Главная > МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ (ФОН НЕИМАН)
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

Рассмотрим, как было намечено в конце предыдущего параграфа, две физические системы I и II (они не обязательно должны иметь обсуждавшийся там смысл) и получающуюся их объединением систему $I+I I$. Пусть с точки зрения классической механики система $I$ обладает $k$ степенями свободы, следовательно, координатами $q_{1}, \ldots, q_{k}$, вместо которых мы ради краткости будем писать одну букву $q$. Система $I I$ пусть обладает соответственно $l$ степенями свободы, описывается координатами $r_{1}, \ldots, r_{l}$, сокращенно $r$. Тогда у системы $I+I I$ будет $k+l$ степеней свободы и ей будут соответствовать координаты $q_{1}, \ldots, q_{k}, r_{1}, \ldots, r_{l}$, сокращенно $q, r$. При квантовомеханическом описании волновые функции $I$ будут тогда иметь вид $\varphi(q)$, системы $I I-\xi(r)$, а системы $I+I I-\Phi(q, r)$. Внутреннее произведение в соответствующих гильбертовых пространствах $\mathfrak{R}^{I}, \mathfrak{R}^{I I}$ и $\mathfrak{R}^{I+I I}$ естественно определить как $\int \varphi(q) \overline{\psi(q)} d q$ или $\int \xi(r) \bar{\eta}(r) d r$, или $\iint \Phi(q, r) \bar{\Psi}(q, r) d q d r$. В соответствии с этим физические величины систем $I, I I$ и $I I I$ будут (гипермаксимальными) эрмитлвыми операторами А или $A$, или $\mathbf{A}$ в $\mathfrak{R}^{I}$, или в $\mathfrak{R}^{I I}$, или в $\mathfrak{R}^{I+I I}$.

Каждая физическая величина в I является, конечно такой и в системе $I+I I$, и при этом ее onератор $\mathbf{A}$ получается из А следующим обрдзом: чтобы получить А $\Phi(q, r)$, следует считать $r$ постоянными и применить А к $q$-функции $\Phi(q, r)^{209}$. Это правило сопоставления,
209) Можно легко показать, что оператор А будет одновременно с А эрмитовым или гипермаксимальным.

во всяком случае верно для операторов координат и импульсов $\left(Q_{1}, \ldots, Q_{k}\right.$ и $P_{1}, \ldots, P_{k}$, т. е., cp. I. $2, q_{1}, \ldots, q_{k}, \frac{h}{2 \pi i} \frac{\partial}{\partial q_{1}}, \ldots$ $\ldots, \frac{h}{2 \pi i} \frac{\partial}{\partial q_{k}}$ ) и находится в согласии с общими принципами сопоставления $\boldsymbol{I}$. и $\boldsymbol{I}$. из IV. $2^{210}$ ), поэтому мы постулируем его и для общего случая. (В квантовой механике оно общеупотребительно.)

Точно так же каждая физическая величина в $/$ является такой и в $I+I I$, и ее оператор $A$ приводит к ее $\boldsymbol{A}$ по тому же правилу: А $\Phi(q, r)$ равняется $A \Phi(q, r)$, если при образовании последнего выражения рассматривать $q$ как постоянные и $\Phi(q, r)$ – как $r$-функцию.

Если $\varphi_{m}(q)(m=1,2, \ldots$ ) образуют полную ортонормированную систему в $\mathfrak{M}^{I}$, а $\xi_{n}(r)(n=1,2, \ldots)$ – такую систему в $\mathfrak{R}^{I I}$, то функции $\Phi_{m / n}(q, r)=\varphi_{m}(q) \xi_{n}(r)(m, n=1,2, \ldots)$ составят, очевидно, такую же систему в $\mathfrak{R}^{I+I I}$. Тогда операторы $\mathrm{A}, \boldsymbol{A}$ или $\boldsymbol{A}$ можно будет представить матрицами $\left\{\mathbf{a}_{m / m^{\prime}}\right\}$ или $\left\{a_{n / n^{\prime}}\right\}$ или $\left\{\alpha_{m n / m^{\prime} n^{\prime}}\right\}$ $\left.\left(m, m^{\prime}, n, n^{\prime}=1,2, \ldots\right)^{211}\right)$, к чему мы будем ниже часто прибегать. Матричное представление означает, что
\[
\mathrm{A} \varphi_{m}(q)=\sum_{m^{\prime}=1}^{\infty} \mathrm{a}_{m / m^{\prime}} \varphi_{m^{\prime}}(q), \quad A \xi_{n}(r)=\sum_{n^{\prime}=1}^{\infty} a_{n / n^{\prime} \xi_{n^{\prime}}(r)}
\]

и
\[
\mathbf{A} \Phi_{m n}(q, r)=\sum_{m^{\prime}, n^{\prime}=1}^{\infty} \alpha_{m n / m^{\prime} n^{\prime}} \Phi_{m^{\prime} n^{\prime}}(q, r)
\]
т. e.

В частности, сопоставление $\mathbf{A} \rightarrow \mathbf{A}$ устанавливает, что
\[
\boldsymbol{A} \varphi_{m}(q) \xi_{n}(r)=\left(\mathbf{A} \varphi_{m}(q)\right) \xi_{n}(r)=\sum_{m^{\prime}=1}^{\infty} \mathbf{a}_{m / m^{\prime}} \varphi_{m^{\prime}}(q) \xi_{n}(r),
\]
T. е. что
\[
\alpha_{m n / m^{\prime} n^{\prime}}=\mathrm{a}_{m / m^{\prime}} \delta_{n / n^{\prime}}, \quad\left(\delta_{n / n^{\prime}}=\left\{\begin{array}{lll}
1 & \text { для } & n=n^{\prime}, \\
0 & \text { для } & n
eq n^{\prime} .
\end{array}\right)\right.
\]

Аналогично сопоставление $A \rightarrow \boldsymbol{A}$ устанавливает, что $\alpha_{m n / m^{\prime} n^{\prime}}=$ $=a_{n / n^{\prime}} \delta_{m / m^{\prime}}$.
${ }^{210}$ Для $\boldsymbol{I}$. это ясно, для $\boldsymbol{I}$. – тоже, пока рассматриваются только полиномы. Для произвольных функций это следует из того обстоятельства, что взаимосвязь разложения единицы и какого-либо эрмитова оператора не нарушается при переходе $\mathbf{A} \rightarrow \mathbf{A}$.
211) Из-за большого числа разнообразных индексов мы прибегнем для матриц к такому обозначению, несколько отличному от применявшегося.
Статистический ансамбль в $I+I I$ характеризуется его статистическим оператором $\mathbf{U}$ или состветствующей последнему матривсех величин в $I+I I$, следовательно, в частности, и статистические свойства величин в $I$. Таким образом, этому ансамблю отвечает и статистическии ансамбль в одной лишь системе I: в самом деле, наблюдатель, могущий учитывать существование только $I$, но не $I I$, воспринял бы ансамбль, относящийся к системам $I+I I$, как относящийся к системе I. Что же будет теперь статистическим оператором $U$ или его матрицей $\left\{\mathrm{U}_{m / m^{\prime}}\right\}$, относящимся к этому $I$-ансамблю? Определим его из следующих соображении. $I$-величина с матрицей $\left\{\mathrm{a}_{m / m^{\prime}}\right\}$ будет обладать, как $(I+I I)$-величина, матрицей $\left\{a_{m / m}, \delta_{n / n^{\prime}}\right\}$, следовательно, на основе вычислений в $I$ будет иметь єреднее значение
\[
\sum_{m, m^{\prime}=1}^{\infty} \mathrm{U}_{m^{\prime} m^{\prime}} \mathbf{a}_{m^{\prime} / m},
\]

в то время как вычисления в $(I+I I)$ приведут к $\sum_{m, n, m^{\prime}, n^{\prime}=1}^{\infty} 0_{m n / m^{\prime} n^{\prime}} \mathbf{a}_{m^{\prime} / n^{\prime}} \delta_{n^{\prime} / n}=\sum_{m, m^{\prime}, n=1}^{\infty} 0_{m n / m^{\prime} n} \mathbf{a}_{m^{\prime} / m}=$
\[
=\sum_{m, m^{\prime}=1}^{\infty}\left(\sum_{n=1}^{\infty} v_{m n / m^{\prime} n}\right) \mathbf{a}_{m^{\prime} / n^{*}}
\]

Чтобы эти два выражения совпали, должно быть
\[
\mathrm{u}_{m / m^{\prime}}=\sum_{n=1}^{\infty} v_{m n / m^{\prime} n} .
\]

Совершенно аналогичным образом определяет наш $(I+I I)$-ансамбль в случае, когда учитывается только $I$, а $I$ игнорируется, $I I$-ансамбль со статистическим оператором $U$ и соответствующей ему матрицей $u_{n / n^{\prime}}$. Совершенно так же тогда получается, что
\[
u_{n / n^{\prime}}=\sum_{m=1}^{\infty} u_{m n / m n^{\prime}} \text {. }
\]

Итак, мы вывели правила сопоставления и для статистических операторов $\mathbf{U}, U$ и $\mathbf{U}$ систем $I, I I$ и $I+I I$, однако эти правила существенно отличаются от тех правил сопоставления, которые имели место для операторов $\mathbf{A}, \boldsymbol{A}$ и $\boldsymbol{A}$ физических величин.

Надо еще отметить, что выбранное сопоставление операторов $U$, $U$ и зависит от выбора полных ортонормированных систем $\varphi_{m}(q)$ и $\xi_{n}(r)$ только кажущимся образом, поскольку оно было выведено ив инвариантного условия (которому можно удовлетворить только таким сопоставлением) – совпадения средних значений операторов А и $\boldsymbol{A}$ или $A$ и $\boldsymbol{A}$.

Оператор $\mathbf{U}$ выражает собой статистику в системе $I+I I$, операторы $U$ или $U$ – статистику, ограниченную системами $I$ или $I$. Возникает вопрос, определяют ли $\mathcal{U}$ и $U$ оператор $\boldsymbol{U}$ однозначно или нет? В общем случае следует ожидать отрицательного ответа, поскольку при знании только операторов $U$ и $U$, т. е. лишь свойств разделенных систем $I$ и $I I$, у нас выпадают все «зависимости вероятностей», могущие существовать между обеими системами. Если, однако, как состояние $I$, так и состояние $I I$ известны точно, то «зависимости вероятностей» не играют роли и $I+I I$ узнается точно. За этими качественными соображениями должно, конечно, последовать точное математическое рассмотрение, к которому мы сейас приступим.

Задача состоит в том, чтобы для двух заданных дефинитных матриц $\left\{\mathrm{u}_{m / m^{\prime}}\right\}$ и $\left\{u_{n / n^{\prime}}\right\}$ построить третью дефинитную матрицу $\left\{0_{\left.n n / m^{\prime} n^{\prime}\right\}}\right.$ такую, что
\[
\sum_{n=1}^{\infty} v_{m n / m^{\prime} n}=\mathrm{u}_{m / m^{\prime}}, \quad \sum_{m=1}^{\infty} v_{m n / m n^{\prime}}=u_{n / n^{\prime}} .
\]
(Из $\sum_{m=1}^{\infty} \mathrm{u}_{m / m}=1, \sum_{n=1}^{\infty} u_{n / n}=1$ следует тогда автоматически, что $\sum_{m n=1}^{\infty} v_{m n / m n}=1$, т. е. правильная нормировка сохраняется.) Разрешима задача всегда; так, например, $0_{m n / m^{\prime} n^{\prime}}=\mathrm{U}_{m / m^{\prime}} u_{n / n^{\prime}}$ всегда будет решением (легко убедиться, что эта матрица дефинитна); вопрос состоит в том, когда это решение будет единственным.

Мы покажем, что это выполняется тогда и только тогда, когда, по краћней мере, одна из двух матриц $\left\{\mathrm{u}_{m / m^{\prime}}\right\}$ и $\left\{u_{n / n^{\prime}}\right\}$ будет состоянием. Докажем сперва необходимость этого условия, т. е. существование многих решений в случае, когда обе матрицы соответствуют смесям. Действительно, тогда (ср. IV. 2)
\[
\mathrm{u}_{m / m^{\prime}} \doteq \alpha \mathrm{V}_{m / m^{\prime}}+\beta \mathrm{W}_{m / m^{\prime}}, \quad u_{n / n^{\prime}}=\gamma v_{n / n^{\prime}}+\delta w_{n / n^{\prime}}
\]
(матрицы $\mathrm{V}_{m / m^{\prime}}$ и $\mathrm{W}_{m / m^{\prime}}$ дефинитны и отличаются не только постоянным множителем, то же для $v_{n / n^{\prime}}$ и $w_{n / n^{\prime}}$;
\[
\sum_{m=1}^{\infty} \mathrm{V}_{m / m}=\sum_{m=1}^{\infty} \mathrm{W}_{m / m}=\sum_{n=1}^{\infty} v_{n / n}=\sum_{n=1}^{\infty} w_{n / n}=1 ;
\]
$\alpha, \beta, \gamma, \delta&gt;0 ; \alpha+\beta=1 ; \gamma+\delta=1$ ), и легко проверить вычислением, что каждая матрица
c
\[
\cup_{m n / m^{\prime} n^{\prime}}=\pi \mathrm{V}_{m / m^{\prime}} \boldsymbol{v}_{n / n^{\prime}}+\rho \mathrm{W}_{m / m^{\prime}}, \boldsymbol{v}_{n / n^{\prime}}+\sigma \mathrm{V}_{m / m^{\prime}} \boldsymbol{w}_{n / n^{\prime}}+\tau \mathrm{W}_{m / m^{\prime}} \boldsymbol{w}_{n / n^{\prime}}
\]
$\pi+\sigma=\alpha ; \quad \rho+\tau=\beta ; \quad \pi+p=\gamma ; \quad \sigma+\tau=\delta ; \quad \pi, \rho, \quad, \tau&gt;0$
будет решением. Числа $\pi, \rho$, о и $\tau$ можно выбрать при этом бесконечным числом различных способов (поскольку $\alpha+\beta=\gamma+\delta$, то из четырех уравнений независимы только три, пусть, например,
\[
\rho=\gamma-\pi ; \quad \sigma=\alpha-\pi ; \quad \tau=(\delta-\alpha)+\pi .
\]

Чтобы все было положительным, должно быть $\alpha-\delta=\gamma-\beta&lt;$ $&lt;\pi&lt;\alpha, \gamma$, что выполняется для бесконечного числа значений $\pi$ ), $\mathrm{V}_{m / m^{\prime}} \boldsymbol{v}_{n / n^{\prime}}, \ldots, \mathrm{W}_{m / m^{\prime}} \boldsymbol{w}_{n / n^{\prime}}$ линейно независимы, поскольку это имеет место как для $\mathrm{V}_{m / m^{\prime}}, \mathrm{W}_{m / m^{\prime}}$, так и для $v_{n / n^{\prime}}, w_{n / n^{\prime}}$.

Перейдем теперь к доказательству достаточности, причем можем принять, что состоянию отвечает $\mathrm{u}_{m / m^{\prime}}$ (другой случай рассматривается точно так же). Итак, пусть $U=P_{[\varphi]}$. Поскольку полная ортонормированная система $\varphi_{1}, \varphi_{2}, \ldots$ была произвольна, можем принять, что $\varphi_{1}=\varphi$. Оператору $U=P_{\left|\varphi_{1}\right|}$ соответствует, очевидно, матрица
\[
\mathrm{u}_{m / m^{\prime}}=\left\{\begin{array}{l}
1 \text { для } m=m^{\prime}=1, \\
0 \text { в остальных случаях. }
\end{array}\right.
\]

Итак,
\[
\sum_{n=1}^{\infty} u_{m n / m^{\prime} n}=\left\{\begin{array}{l}
1 \text { для } m=m^{\prime}=1, \\
0 \text { в остальных случаях. }
\end{array}\right.
\]

В частности, для $m
eq 1 \sum_{n=1}^{\infty} v_{m n / m n}=0$, но поскольку по определению и $_{m n / m^{\prime} n^{\prime}}$ все и $_{m n / m n} \geqslant 0$ (денствительно, и $_{m n / m n}=\left(\mathbf{U} \Phi_{m n}, \Phi_{m n}\right)$ ), то в этом случае $\mathrm{U}_{m n / m n}=0$. Эго значит, что $\left(\mathbf{U} \Phi_{m n}, \Phi_{m n}\right)=0$, следовательно, в силу дефинитности $\mathbf{U}$, и $\left(\mathbf{U} \Phi_{m n}, \Phi_{m^{\prime} n^{\prime}}\right)=0$ (ср. II. 5, теорема 19.) для произвольных $m^{\prime}, n^{\prime}$. Но это значит, что из $m
eq 1$ следует $0_{m n / m^{\prime} n^{\prime}}=0$, а вследствие эрмитовости то же будет следовать и из $m^{\prime}
eq 1$, Но для $m=m^{\prime}=1$ получается
\[
v_{1 n / 1 n^{\prime}}=\sum_{m=1}^{\infty} v_{m n / m n^{\prime}}=u_{n / n^{\prime}} \text {. }
\]

Тем самым, как и утверждалось, оказывается, что решение $u_{m n / m^{\prime} n}$ определено однозначно.

Резюмируя, можно сформулировать наш результат следующим образом. Статистический ансамбль в $I+I /$ с оператором $\mathbf{U}=\left\{u_{m n / m^{\prime} n^{\prime}}\right\}$ однозначно определяется определенными только в $I$ и только в II статистическими ансамблями с операторами $\mathrm{U}=\left\{\mathrm{u}_{m / m^{\prime}}\right\}$ и $U=\left\{u_{n / n^{\prime}}\right\}$ тогда и только тогда, когда выполняются следующие условия:
I.
$0_{m n / m^{\prime} n^{\prime}}=\mathrm{v}_{m / m^{\prime}} v_{n / n^{\prime}}$.
(Из равенства $\operatorname{Spur} \mathbf{U}=\sum_{m, n=1}^{\infty} v_{m n / m n}=\sum_{m=1}^{9} \mathbf{v}_{m / m} \sum_{n=1}^{\infty} v_{n / n}=1$ следует, что мы можем умножением $\mathrm{V}_{m / m^{\prime}}$ и $v_{n / n^{\prime}}$ на два взаимно обратных множителя добиться выполнения
\[
\sum_{m=1}^{\infty} \mathrm{v}_{m / m}=1, \quad \sum_{n=1}^{\infty} v_{n / n}=1 .
\]

Но тогда видно, что будет $\mathrm{u}_{m / m^{\prime}}=\mathrm{v}_{m / m^{\prime}}$ и $u_{n / n^{\prime}}=v_{n / n^{\prime}}$.)
2. Выполняется либо $\mathrm{v}_{m / m^{\prime}}=\bar{x}_{m} x_{m^{\prime}}$, либо $v_{n / n^{\prime}}=\bar{x}_{n} x_{n}^{\prime}$.
(ибо $\mathrm{U}=P_{[\varphi]}$ означает, что $\varphi=\sum_{m=1}^{\infty} y_{m} \varphi_{m}$, следовательно, $\mathrm{u}_{m / m^{\prime}}=\bar{y}_{m} y_{m^{\prime}}$ и соответственно для $\mathrm{v}_{m / m^{\prime}} ;$ аналогично рассуждаем и для $U=P_{[\xi]}$.)

В дальнейшем мы будем называть $U$ и $U$ проекциями оператора $U$ в $I$ и в $I{ }^{212}$ ).

Обратимся теперь к состояниям из $I+I I, \mathbf{U}=P_{[\Phi]}$. Относящиеся к ним волновые функции $\Phi(q, r)$ могут быть разложены по полной ортонормированной системе $\Phi_{m n}(q, r)=\varphi_{m}(q) \xi_{n}(r)$ :
\[
\Phi(q, r)=\sum_{m, n=1}^{\infty} f_{m n} \varphi_{m}(q) \xi_{n}(r) .
\]

Мы можем также заместить их коэффициентами $f_{m n}(m, n=1,2, \ldots)$, которые ограничены только условием $\sum_{m, n=1}^{\infty}\left|f_{m n}\right|^{2}=\|\Phi\|^{2}$ конечна.
Можно ввести также, два оператора $F$ и $F^{*}$ равенствами
\[
\begin{array}{l}
F \varphi(q)=\int \overline{\Phi(q, r)} \varphi(q) d q, \\
F^{*} \xi(r)=\int \Phi(q, r) \xi(r) d r .
\end{array}
\]

Они линейны и обладают той своеобразной особенностью, что, будучи определенными в $\mathfrak{\Re}^{I}$ или соответственно в $\mathfrak{R}^{I I}$, принимают значения из $\mathfrak{R}^{I I}$ или соответственно из $\mathfrak{R}^{I}$. Они соотносятся как сопряженные операторы, поскольку, очевидно, $(F \varphi, \xi)=\left(\varphi, F^{*} \xi\right)$ (внутреннее произведение в левой части образуется в $\mathfrak{R}^{I I}$, а в правой – в $\mathfrak{R}^{I}$ !). Поскольку различие между $\Re^{I}$ и $\Re^{I I}$ не имеет математического значения, то мы можем применить результаты II. 11, и поэтому $\Sigma(F)$
212) Проекции состояния из $I+I I$ оказываются в $I$ и в $I I$, вообще говоря, смесями, ср. ниже. Это обстоятельство было открыто Ландау (L. Landau, Zs. f. Phys. 45 (1927)).
и $\Sigma\left(F^{*}\right)$, поскольку речь идет об интегральных операторах, будут равны
\[
\iint|\Phi(q, r)|^{2} d q d r=\|\Phi\|^{2}=1 \quad\left(\|\Phi\| \text { в } \mathfrak{R}^{I+I I} !\right)
\]

и, следовательно, конечны. Поэтсму $F$ и $F^{*}$ будут непрерывными, даже полностью непрерывными операторами, произведения $F^{*} F$, равно как и $F F^{*}$, будут дефинитными операторами и
\[
\operatorname{Spur}\left(F^{*} F\right)=\Sigma(F)=1, \quad \operatorname{Spur}\left(F F^{*}\right)=\Sigma\left(F^{*}\right)=1 .
\]

Обращая снова внимание на различие между $\Re^{I}$ и $\Re^{I I}$, замечаем, что $F^{*} F$ определено в $\mathfrak{R}^{I}$, а $F F^{*}$ – в $\mathfrak{R}^{I I}$.

Так как $F \varphi_{m}(q)$ оказывается равным $\sum_{n=1}^{\infty} \bar{f}_{m n} \xi_{n}(r)$, то оператор $F$ имеет своей матрицей $\left\{\overline{f_{m n}}\right\}$ (при использовании полных ортонормированных систем $\varphi_{m}(q)$ и $\left.\xi_{n}(r)\right)$; аналогично матрицей оператора $F^{*}$ будет $\left\{f_{m n}\right\}$. Поэтому $F^{*} F$ и $F F^{*}$ будут иметь матрицы
\[
\left\{\sum_{n=1}^{\infty} \bar{f}_{m n} f_{m^{\prime} n}\right\} \text { и }\left\{\sum_{m=1}^{\infty} \bar{f}_{m n} f_{m n^{\prime}}\right\} .
\]

С другой стороны, оператор $\mathbf{U}=P_{[\Phi]}$ будет обладать в системе функций $\Phi_{m n}(q, r)=\varphi_{m}(q) \xi_{n}(r)$ матрицей $\left\{\bar{f}_{m n} f_{m^{\prime} n^{\prime}}\right\}$, так что матрицами его проекций $U$ и $U$ в $I$ и в $I I$ будут $\sum_{n=1}^{\infty} \bar{f}_{m n} f_{m^{\prime} n}$ и соответственно $\left.\sum_{m=1}^{\infty} \bar{f}_{m n} f_{m n^{\prime}}{ }^{213}\right)$. Поэтому
\[
U=F^{*} F, \quad U=F F^{*} .
\]

Это утверждение не будет зависеть от выбора функций $\varphi_{m}$ и $\xi_{n}$ (так как $U, U$ и $F$ не зависят от такого выбора).

Операторы $U$ и $U$ полностью непрерывны и, согласно II. 11 и IV.3, могут быть записаны в виде
\[
\mathrm{U}=\sum_{k=1}^{\infty} w_{k}^{\prime} P_{\left[\Psi_{k}\right]}, \quad U=\sum_{k=1}^{\infty} w_{k}^{\prime \prime} P_{\left[\eta_{k}\right]},
\]

где $\psi_{k}$ образуют полную ортонормированную систему в $\mathfrak{R}^{I}, \eta_{k}$ такую систему в $\mathfrak{R}^{I I}$ и все $w_{k}^{\prime}, w_{k}^{\prime \prime} \geqslant 0$. Опустим теперь в каждой из обеих формул члены с $w_{k}^{\prime}=0$ или $w_{k}^{\prime \prime}=0$ и перенумеруем оставшиеся опять последовательными числами $1,2, \ldots$ Тогда функции $\psi_{k}$ или $\eta_{k}$ будут образовывать уже только ортонормированную, но
213) Математически это рассуждение соприкасается с работой E. Schmid t’a, Math. Ann. 63 (1907).
не обязательно полную систему, на месте сумм $\sum_{k=1}^{\infty}$ выступят $\sum_{k=1}^{M^{\prime}}$ и $\sum_{k=1}^{M^{\prime \prime}}$, где $M^{\prime}$ и $M^{\prime \prime}$ с равным правом могут как равняться бесконечности, так и быть конечными, но зато все $w_{k}^{\prime}$ и $w_{k}^{\prime \prime}$ будут теперь строго больше нуля.
Рассмотрим некоторую $\psi_{k}$. Будет $\mathrm{U} \psi_{k}=w_{k}^{\prime} \psi_{k}$, следовательно,
\[
F^{*} F \psi_{k}=w_{k}^{\prime} \psi_{k}, \quad F F^{*} F \psi_{k}=w_{k}^{\prime} F \psi_{k}, \quad U F \psi_{k}=w_{k}^{\prime} F \psi_{k} .
\]

Далее
\[
\begin{aligned}
\left(F \psi_{k}, F \psi_{l}\right)=\left(F^{*} F \psi_{k}, \psi_{l}\right)=\left(U \psi_{k}, \psi_{l}\right) & = \\
& =w_{k}^{\prime}\left(\psi_{k}, \psi_{l}\right)=\left\{\begin{array}{lll}
w_{k}^{\prime} & \text { для } & k=l, \\
0 & \text { для } & k
eq l .
\end{array}\right.
\end{aligned}
\]

Поэтому, в частности, $\left\|F \Psi_{k}\right\|^{2}=w_{k}^{\prime}$. Итак, функции $\frac{1}{\sqrt{w_{k}^{\prime}}} F \psi_{k}$ образуют ортонормированную систему в $\mathfrak{R}^{I I}$ и, более того, они будут собственными функциями оператора $U$ с теми же собственными значениями, что у функции $\psi_{k}$ для $U$ (т. е. равными $w_{k}^{\prime}$ ). Это значит, что всякое собственное значение $U$ будет и собственным значением не меньшей кратности для оператора $U$; переставляя $U$ и $U$, получаем, что эти операторы имеют одинаковые собственные значения с одинаковыми кратностями. Итак, числа $w_{k}^{\prime}$ и $w_{k}^{\prime \prime}$ совпадают попарно с точностью до порядка нумерации. Поэтому $M^{\prime}=M^{\prime \prime}=M$, и изменением порядка нумерации $w_{k}^{\prime \prime}$ мы можем достигнуть выполнения $w_{k}^{\prime}=w_{k}^{\prime \prime}=w_{k}$. Но, коль скоро это так, мы можем, не теряя общности, выбрать $\eta_{k}=\frac{1}{\sqrt{w_{k}}} F \psi_{k}$. Тогда будет

Итак,
\[
\frac{1}{\sqrt{w_{k}}} F^{*} \eta_{k}=\frac{1}{w_{k}} F^{*} F \psi_{k}=\frac{1}{w_{k}} \mathrm{U} \psi_{k}=\psi_{k} .
\]
\[
\left.\eta_{k}=\frac{1}{\sqrt{w_{k}}} F \psi_{k}, \quad \psi_{k}=\frac{1}{\sqrt{w_{k}}} F^{*} \eta_{k}^{*}\right) .
\]

Дополним теперь ортонормированную систему $\psi_{1}, \psi_{2}, \ldots$ до полной $\psi_{1}, \psi_{2}, \ldots, \psi_{1}^{\prime}, \psi_{2}^{\prime}, \ldots$ а систему $\eta_{1}, \eta_{2}, \ldots$ до $\eta_{1}, \eta_{2}, \ldots, \eta_{1}^{\prime}, \eta_{2}^{\prime}, \ldots$ (каждая из систем $\psi_{1}^{\prime}, \psi_{2}^{\prime}, \ldots$ и $\eta_{1}^{\prime}, \eta_{2}^{\prime}, \ldots$ может быть пустой, конечной или бесконечнои; они строятся независимо друг от друга). Bce предыдущие рассуждения не зависели от выбора полных орто-
*) См. прим. ${ }^{212}$ ) на стр. 314 .
нормированных систем $\varphi_{1}, \varphi_{2}, \ldots$ и $\xi_{1}, \xi_{2}, \ldots$, мы можем поэтому выбрать в качестве их системы $\psi_{1}, \psi_{2}, \ldots, \psi_{1}^{\prime}, \psi_{2}^{\prime}, \ldots$ и $\eta_{1}, \eta_{2}, \ldots$, $\eta_{1}^{\prime}, \eta_{2}^{\prime}, \ldots$ Именно, пусть $\psi_{k}$ совпадает с $\varphi_{\mu_{k}}, \eta_{k}-$ с $\xi_{
u_{k}}\left(\mu_{1}, \mu_{2}, \ldots\right.$ взаимно различны; то же для $
u_{1},
u_{2}, \ldots$ ). Тогда
\[
F \varphi_{\mu_{k}}=\sqrt{w_{k}} \xi_{v_{k}}, \quad F \varphi_{m}=0 \text { для } \quad m
eq \mu_{1}, \mu_{2}, \ldots
\]

Итак,
\[
f_{m n}=\left\{\begin{array}{l}
\sqrt{w_{k}} \quad \text { для } \quad m=\mu_{k}, \quad n=
u_{k}, \quad k=1,2, \ldots, \\
0 \text { в остальных случаях, }
\end{array}\right.
\]

или, что то же самое,
\[
\Phi(q, r)=\sum_{k=1}^{M} \sqrt{\omega_{k}} \varphi_{\mu_{k}}(q) \xi_{
u_{k}}(r) .
\]

Таким образом, мы достигли, путем соответствующего выбора систем $\varphi_{m}(q)$ и $\xi_{n}(r)$, того, что каждая строка и каждый столбец матрицы $\left\{f_{m n}\right\}$ содержат самое большее один не равный нулю элемент (то, что он даже веществен и положителен, именно равен $\sqrt{w_{k}}$, для дальнейшего не важно). В чем заключается физический смысл этого формального утверждения?

Пусть $A$-оператор с собствгнными функциями $\varphi_{1}, \varphi_{2}, \ldots$ и всеми различными собственными значениями, например $a_{1}, a_{2}, \ldots$; $B$ – такой же оператор с функциями $\xi_{1}, \xi_{2}, \ldots$ и значениями $b_{1}, b_{2}, \ldots$ Оператор $A$ соответствует некоторой физической величине в $I$, оператор $B$ – в $I I$; эти две величины допускают, следовательно, одновременное измерение. Легко видеть, что утверждения « $A$ имеет значение $a_{m}$ » и « $B$ имеет значение $b_{n}$ » определяют совместно состояние $\Phi_{m n}(q, r)=\varphi_{m}(q) \xi_{n}(r)$, которое имеет в состоянии $\Phi(q, r)$ вероятность $\left(P_{\left[\Phi_{m n}\right]} \Phi, \Phi\right)=\left|\left(\Phi, \Phi_{m n}\right)\right|^{2}=\left|f_{m n}\right|^{2}$. Таким образом, наше утверждение означает, что $A$ и $B$ одновременно измеримы, и если бы один из них был измерен в Ф, то тем самым значение другого было бы однозначно определено. (Собственное значение $a_{m}$, которому отвечают все $f_{m n}=0$, встретиться не может, поскольку его полная вероятность $\sum_{n=1}^{\infty}\left|f_{m n}\right|^{2}$ не может равняться нулю, если $a_{m}$ вообще можно найти. Итак, точно для одного $n f_{m n}
eq 0$. Для $b_{n}$ – так же.) Это означает, что в состоянии Ф может встретиться много значений оператора $A$ (каждое значение $a_{m}$, для которого $\sum_{n=1}^{\infty}\left|f_{m n}\right|^{2}&gt;0$, т. е. существует $n$ с $f_{m n}
eq 0$, – в большинстве случаев это будут все $a_{m}$ ) и столько же значений оператора $B$ (каждое $b_{n}$,
для которого $\sum_{n=1}^{\infty}\left|f_{m n}\right|^{2}&gt;0$, т. е. существует одно $m$ с $\left.f_{m n}
eq 0\right)$, но $\Phi$ устанавливает между возможными значениями $A$ и $B$ однооднозначное соответствие.

Если назвать возможные $m: \mu_{1}, \mu_{2}, \ldots$, а соответственные возможные $n: v_{1}, v_{2}, \ldots$, то будет
\[
f_{m n}=\left\{\begin{array}{l}
c_{k}
eq 0, \text { для } m=\mu_{k}, \quad n=
u_{k}, \quad k=1,2, \ldots, \\
0 \text { в остальных случаях, }
\end{array}\right.
\]
т. е. ( $M$ – либо конечно, либо бесконечно)
\[
\Phi(q, r)=\sum_{k=1}^{M} c_{k} \varphi_{\mu_{k}}(q) \xi_{
u_{k}}(r) .
\]

Далее будет
\[
\begin{array}{l}
\mathrm{u}_{m m^{\prime}}=\sum_{n=1}^{\infty} \bar{f}_{m n} f_{m^{\prime} n}=\left\{\begin{array}{l}
\left|c_{k}\right|^{2} \text { для } m=m^{\prime}=\mu_{k}, \quad k=1,2, \ldots, \\
0 \text { в остальных случаях, }
\end{array}\right. \\
u_{n n^{\prime}}=\sum_{m=1}^{\infty} \bar{f}_{m n} f_{m n^{\prime}}=\left\{\begin{array}{l}
\left|c_{k}\right|^{2} \text { для } n=n^{\prime}=
u_{k}, \quad k=1,2, \ldots, \\
0 \text { в остальных случаях, }
\end{array}\right. \\
\end{array}
\]

следовательно,
\[
\mathrm{U}=\sum_{k=1}^{\infty}\left|c_{k}\right|^{2} P_{\left[\varphi_{\mu_{k}}\right]}, \quad U=\sum_{k=1}^{\infty}\left|c_{k}\right|^{2} P_{\left[\varepsilon_{
u_{k}}{ }^{k}\right]} .
\]

Итак, будучи спроектировано в $I$ или в $I I, \Phi$ становится, вообще говоря, смесью, оставаясь состоянием только в $I+I I$, поскольку оно включает утверждение относительно $I+I I$, которое нельзя использовать ни в рамках одной системы $I$, ни в рамках одной системы $I I$, – взаимно однозначное соответствие между значениями операторов $A$ и $B$.

Таким образом, для любого $\Phi$ мы можем так выбрать $A$ и $B$, т. е. функции $\varphi_{m}$ и $\xi_{n}$, что это наше условие будет выполнено, но для произвольных $A$ и $B$ оно, конечно, нарушится. Иными словами, каждое состояние $\Phi$ устанавливает определенную связь между $I$ и $I I$, в то время как связываемые величины $A$ и $B$ зависят от Ф. В какой степени определяет их, т. е. $\varphi_{m}$ и $\xi_{n}$, состояние $\Phi$, легко установить. Если все $\left|c_{k}\right|$ различны и не равны нулю, то $U$ и $U$ (которые фиксируются заданием $\Phi$ ) определяют $\varphi_{m}$ и $\xi_{n}$ однозначно (cp. IV.3); обсуждение общего случая мы оставим на долю читателя.

В заключение заметим, что если $M
eq 1$, то из-за $\left|c_{k}\right|^{2}&gt;0$ ни U, ни $U$ не будут состояниями. Для $M=1$ состояниями будут оба: $\mathrm{U}=P_{\left[\varphi_{\mu_{1}}\right]}$ и $U=P_{\left[\varepsilon_{
u_{1}}\right]}$. Тогда $\Phi(q, r)=c_{1} \varphi_{\mu_{1}}(q) \xi_{
u_{1}}(r)$, а $c_{1}$ можно будет включить в $\varphi_{\mu_{1}}(q)$. Итак, $\mathrm{U}$ и $U$ будут состояниями тогда и
только тогда, когда $\Phi(q, r)$ имеет вид $\varphi(q) \xi(r)$; они будут тогда равняться $P_{[\uparrow]}$ и $P_{[\xi]}$.

На основе полученных выше результатов мы можем сформулировать следующее утверждение. Находится система $I$ в состоянии $\varphi(q)$, а система $I I$ – в состоянии $\xi(r)$, то и $I+I I$ будет находиться в состоянии $\Phi(q, r)=\varphi(q) \xi(r)$. Если же, напротив, $I+I I$ находится в состоянии $\Phi(q, r)$, не имеющем формы произведения $\varphi(q) \xi(r)$, то $I$ и $I I$ будут смесями, но $\Phi$ установит взаимно однозначное соответствие между возможными значениями определенных величин в $I$ и $I I$.

Categories

1
Оглавление
email@scask.ru