Уравнение
$$\mathrm{H}\phi =\lambda \phi$$

и требование, чтобы из его решений можно было построить полную ортонормированную систему, перенесены по аналогии из конечномерного ${\mathfrak{R}}_n$.

В ${\mathrm{\Re }}_n,\mathrm{H}$ — это матрица $\left\{h_{\mu u}\right\},\mu ,u=1,\dots ,n;h_{\mu u}={\overrightarrow{h}}_{u\mu }$, и тот факт, что решения $\phi =\{x_1,x_2,\dots ,x_n\}$ уравнения $Н\phi =\lambda \phi$, т. е.
$$\sum _{u=1}^n{h}_{\mu u}{x}_u=\lambda x_{\mu },$$

содержат полную ортонормированную систему, хорошо известен в алгебре ${}^{71}$ ).

Это свойство ${\mathrm{\Re }}_n$, как мы видели, не может быть перенесено в ${\mathrm{\Re }}_0$ непосредственным переходом $n\to \mathrm{\infty }$. Таким образом, проблема собственных значений в ${\mathrm{\Re }}_{\mathrm{\infty }}$ должна быть сформулирована иным способом. Сеичас мы увидим, что проблема собственных значений в ${\mathfrak{R}}_n$ может быть преобразована к такому виду, что в этой новой формулировке (которая в ${\mathfrak{R}}_n$ эквивалентна старой) переход к $n\to \mathrm{\infty }$ становится возможен. Иными словами, обе формулировки выражают во всех ${\mathfrak{R}}_n(n=1,2,\dots$ ) одно и то же (а именно — что эрмитову матрицу можно привести к главным осям), но одна может быть распространена на ${\mathfrak{R}}_{\mathrm{\infty }}$, в то время как другая, напротив, нет.

Пусть $\{x_{11},\dots ,x_{1n}\},\dots ,\{x_{n1},\dots ,x_{nn}\}$ будет полной ортонормированной системой из решений уравнения для собственных значении и ${\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_n$ будут соответствующие $\lambda$. Итак, векторы $\{x_{11},\dots ,x_{1n}\},\dots ,\{x_{n1},\dots ,x_{nn}\}$ образуют декартову систему координат в ${\mathfrak{A}}_n$. Тогда формулы преобразования координат ${\mathfrak{x}}_1,\dots ,{\mathfrak{x}}_n$ в этой координатной системе к некоторым другим ${\xi }_1,\dots ,{\xi }_n$ имеют вид
$$\{{\xi }_1,\dots ,{\xi }_n\}={\mathfrak{g}}_1\{x_{11},\dots ,x_{1n}\}+\dots +{\mathfrak{r}}_n\{x_{n1},\dots ,x_{nn}\},$$
т. e.
$${\xi }_1=\sum _{\mu =1}^n{x}_{\mu ,1}{\mathfrak{x}}_{\mu },\dots {\xi }_n=\sum _{\mu =1}^n{x}_{\mu n}{\mathfrak{r}}_{\mu },$$

а для обратного преобразования
$${\mathrm{x}}_1=\sum _{\mu =1}^n{\overline{x}}_{1\mu }{\xi }_{\mu },\dots ,{\mathrm{z}}_n=\sum _{\mu =1}^n{\overline{x}}_{n\mu }{\xi }_{\mu }.$$
${}^{71)}\mathrm{C}$. книгу Куранта и Гильберта, цитированную в прим. ${}^{30}$ ), стр. 25.
$6^{\ast }$
Мы можем записать условия $\sum _{u=1}^n{h}_{\mu u}{x}_{\rho u}={\lambda }_{\rho }{x}_{\rho \mu }$ с помощью переменных ${\mathfrak{x}}_1,\dots ,{\mathfrak{x}}_n$ и нового ряда переменных ${\eta }_1,\dots ,{\eta }_n$ (с соответствующими им по предыдущей формуле ${\mathfrak{y}}_1,\dots ,{\mathfrak{y}}_n$ ) в виде
т. e.
$$\sum _{\rho ,\mu =1}^n\left(\sum _{u=1}^n{h}_{\mu u}{x}_{\rho u}\right)x_{\rho }{\overline{\eta }}_{\mu }=\sum _{\rho ,\mu =1}^n{\lambda }_{\rho }{x}_{\rho \mu }{x}_{\rho }{\overline{\eta }}_{\mu }$$
(D.)
$$\sum _{\mu ,u=1}^n{h}_{\mu u}{\xi }_u{\overline{\eta }}_{p^2}=\sum _{\rho =1}^n{\lambda }_{\rho }\left(\sum _{\mu =1}^n{\overline{x}}_{\rho \mu }{\xi }_{\mu }\right)\overline{(\sum _{p=1}^n{\overline{x}}_{\rho \mu }{\eta }_{\mu }}).$$

Тогда декартов характер координатнои системы выражается формулой
$$\sum _{\mu =1}^n{\xi }_{\mu }{\overline{\eta }}_{\mu }=\sum _{\rho =1}^n\left(\sum _{\mu =1}^n{\overline{x}}_{\rho \mu }{\xi }_{\mu }\right)\left(\overline{\sum _{\mu =1}^n{\overline{x}}_{\rho \mu }{\eta }_{\mu }}\right).$$

Итак, отыскание матрицы $\left\{x_{\mu u}\right\}$ со свойствами $D$. и $\mathit{O}$. — вот что эквивалентно в ${\mathfrak{R}}_n$ решению проблемы собственных значений; в такой форме переход к ${\mathfrak{R}}_{\mathrm{\infty }}$ нам не удался. Эта неудача отнюдь не неожиданна по следующей причине. Именно, условия $\mathit{D}$. и $\mathit{O}$. не определяют неизвестные ${\lambda }_{\rho }$ и $x_{\mu u}$ полностью. В самом деле, как показывает теория этого «приведения к главным осям» (см. прим. ${}^{71}$ ), стр. 83), величины ${\lambda }_p$ определяются единственным образом с точностью до порядка, но положение с $x_{\mu u}$ гораздо хуже. Очевидно, что каждую строку $x_{\rho 1},\dots ,x_{\rho n}$ можно домножить на множитель ${\vartheta }_{\rho }$ абсолютной величины 1 , если же некоторые ${\lambda }_{\rho }$ совпадают, то возможно даже произвольное унитарное преобразование соответствующих строк $x_{\rho 1},\dots ,x_{\rho n}$ ! Безнадежно пытаться совершить трудный переход к пределу $n\to \mathrm{\infty }$ с такими однозначно не закрепленными величинами: в самом деле, как может сходиться процесс, если по дороге ${\lambda }_{\rho }$ и $x_{\mu u}$ могут по произволу испытывать большие колебания, которые оказываются возможными вследствие неполноты в их определении!

Но это указывает нам путь для правильного подхода к задаче: мы должны прежде всего попығаться заменить условия $\mathit{D}$. и $\mathit{O}$. и неизвестные ${\lambda }_{\rho }$ и $x_{\mu u}$ такими, которые обладают недостающими свойствами однозначности — после этого, как мы покажем, переход к пределу будет представлять уже меньшие трудности.

Если $l$ есть некоторое значение, которое принимает одно или несколько из ${\lambda }_{\rho }$, то выражение
$$\sum _{{\lambda }_{\rho }=l}\left(\sum _{\mu =1}^n{\overline{x}}_{\rho {\mu }^{\xi }}\right)\overline{\sum _{\mu =1}^n{\overline{x}}_{\rho \mu }{\eta }_{\mu }})$$
Мы можем записать условия $\sum _{u=1}^n{h}_{\mu u}{x}_{\rho u}={\lambda }_{\rho }{x}_{\rho \mu }$ с помощью переменных ${\mathfrak{x}}_1,\dots ,{\mathfrak{x}}_n$ и нового ряда переменных ${\eta }_1,\dots ,{\eta }_n$ (с соответствующими им по предыдущей формуле ${\mathfrak{y}}_1,\dots ,{\mathfrak{y}}_n$ ) в виде
т. e.
$$\sum _{\rho ,\mu =1}^n\left(\sum _{u=1}^n{h}_{\mu u}{x}_{\rho u}\right)x_{\rho }{\overline{\eta }}_{\mu }=\sum _{\rho ,\mu =1}^n{\lambda }_{\rho }{x}_{\rho \mu }{x}_{\rho }{\overline{\eta }}_{\mu },$$
(D.)
$$\sum _{\mu ,u=1}^n{h}_{\mu u}{\xi }_u{\overline{\eta }}_{\mu u}=\sum _{\rho =1}^n{\lambda }_{\rho }\left(\sum _{\mu =1}^n{\overline{x}}_{\rho \mu }{\xi }_{\mu }\right)\overline{(\sum _{\mu =1}^n{\overline{x}}_{\rho \mu }{\eta }_{\mu }}).$$

Тогда декартов характер координатной системы выражается формулой
$$\sum _{\mu =1}^n{\xi }_{\mu }{\overline{\eta }}_{\mu 2}=\sum _{\rho =1}^n\left(\sum _{\mu =1}^n{\overline{x}}_{\rho \mu }{\xi }_{\mu }\right)\left(\overline{\sum _{\mu =1}^n{\overline{x}}_{\rho \mu }{\eta }_{\mu \mu }}\right).$$

Итак, отыскание матрицы $\left\{x_{\mu u}\right\}$ со свойствами $D$. и $\mathit{O}$. — вот что эквивалентно в ${\mathfrak{R}}_n$ решению проблемы собственных значений; в такой форме переход к ${\mathfrak{R}}_{\mathrm{\infty }}$ нам не удался. Эта неудача отнюдь не неожиданна по следующей причине. Именно, условия $\mathit{D}$. и $\mathit{O}$. не определяют неизвестные ${\lambda }_{\rho }$ и $x_{\mu u}$ полностью. В самом деле, как показывает теория этого «приведения к главным осям» (см. прим. ${}^{71}$ ), стр. 83), величины ${\lambda }_p$ определяются единственным образом с точностью до порядка, но положение с $x_{\mu u}$ гораздо хуже. Очевидно, что каждую строку $x_{\rho 1},\dots ,x_{\rho n}$ можно домножить на множитель ${\vartheta }_{\rho }$ абсолютной величины 1 , если же некоторые ${\lambda }_{\rho }$ совпадают, то возможно даже произвольное унитарное преобразование соответствующих строк $x_{\rho 1},\dots ,x_{\rho n}$ ! Безнадежно пытаться совершить трудный переход к пределу $n\to \mathrm{\infty }$ с такими однозначно не закрепленными величинами: в самом деле, как может сходиться процесс, если по дороге ${\lambda }_{\rho }$ и $x_{\mu u}$ могут по произволу испытывать большие колебания, которые оказываются возможными вследствие неполноты в их определении!

Но это указывает нам путь для правильного подхода к задаче: мы должны прежде всего попытаться заменить условия $\mathit{D}$. и $\mathit{O}$. и неизвестные ${\lambda }_{\rho }$ и $x_{\mu u}$ такими, которые обладают недостающими свойствами однозначности — после этого, как мы покажем, переход к пределу будет представлять уже меньшие трудности.

Если $l$ есть некоторое значение, которое принимает одно или несколько из ${\lambda }_{\rho }$, то выражение
$$\sum _{{\lambda }_p=l}\left(\sum _{\mu =1}^n{\overline{x}}_{\rho \mu }{\xi }_{\mu }\right)\overline{\sum _{\mu =1}^n{\overline{x}}_{\rho \mu }{\eta }_{\mu }}$$

—————————————————————-
0006ru_fizik_kvant_book11_page-0087.jpg.txt

86
ОБЩИЕ СВОИСТВА ГИЛЬБЕРТОВА ПРОСТРАНСТВА
[Гл. II
Следовательно, матрицы эти таковы: нули всюду, кроме диагонали, 1 на $\rho$-м месте диагонали, если ${\lambda }_{\rho }\leqq l^{\prime }$ или соответственно $l^{\prime \prime }$, в противном случае также нуль. Для таких матриц высказанное выше утверждение очевидно.
Переформулируем теперь еще и D.. Оно означает, очевидно,
$$\sum _{\mu ,u=1}^n{h}_{t,u}{\xi }_u{\overline{\eta }}_{\mu }=\sum _{\tau =1}^m{l}_{\tau }\{E(l_{\tau };\xi ,\eta )-E(l_{\tau -1};\xi ,\eta )\}$$
$(l_0$-какое-нибудь число, меньшее $l_1)$. Но поскольку $E(l;\xi ,\eta )$ постоянно на каждом из отрезков

то для любого набора чисел

если $l_1,\dots ,l_m$ входят в число ${\mathrm{\Lambda }}_1,\dots ,{\mathrm{\Lambda }}_k$, выполняется
$$\sum _{\mu ,u=1}^n{h}_{\mu u}{\xi }_u{\overline{\eta }}_{\mu }=\sum _{\tau =1}^k{\mathrm{\Lambda }}_{\tau }\{E({\mathrm{\Lambda }}_{\tau };\xi ,\eta )-E({\mathrm{\Lambda }}_{\tau -1};\xi ,\eta )\}.$$

Применяя интеграл в смысле Стильтьеса ${}^{73}$ ), мы можем переписать это как
$$\sum _{\mu ,v=1}^n{h}_{\mu u}{\xi }_u{\overline{\eta }}_{\mu ,}={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}\lambda dE(\lambda ;\xi ,\eta )$$
73) Об интеграле в смысле Стильтьеса см. Perron, Die Lehre von den Kettenbrüchen, Leipzig, 1913, а также в смысле специального применения к требованиям операторной теории $\mathrm{C}$ a rleman, Eqquations intégrales singulières, Upsala, 1923. Читателю, менее заинтересованному в этих вещах, достаточно следующего определения: для разбиення ${\mathrm{\Lambda }}_0,{\mathrm{\Lambda }}_1,\dots ,{\mathrm{\Lambda }}_k$ интервала $a,b$,

образуем сумму

$$\sum _{\tau =1}^{k}f\left({\mathrm{\Lambda }}_{\tau }\right)\{g\left({\mathrm{\Lambda }}_{\tau }\right)-g\left({\mathrm{\Lambda }}_{\tau -1}\right)\}.$$

Если она всегда сходится, когда разбиения ${\mathrm{\Lambda }}_0,{\mathrm{\Lambda }}_1,{\mathrm{\Lambda }}_2,\dots ,{\mathrm{\Lambda }}_k$ делаются все меньше и меньше, то существует интеграл
$${\int }_a^{b}f(x)dg(x)$$

определяемый как предел сумм. (Для $g(x)=x$ он переходит в известный интеграл в смысле Римана.) [Относительно русских руководств по интегралу Стильтьеса ср. прим. ${}^{52}$ ) на стр. 51.-При.м. ред.]
$({\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}$ может быть, очевидно, заменен на любой ${\int }_a^b$, с , , или, если мы рассмотрим коэффициенты и напишем для самих матриц уравнение, справедливое для всех коэффициентов, то как
$$\mathrm{H}={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}\lambda dE(\lambda )$$

где $\mathrm{H}=\left\{h_{\mu ,u}\right\}$.
Итак, пока возникла следующая задача: Для данной эрмитовой матрицы $\mathrm{H}=\left\{h_{\mu ,u}\right\}$ надо разыскать семейтво эрмитовых матриц $E(\lambda )$ со следующими свойствами:
$S_1$. При достаточно $\left\{\begin{array}{l}\text{ малых }\\ \text{ больших }\end{array}\right\}\lambda ,E(\lambda )=\left\{\begin{array}{l}0\\ 1\end{array}\right\}.E(\lambda )$ (как функция от $\lambda$ ) постоянна всюду, за исключением конечного числа точек, где она изменяется скачками. Скачок всегда происходит слева от данной точки.
$S_2$. Всегда $E\left({\lambda }^{\prime }\right)E\left({\lambda }^{\prime \prime }\right)=E\left(\mathrm{Min}({\lambda }^{\prime },{\lambda }^{\prime \prime }){}^{74}\right)$.
$S_3$. Выполняется (с интегралом в смысле Стильтьеса)
$$\mathrm{H}={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}\lambda dE(\lambda )$$

Мы сенчас не будем останавливаться на обратном рассуждении отправляясь от $S_1$. $-S_3$. вернуться к решениям $D$. и $\mathit{O}$. (хотя это было бы совсем просто), потому что только последняя форма проблемы собственных значений будет нужна нам для квантовой механики. Вместо этого мы сразу перейдем к обобщению ${\mathit{S}}_1$. $-{\mathit{S}}_3$. от конечного на бесконечное число измерений, т. е. к переходу от ${\mathrm{\Re }}_n\kappa {\mathrm{\Re }}_{\mathrm{\infty }}$.

В ${\mathcal{P}}_{\mathrm{\infty }}^{\ast }$ мы, очевидно, должны понимать $\mathrm{H}$ и $E(\lambda )$ как эрмитовы операторы, — значит, мы должны будем попытаться найти для данного Н такое семейство $E(\lambda )$, чтобы они сопоставлялись ему некоторым определяемым по примеру $S_1$. $S_3$. образом. Должна быть найдена ${\mathrm{\Re }}_{\mathrm{\infty }}$-аналогия $S_1$. $-S_3$.!
${\mathit{S}}_2$. остается неизменным в этом переходе, поскольку число измерений ${\mathfrak{R}}_n$ не играет в нем никакой роли. Мы только переформулируем его, воспользовавшись результатами, полученными в связи
14) $\mathrm{Min}(a,b,\dots ,e)$ есть наименьшее, а $\mathrm{Max}(a,b,\dots ,e)$ — нанбольшее из конечного набора вещественных чисел $a,b,\dots ,e$.

с операторами проектирования (II. 4). Во-первых, это свойство утверждает, что $E(\lambda {)}^2=E(\lambda )$ при ${\lambda }^{\prime }={\lambda }^{\prime \prime }=\lambda$, т. е. $E(\lambda )$ являются операторами проектирования. Но тогда ${\mathit{S}}_2$. означает (мы можем ограничиться случаем ${\lambda }^{\prime }\leqq {\lambda }^{\prime \prime }$, поскольку для ${\lambda }^{\prime }\geqq {\lambda }^{\prime \prime }$ получится совершенно аналогичный результат), что из ${\lambda }^{\prime }\leqq {\lambda }^{\prime \prime }$ следует $E\left({\lambda }^{\prime }\right)\leqq E\left({\lambda }^{\prime \prime }\right)$ (ср. теорему 14. и последующий текст в II. 4).
${\mathit{S}}_3$. требует некоторой осторожности, поскольку выражение $A=$ $={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}\lambda dE(\lambda )$ непосредственно лишено смысла, так как интеграл
Стильтьеса определен для чисел, а не для операторов. Но легко заменить $\mathrm{H}$ и $E(\lambda )$ числами и это нас опять приведет к нужному операторному соотношению. Потребуем, чтобы для всех $f,g$ из ${\mathrm{\Re }}_{\mathrm{\infty }}$ выполнялось
$$(\mathrm{H}f,g)={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}\lambda d(E(\lambda )f,g)$$

если только $\mathrm{H}f$ имеет смысл. Соотношение $\mathrm{H}={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}\lambda dE(\lambda )$ следует понимать символически, только как сокращенную запись предыдущего.
${\mathit{S}}_{\mathbf{1}}$, , наконец, весьма существенно затрагивается переходом к бесконечному числу измерений. Точки, после которых $E(\lambda )$ становится равным 0 или 1 , или в которых $E(\lambda )$ испытывает скачки, соответствуют (в ${\mathfrak{R}}_n$ ) собственным значениям $\mathrm{H}$, а интервалы, где она постоянна — интервалам, свободным от собственных значений. Если теперь устремить $n\to \mathrm{\infty }$, то могут произойти самые разные вещи. Наибольшее и наименьшее значения могут уйти соответственно на $+\mathrm{\infty }$ или на $-\mathrm{\infty }$, но остальные, поскольку их становится все больше, могут стесниться все плотнее, так что интервалы постоянства могут постепенно стянуться в точки. (Этот последний признак указывает на то, что в гильбертовоЙ теории операторов при некоторых обстоятельствах появляется так называемый непрерывный спектр ${}^{75}$ ).) Мы должны, следовательно, изменить $S_1$. при переходе от ${\mathfrak{R}}_n$ к ${\mathrm{\Re }}_{\mathrm{\infty }}$ совершенно существенным образом. Надо допустить возможность того, что изменения $E(\lambda )$ не будут более иметь дискретного, скачкообразного характера.

С такой точки зрения очень естественно будет отказаться от требования, чтоб функция $E(\lambda )$ приннмала конечные значения 0 и 1 , и
75) См. ссылку в прим. ${}^{64}$ ), стр. 78 , а также книжку Карлемана, упомянутую в прим. ${}^{73}$ ) на стр. 86. Нам придется иметь много дела с этим «непрерывным спектром», ср. II. 8.
требовать только сходимости к 0 или к 1 (при $\lambda \to -\mathrm{\infty }$ или $\lambda \to +\mathrm{\infty }$ соответственно). Равным образом вместо постоянства на отрезках и скачков в точках выступает допустимость непрерывного возрастания. С другой стороны, менее ограничительное требование, что в возможных точках прерывности разрыв должен происходить только слева, мы можем попытаться сохранить. Соответственно мы сформулируем ${\mathit{S}}_1$. следующим образом: при $\lambda \to -\mathrm{\infty },E(\lambda )\to 0$; при $\lambda \to +\mathrm{\infty },E(\lambda )\to 1$, а при $\lambda \to {\lambda }_0,\lambda \geqq {\lambda }_0,E(\lambda )\to E{\left({\lambda }_0\right)}^{76})$.

Кое-что еще следует сказать относительно $S_3$. В конечномерном пространстве ${\mathrm{\Re }}_n$ выполнялось $A=\sum _{\tau =1}^m{l}_{\tau }{F}_{\tau }$, если понимать под $F_{\tau }$ матрицу $E\left(l_{\tau }\right)-E\left(l_{\tau -1}\right)$. В силу $S_1$., имеем:
для $\sigma \ge \tau$
$$F_{\tau }E\left(l_{\sigma }\right)=E\left(l_{\tau }\right)E\left(l_{\sigma }\right)-E\left(l_{\tau -1}\right)E\left(l_{\sigma }\right)=E\left(l_{\tau }\right)-E\left(l_{\tau -1}\right)=F_{\tau },$$

а для $\sigma \leqq \tau -1$
$$F_{\tau }E\left(l_{\sigma }\right)=E\left(l_{\tau }\right)E\left(l_{\sigma }\right)-E\left(l_{\tau -1}\right)E\left(l_{\sigma }\right)=E\left(l_{\sigma }\right)-E\left(l_{\sigma }\right)=0.$$

Следовательно, поскольку $F_{\sigma }=E\left(l_{\sigma }\right)-E\left(l_{\sigma -1}\right)$,
$$F_{\tau }{F}_{\sigma }=\{\begin{array}{ll}{F}_{\tau }& \text{ для }\tau =\sigma ,\\ 0& \text{ для }\tau eq\sigma .\end{array}$$

Отсюда следует
$${\mathrm{H}}^2={\left(\sum _{\tau =1}^m{l}_{\tau }{F}_{\tau }\right)}^2=\sum _{\tau ,\sigma =1}^m{l}_{\tau }{l}_{\sigma }{F}_{\tau }{F}_{\sigma }=\sum _{\tau =1}^m{l}_{\tau }^2{F}_{\tau }$$
(и таким же образом ${\mathrm{H}}^p=\sum _{\tau =1}^m{l}_{\tau }^p{F}_{\tau }$ ). Следовательно, такое же преобразование, что для самого $\mathrm{H}$, приводит к
$${\mathrm{H}}^2={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}{\lambda }^{2}dE(\lambda )$$

Поэтому в ${\mathrm{\Re }}_{\mathrm{\infty }}$ мы предположим символическое уравнение, построенное аналогичным образом, а значит, в числах
$$({\mathrm{H}}^2\dot{f},g)={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}{\lambda }^{2}d(E(\lambda )f,g)\text{. }$$
${}^{76})$ Обозначая $A(\lambda )\to B,(A(\lambda ),B$ — операторы в ${\mathrm{\Re }}_{\mathrm{\infty }},\lambda$ — параметр), мы понимаем под этим, что для всех $f$ из ${\mathfrak{R}}_{\mathrm{\infty }},A(\lambda )f\to Bf$. Таким образом, это сокращенная занись утверждения о сходимости в гильбертовом пространстве.
(Мы подтвердим это последующим построением.) Для $f=g$ из-за
$$({\mathrm{H}}^{2}f,f)=(\mathrm{H}f,\mathrm{H}f)=\Vert \mathrm{H}f{\Vert }^2,(E(\lambda )f,f)=\Vert E(\lambda )f{\Vert }^2,$$

отсюда следует
$$\Vert \mathrm{H}f{\Vert }^2={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}{\lambda }^{2}d(\Vert E(\lambda )f{\Vert }^2)$$

Эта формула, однако, дает основания ожидать, что $E(\lambda )$ не только определяет значения $\mathrm{H}f$ в тех случаях, когда они существуют, но и позволяет заключить, когда они имеют смысл. В самом деле, интеграл ${\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}{\lambda }^{2}d(\Vert E(\lambda )f{\Vert }^2)$ содержит неотрицательную функцию $({\lambda }^2\geqq 0)$ и монотонно возрастающее выражение $\Vert E(\lambda )f{\Vert }^2$ под знаком дифференциала (ср. $S_2$. и теорему 15. в II. 4). Следовательно, этот интеграл по своей природе сходящийся, — т. е. нуль или положителен и конечен, — или собственно бесконечен, т. е. равен $+\mathrm{\infty }{}^{77}$ ). Последнее заключение справедливо независимо от связи с $\mathrm{H}$, т. е. безотносительно к тому, имеет ли $\mathrm{H}f$ смысл, или нет. Следует поэтому ожидать, что $\mathrm{H}f$ имеет смысл (т. е. существует в ${\mathfrak{R}}_{\mathrm{\infty }}$ ) тогда и только тогда, когда предполагаемое значение $\Vert \mathrm{H}f{\Vert }^2$ т. е. имеющее для всех $f$ смысл выражение ${\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}{\lambda }^{2}d(\Vert E(\lambda )f{\Vert }^2)$ конечно.

Итак, с нашей новой формулировкой $S_1$. $-S_3$. задача выглядит следующим образом: Для данного эрмитова оператора $H$ мы ищем семейство проекционных операторов $E(\lambda )$ ( $-\mathrm{\infty }\leqq \lambda \leqq \mathrm{\infty }$ ) с такими свойствами:
${\bar{\mathit{s}}}_1$. При $\lambda \to -\mathrm{\infty }$ или $\lambda \to +\mathrm{\infty },E(\lambda )f\to 0$ или $\to f$ соответственно. При $\lambda \to {\lambda }_0,\lambda \geqq {\lambda }_0,E(\lambda )f\to E\left({\lambda }_0\right)f$ (для каждого $f!$ ). ${\bar{\mathit{S}}}_2$. Из неравенства ${\lambda }^{\prime }\leqq {\lambda }^{\prime \prime }$ следует, что $E\left({\lambda }^{\prime }\right)\leqq E\left({\lambda }^{\prime \prime }\right)$.
${\overline{S}}_3$. Интеграл ${\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}{\lambda }^{2}d(\Vert E(\lambda )f{\Vert }^2)$, по природе своей сходящићся (равный нулю или положительному конечному числу) или же собственно расходящићся ( $+\mathrm{\infty }$ ) характеризует область определения $\mathrm{H}:\mathrm{Hf}$ определено тогда и только тогда, когда этот
77) Это следует из определения интеграла Стильтьеса, данного в прим. ${}^{33}$ ) на стр. 86. Доказательство смотри в указанной там литературе.
интеграл конечен (или нуль), В этом случае для всех $g$
$$(\mathrm{H}f,g)={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}\lambda d(E(\lambda )f,g).$$
(Последний интеграл абсолютно сходится, если первый конечен ${}^{78}$ ).)
Сам $\mathrm{H}$ вовсе не входит в формулировку свойств ${\bar{\mathit{S}}}_1,{\bar{\mathit{S}}}_2$. Семейство проекционных операторов со свойствами ${\bar{\mathit{S}}}_1,{\bar{\mathit{S}}}_2$. мы будем называть разложением единицы («die Zerlegung der Einheit»). О разложении единицы, связанном соотношением ${\bar{\mathit{S}}}_3$. с оператором $\mathit{H}$, мы будем говорить, как о принадлежащем $\mathrm{H}$.

Итак, проблема собственных значений в ${\mathrm{\Re }}_{\mathrm{\infty }}$ ставится следующим образом: Всегда ли существует для данного эрмитова оператора $\mathbf{H}$, принадлежащее $\mathrm{H}$ разложение единицы, и если существует, то сколько? (Нужный ответ должен быть: сушествует всегда точно одно.) В дальнейшем нам еще останется показать, как наше определение проблемы собственных значений соотносится с общими методами, которыми пользуются в квантовой механике (в частности, в волновой теории) для определения собственных значений эрмитовых операторов.