Уравнение
\[
\mathrm{H} \varphi=\lambda \varphi
\]

и требование, чтобы из его решений можно было построить полную ортонормированную систему, перенесены по аналогии из конечномерного $\mathfrak{R}_{n}$.

В $\Re_{n}, \mathrm{H}$ – это матрица $\left\{h_{\mu
u}\right\}, \mu,
u=1, \ldots, n ; h_{\mu
u}=\vec{h}_{
u \mu}$, и тот факт, что решения $\varphi=\left\{x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}\right\}$ уравнения $Н \varphi=\lambda \varphi$, т. е.
\[
\sum_{
u=1}^{n} h_{\mu
u} x_{
u}=\lambda x_{\mu},
\]

содержат полную ортонормированную систему, хорошо известен в алгебре ${ }^{71}$ ).

Это свойство $\Re_{n}$, как мы видели, не может быть перенесено в $\Re_{0}$ непосредственным переходом $n \rightarrow \infty$. Таким образом, проблема собственных значений в $\Re_{\infty}$ должна быть сформулирована иным способом. Сеичас мы увидим, что проблема собственных значений в $\mathfrak{R}_{n}$ может быть преобразована к такому виду, что в этой новой формулировке (которая в $\mathfrak{R}_{n}$ эквивалентна старой) переход к $n \rightarrow \infty$ становится возможен. Иными словами, обе формулировки выражают во всех $\mathfrak{R}_{n}(n=1,2, \ldots$ ) одно и то же (а именно – что эрмитову матрицу можно привести к главным осям), но одна может быть распространена на $\mathfrak{R}_{\infty}$, в то время как другая, напротив, нет.

Пусть $\left\{x_{11}, \ldots, x_{1 n}\right\}, \ldots,\left\{x_{n 1}, \ldots, x_{n n}\right\}$ будет полной ортонормированной системой из решений уравнения для собственных значении и $\lambda_{1}, \ldots, \lambda_{n}$ будут соответствующие $\lambda$. Итак, векторы $\left\{x_{11}, \ldots, x_{1 n}\right\}, \ldots,\left\{x_{n 1}, \ldots, x_{n n}\right\}$ образуют декартову систему координат в $\mathfrak{A}_{n}$. Тогда формулы преобразования координат $\mathfrak{x}_{1}, \ldots, \mathfrak{x}_{n}$ в этой координатной системе к некоторым другим $\xi_{1}, \ldots, \xi_{n}$ имеют вид
\[
\left\{\xi_{1}, \ldots, \xi_{n}\right\}=\mathfrak{g}_{1}\left\{x_{11}, \ldots, x_{1 n}\right\}+\ldots+\mathfrak{r}_{n}\left\{x_{n 1}, \ldots, x_{n n}\right\},
\]
т. e.
\[
\xi_{1}=\sum_{\mu=1}^{n} x_{\mu, 1} \mathfrak{x}_{\mu}, \ldots \xi_{n}=\sum_{\mu=1}^{n} x_{\mu n} \mathfrak{r}_{\mu},
\]

а для обратного преобразования
\[
\mathrm{x}_{1}=\sum_{\mu=1}^{n} \bar{x}_{1 \mu} \xi_{\mu}, \ldots, \mathrm{z}_{n}=\sum_{\mu=1}^{n} \bar{x}_{n \mu} \xi_{\mu} .
\]
${ }^{71)} \mathrm{C}$. книгу Куранта и Гильберта, цитированную в прим. ${ }^{30}$ ), стр. 25.
$6^{*}$
Мы можем записать условия $\sum_{
u=1}^{n} h_{\mu
u} x_{\rho
u}=\lambda_{\rho} x_{\rho \mu}$ с помощью переменных $\mathfrak{x}_{1}, \ldots, \mathfrak{x}_{n}$ и нового ряда переменных $\eta_{1}, \ldots, \eta_{n}$ (с соответствующими им по предыдущей формуле $\mathfrak{y}_{1}, \ldots, \mathfrak{y}_{n}$ ) в виде
т. e.
\[
\sum_{\rho, \mu=1}^{n}\left(\sum_{
u=1}^{n} h_{\mu
u} x_{\rho
u}\right) x_{\rho} \bar{\eta}_{\mu}=\sum_{\rho, \mu=1}^{n} \lambda_{\rho} x_{\rho \mu} x_{\rho} \bar{\eta}_{\mu}
\]
(D.)
\[
\left.\sum_{\mu,
u=1}^{n} h_{\mu
u} \xi_{
u} \bar{\eta}_{p^{2}}=\sum_{\rho=1}^{n} \lambda_{\rho}\left(\sum_{\mu=1}^{n} \bar{x}_{\rho \mu} \xi_{\mu}\right) \overline{\left(\sum_{p=1}^{n} \bar{x}_{\rho \mu} \eta_{\mu}\right.}\right) .
\]

Тогда декартов характер координатнои системы выражается формулой
\[
\sum_{\mu=1}^{n} \xi_{\mu} \bar{\eta}_{\mu}=\sum_{\rho=1}^{n}\left(\sum_{\mu=1}^{n} \bar{x}_{\rho \mu} \xi_{\mu}\right)\left(\overline{\sum_{\mu=1}^{n} \bar{x}_{\rho \mu} \eta_{\mu}}\right) .
\]

Итак, отыскание матрицы $\left\{x_{\mu
u}\right\}$ со свойствами $D$. и $\boldsymbol{O}$. – вот что эквивалентно в $\mathfrak{R}_{n}$ решению проблемы собственных значений; в такой форме переход к $\mathfrak{R}_{\infty}$ нам не удался. Эта неудача отнюдь не неожиданна по следующей причине. Именно, условия $\boldsymbol{D}$. и $\boldsymbol{O}$. не определяют неизвестные $\lambda_{\rho}$ и $x_{\mu
u}$ полностью. В самом деле, как показывает теория этого «приведения к главным осям» (см. прим. ${ }^{71}$ ), стр. 83), величины $\lambda_{p}$ определяются единственным образом с точностью до порядка, но положение с $x_{\mu
u}$ гораздо хуже. Очевидно, что каждую строку $x_{\rho 1}, \ldots, x_{\rho n}$ можно домножить на множитель $\vartheta_{\rho}$ абсолютной величины 1 , если же некоторые $\lambda_{\rho}$ совпадают, то возможно даже произвольное унитарное преобразование соответствующих строк $x_{\rho 1}, \ldots, x_{\rho n}$ ! Безнадежно пытаться совершить трудный переход к пределу $n \rightarrow \infty$ с такими однозначно не закрепленными величинами: в самом деле, как может сходиться процесс, если по дороге $\lambda_{\rho}$ и $x_{\mu
u}$ могут по произволу испытывать большие колебания, которые оказываются возможными вследствие неполноты в их определении!

Но это указывает нам путь для правильного подхода к задаче: мы должны прежде всего попығаться заменить условия $\boldsymbol{D}$. и $\boldsymbol{O}$. и неизвестные $\lambda_{\rho}$ и $x_{\mu
u}$ такими, которые обладают недостающими свойствами однозначности – после этого, как мы покажем, переход к пределу будет представлять уже меньшие трудности.

Если $l$ есть некоторое значение, которое принимает одно или несколько из $\lambda_{\rho}$, то выражение
\[
\left.\sum_{\lambda_{\rho}=l}\left(\sum_{\mu=1}^{n} \bar{x}_{\rho \mu^{\xi}}\right) \overline{\sum_{\mu=1}^{n} \bar{x}_{\rho \mu} \eta_{\mu}}\right)
\]
Мы можем записать условия $\sum_{
u=1}^{n} h_{\mu
u} x_{\rho
u}=\lambda_{\rho} x_{\rho \mu}$ с помощью переменных $\mathfrak{x}_{1}, \ldots, \mathfrak{x}_{n}$ и нового ряда переменных $\eta_{1}, \ldots, \eta_{n}$ (с соответствующими им по предыдущей формуле $\mathfrak{y}_{1}, \ldots, \mathfrak{y}_{n}$ ) в виде
т. e.
\[
\sum_{\rho, \mu=1}^{n}\left(\sum_{
u=1}^{n} h_{\mu
u} x_{\rho
u}\right) x_{\rho} \bar{\eta}_{\mu}=\sum_{\rho, \mu=1}^{n} \lambda_{\rho} x_{\rho \mu} x_{\rho} \bar{\eta}_{\mu},
\]
(D.)
\[
\left.\sum_{\mu,
u=1}^{n} h_{\mu
u} \xi_{
u} \bar{\eta}_{\mu
u}=\sum_{\rho=1}^{n} \lambda_{\rho}\left(\sum_{\mu=1}^{n} \bar{x}_{\rho \mu} \xi_{\mu}\right) \overline{\left(\sum_{\mu=1}^{n} \bar{x}_{\rho \mu} \eta_{\mu}\right.}\right) .
\]

Тогда декартов характер координатной системы выражается формулой
\[
\sum_{\mu=1}^{n} \xi_{\mu} \bar{\eta}_{\mu 2}=\sum_{\rho=1}^{n}\left(\sum_{\mu=1}^{n} \bar{x}_{\rho \mu} \xi_{\mu}\right)\left(\overline{\sum_{\mu=1}^{n} \bar{x}_{\rho \mu} \eta_{\mu \mu}}\right) .
\]

Итак, отыскание матрицы $\left\{x_{\mu
u}\right\}$ со свойствами $D$. и $\boldsymbol{O}$. – вот что эквивалентно в $\mathfrak{R}_{n}$ решению проблемы собственных значений; в такой форме переход к $\mathfrak{R}_{\infty}$ нам не удался. Эта неудача отнюдь не неожиданна по следующей причине. Именно, условия $\boldsymbol{D}$. и $\boldsymbol{O}$. не определяют неизвестные $\lambda_{\rho}$ и $x_{\mu
u}$ полностью. В самом деле, как показывает теория этого «приведения к главным осям» (см. прим. ${ }^{71}$ ), стр. 83), величины $\lambda_{p}$ определяются единственным образом с точностью до порядка, но положение с $x_{\mu
u}$ гораздо хуже. Очевидно, что каждую строку $x_{\rho 1}, \ldots, x_{\rho n}$ можно домножить на множитель $\vartheta_{\rho}$ абсолютной величины 1 , если же некоторые $\lambda_{\rho}$ совпадают, то возможно даже произвольное унитарное преобразование соответствующих строк $x_{\rho 1}, \ldots, x_{\rho n}$ ! Безнадежно пытаться совершить трудный переход к пределу $n \rightarrow \infty$ с такими однозначно не закрепленными величинами: в самом деле, как может сходиться процесс, если по дороге $\lambda_{\rho}$ и $x_{\mu
u}$ могут по произволу испытывать большие колебания, которые оказываются возможными вследствие неполноты в их определении!

Но это указывает нам путь для правильного подхода к задаче: мы должны прежде всего попытаться заменить условия $\boldsymbol{D}$. и $\boldsymbol{O}$. и неизвестные $\lambda_{\rho}$ и $x_{\mu
u}$ такими, которые обладают недостающими свойствами однозначности – после этого, как мы покажем, переход к пределу будет представлять уже меньшие трудности.

Если $l$ есть некоторое значение, которое принимает одно или несколько из $\lambda_{\rho}$, то выражение
\[
\sum_{\lambda_{p}=l}\left(\sum_{\mu=1}^{n} \bar{x}_{\rho \mu} \xi_{\mu}\right) \overline{\sum_{\mu=1}^{n} \bar{x}_{\rho \mu} \eta_{\mu}}
\]

—————————————————————-
0006ru_fizik_kvant_book11_page-0087.jpg.txt

86
ОБЩИЕ СВОИСТВА ГИЛЬБЕРТОВА ПРОСТРАНСТВА
[Гл. II
Следовательно, матрицы эти таковы: нули всюду, кроме диагонали, 1 на $\rho$-м месте диагонали, если $\lambda_{\rho} \leqq l^{\prime}$ или соответственно $l^{\prime \prime}$, в противном случае также нуль. Для таких матриц высказанное выше утверждение очевидно.
Переформулируем теперь еще и D.. Оно означает, очевидно,
\[
\sum_{\mu,
u=1}^{n} h_{t,
u} \xi_{
u} \bar{\eta}_{\mu}=\sum_{\tau=1}^{m} l_{\tau}\left\{E\left(l_{\tau} ; \xi, \eta\right)-E\left(l_{\tau-1} ; \xi, \eta\right)\right\}
\]
$\left(l_{0}\right.$-какое-нибудь число, меньшее $\left.l_{1}\right)$. Но поскольку $E(l ; \xi, \eta)$ постоянно на каждом из отрезков
\[
-\infty<l<l_{1} ; \quad l_{1} \leqq l<l_{2} ; \ldots ; \quad l_{m-1} \leqq l<l_{m} ; \quad l_{m} \leqq l<+\infty,
\]

то для любого набора чисел
\[
\Lambda_{0}<\Lambda_{1}<\Lambda_{2}<\ldots<\Lambda_{k},
\]

если $l_{1}, \ldots, l_{m}$ входят в число $\Lambda_{1}, \ldots, \Lambda_{k}$, выполняется
\[
\sum_{\mu,
u=1}^{n} h_{\mu
u} \xi_{
u} \bar{\eta}_{\mu}=\sum_{\tau=1}^{k} \Lambda_{\tau}\left\{E\left(\Lambda_{\tau} ; \xi, \eta\right)-E\left(\Lambda_{\tau-1} ; \xi, \eta\right)\right\} .
\]

Применяя интеграл в смысле Стильтьеса ${ }^{73}$ ), мы можем переписать это как
\[
\sum_{\mu, v=1}^{n} h_{\mu
u} \xi_{
u} \bar{\eta}_{\mu,}=\int_{-\infty}^{+\infty} \lambda d E(\lambda ; \xi, \eta)
\]
73) Об интеграле в смысле Стильтьеса см. Perron, Die Lehre von den Kettenbrüchen, Leipzig, 1913, а также в смысле специального применения к требованиям операторной теории $\mathrm{C}$ a rleman, Eqquations intégrales singulières, Upsala, 1923. Читателю, менее заинтересованному в этих вещах, достаточно следующего определения: для разбиення $\Lambda_{0}, \Lambda_{1}, \ldots, \Lambda_{k}$ интервала $a, b$,

образуем сумму
\[
a \leqq \Lambda_{0}<\Lambda_{1}<\ldots<\Lambda_{k} \leqq b
\]
\[
\sum_{\tau=1}^{k} f\left(\Lambda_{\tau}\right)\left\{g\left(\Lambda_{\tau}\right)-g\left(\Lambda_{\tau-1}\right)\right\} .
\]

Если она всегда сходится, когда разбиения $\Lambda_{0}, \Lambda_{1}, \Lambda_{2}, \ldots, \Lambda_{k}$ делаются все меньше и меньше, то существует интеграл
\[
\int_{a}^{b} f(x) d g(x)
\]

определяемый как предел сумм. (Для $g(x)=x$ он переходит в известный интеграл в смысле Римана.) [Относительно русских руководств по интегралу Стильтьеса ср. прим. ${ }^{52}$ ) на стр. 51.-При.м. ред.]
$\left(\int_{-\infty}^{+\infty}\right.$ может быть, очевидно, заменен на любой $\int_{a}^{b}$, с $a<l_{1}$, $\left.b>l_{m}\right)$, или, если мы рассмотрим коэффициенты и напишем для самих матриц уравнение, справедливое для всех коэффициентов, то как
\[
\mathrm{H}=\int_{-\infty}^{+\infty} \lambda d E(\lambda)
\]

где $\mathrm{H}=\left\{h_{\mu,
u}\right\}$.
Итак, пока возникла следующая задача: Для данной эрмитовой матрицы $\mathrm{H}=\left\{h_{\mu,
u}\right\}$ надо разыскать семейтво эрмитовых матриц $E(\lambda)$ $(-\infty<\lambda<+\infty)$ со следующими свойствами:
$S_{1}$. При достаточно $\left\{\begin{array}{l}\text { малых } \\ \text { больших }\end{array}\right\} \lambda, E(\lambda)=\left\{\begin{array}{l}0 \\ 1\end{array}\right\} . E(\lambda)$ (как функция от $\lambda$ ) постоянна всюду, за исключением конечного числа точек, где она изменяется скачками. Скачок всегда происходит слева от данной точки.
$S_{2}$. Всегда $E\left(\lambda^{\prime}\right) E\left(\lambda^{\prime \prime}\right)=E\left(\operatorname{Min}\left(\lambda^{\prime}, \lambda^{\prime \prime}\right){ }^{74}\right)$.
$S_{3}$. Выполняется (с интегралом в смысле Стильтьеса)
\[
\mathrm{H}=\int_{-\infty}^{+\infty} \lambda d E(\lambda)
\]

Мы сенчас не будем останавливаться на обратном рассуждении отправляясь от $S_{1}$. $-S_{3}$. вернуться к решениям $D$. и $\boldsymbol{O}$. (хотя это было бы совсем просто), потому что только последняя форма проблемы собственных значений будет нужна нам для квантовой механики. Вместо этого мы сразу перейдем к обобщению $\boldsymbol{S}_{1}$. $-\boldsymbol{S}_{3}$. от конечного на бесконечное число измерений, т. е. к переходу от $\Re_{n} \kappa \Re_{\infty}$.

В $\mathscr{P}_{\infty}^{*}$ мы, очевидно, должны понимать $\mathrm{H}$ и $E(\lambda)$ как эрмитовы операторы, – значит, мы должны будем попытаться найти для данного Н такое семейство $E(\lambda)$, чтобы они сопоставлялись ему некоторым определяемым по примеру $S_{1}$. $S_{3}$. образом. Должна быть найдена $\Re_{\infty}$-аналогия $S_{1}$. $-S_{3}$.!
$\boldsymbol{S}_{2}$. остается неизменным в этом переходе, поскольку число измерений $\mathfrak{R}_{n}$ не играет в нем никакой роли. Мы только переформулируем его, воспользовавшись результатами, полученными в связи
14) $\operatorname{Min}(a, b, \ldots, e)$ есть наименьшее, а $\operatorname{Max}(a, b, \ldots, e)$ – нанбольшее из конечного набора вещественных чисел $a, b, \ldots, e$.

с операторами проектирования (II. 4). Во-первых, это свойство утверждает, что $E(\lambda)^{2}=E(\lambda)$ при $\lambda^{\prime}=\lambda^{\prime \prime}=\lambda$, т. е. $E(\lambda)$ являются операторами проектирования. Но тогда $\boldsymbol{S}_{2}$. означает (мы можем ограничиться случаем $\lambda^{\prime} \leqq \lambda^{\prime \prime}$, поскольку для $\lambda^{\prime} \geqq \lambda^{\prime \prime}$ получится совершенно аналогичный результат), что из $\lambda^{\prime} \leqq \lambda^{\prime \prime}$ следует $E\left(\lambda^{\prime}\right) \leqq E\left(\lambda^{\prime \prime}\right)$ (ср. теорему 14. и последующий текст в II. 4).
$\boldsymbol{S}_{3}$. требует некоторой осторожности, поскольку выражение $A=$ $=\int_{-\infty}^{+\infty} \lambda d E(\lambda)$ непосредственно лишено смысла, так как интеграл
Стильтьеса определен для чисел, а не для операторов. Но легко заменить $\mathrm{H}$ и $E(\lambda)$ числами и это нас опять приведет к нужному операторному соотношению. Потребуем, чтобы для всех $f, g$ из $\Re_{\infty}$ выполнялось
\[
(\mathrm{H} f, g)=\int_{-\infty}^{+\infty} \lambda d(E(\lambda) f, g)
\]

если только $\mathrm{H} f$ имеет смысл. Соотношение $\mathrm{H}=\int_{-\infty}^{+\infty} \lambda d E(\lambda)$ следует понимать символически, только как сокращенную запись предыдущего.
$\boldsymbol{S}_{\mathbf{1}}$, , наконец, весьма существенно затрагивается переходом к бесконечному числу измерений. Точки, после которых $E(\lambda)$ становится равным 0 или 1 , или в которых $E(\lambda)$ испытывает скачки, соответствуют (в $\mathfrak{R}_{n}$ ) собственным значениям $\mathrm{H}$, а интервалы, где она постоянна – интервалам, свободным от собственных значений. Если теперь устремить $n \rightarrow \infty$, то могут произойти самые разные вещи. Наибольшее и наименьшее значения могут уйти соответственно на $+\infty$ или на $-\infty$, но остальные, поскольку их становится все больше, могут стесниться все плотнее, так что интервалы постоянства могут постепенно стянуться в точки. (Этот последний признак указывает на то, что в гильбертовоЙ теории операторов при некоторых обстоятельствах появляется так называемый непрерывный спектр ${ }^{75}$ ).) Мы должны, следовательно, изменить $S_{1}$. при переходе от $\mathfrak{R}_{n}$ к $\Re_{\infty}$ совершенно существенным образом. Надо допустить возможность того, что изменения $E(\lambda)$ не будут более иметь дискретного, скачкообразного характера.

С такой точки зрения очень естественно будет отказаться от требования, чтоб функция $E(\lambda)$ приннмала конечные значения 0 и 1 , и
75) См. ссылку в прим. ${ }^{64}$ ), стр. 78 , а также книжку Карлемана, упомянутую в прим. ${ }^{73}$ ) на стр. 86. Нам придется иметь много дела с этим «непрерывным спектром», ср. II. 8.
требовать только сходимости к 0 или к 1 (при $\lambda \rightarrow-\infty$ или $\lambda \rightarrow+\infty$ соответственно). Равным образом вместо постоянства на отрезках и скачков в точках выступает допустимость непрерывного возрастания. С другой стороны, менее ограничительное требование, что в возможных точках прерывности разрыв должен происходить только слева, мы можем попытаться сохранить. Соответственно мы сформулируем $\boldsymbol{S}_{1}$. следующим образом: при $\lambda \rightarrow-\infty, E(\lambda) \rightarrow 0$; при $\lambda \rightarrow+\infty, E(\lambda) \rightarrow 1$, а при $\left.\lambda \rightarrow \lambda_{0}, \lambda \geqq \lambda_{0}, E(\lambda) \rightarrow E\left(\lambda_{0}\right)^{76}\right)$.

Кое-что еще следует сказать относительно $S_{3}$. В конечномерном пространстве $\Re_{n}$ выполнялось $A=\sum_{\tau=1}^{m} l_{\tau} F_{\tau}$, если понимать под $F_{\tau}$ матрицу $E\left(l_{\tau}\right)-E\left(l_{\tau-1}\right)$. В силу $S_{1}$., имеем:
для $\sigma \geq \tau$
\[
F_{\tau} E\left(l_{\sigma}\right)=E\left(l_{\tau}\right) E\left(l_{\sigma}\right)-E\left(l_{\tau-1}\right) E\left(l_{\sigma}\right)=E\left(l_{\tau}\right)-E\left(l_{\tau-1}\right)=F_{\tau},
\]

а для $\sigma \leqq \tau-1$
\[
F_{\tau} E\left(l_{\sigma}\right)=E\left(l_{\tau}\right) E\left(l_{\sigma}\right)-E\left(l_{\tau-1}\right) E\left(l_{\sigma}\right)=E\left(l_{\sigma}\right)-E\left(l_{\sigma}\right)=0 .
\]

Следовательно, поскольку $F_{\sigma}=E\left(l_{\sigma}\right)-E\left(l_{\sigma-1}\right)$,
\[
F_{\tau} F_{\sigma}=\left\{\begin{array}{ll}
F_{\tau} & \text { для } \tau=\sigma, \\
0 & \text { для } \tau
eq \sigma .
\end{array}\right.
\]

Отсюда следует
\[
\mathrm{H}^{2}=\left(\sum_{\tau=1}^{m} l_{\tau} F_{\tau}\right)^{2}=\sum_{\tau, \sigma=1}^{m} l_{\tau} l_{\sigma} F_{\tau} F_{\sigma}=\sum_{\tau=1}^{m} l_{\tau}^{2} F_{\tau}
\]
(и таким же образом $\mathrm{H}^{p}=\sum_{\tau=1}^{m} l_{\tau}^{p} F_{\tau}$ ). Следовательно, такое же преобразование, что для самого $\mathrm{H}$, приводит к
\[
\mathrm{H}^{2}=\int_{-\infty}^{+\infty} \lambda^{2} d E(\lambda)
\]

Поэтому в $\Re_{\infty}$ мы предположим символическое уравнение, построенное аналогичным образом, а значит, в числах
\[
\left(\mathrm{H}^{2} \dot{f}, g\right)=\int_{-\infty}^{+\infty} \lambda^{2} d(E(\lambda) f, g) \text {. }
\]
$\left.{ }^{76}\right)$ Обозначая $A(\lambda) \rightarrow B,\left(A(\lambda), B\right.$ – операторы в $\Re_{\infty}, \lambda$ – параметр), мы понимаем под этим, что для всех $f$ из $\mathfrak{R}_{\infty}, A(\lambda) f \rightarrow B f$. Таким образом, это сокращенная занись утверждения о сходимости в гильбертовом пространстве.
(Мы подтвердим это последующим построением.) Для $f=g$ из-за
\[
\left(\mathrm{H}^{2} f, f\right)=(\mathrm{H} f, \mathrm{H} f)=\|\mathrm{H} f\|^{2}, \quad(E(\lambda) f, f)=\|E(\lambda) f\|^{2},
\]

отсюда следует
\[
\|\mathrm{H} f\|^{2}=\int_{-\infty}^{+\infty} \lambda^{2} d\left(\|E(\lambda) f\|^{2}\right)
\]

Эта формула, однако, дает основания ожидать, что $E(\lambda)$ не только определяет значения $\mathrm{H} f$ в тех случаях, когда они существуют, но и позволяет заключить, когда они имеют смысл. В самом деле, интеграл $\int_{-\infty}^{+\infty} \lambda^{2} d\left(\|E(\lambda) f\|^{2}\right)$ содержит неотрицательную функцию $\left(\lambda^{2} \geqq 0\right)$ и монотонно возрастающее выражение $\|E(\lambda) f\|^{2}$ под знаком дифференциала (ср. $S_{2}$. и теорему 15. в II. 4). Следовательно, этот интеграл по своей природе сходящийся, – т. е. нуль или положителен и конечен, – или собственно бесконечен, т. е. равен $+\infty{ }^{77}$ ). Последнее заключение справедливо независимо от связи с $\mathrm{H}$, т. е. безотносительно к тому, имеет ли $\mathrm{H} f$ смысл, или нет. Следует поэтому ожидать, что $\mathrm{H} f$ имеет смысл (т. е. существует в $\mathfrak{R}_{\infty}$ ) тогда и только тогда, когда предполагаемое значение $\|\mathrm{H} f\|^{2}$ т. е. имеющее для всех $f$ смысл выражение $\int_{-\infty}^{+\infty} \lambda^{2} d\left(\|E(\lambda) f\|^{2}\right)$ конечно.

Итак, с нашей новой формулировкой $S_{1}$. $-S_{3}$. задача выглядит следующим образом: Для данного эрмитова оператора $H$ мы ищем семейство проекционных операторов $E(\lambda)$ ( $-\infty \leqq \lambda \leqq \infty$ ) с такими свойствами:
$\overline{\boldsymbol{s}}_{1}$. При $\lambda \rightarrow-\infty$ или $\lambda \rightarrow+\infty, E(\lambda) f \rightarrow 0$ или $\rightarrow f$ соответственно. При $\lambda \rightarrow \lambda_{0}, \lambda \geqq \lambda_{0}, E(\lambda) f \rightarrow E\left(\lambda_{0}\right) f$ (для каждого $f !$ ). $\overline{\boldsymbol{S}}_{2}$. Из неравенства $\lambda^{\prime} \leqq \lambda^{\prime \prime}$ следует, что $E\left(\lambda^{\prime}\right) \leqq E\left(\lambda^{\prime \prime}\right)$.
$\bar{S}_{3}$. Интеграл $\int_{-\infty}^{+\infty} \lambda^{2} d\left(\|E(\lambda) f\|^{2}\right)$, по природе своей сходящићся (равный нулю или положительному конечному числу) или же собственно расходящићся ( $+\infty$ ) характеризует область определения $\mathrm{H}: \mathrm{Hf}$ определено тогда и только тогда, когда этот
77) Это следует из определения интеграла Стильтьеса, данного в прим. ${ }^{33}$ ) на стр. 86. Доказательство смотри в указанной там литературе.
интеграл конечен (или нуль), В этом случае для всех $g$
\[
(\mathrm{H} f, g)=\int_{-\infty}^{+\infty} \lambda d(E(\lambda) f, g) .
\]
(Последний интеграл абсолютно сходится, если первый конечен ${ }^{78}$ ).)
Сам $\mathrm{H}$ вовсе не входит в формулировку свойств $\overline{\boldsymbol{S}}_{1}, \overline{\boldsymbol{S}}_{2}$. Семейство проекционных операторов со свойствами $\overline{\boldsymbol{S}}_{1}, \overline{\boldsymbol{S}}_{2}$. мы будем называть разложением единицы («die Zerlegung der Einheit»). О разложении единицы, связанном соотношением $\overline{\boldsymbol{S}}_{3}$. с оператором $\boldsymbol{H}$, мы будем говорить, как о принадлежащем $\mathrm{H}$.

Итак, проблема собственных значений в $\Re_{\infty}$ ставится следующим образом: Всегда ли существует для данного эрмитова оператора $\mathbf{H}$, принадлежащее $\mathrm{H}$ разложение единицы, и если существует, то сколько? (Нужный ответ должен быть: сушествует всегда точно одно.) В дальнейшем нам еще останется показать, как наше определение проблемы собственных значений соотносится с общими методами, которыми пользуются в квантовой механике (в частности, в волновой теории) для определения собственных значений эрмитовых операторов.