Надо вывести использованные в II. 4., 5. свойства распределений $\left|\left(\boldsymbol{E}_{
u, a} \varphi_{\rho, a}, \varphi_{\sigma, a}\right)\right|^{2}(\rho
eq \sigma)$ и $\left(\boldsymbol{E}_{
u, a} \varphi_{\rho}, a, \varphi_{\rho}, a\right)$. Сначала, однако, нам следует разъяснить, как здесь вообще можно говорить о статистическом распределении.

B II. 4. мы указывали на то, что все величины, зависящие от $\boldsymbol{E}_{v, a}$, зависят, в конце концов, от $\omega_{\lambda, v, a}$, а также на то, что под усреднением мы понимаем усреднение по этим $\omega_{\lambda, y, a}$ : поскольку $S_{a}$, $N_{a}, s_{
u, a}$ и $\Delta_{a}$ заданы, они подчиняются условию $\sum_{
u=1}^{N_{a}} \sum_{\lambda=1}^{s_{
u, 1}} P_{\omega_{\lambda, v, a}}=\Delta_{a}$ и, со своей стороны, определяют $E_{v, a}$ по формуле $\sum_{\lambda=1}^{s_{v,} a} P_{\omega_{\lambda,
u}, a}=E_{v, a}$. Дальше мы упоминали, что все такие системы получаются из одной из них, скажем $\bar{\omega}_{\lambda, v, a}$, с помощью линейных унитарных преобразований. Так что, избрав каким-то образом $\bar{\omega}_{\lambda, v, a}$, можно с равным успехом сказать, что мы усредняем по множеству унитарных матриц преобразования $\left[\right.$ в $\sum_{v=1}^{N} s_{v, a}=S_{a}$ измерениях, они переводят $\bar{\omega}_{\lambda, v, a}$ в $\omega_{\lambda, v, a}$ ( $a$ фиксировано!)]. Следовало бы обозначать эти матрицы через $\left\{\xi_{\lambda}\right.$, v $\left.\lambda^{\prime}, v^{\prime}\right\}$, используя для строк двоиные индексы $\lambda,
u$, и равным образом для столбцов $\lambda^{\prime}, v^{\prime}$, в соответствии с системой индексов для $\omega_{\lambda, y, a}$ но мы предпочитаем ввести один текущий индекс, т. е. писать $\xi_{p / \rho^{\prime}}\left(p, p^{\prime}=1, \ldots, S_{a}\right)$. Теперь мы должны объяснить, как следует усреднять по множеству $\mathcal{S}_{a}$-мерных унитарных матриц $\left\{\xi_{\rho / p^{\prime}}\right\}$.

Мы желаем усреднять так, чтобы при этом ни одной из систем отсчета $\bar{\omega}_{\lambda, v}, a$ не отдавалось предпочтения перед другими. Если теперь $\overbrace{\lambda, v, a}$ означает какую-нибудь другую из таких систем отсчета,
$\bar{\omega}_{\lambda, v, a}=\sum_{\lambda=1}^{N_{a}} \sum_{v=1}^{s_{v, a}} \tilde{\xi}_{\lambda, v / \lambda^{\prime}
u^{\prime}} \omega_{\lambda^{\prime},
u^{\prime}, a}$ (запишем теперь также и $\tilde{\xi}_{p / q^{\prime}}$ вместо $\left.\tilde{\xi}_{\lambda, v \lambda^{\prime}, v^{\prime}}\right)$, то между матрицами $\left\{\xi_{\rho^{\prime}, p}\right\}$ и $\left\{\xi_{\rho, \rho^{\prime}}^{\prime}\right\}$ (той же системы $\omega_{\lambda, v, a}$ ) в отношении к $\bar{\omega}_{\lambda, v, g}$ и соответственно $\bar{\omega}_{\lambda, \text {, }}$ a существует соотношение $\left\{\xi_{\rho / \rho^{\prime}}^{\prime}\right\}=\left\{\xi_{\rho / \rho^{\prime}}\right\}\left\{\tilde{\xi}_{\rho / \rho^{\prime}}\right\}$, т. е.
\[
\xi_{\rho / \rho^{n}}^{\prime}=\sum_{\rho^{\prime}=1}^{S_{a}} \xi_{\rho / \rho^{\prime}} \tilde{\xi}_{\rho^{\prime} / \rho^{\prime \prime}}
\]

Итак, метод усреднения должен быть таким, чтобы он был инвариантным по отношению к преобразованиям указанной выше формы $\left\{\xi_{\rho / \rho^{\prime}}\right\} \rightarrow\left\{\xi_{\rho / \rho^{\prime}}^{\prime}\right\}$ (для любой фиксированной унитарной матрицы $\left\{\tilde{\xi}_{\rho / \rho^{\prime}}\right\}$ ).
Но подобный метод усреднения по унитарной группе существует, причем он полностью определяется наложенным требованием; он был разработан ВеИлем*). Мы, однако, не будем пользоваться здесь его общими формулами, единственное, что нам понадобится для достижения цели, – это свойства инвариантности этого метода усреднения. Упомянем еще, что (как показано в 1. с.) указанный метод усреднения инвариантен также по отношению к преобразованию $\left\{\xi_{\rho / \rho^{\prime}}\right\} \rightarrow\left\{\xi_{\rho^{\prime} / q^{\prime}}^{\prime}\right\}$, которое определяется соотношением $\left\{\xi_{p / p^{\prime \prime}}^{\prime \prime}=\tilde{\{}\left\{\xi_{\rho / p^{\prime}}\right\}\left\{\xi_{p / \rho^{\prime}}\right\}\right.$, т. е. $\xi_{\rho / \rho}^{\prime \prime}=\sum_{\rho^{\prime}=1}^{s_{a}} \tilde{\xi}_{\rho / \rho^{\prime}} \xi_{\rho^{\prime} / \rho^{\prime \prime}}$

Во-вторых, сделаем еще несколько формальных упрощений. Так как порядок нумерации $
u=1, \ldots, N_{a}$ не имеет значения, то достаточно рассмотреть $\boldsymbol{E}_{1, a}$. Заменой индексов $\lambda$, $
u$ через $\rho$ мы можем распорядиться так, что $\lambda, 1$ перейдет в $p=1, \ldots, s_{1, a}$. Выберем затем систему отсчета $\bar{\omega}_{\lambda, v}, a$ : пусть это будет система $\varphi_{\rho, a}$, чем одновременно достигается перенумерация. Имеем тогда
\[
\begin{array}{l}
\left(\boldsymbol{E}_{1, a} \varphi_{\rho, a}, \varphi_{\sigma, a}\right)=\sum_{\tau=1}^{s_{1,} a}\left(\boldsymbol{P}_{\omega_{\tau}, a} \varphi_{\rho, a}, \varphi_{\sigma, a}\right)= \\
=\sum_{\tau=1}^{s_{1, a}}\left(\varphi_{\rho, a}, \omega_{\tau, a}\right)\left(\omega_{\tau, a}, \varphi_{\sigma, a}\right)=\sum_{\tau=1}^{s_{1, a} a} \xi_{\tau / \rho}^{*} \xi_{\tau / \sigma} .
\end{array}
\]

И, наконец, опустим излищние индексы $
u, a$, так что $S_{a}, N_{a}, s_{1, a}$, $\Delta_{a}, E_{1, a}, \varphi_{\rho, a}, \boldsymbol{M}_{1, a}, \mathrm{~N}_{1, a}$ перейдут в $S, N, s, \Delta, E, \varphi_{p}, M, N$.
*) H. W e y 1, Math. Zs. 23 (1925).
Итак, вот наша задача: исследовать с помощью очерченного выше метода усреднения распределения величин
\[
\left|\left(E \varphi_{\rho}, \varphi_{\sigma}\right)\right|^{2}=\left|\sum_{\tau=1}^{s} \xi_{\tau / \rho}^{*} \xi_{\tau / \sigma}\right|^{2}(\rho
eq \sigma)
\]

и
\[
\left(E \varphi_{\rho}, \varphi_{\rho}\right)=\sum_{\tau=1}^{s}\left|\xi_{\tau / \rho}\right|^{2}
\]

где $\left|\xi_{p / \rho^{\prime}}\right|$ пробегает все $S$-мерные унитарные матрицы.
2. Прежде всего одно вспомогательное рассуждение. Установим распределение значений $\sum_{\rho=1}^{s} x_{\rho}^{2}$, когда вектор $\left\{x_{1}, \ldots, x_{s}\right\}$ пробегает поверхность единичной сферы $\sum_{p=1}^{S} x_{p}^{2}=1$, причем сначала для вещественных $x_{\rho}$. То есть мы определим $W(u)$, где $W(u) d u$ является (геометрическон) вероятностью для $u \leqq \sum_{\rho=1}^{s} x_{\rho}^{2} \leqq u+d u(0 \leqq u \leqq 1)^{*}$ ). Простое геометрическое рассмотрение, которое мы здесь не станем воспроизводить, показывает, что $W(a)$ пропорционально выражению $u^{\frac{s}{2}-1}(1-u)^{\frac{S-s}{2}-1}$, а не зависящић от $u$ фактор пропорциональности определяется из
\[
\int_{0}^{1} W(u) d u=1 .
\]

Если теперь $x_{1}, \ldots, x_{S}$ могут быть комплексными и, следовательно, надо рассматривать
\[
u \leqq \sum_{\rho=1}^{S}\left|x_{\rho}\right|^{2} \leqq u+d u \quad \text { и } \sum_{\rho=1}^{S}\left|x_{\rho}\right|^{2}=1,
\]

то стоит лишь сообразить, что все остается по-старому, если деиствительные и мнимые части $x_{\rho}$ рассматривать как вещественные декартовы координаты. При этом нужно лишь $s, S$ заменить на $2 s, 2 S$. Тогда $W(a)$ будет пропорционально $u^{s-1}(1-u)^{S-s-1}$, а фактор пропорциональности определяется из нормировки как $\frac{(S-1) !}{(s-1) !(S-s-1) !}$.
*) Речь идет об определении площади $s$-мерного сегмента на $S$-мерной единичной сфере.
Следовательно, среднее от $\left(\sum_{\rho=1}^{S}\left|x_{\rho}\right|^{2}\right)^{n}$ будет равно
\[
\begin{array}{l}
\int_{0}^{1} \frac{(S-1) !}{(s-1) !(S-s-1) !} u^{s-1}(1-u)^{s-s-1} \cdot u^{n} \cdot d u= \\
=\frac{(S-1) !}{(s-1) !(S-s-1) !} \int_{0}^{1} u^{s+n-1}(1-u)^{S-s-1} d u= \\
=\frac{(S-1) !}{(s-1) !(S-s-1) !} \frac{(s+n-1) !(S-s-1) !}{(S+n-1) !}=\frac{s(s+1) \ldots(s+n-1)}{S(S+1) \ldots(S+n-1)} .
\end{array}
\]
3. Возвращаясь к унитарным $\left\{\xi_{\rho / \rho^{\prime}}\right\}$, запишем для краткости $e_{\rho, \sigma}=\sum_{\tau=1}^{s} \xi_{\tau / \rho^{*}}^{*} \xi_{\tau / \sigma^{*}}$. В силу приведенных в 1. оснований, все $e_{\rho, \sigma}(\rho
eq \sigma)$ имеют одно и то же распределенне вероятностей, а равным образом и все $\left.e_{\rho, \rho} *\right)$.
$\mathrm{B} e_{\rho, \rho}=\sum_{\tau=1}^{s}\left|\xi_{\tau / \rho}\right|^{2}$ входит лишь $\rho$-й столбец матрицы $\left\{\xi_{\rho / \rho^{\prime}}\right\}$, по нему можно усреднить так, как это было проделано в 2. по единичной сфере (это легко следует из свойств инвариантности наших средних). Поэтому будет (через $\mathfrak{N}$ мы обозначаем среднее)
\[
\begin{array}{l}
\mathfrak{M}\left(e_{\rho, \rho}\right)=\frac{s}{S}, \\
\mathfrak{M}\left(e_{\rho, \rho}^{2}\right)=\frac{s(s+1)}{S(S+1)},
\end{array}
\]
$\mathfrak{M}\left(\left(e_{\rho, \rho}-\frac{s}{S}\right)^{2}\right)=\mathfrak{M}\left(e_{\rho, \rho}^{2}\right)-\frac{2 s}{S} \mathfrak{M}\left(e_{\rho, \rho}\right)+\frac{s^{2}}{S^{2}}=$
\[
=\frac{s(s+1)}{S(S+1)}-\frac{s^{2}}{S^{2}}=\frac{s(S-s)}{S^{2}(S+1)} .
\]

Дальше из $E^{2}=E$ выводим
\[
e_{\rho, \rho}=\sum_{\sigma=1}^{S}\left|e_{\rho, \sigma}\right|^{2}=e_{\rho, \rho}^{2}+\sum_{\substack{\rho, \sigma=1 \\ \rho
eq \sigma}}^{S}\left|e_{\rho, \sigma}\right|^{2}
\]
*) Перестановка строк и столбцов принадлежит к введенным там преобразованиям.
В силу равенства всех $\mathfrak{M}\left(\left|e_{\rho, \sigma}\right|^{2}\right)(\rho
eq \sigma)$ будет поэтому
\[
\begin{array}{l}
\mathfrak{M}\left(\left|e_{\rho, \sigma}\right|^{2}\right)=\frac{1}{S-1}\left(\mathfrak{M}\left(e_{\rho, \rho}\right)-\right.\left.\mathfrak{M}\left(e_{\rho, \rho}^{2}\right)\right)= \\
=\frac{1}{S-1}\left(\frac{s}{S}-\frac{s(s+1)}{S(S+1)}\right)=\frac{s(S-s)}{S\left(S^{2}-1\right)} .
\end{array}
\]

Тем самым использованные в II. 4. средние значения найдены, причем в согласии с данными там значениями.

Теперь остается лишь исследовать распределения $\left|e_{\rho, \sigma}\right|^{2}(\rho
eq \sigma)$ и $\left(e_{\rho, \rho}-\frac{s}{S}\right)^{2}$, чтобы определить средние $\mathbf{M}, \mathbf{N}$ из II. 5..
4. Последнее проще всего: мы уже знаем, что $u \leqq e_{\rho, p} \leqq u+d u$ $(0 \leqq u \leqq 1)$ имеет вероятность $W(u) d u$ (ср. 2.). Пусть $a$ – некоторое число $>0$, $\ll \frac{s^{2}}{S^{2}}$, тогда вероятность, что $\left(e_{\rho, \rho}-\frac{s}{S}\right)^{2} \geqq a$ (заметим, что левая сторона заведомо $\leqq 1$, так как $0 \leqq e_{\rho, \rho} \leqq 1$ ) будет равна
\[
\begin{array}{l}
\left(\int_{0}^{\frac{s}{s}-\sqrt{\bar{a}}}+\int_{\frac{s}{S}+\sqrt{a}}^{1}\right) W(u) d u= \\
=\frac{(S-1) !}{(s-1) !(S-s-1) !}\left(\int_{0}^{\frac{s}{S}-\sqrt{a}}+\int_{\frac{s}{S}+\sqrt{a}}^{1}\right) u^{s-1}(1-u)^{S-s-1} d u \text {. } \\
\end{array}
\]

Логарифмическая производная подинтегрального выражения равна
\[
\frac{s-1}{u}-\frac{S-s-1}{1-u}=\frac{1}{u(1-u)}([s-1]-[S-2] u),
\]

так что оно постоянно возрастает при приближении к $u=\frac{s-1}{s-2}$. Это значение $<\frac{s}{S}$, причем на $\frac{s}{S}-\frac{s-1}{S-1}+\frac{S-2 s}{S(S-1)} \leqq \frac{1}{S}$; поэтому если $a \geqq \frac{1}{S^{2}}$, то оно лежит в интервале $\frac{s}{S} \pm \sqrt{a}$. В области интегрирования подынтегральное выражение достигает поэтому своего максимума при $u=\frac{s}{S} \pm \sqrt{a}$ (мы не различаем где). Поэтому мы можем оценить все выражение, оно будет
\[
\leqq \frac{(S-1) !}{(s-1) !(S-s-1) !}\left(\frac{s}{S} \pm \sqrt{a}\right)^{s-1}\left(1-\frac{s}{S} \mp \sqrt{a}\right)^{S-s-1} .
\]

Воспользуемся теперь тем, что $1 \ll s \ll S$, тогда первый множитель (на основании формулы Стирлинга) будет $\sim \sqrt{\frac{s}{2 \pi}}\left(\frac{s}{S}\right)^{-s}\left(1-\frac{s}{S}\right)^{S-s}$. а второй $\sim \frac{s}{s}\left(\frac{s}{S} \pm \sqrt{a}\right)^{s}\left(1-\frac{s}{S} \mp \sqrt{a}\right)^{s-s}$. Поэтому все выражение будет
\[
\begin{aligned}
\sim \frac{S}{\sqrt{2 \pi s}}\left(1 \pm \frac{S}{s} \sqrt{a}\right)^{s}(1 & \left.\mp \frac{S}{S-s} \sqrt{a}\right)^{S-s}= \\
& =\frac{S}{\sqrt{2 \pi s}} e^{s \ln \left(1 \pm \frac{S}{s} \sqrt{a}\right)+(S-s) \ln \left(1 \mp \frac{S}{S-s} \sqrt{a}\right)} .
\end{aligned}
\]

Экспонента будет
\[
\begin{array}{l}
\leqq \pm s \frac{S \sqrt{a}}{s}-s \frac{S^{2} a}{2 s^{2}} \pm s \frac{S^{2} a \sqrt{a}}{3 s^{3}} \mp(S-s) \frac{S}{S-s} \sqrt{a}= \\
=-\frac{S^{2} a}{2 s} \pm \frac{S^{3} a \sqrt{a}}{3 s^{2}} .
\end{array}
\]

В силу $\frac{s \sqrt{a}}{S} \ll 1$ второћ член мал по сравнению с первым, так что наше выражение $\leqslant \frac{S}{\sqrt{2 \pi s}} e^{-\theta \frac{S^{2} a}{2 s}}(\theta-$ какое-то число $<1)$.

Это относилось к вероятности, что $\left(e_{p, p}-\frac{s}{S}\right)^{2} \geq a$ для фиксированного $p=1, \ldots, S$. Вероятность того, что это будет иметь место для произвольного $\rho\left[\right.$ т. е. для $\left.\mathrm{N}=\max _{\rho=1, \ldots, s}\left(\left(e_{\rho, \rho}-\frac{s}{S}\right)^{2} \geqq a\right)\right]$, в крайнем случае в $S$ раз больше, таким образом $\leqslant \frac{S^{2}}{\sqrt{2 \pi S}} e^{-\theta \frac{S^{2} a}{2 s}}$.
Среднее значение $\mathbf{N}$ мы оцениваем теперь в двух областях: для значений $\geqq 0$, $\leqq a$ вероятность во всяком случае $\leqq 1$, для значений же $\geqq a$, $\leqq 1$ имеет место указанная граница. Итак,
\[
\mathfrak{M}(\mathrm{N}) \leqslant a+\frac{S^{2}}{\sqrt{2 \pi s}} e^{-\Theta \frac{S^{2} a}{2 s}} .
\]

В качестве $a$ можно выбрать любое число $\geqq \frac{1}{S^{2}}$, $\ll \frac{s^{2}}{S^{2}}$, мы положим $a=\frac{8 s \ln S}{\theta S^{2}}$. (Это дает все, если $s \gg \ln S$, что безусловно должно
выполняться в силу заключительного условия из II. 5.*).) Тогда наша верхняя граница будет
\[
\frac{8 s \ln S}{\theta \cdot S^{2}}+\frac{S^{2}}{\sqrt{2 \pi S}} e^{-4 \ln S}=\frac{8 s \ln S}{\theta \cdot S^{2}}+\frac{1}{\sqrt{2 \pi S} S^{2}} \sim \frac{8 s \ln S}{\theta \cdot S^{2}} .
\]

Так что если предпосылки $1 \ll s \ll S$ выполнены достаточно сильно, то указанное среднее будет заведомо $\leqq \frac{9 s \ln S}{S^{2}}$.
5. Остается еще обсудить распределэние $\left|e_{\rho, \sigma}\right|^{2}(p
eq \sigma)$. Обозначим и пусть $\tilde{\xi}=\left\{\xi_{1 / p}, \ldots, \xi_{s / \rho}, 0, \ldots, 0\right\}$. (Воспользуемся для таких векторов $\zeta=\left\{\zeta_{1}, \ldots, \zeta_{s}\right\}, \chi=\left\{\chi_{1}, \ldots, \chi_{s}\right\}$ также символами $(\zeta, \gamma)=\sum_{\tau=1}^{S} \zeta_{\tau} \chi_{\tau}^{*}$, $\left.|\zeta|=\sqrt{(\zeta, \zeta)}=\sqrt{\sum_{\tau=1}^{S}\left|\zeta_{\tau}\right|^{2}}\right)$ Будет: $\left|e_{\rho, \sigma}\right|^{2}=|(\tilde{\xi}, \eta)|^{2}$, причем векторы $\xi, \eta$ как столбцы унитарной матрицы подчиняются условиям $|\xi|=1,|\eta|=1,(\xi, \eta)=0$ (т. е. оба лежат на единичной сфере и ортогональны друг к другу).

Разложим $\tilde{\xi}$ на компоненты – параллельную $\xi$ и ортогональную $\xi: \tilde{\xi}=(\tilde{\xi}, \xi) \cdot \xi+\tilde{\xi}$. Тогда равным образом будет: $\left|e_{\rho, \sigma}\right|^{2}=|(\tilde{\xi}, \eta)|^{2}$. При фиксированном $\xi$ (и $\tilde{\xi}, \tilde{\xi}$ ) мы имеем, таким образом, два вектора, ортогональные к $\xi$, а именно $\tilde{\xi}$ и $r_{i}$, из которых первыи фиксирован, а второй свободно меняется на поверхности ( $S-1$ )-мерной единичной сферы. Введем какую-нибудь ( $S-1)$-мерную декартову систему координат, и пусть $\eta=\left(y_{1}, \ldots, y_{S-1}\right)$. Из унитарной инвариантности нашего построения среднего следует, что усреднение (при фиксированном $\left.\xi=\left\{\xi_{1 / \rho}, \ldots \xi_{S / p}\right\}\right)$ надо проводить в точности так, как если бы $\eta$ усреднялось в смысле 2. по ( $S-1$ )-мерной единичной сфере. Дальше, в силу унитарной инвариантности, среднее зависит лишь от длины, $\mid \tilde{\tilde{\xi} \mid}$, вектора $\tilde{\tilde{\xi}}$, поэтому можно заменить его на $\tilde{\tilde{\xi}}=\{|\tilde{\tilde{\xi}}|, 0, \ldots, 0\}$ ( $S-1)$-мерный). В силу этого мы хотим
*) Из $\sum_{
u=1}^{N_{a}} \frac{1}{s_{v}, a} \ll \frac{1}{\ln \bar{s}_{a}}$ следуег $s_{
u}, a \gg \ln \bar{s}_{a}$. Записанное иначе $\overline{s_{a}} \geqq \sqrt{S_{a}}, \ln s_{a} \geqq \frac{1}{2} \ln S_{a}$. Тем самым должно быть $s_{
u, a} \gg \ln S_{a}$ т. е. $s \gg \ln 9$.
определить сначала распределение $\mid \tilde{\tilde{\xi}}, \eta)\left.\right|^{2}=\left.\tilde{\tilde{\xi}}\right|^{2} \cdot\left|y_{1}\right|^{2}$ для $|\eta|^{2}=$ $=\sum_{\pi=1}^{S-1}\left|y_{\pi}\right|^{2}=1$. То, что эта величина $\geqq u$. $\leqq u+d u$ ( $\left.0 \leqq u \leqq\left.\tilde{\tilde{\xi}}\right|^{2}\right)$, означает, что $\frac{u}{|\widetilde{\tilde{\xi}}|^{2}} \leqq\left|y_{1}\right|^{2} \leqq \frac{u}{|\widetilde{\tilde{\xi}}|^{2}}+\frac{d u}{|\widetilde{\tilde{\xi}}|^{2}}$ и обладает вероятностью $W\left(\frac{u}{|\widetilde{\xi}|^{2}}\right) \frac{d u}{|\widetilde{\xi}|^{2}}$, где в $W(u)$ из 2. надо $s, S$ заменить на $1, S-1$. Итак, коэффициент при $d u$ будет
\[
\frac{S-1}{|\widetilde{\tilde{\xi}}|^{2(S-1)}}\left(\left.\tilde{\tilde{\xi}}\right|^{2}-u\right)^{S-2} .
\]

Но до сих пор $\xi$ было фиксировано, теперь надо усреднить его (конечно, тоже в смысле 2.) по ( $\mathcal{S}$-мерной) единичной сфере. В выражение для распределения $\left|e_{\rho, \sigma}\right|^{2}$ при фиксированном $\xi$ входит лишь $|\tilde{\xi}|^{2}$, а это равно (так как $\tilde{\xi}$ ортогонально к $\xi-\tilde{\xi}$ и $\tilde{\xi}=$ $=\tilde{\xi}-(\xi, \tilde{\xi}) \cdot \tilde{\xi})$
\[
\begin{array}{l}
|\tilde{\xi}|^{2}=(\tilde{\xi}, \tilde{\xi})=(\xi, \tilde{\xi}), \\
|\tilde{\xi}|^{2}=|(\xi, \tilde{\xi}) \cdot \xi|^{2}+|\tilde{\tilde{\xi}}|^{2}=|\tilde{\xi}|^{4}+|\tilde{\tilde{\xi}}|^{2}, \\
|\tilde{\xi}|^{2}=|\tilde{\xi}|^{2}\left(1-|\tilde{\xi}|^{2}\right) .
\end{array}
\]

Поскольку $\left.\xi=\left\{\xi_{1 \rho}, \ldots, \xi_{S \mid \rho}\right)\right\}$ изменяется на единичной сфере, то $w \leqq|\tilde{\xi}|^{2} \leqq w+d w(0 \leqq w \leqq 1)$, т. e. $w \leqq \sum_{\tau=1}^{s}\left|\xi_{\tau / \rho}\right|^{2} \leqq w+d w$, обладает вероятностью $\frac{(S-1) !}{(s-1) !(S-s-1) !} w^{s-1}(1-w)^{S-s-1} d w$. Для того чтобы получить полную плотность вероятности для $\left|e_{\rho, \sigma}\right|^{2}$ в точке $u$, мы должны поэтому проинтегрировать
\[
\begin{array}{c}
\frac{(S-1) !}{(s-1) !(S-S-1) !} w^{s-1}(1-w)^{S-s-1} \times \\
\times \frac{S-1}{(w(1-w))^{S-1}}(w(1-w)-u)^{S-2} \cdot d w= \\
\quad=\frac{(S-1) !(S-1)}{(s-1) !(S-s-1) !} \cdot \frac{(w(1-w)-u)^{S-2}}{w^{S-S}(1-w)^{S}} \cdot d w
\end{array}
\]

по всем $w \geqq 0, \leqq 1$ с $u \leqq w(1-w)$. Вследствие этого надо учитывать для $u$ вообще лишь значения $\leqq \frac{1}{4}$. Мы определим сейчас же вероятность, что $\left|e_{\rho, \sigma}\right|^{2} \geqq a$ (согласно только что сказанному $0 \leqq a \leqq \frac{1}{4}$ ), для этого приведенное выражение надо проинтегрировать по всем $u$, $w$ с $a \leqq u \leqq w(1-w)$, т. е. по $\frac{1}{2}-\sqrt{\frac{1}{4}-a} \leqq$ $\leqq w \leqq \frac{1}{2}+\sqrt{\frac{1}{4}-a}, \quad a \leqq u \leqq w(1-w)$. Мы можем провести интегрирование по $u$ :
\[
\begin{array}{l}
\frac{(S-1) !(S-1)}{(s-1) !(S-S-1) !} \int_{\frac{1}{2}-\sqrt{\frac{1}{4}-a}}^{\frac{1}{\frac{1}{4}-a}} \int_{a}^{w(1-w !} \frac{(w(1-w)-u)^{S-2}}{w^{S-s}(1-w)^{s}} d u d w= \\
\frac{1}{2}+\sqrt{\frac{1}{4}-a} \\
=\frac{(S-1) !}{(s-1) !(S-S-1) !} \int_{\frac{1}{2}-\sqrt{\frac{1}{4}-a}} \frac{(w(1-w)-a)^{S-2}}{w^{S-S}(1-w)^{S}} d w . \\
\text { Разложим интеграл на две части, } \int_{\frac{1}{2}}^{\frac{1}{\frac{1}{4}-a}} \text { и } \int_{\frac{1}{2}-\sqrt{\frac{1}{4}-a}}^{\frac{1}{2}} \text {, и вве- } \\
\end{array}
\]

дем в них новые переменные с помощью $\frac{1}{2}+\sqrt{\frac{1}{4}-x}=w$ и $\frac{1}{2}-\sqrt{\frac{1}{4}-x}=w$ соответственно. В обоих случаях $x=w(1-w)$, в обоих случаях $x$ пробегает значения от $a$ до $\frac{1}{4}$. Складывая оба интеграла, получим
\[
\begin{array}{l}
\frac{(S-1) !}{(s-1) !(S-s-1) !} \times \\
\times \int_{a}^{\frac{1}{4}}(x-a)^{S-1}\left[( \frac { 1 } { 2 } + \sqrt { \frac { 1 } { 4 } – x } ) ^ { – ( S – s ) } \left(\frac{1}{2}-\sqrt{\left.\frac{1}{4}-x\right)^{-s}+}\right.\right. \\
\quad+\left(\frac{1}{2}-\sqrt{\frac{1}{4}-x}\right)^{-(S-s)}\left(\frac{1}{2}+\sqrt{\left.\left.\frac{1}{4}-x\right)^{-s}\right] \frac{d x}{2 \sqrt{\frac{1}{4}-x}}}\right.
\end{array}
\]

Наконец, введем новую переменную $y=\frac{x-a}{\frac{1}{4}-a}$, которая пробегает значения от 0 до 1.
Тогда написанное выражение будет
\[
\begin{array}{l}
\frac{(1-4 a)^{S-1}(S-1) !}{2^{S-1}(s-1) !(S-s-1) !} \times \\
\times \int_{0}^{1} y^{S-1}\left[(1+\sqrt{1-4 a} \sqrt{1-y})^{-(S-s)}(1-\sqrt{1-4 a} \sqrt{1-y})^{-s}+\right. \\
\left.+(1-\sqrt{1-4 a} \sqrt{1-y})^{-(S-s)}(1+\sqrt{1-4 a} \sqrt{1-y})^{-s}\right] \frac{d y}{\sqrt{1-y}} .
\end{array}
\]

Разделим эту вероятность на $(1-4 a)^{S-1}$, тогда от $a$ будет еще зависеть лишь выражение […]. Как мы покажем, оно возрастает при $a \rightarrow 0$, а следовательно и введенная дробь. Но так как при $a=0$ числитель (вероятность) $=1$, а знаменатель $\left((1-4 a)^{S-1}\right)$ тоже, то тем самым доказано, что дробь всегда $\leqq 1$, т. е. что вероятность всегда $\leqq(1-4 a)^{S-1} \leqq e^{-4 a(S-1)}$.

Если $a \rightarrow 0$, то $\sqrt{1-4 a} \sqrt{1-y}$, возрастая, стремится к $\sqrt{1-y}$, поэтому достаточно показать, что
\[
\left[(1+t)^{-(S-s)}(1-t)^{-s}+(1-t)^{-(S-s)}(1+t)^{-s}\right]
\]

при $t>0$ возрастает. Действительно, его производная
\[
\begin{array}{l}
\begin{array}{c}
(1+t)^{-(S-s)}(1-t)^{-s}\left(\frac{s}{1-t}-\frac{S-s}{1+t}\right)+ \\
+(1-t)^{-(S-s)^{-}}(1+t)^{-s}\left(\frac{S-s}{1-t}-\frac{s}{1+t}\right)>0,
\end{array} \\
\text { если }\left(\text { мы полагаем } z=\frac{1+t}{1-t}>1\right) \\
z^{s}(s z-(S-s))+z^{s-s}((S-s) z-s)>0 .
\end{array}
\]

но это выражение, очевидно,
\[
>z^{s}(s-(S-s))+z^{S-s}((S-s)-s)=\left(z^{S-s}-z^{s}\right)((S-s)-s) \geqq 0 .
\]

Тем самым приведенная оценка вероятности $\left|e_{\rho, \sigma}\right|^{2} \geqq a$ для фиксированной пары $\rho
eq \sigma, \rho, \sigma=1, \ldots, S$ подтверждена. Вероятность того, что это случится для каких-то $p$, о [т. е. для $\mathrm{M}=$ $\left.=\operatorname{Max}_{\rho
eq \sigma, \rho, \sigma=1, \ldots, S}\left(\left|e_{\rho, \sigma}\right|^{2}\right) \geqq a\right]$, в крайнем случае в $\frac{S(S-1)}{2}$ раз больше (так как $e_{\rho, \sigma}=e_{\sigma, \rho}^{*}$, то достаточно рассмотреть $\rho<0$ ), т. е. $\leqq \frac{S(S-1)}{2} e^{-4 a(S-1)}$. Среднее значение $M$ оценим снова в двух областях: для значений $\geqq 0$, $\leqq a$ вероятность во всяком случае $\leqq 1$, а для значений $\geqq a, \leqq \frac{1}{4}$ имеет место приведенная оценка. Итак,
\[
\mathfrak{M}(\boldsymbol{M}) \leqq a+\frac{S(S-1)}{8} e^{-4 a(S-1)} .
\]

В качестве $a$ можно взять любое число 2 , «1, мы полагаем $a=\frac{3}{4} \frac{\ln S}{S}$. (Пригодное, так как $S \gg 1$.) Тогда наша верхняя граница будет
\[
\begin{aligned}
\frac{3}{4} \frac{\ln S}{S}+\frac{S(S-1)}{8} e^{-3 \ln S \frac{S-1}{S}} \sim \frac{3}{4} \frac{\ln S}{S}+\frac{S^{2}}{8} e^{-3 \ln S}= & \\
& =\frac{3}{4} \frac{\ln S}{S}+\frac{1}{8 S} \sim \frac{3}{4} \frac{\ln S}{S} .
\end{aligned}
\]

Таким образом, если предпосылка $S \gg 1$ выполнена достаточно сильно, то рассматриваемое среднее будет $\leqq \frac{\ln S}{S}$.
Тем самым желаемые оценки полностью проведены.