=1,2, \ldots, N$ (ср. доказательство теоремы $3^{(n)}$ ). Поскольку $f=\sum_{
u=1}^{N} a_{
u} \varphi_{
u}+\psi$, то
\[
\begin{aligned}
(f, f)=\sum_{
u=1}^{N} a_{\mu} \bar{a}_{
u}\left(\varphi_{\mu}, \varphi_{
u}\right)+\sum_{
u=1}^{N} \bar{a}_{
u}\left(\psi, \varphi_{
u}\right) & +\sum_{
u=1}^{N} a_{
u}\left(\varphi_{
u}, \psi\right)+(\psi, \psi)= \\
& =\sum_{
u=1}^{N}\left|a_{
u}\right|^{2}+(\psi, \psi) \geqq \sum_{
u=1}^{N}\left|a_{
u}\right|^{2},
\end{aligned}
\]
т. е. $\sum_{
u=1}^{N}\left|a_{
u}\right|^{2} \leqq\|f\|^{2}$. Если система $\varphi_{1}, \varphi_{2}, \ldots$ конечна, то прямо следует, что
\[
\sum_{
u}\left|a_{v}\right|^{2}=\|f\|^{2}
\]

если же она бесконечна, то при $N \rightarrow \infty$ мы убеждаемся в абсолютной сходимости $\sum_{
u}\left|a_{
u}\right|^{2}$ и в том, что $\sum_{
u}\left|a_{
u}\right|^{2} \leqq\|f\|^{2}$. Тем самым второе утверждение доказано.

Вследствие того, что $\left|\left(f, \varphi_{
u}\right) \overline{\left(g, \varphi_{
u}\right)}\right| \leqq \frac{1}{2}\left\{\left|\left(f, \varphi_{
u}\right)\right|^{2}+\left|\left(g, \varphi_{
u}\right)\right|^{2}\right\}$, более общее утверждение о сходимости – первое предложение теоремы – следует из уже установленного факта сходимости.
Теорема 5. Пусть $\varphi_{1}, \varphi_{2}, \ldots$ – бесконечная ортонормированная система. Тогда ряд $\sum_{
u=1}^{\infty} x_{y} \varphi_{
u}$ сходится тогда и только тогда, когда сходится ряд $\sum_{
u=1}^{\infty}\left|x_{v}\right|^{2}$ (члены последнего ряда суть вещественные неотрицательные числа и, следовательно, ряд или сходится, или собственно расходится к $+\infty$ ).
Доказательство. Поскольку высказанное предложение нетривиально лишь для $C^{(\infty)}$., то мы можем пользоваться $\boldsymbol{D}$. – критерием сходимости Коши. Согласно ему сумма $\sum_{
u=1}^{\infty} x_{
u} \varphi_{
u}$ сходится, иными сло-

—————————————————————-
0006ru_fizik_kvant_book11_page-0047.jpg.txt

46
ОБЩИЕ СВОИСТВА ГИЛЬБЕРТОВА ПРОСТРАНСТВА
[ГЛ. II
вами, последовательность частных сумм $\sum_{v=1}^{N} x_{
u} \varphi$, сходится при $N \rightarrow \infty$ тогда, когда для любого $\varepsilon>0$ существует некоторое $N=N(\varepsilon)$ такое, что для $L, M \geqq N$ будет $\left\|\sum_{
u=1}^{L} x_{
u} \varphi_{
u}-\sum_{
u=1}^{M} x_{
u} \varphi_{
u}\right\|<\varepsilon$. Мы предположим, что $L>M \geqq N$, тогда
\[
\begin{array}{l}
\left\|\sum_{
u=1}^{L} x_{
u} \varphi_{
u}-\sum_{
u=1}^{M} x_{v} \varphi_{
u}\right\|=\left\|\sum_{
u=M+1}^{L} x_{
u} \varphi_{
u}\right\|<\varepsilon, \\
\sum_{
u=M+1}^{L} x_{
u} \varphi_{
u} \|^{2}=\left(\sum_{
u=\bar{M}+1}^{L} x_{
u} \varphi_{
u}, \sum_{
u=M+1}^{L} x_{
u} \varphi_{
u}\right)= \\
= \sum_{\mu,
u=M+1}^{L} x_{\mu} \bar{x}_{v}\left(\varphi_{\mu}, \varphi_{
u}\right)=\sum_{
u=M+1}^{L}\left|x_{
u}\right|^{2}=\sum_{
u=1}^{L}\left|x_{
u}\right|^{2}-\sum_{
u=1}^{M}\left|x_{
u}\right|^{2} .
\end{array}
\]

Следовательно,
\[
0 \leqq \sum_{
u=1}^{L}\left|x_{
u}\right|^{2}-\sum_{
u=1}^{M}\left|x_{
u}\right|^{2}<\varepsilon^{2} .
\]

Однако это есть в точности условие сходимости Коши для последовательности $\sum_{
u=1}^{N}\left|x_{
u}\right|^{2}, N \rightarrow \infty$, т. е. для ряда $\sum_{
u=1}^{\infty}\left|x_{
u}\right|^{2}$.
Следствие. При $f=\sum_{v} x_{
u} \varphi_{
u},\left(f, \varphi_{
u}\right)=x_{
u}$ (независимо от того, является ли ортонормированная система конечной или бесконечной, однако в последнем случае, конечно, предполагается сходимость).
Доказательство. При $N \geqq
u$ имеем
\[
\left(\sum_{\mu=1}^{N} x_{\mu} \varphi_{\mu}, \varphi_{
u}\right)=\sum_{\mu=1}^{N} x_{\mu}\left(\varphi_{\mu}, \varphi_{
u}\right)=x_{
u} .
\]

В случае конечной системы $\varphi_{1}, \varphi_{2}, \ldots$ мы можем положить $N$ равным наибольшему индексу. Для бесконечной системы $\varphi_{1}, \varphi_{2}, \ldots$ можно считать $N \rightarrow \infty$, вследствие непрерывности внутреннего произведения. В обоих случаях мы получаем $\left(f, \varphi_{\mu}\right)=x_{\mu}$.
Теорема 6. Пусть $\varphi_{1}, \varphi_{2}, \ldots$ ортонормированная система, а $f$ произвольно. Тогда $f^{\prime}=\sum_{
u} x_{
u} \varphi_{
u}, x_{
u}=\left(f, \varphi_{
u}\right)(
u=1,2, \ldots)$ всегда сходится, если ряд бесконечен. Выражение $f-f^{\prime}$ ортогонально к $\varphi_{1}, \varphi_{2}, \ldots$
Доказательство. Сходимость следует из теорем 4., 5.; согласно следствию теоремы 5. имеем $\left(f^{\prime}, \varphi_{
u}\right)=x_{
u}=\left(f, \varphi_{
u}\right)$, $\left(f-f^{\prime}, \varphi_{
u}\right)=0$.

—————————————————————-
0006ru_fizik_kvant_book11_page-0048.jpg.txt

2]
ГЕОМЕТРИЯ ГИЛЬБЕРПОВА ПРОСТРАНСТВА
47
После этой подготовки мы можем дать общий, т. е. пригодный даже для $\mathbf{C}^{(\infty)}$. критерий полноты ортонормированной системы.
Теорема 7. Пусть $\varphi_{1}, \varphi_{2}, \ldots$ – ортонормированная система. Тогда для полноты системы необходимо и достаточно каждое из следующих условий:
$\boldsymbol{a})$ Растягиваемое $\varphi_{1}, \varphi_{2}, \ldots$ замкнутое линеиное многообразие $\left[\varphi_{1}, \varphi_{2}, \ldots\right]$ равно $\Re$.
ß) Всегда $f=\sum_{
u} x_{
u} \varphi_{
u}$, где $x_{
u}=\left(f, \varphi_{
u}\right)(
u=1,2, \ldots$ сумма сходится по теореме 6.).
$\gamma)$ Всегда $(f ; g)=\sum_{
u}\left(f, \varphi_{
u}\right) \overline{\left(g, \varphi_{
u}\right)}$ (сумма сходится абсолютно по теореме 4.).
Доказательство. Если $\varphi_{1}, \varphi_{2}, \ldots$ полна, то $f-\sum_{v} x_{v} \varphi_{
u}$ равно нулю $\left(x_{y}=\left(f, \varphi_{y}\right),
u=1,2, \ldots\right)$, поскольку $f$ ортогонально к $\varphi_{1}, \varphi_{2}, \ldots$ в силу теоремы 6 . и тогда $\beta$ ) удовлетворено. Если $\beta$ ) выполняется, то каждый $f$ есть предел своих частных сумм $\sum_{
u=1}^{N} x_{v} \varphi_{v}, N \rightarrow \infty$ (если $\varphi_{1}, \varphi_{2}, \ldots$ в самом деле бесконечна) и, следовательно, принадлежит к $\left[\varphi_{1}, \varphi_{2}, \ldots\right]$. Отсюда $\left[\varphi_{1}, \varphi_{2}, \ldots\right]=\mathfrak{R}$, т. е. $\boldsymbol{\alpha}$ ) удовлетворено. Если $\boldsymbol{\alpha}$ ) выполняется, мы можем рассуждать следующим образом: Если $f$ ортогонален ко всем $\varphi_{1}, \varphi_{2}, \ldots$ то он также ортогонален ко всем их линеиным комбинациям, и, в силу непрерывности, также ко всем предельным точкам оных, т. е. ко всему $\left[\varphi_{1}, \varphi_{2}, \ldots\right]$. Следовательно, он ортогонален ко всему $\Re$, а значит, и к себе самому: $(f, f)=0, f=0$. И, следовательно, $\varphi_{1}, \varphi_{2}, \ldots$ полна.
Итак, мы имеем такую логическую схему:
\[
\text { полнота } \rightarrow \beta) \rightarrow \alpha) \rightarrow \text { полнота. }
\]

Тем самым показано, что $\boldsymbol{\alpha}$ ) или $\beta$ ) действительно необходимые и достаточные условия полноты.

Из $\boldsymbol{\gamma}$ ) следует, что если $f$ ортогонален ко всем $\varphi_{1}, \varphi_{2}, \ldots$ и если мы положим $f=g$, то получим $(f, f)=\sum_{
u} 0 \cdot 0=0, f=0$, тем самым $\varphi_{1}, \varphi_{2}, \ldots$ полна. С другой стороны, из $\beta$ ) (которое ведь теперь эквивалентно полноте) следует
\[
\begin{aligned}
(f, g) & =\lim _{N \rightarrow \infty}\left(\sum_{
u=1}^{N}\left(f, \varphi_{
u}\right) \cdot \varphi_{
u}, \sum_{
u=1}^{N}\left(g, \varphi_{
u}\right) \cdot \varphi_{
u}\right)= \\
& \left.=\lim _{N \rightarrow \infty} \sum_{
u,
u=1}^{N}\left(f, \varphi_{
u}\right) \overline{\left(g, \varphi_{
u}\right.}\right)\left(\varphi_{p}, \varphi_{
u}\right)= \\
& \left.\left.=\lim _{N \rightarrow \infty} \sum_{
u=1}^{N}\left(f, \varphi_{
u}\right) \overline{\left(g, \varphi_{
u}\right.}\right)=\sum_{
u=1}^{\infty}\left(f, \varphi_{
u}\right) \overline{\left(g, \varphi_{
u}\right.}\right)
\end{aligned}
\]

—————————————————————-
0006ru_fizik_kvant_book11_page-0049.jpg.txt

48
ОБЩИЕ СВОЙСТВА ГИЛЬБЕРТОВА ПРОСТРАНСТВА
[гл. It
(если система $\varphi_{1}, \varphi_{2}, \ldots$ конечна, то в предельном процессе нет необходимости), т. е. $\gamma$ ). Итак, $\gamma$ ) тоже является необходимым и достаточным условием.
Теорема 8. Каждой последовательности $f_{1}, f_{2}, \ldots$ соответствует некая ортонормированная система $\varphi_{1}, \varphi_{2}, \ldots$ на которую натягивается то же самое линейное многообразие, что и на исходную последовательность (обе последовательности могут быть конечны).
Доказательство. Сначала заменим $f_{1}, f_{2}, \ldots$ подпоследовательностью $g_{1}, g_{2}, \ldots$, которая растягивает то же линейное многообразие и состоит из линейно-независимых элементов. Это можно сделать так: Пусть $g_{1}$ – первый из элементов $f_{n}$, отличный от нуля; $g_{2}$ – первый из $f_{n}$, отличный от всех $a_{1} g_{1} ; g_{3}$ – первый из $f_{n}$, отличныЙ от всех $a_{1} g_{1}+a_{2} g_{2} ; \ldots$ (Если для какого-либо $p$ не существует ни одного $f_{n}$, отличного от всех $a_{1} g_{1}+\ldots+a_{p} g_{p}$. мы обрываем систему на $g_{p}$.) Такие $g_{1}, g_{2} \ldots$ обеспечат, очевидно, желаемый результат.
Образуем теперь
\[
\begin{array}{ll}
\gamma_{1}=g_{1}, & \varphi_{1}=\frac{1}{\left\|\gamma_{1}\right\|} \cdot \gamma_{1}, \\
\gamma_{2}=g_{2}-\left(g_{2}, \varphi_{1}\right) \cdot \varphi_{1}, & \varphi_{2}=\frac{1}{\left\|\gamma_{2}\right\|} \cdot \gamma_{2}, \\
\gamma_{3}=g_{3}-\left(g_{3}, \varphi_{1}\right) \cdot \varphi_{1}-\left(g_{3}, \varphi_{2}\right) \cdot \varphi_{2}, & \varphi_{3}=\frac{1}{\left\|\gamma_{3}\right\|} \cdot \gamma_{3},
\end{array}
\]
(Это-известный «процесс ортогонализации» E. Schmidt’a.) Построение каждого из $\varphi_{p}$ действительно возможно, т. е. все знаменатели $\left\|\gamma_{p}\right\|$ отличны от нуля, ибо, иначе, будь $\left\|\gamma_{p}\right\|=0, g_{p}$ было бы линеиной комбинацией $\varphi_{1}, \ldots, \varphi_{p-1}$, т. е. линейной комбинацией $g_{1}, \ldots, g_{p-1}$, что противоречит допущенному. Далее ясно, что $g_{p}$ – линейная комбинация $\varphi_{1}, \varphi_{2}, \ldots$ а $\varphi_{p}$-линеинная комбинация $g_{1}, \ldots, g_{p}$, следовательно $g_{1}, g_{2}, \ldots$ и $\varphi_{1}, \varphi_{2}, \ldots$ определяют одно и то же линеинное многообразие.

Наконец, по построению $\left\|\varphi_{p}\right\|=1$ и для $q<p \quad\left(\Upsilon_{p}, \varphi_{q}\right)=0$, следовательно и $\left(\varphi_{p}, \varphi_{q}\right)=0$. Поскольку мы можем поменять $p$ и $q$ местами, то последнее справедливо всегда для $p
eq q$. Следовательно, $\varphi_{1}, \varphi_{2}, \ldots$ есть ортонормированная система.
Теорема 9. Для всякого замкнутого линейного многообразия $\mathfrak{R}$ найдется ортонормированная система, как раз растягивающая $\mathfrak{R}$, как замкнутое линенное многообразие.
Доказательство. В случае $\boldsymbol{C}^{(\boldsymbol{n})}$. эта теорема самоочевидна, ибо если $\mathfrak{R}$ удовлетворяет $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}$, и $C^{(\boldsymbol{n})}$, кажде линейное многообразие $\mathfrak{R}$ в $\mathfrak{N}$ удовлетворяет $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}$. и $\boldsymbol{C}^{(m)}$. с некоторым $m \leqq n$, так что к $\mathfrak{M}$ применимо замечание к теореме $3^{(n)}$ : существует ортонормальная система $\varphi_{1}, \ldots, \varphi_{m}$, полная в $\mathfrak{R}$, что, вследствие теоремы 7. a), и есть в точности утверждение, которое надо доказать. (Как можно видеть, предпосылка о замкнутом характере $\mathfrak{M}$ сама по себе не необходима, поскольку она фактически доказывается. Ср. со сказанным перед определением 5.)

В случае $\boldsymbol{C}^{(\infty)}$. напомним, что, согласно $\boldsymbol{E} ., \mathfrak{R}$ сепарабельно. Мы хотим показать, что то же будет для $\mathfrak{M}$ – что вообще любое подмножество $\mathfrak{R}$ сепарабельно. С этой целью образуем последовательность $f_{1}, f_{2}, \ldots$, всюду плотную в $\mathfrak{R}$ (ср. $\boldsymbol{E}$. в II. 1 ), и для каждого $f_{n}$ и $m=1,2, \ldots$ построим шар $\mathfrak{R}_{n m}$, содержащий все $f$ с $\left\|f-f_{n}\right\|<\frac{1}{m}$. Для каждого $\mathfrak{R}_{n m}$, содержащего точки из $\mathfrak{M}$, выберем одну такую точку $g_{n m}$. Итак, для некоторых $n$ и $m$ такие точки $g_{n m}$ могут быть не определены, но определенные точки $g_{n m}$ образуют последовательность в $\mathfrak{M}{ }^{50}$ ). Пусть $f$-любая точка из $\mathfrak{M}$ и $\varepsilon>0$. Тогда существует некоторое $m$ такое, что $\frac{1}{m}<\frac{\boldsymbol{\varepsilon}}{2}$, и некоторый $f_{n}$ такой, что $\left\|f_{n}-f\right\|<\frac{1}{m}$. Поскольку $\mathfrak{R}_{n m}$ теперь содержит точку из $\mathfrak{M}$ (именно $f$ ), то $g_{n m}$ определена и $\left\|f_{n}-g_{n m}\right\|<\frac{1}{m}$, значит, $\left\|f-g_{n m}\right\|<\frac{2}{m}<\varepsilon$. Следовательно, $f$ есть предельная точка определенных выше $g_{n m}$ и, значит, эта последовательность приводит нас к желанному результату.

Обозначим через $f_{1}, f_{2}, \ldots$ последовательность из $\mathfrak{M}$, всюду плотную в $\mathfrak{R}$. Замкнутое линеинне многообразие, определяемое ею $\left[f_{1}, f_{2}, \ldots\right]$, содержит все свои предельные точки и, следовательно, все $\mathfrak{M}$; однако поскольку $\mathfrak{M}$ есть замкнутое линейное многообразие, a $f_{1}, f_{2}, \ldots$ принадлежат ему, то, следовательно, $\left[f_{1}, f_{2}, \ldots\right]$ есть часть его, следовательно, оно равно $\mathfrak{M}$. Выберем теперь по теореме 8. ортонормированную систему $\varphi_{1}, \varphi_{2}, \ldots$ Тогда $\left\{\varphi_{1}, \varphi_{2}, \ldots\right\}=$ $=\left\{f_{1}, f_{2}, \ldots\right\}$, и если мы присоединим к обеим сторонам предельные точки, то получим $\left[\varphi_{1}, \varphi_{2}, \ldots\right]=\left[f_{1}, f_{2}, \ldots\right]=\mathfrak{D}$. В этом и состояло наше утверждение.

Надо теперь только положить в теореме 9. $\mathfrak{R}=\mathfrak{R}$, и мы получим по теореме 7. а) полную ортонормированную систему $\varphi_{1}, \varphi_{2}, \ldots$. Итак: существуют полнне ортонормированные системы. На основании такой системы мы можем теперь показать, что простран-
50) Вспомним, что двойная последовательность $g_{n m}(n, m=1,2, \ldots$ ) может быть записана и как простая последовательность $g_{11}, g_{12}, g_{21}, g_{13}$, $g_{22}, g_{31}, \ldots$
4 и. Нейман
[Гл, 11
ство $\mathfrak{R}$ есть $\mathfrak{R}_{n}$ или $\Re_{\infty}$ (судя по тому, имеет ли место $C^{(n)}$. или $C^{(\infty)}$. ), т. е. полностью определить его свонства.

Нам осталось только показать, что $\Re$ допускает одно-однозначное отображение на множество всех $\left\{x_{1}, \ldots, x_{n}\right\}$ или всех $\left\{x_{1}, x_{2}, \ldots\right\}$ $\left(\sum_{v=1}^{\infty}\left|x_{v}\right|^{2}\right.$ конечна $)$.
1. Из $f \leftrightarrow\left\{x_{1}, x_{2}, \ldots\right\}$ следует $a f \leftrightarrow\left\{a x_{1}, a x_{2}, \ldots\right\}$.
2. Из $\left\{\begin{array}{l}f \leftrightarrow\left\{x_{1}, x_{2}, \ldots\right\} \\ g \leftrightarrow\left\{y_{1}, y_{2}, \ldots\right\}\end{array}\right\}$ следует $f+g \leftrightarrow\left\{x_{1}+y_{1}, x_{2}+y_{2}, ..\right\}$.
3. Из $\left\{\begin{array}{l}f \leftrightarrow\left\{x_{1}, x_{2}, \ldots\right\} \\ g \leftrightarrow\left\{y_{1}, y_{2}, \ldots\right\}\end{array}\right\}$ следует $(f, g)=\sum_{
u=1}^{n \text { или } \infty} x_{v} \bar{y}_{v}$.
(в бесконечном случае в 3. надо еще показать наличие абсолютной сходимости). Правило этого сопоставления $f \leftrightarrow\left\{x_{1}, x_{2}, \ldots\right\}$ мы сећчас приведем.

Пусть $\varphi_{1}, \varphi_{2}, \ldots$ – полная ортонормированная система; в случае $\boldsymbol{C}^{(\boldsymbol{n})}$. она обрывается на $\varphi_{n}$, в случае $\boldsymbol{C}^{(\infty)}$. она бесконечна (теоремы $3^{(n)}$. и $3^{(\infty)}$ ). Положим
\[
f=\sum_{i=1}^{n \text { нли } \infty} x_{
u} \varphi_{
u} .
\]

В силу теоремы 5. этот ряд сходится и в бесконечном случае (поскольку $\sum_{
u=1}^{\infty}\left|x_{
u}\right|^{2}$ конечна), т. е. пространства $\Re_{n}$ или соответственно $\mathfrak{R}_{\infty}$ им полностью исчерпываются. Но в силу теоремы 7. $\beta$ ) и поскольку $\sum_{
u=1}^{n \text { или } \infty}\left|\left(f, \varphi_{
u}\right)\right|^{2}$ конечна (теорема 4.), элементы $\Re$ также будут исчерпаны [следует подставить $x_{v}=\left(f_{v}, \varphi_{
u}\right)$ ]. Очевидно, что только один $f$ соответствует каждому $\left\{x_{1}, x_{2}, \ldots\right\}$, в то время как обратное следует из следствия теоремы 5..

Утверждения 1. и 2. выполнены очевидным образом, а 3. следует из теоремы 7. $\gamma$ ).
3. Отступление: Об условиях $\boldsymbol{A}-\boldsymbol{E} .{ }^{51}$ )
Мы еще должны доказать утверждение 2. из I. 4: что $F_{Z}, F_{\mathcal{Q}}$ действительно выполняют условия $\boldsymbol{A}$. – $\boldsymbol{E}$.. При этом достаточно рассмотреть $F_{8}$, так как мы уже показали в II. 2 , что $\Re$ с $\boldsymbol{A},-\boldsymbol{E}$. по всем своим своиствам идентично с $\mathfrak{R}_{\infty}$, т. е. с $F_{Z}$, так что A.-E. должны выполняться и для $F_{Z}$. Кроме того, мы докажем
51) Этот раздел не является необходимым для понимания дальнейших частей текста.