Рассмотрим, как было намечено в конце предыдущего параграфа, две физические системы I и II (они не обязательно должны иметь обсуждавшийся там смысл) и получающуюся их объединением систему $I+I I$. Пусть с точки зрения классической механики система $I$ обладает $k$ степенями свободы, следовательно, координатами $q_{1}, \ldots, q_{k}$, вместо которых мы ради краткости будем писать одну букву $q$. Система $I I$ пусть обладает соответственно $l$ степенями свободы, описывается координатами $r_{1}, \ldots, r_{l}$, сокращенно $r$. Тогда у системы $I+I I$ будет $k+l$ степеней свободы и ей будут соответствовать координаты $q_{1}, \ldots, q_{k}, r_{1}, \ldots, r_{l}$, сокращенно $q, r$. При квантовомеханическом описании волновые функции $I$ будут тогда иметь вид $\varphi(q)$, системы $I I-\xi(r)$, а системы $I+I I-\Phi(q, r)$. Внутреннее произведение в соответствующих гильбертовых пространствах $\mathfrak{R}^{I}, \mathfrak{R}^{I I}$ и $\mathfrak{R}^{I+I I}$ естественно определить как $\int \varphi(q) \overline{\psi(q)} d q$ или $\int \xi(r) \bar{\eta}(r) d r$, или $\iint \Phi(q, r) \bar{\Psi}(q, r) d q d r$. В соответствии с этим физические величины систем $I, I I$ и $I I I$ будут (гипермаксимальными) эрмитлвыми операторами А или $A$, или $\mathbf{A}$ в $\mathfrak{R}^{I}$, или в $\mathfrak{R}^{I I}$, или в $\mathfrak{R}^{I+I I}$.

Каждая физическая величина в I является, конечно такой и в системе $I+I I$, и при этом ее onератор $\mathbf{A}$ получается из А следующим обрдзом: чтобы получить А $\Phi(q, r)$, следует считать $r$ постоянными и применить А к $q$-функции $\Phi(q, r)^{209}$. Это правило сопоставления,
209) Можно легко показать, что оператор А будет одновременно с А эрмитовым или гипермаксимальным.

во всяком случае верно для операторов координат и импульсов $\left(Q_{1}, \ldots, Q_{k}\right.$ и $P_{1}, \ldots, P_{k}$, т. е., cp. I. $2, q_{1}, \ldots, q_{k}, \frac{h}{2 \pi i} \frac{\partial}{\partial q_{1}}, \ldots$ $\ldots, \frac{h}{2 \pi i} \frac{\partial}{\partial q_{k}}$ ) и находится в согласии с общими принципами сопоставления $\boldsymbol{I}$. и $\boldsymbol{I}$. из IV. $2^{210}$ ), поэтому мы постулируем его и для общего случая. (В квантовой механике оно общеупотребительно.)

Точно так же каждая физическая величина в $/$ является такой и в $I+I I$, и ее оператор $A$ приводит к ее $\boldsymbol{A}$ по тому же правилу: А $\Phi(q, r)$ равняется $A \Phi(q, r)$, если при образовании последнего выражения рассматривать $q$ как постоянные и $\Phi(q, r)$ – как $r$-функцию.

Если $\varphi_{m}(q)(m=1,2, \ldots$ ) образуют полную ортонормированную систему в $\mathfrak{M}^{I}$, а $\xi_{n}(r)(n=1,2, \ldots)$ – такую систему в $\mathfrak{R}^{I I}$, то функции $\Phi_{m / n}(q, r)=\varphi_{m}(q) \xi_{n}(r)(m, n=1,2, \ldots)$ составят, очевидно, такую же систему в $\mathfrak{R}^{I+I I}$. Тогда операторы $\mathrm{A}, \boldsymbol{A}$ или $\boldsymbol{A}$ можно будет представить матрицами $\left\{\mathbf{a}_{m / m^{\prime}}\right\}$ или $\left\{a_{n / n^{\prime}}\right\}$ или $\left\{\alpha_{m n / m^{\prime} n^{\prime}}\right\}$ $\left.\left(m, m^{\prime}, n, n^{\prime}=1,2, \ldots\right)^{211}\right)$, к чему мы будем ниже часто прибегать. Матричное представление означает, что
\[
\mathrm{A} \varphi_{m}(q)=\sum_{m^{\prime}=1}^{\infty} \mathrm{a}_{m / m^{\prime}} \varphi_{m^{\prime}}(q), \quad A \xi_{n}(r)=\sum_{n^{\prime}=1}^{\infty} a_{n / n^{\prime} \xi_{n^{\prime}}(r)}
\]

и
\[
\mathbf{A} \Phi_{m n}(q, r)=\sum_{m^{\prime}, n^{\prime}=1}^{\infty} \alpha_{m n / m^{\prime} n^{\prime}} \Phi_{m^{\prime} n^{\prime}}(q, r)
\]
т. e.

В частности, сопоставление $\mathbf{A} \rightarrow \mathbf{A}$ устанавливает, что
\[
\boldsymbol{A} \varphi_{m}(q) \xi_{n}(r)=\left(\mathbf{A} \varphi_{m}(q)\right) \xi_{n}(r)=\sum_{m^{\prime}=1}^{\infty} \mathbf{a}_{m / m^{\prime}} \varphi_{m^{\prime}}(q) \xi_{n}(r),
\]
T. е. что
\[
\alpha_{m n / m^{\prime} n^{\prime}}=\mathrm{a}_{m / m^{\prime}} \delta_{n / n^{\prime}}, \quad\left(\delta_{n / n^{\prime}}=\left\{\begin{array}{lll}
1 & \text { для } & n=n^{\prime}, \\
0 & \text { для } & n
eq n^{\prime} .
\end{array}\right)\right.
\]

Аналогично сопоставление $A \rightarrow \boldsymbol{A}$ устанавливает, что $\alpha_{m n / m^{\prime} n^{\prime}}=$ $=a_{n / n^{\prime}} \delta_{m / m^{\prime}}$.
${ }^{210}$ Для $\boldsymbol{I}$. это ясно, для $\boldsymbol{I}$. – тоже, пока рассматриваются только полиномы. Для произвольных функций это следует из того обстоятельства, что взаимосвязь разложения единицы и какого-либо эрмитова оператора не нарушается при переходе $\mathbf{A} \rightarrow \mathbf{A}$.
211) Из-за большого числа разнообразных индексов мы прибегнем для матриц к такому обозначению, несколько отличному от применявшегося.
Статистический ансамбль в $I+I I$ характеризуется его статистическим оператором $\mathbf{U}$ или состветствующей последнему матривсех величин в $I+I I$, следовательно, в частности, и статистические свойства величин в $I$. Таким образом, этому ансамблю отвечает и статистическии ансамбль в одной лишь системе I: в самом деле, наблюдатель, могущий учитывать существование только $I$, но не $I I$, воспринял бы ансамбль, относящийся к системам $I+I I$, как относящийся к системе I. Что же будет теперь статистическим оператором $U$ или его матрицей $\left\{\mathrm{U}_{m / m^{\prime}}\right\}$, относящимся к этому $I$-ансамблю? Определим его из следующих соображении. $I$-величина с матрицей $\left\{\mathrm{a}_{m / m^{\prime}}\right\}$ будет обладать, как $(I+I I)$-величина, матрицей $\left\{a_{m / m}, \delta_{n / n^{\prime}}\right\}$, следовательно, на основе вычислений в $I$ будет иметь єреднее значение
\[
\sum_{m, m^{\prime}=1}^{\infty} \mathrm{U}_{m^{\prime} m^{\prime}} \mathbf{a}_{m^{\prime} / m},
\]

в то время как вычисления в $(I+I I)$ приведут к $\sum_{m, n, m^{\prime}, n^{\prime}=1}^{\infty} 0_{m n / m^{\prime} n^{\prime}} \mathbf{a}_{m^{\prime} / n^{\prime}} \delta_{n^{\prime} / n}=\sum_{m, m^{\prime}, n=1}^{\infty} 0_{m n / m^{\prime} n} \mathbf{a}_{m^{\prime} / m}=$
\[
=\sum_{m, m^{\prime}=1}^{\infty}\left(\sum_{n=1}^{\infty} v_{m n / m^{\prime} n}\right) \mathbf{a}_{m^{\prime} / n^{*}}
\]

Чтобы эти два выражения совпали, должно быть
\[
\mathrm{u}_{m / m^{\prime}}=\sum_{n=1}^{\infty} v_{m n / m^{\prime} n} .
\]

Совершенно аналогичным образом определяет наш $(I+I I)$-ансамбль в случае, когда учитывается только $I$, а $I$ игнорируется, $I I$-ансамбль со статистическим оператором $U$ и соответствующей ему матрицей $u_{n / n^{\prime}}$. Совершенно так же тогда получается, что
\[
u_{n / n^{\prime}}=\sum_{m=1}^{\infty} u_{m n / m n^{\prime}} \text {. }
\]

Итак, мы вывели правила сопоставления и для статистических операторов $\mathbf{U}, U$ и $\mathbf{U}$ систем $I, I I$ и $I+I I$, однако эти правила существенно отличаются от тех правил сопоставления, которые имели место для операторов $\mathbf{A}, \boldsymbol{A}$ и $\boldsymbol{A}$ физических величин.

Надо еще отметить, что выбранное сопоставление операторов $U$, $U$ и зависит от выбора полных ортонормированных систем $\varphi_{m}(q)$ и $\xi_{n}(r)$ только кажущимся образом, поскольку оно было выведено ив инвариантного условия (которому можно удовлетворить только таким сопоставлением) – совпадения средних значений операторов А и $\boldsymbol{A}$ или $A$ и $\boldsymbol{A}$.

Оператор $\mathbf{U}$ выражает собой статистику в системе $I+I I$, операторы $U$ или $U$ – статистику, ограниченную системами $I$ или $I$. Возникает вопрос, определяют ли $\mathcal{U}$ и $U$ оператор $\boldsymbol{U}$ однозначно или нет? В общем случае следует ожидать отрицательного ответа, поскольку при знании только операторов $U$ и $U$, т. е. лишь свойств разделенных систем $I$ и $I I$, у нас выпадают все «зависимости вероятностей», могущие существовать между обеими системами. Если, однако, как состояние $I$, так и состояние $I I$ известны точно, то «зависимости вероятностей» не играют роли и $I+I I$ узнается точно. За этими качественными соображениями должно, конечно, последовать точное математическое рассмотрение, к которому мы сейас приступим.

Задача состоит в том, чтобы для двух заданных дефинитных матриц $\left\{\mathrm{u}_{m / m^{\prime}}\right\}$ и $\left\{u_{n / n^{\prime}}\right\}$ построить третью дефинитную матрицу $\left\{0_{\left.n n / m^{\prime} n^{\prime}\right\}}\right.$ такую, что
\[
\sum_{n=1}^{\infty} v_{m n / m^{\prime} n}=\mathrm{u}_{m / m^{\prime}}, \quad \sum_{m=1}^{\infty} v_{m n / m n^{\prime}}=u_{n / n^{\prime}} .
\]
(Из $\sum_{m=1}^{\infty} \mathrm{u}_{m / m}=1, \sum_{n=1}^{\infty} u_{n / n}=1$ следует тогда автоматически, что $\sum_{m n=1}^{\infty} v_{m n / m n}=1$, т. е. правильная нормировка сохраняется.) Разрешима задача всегда; так, например, $0_{m n / m^{\prime} n^{\prime}}=\mathrm{U}_{m / m^{\prime}} u_{n / n^{\prime}}$ всегда будет решением (легко убедиться, что эта матрица дефинитна); вопрос состоит в том, когда это решение будет единственным.

Мы покажем, что это выполняется тогда и только тогда, когда, по краћней мере, одна из двух матриц $\left\{\mathrm{u}_{m / m^{\prime}}\right\}$ и $\left\{u_{n / n^{\prime}}\right\}$ будет состоянием. Докажем сперва необходимость этого условия, т. е. существование многих решений в случае, когда обе матрицы соответствуют смесям. Действительно, тогда (ср. IV. 2)
\[
\mathrm{u}_{m / m^{\prime}} \doteq \alpha \mathrm{V}_{m / m^{\prime}}+\beta \mathrm{W}_{m / m^{\prime}}, \quad u_{n / n^{\prime}}=\gamma v_{n / n^{\prime}}+\delta w_{n / n^{\prime}}
\]
(матрицы $\mathrm{V}_{m / m^{\prime}}$ и $\mathrm{W}_{m / m^{\prime}}$ дефинитны и отличаются не только постоянным множителем, то же для $v_{n / n^{\prime}}$ и $w_{n / n^{\prime}}$;
\[
\sum_{m=1}^{\infty} \mathrm{V}_{m / m}=\sum_{m=1}^{\infty} \mathrm{W}_{m / m}=\sum_{n=1}^{\infty} v_{n / n}=\sum_{n=1}^{\infty} w_{n / n}=1 ;
\]
$\alpha, \beta, \gamma, \delta>0 ; \alpha+\beta=1 ; \gamma+\delta=1$ ), и легко проверить вычислением, что каждая матрица
c
\[
\cup_{m n / m^{\prime} n^{\prime}}=\pi \mathrm{V}_{m / m^{\prime}} \boldsymbol{v}_{n / n^{\prime}}+\rho \mathrm{W}_{m / m^{\prime}}, \boldsymbol{v}_{n / n^{\prime}}+\sigma \mathrm{V}_{m / m^{\prime}} \boldsymbol{w}_{n / n^{\prime}}+\tau \mathrm{W}_{m / m^{\prime}} \boldsymbol{w}_{n / n^{\prime}}
\]
$\pi+\sigma=\alpha ; \quad \rho+\tau=\beta ; \quad \pi+p=\gamma ; \quad \sigma+\tau=\delta ; \quad \pi, \rho, \quad, \tau>0$
будет решением. Числа $\pi, \rho$, о и $\tau$ можно выбрать при этом бесконечным числом различных способов (поскольку $\alpha+\beta=\gamma+\delta$, то из четырех уравнений независимы только три, пусть, например,
\[
\rho=\gamma-\pi ; \quad \sigma=\alpha-\pi ; \quad \tau=(\delta-\alpha)+\pi .
\]

Чтобы все было положительным, должно быть $\alpha-\delta=\gamma-\beta<$ $<\pi<\alpha, \gamma$, что выполняется для бесконечного числа значений $\pi$ ), $\mathrm{V}_{m / m^{\prime}} \boldsymbol{v}_{n / n^{\prime}}, \ldots, \mathrm{W}_{m / m^{\prime}} \boldsymbol{w}_{n / n^{\prime}}$ линейно независимы, поскольку это имеет место как для $\mathrm{V}_{m / m^{\prime}}, \mathrm{W}_{m / m^{\prime}}$, так и для $v_{n / n^{\prime}}, w_{n / n^{\prime}}$.

Перейдем теперь к доказательству достаточности, причем можем принять, что состоянию отвечает $\mathrm{u}_{m / m^{\prime}}$ (другой случай рассматривается точно так же). Итак, пусть $U=P_{[\varphi]}$. Поскольку полная ортонормированная система $\varphi_{1}, \varphi_{2}, \ldots$ была произвольна, можем принять, что $\varphi_{1}=\varphi$. Оператору $U=P_{\left|\varphi_{1}\right|}$ соответствует, очевидно, матрица
\[
\mathrm{u}_{m / m^{\prime}}=\left\{\begin{array}{l}
1 \text { для } m=m^{\prime}=1, \\
0 \text { в остальных случаях. }
\end{array}\right.
\]

Итак,
\[
\sum_{n=1}^{\infty} u_{m n / m^{\prime} n}=\left\{\begin{array}{l}
1 \text { для } m=m^{\prime}=1, \\
0 \text { в остальных случаях. }
\end{array}\right.
\]

В частности, для $m
eq 1 \sum_{n=1}^{\infty} v_{m n / m n}=0$, но поскольку по определению и $_{m n / m^{\prime} n^{\prime}}$ все и $_{m n / m n} \geqslant 0$ (денствительно, и $_{m n / m n}=\left(\mathbf{U} \Phi_{m n}, \Phi_{m n}\right)$ ), то в этом случае $\mathrm{U}_{m n / m n}=0$. Эго значит, что $\left(\mathbf{U} \Phi_{m n}, \Phi_{m n}\right)=0$, следовательно, в силу дефинитности $\mathbf{U}$, и $\left(\mathbf{U} \Phi_{m n}, \Phi_{m^{\prime} n^{\prime}}\right)=0$ (ср. II. 5, теорема 19.) для произвольных $m^{\prime}, n^{\prime}$. Но это значит, что из $m
eq 1$ следует $0_{m n / m^{\prime} n^{\prime}}=0$, а вследствие эрмитовости то же будет следовать и из $m^{\prime}
eq 1$, Но для $m=m^{\prime}=1$ получается
\[
v_{1 n / 1 n^{\prime}}=\sum_{m=1}^{\infty} v_{m n / m n^{\prime}}=u_{n / n^{\prime}} \text {. }
\]

Тем самым, как и утверждалось, оказывается, что решение $u_{m n / m^{\prime} n}$ определено однозначно.

Резюмируя, можно сформулировать наш результат следующим образом. Статистический ансамбль в $I+I /$ с оператором $\mathbf{U}=\left\{u_{m n / m^{\prime} n^{\prime}}\right\}$ однозначно определяется определенными только в $I$ и только в II статистическими ансамблями с операторами $\mathrm{U}=\left\{\mathrm{u}_{m / m^{\prime}}\right\}$ и $U=\left\{u_{n / n^{\prime}}\right\}$ тогда и только тогда, когда выполняются следующие условия:
I.
$0_{m n / m^{\prime} n^{\prime}}=\mathrm{v}_{m / m^{\prime}} v_{n / n^{\prime}}$.
(Из равенства $\operatorname{Spur} \mathbf{U}=\sum_{m, n=1}^{\infty} v_{m n / m n}=\sum_{m=1}^{9} \mathbf{v}_{m / m} \sum_{n=1}^{\infty} v_{n / n}=1$ следует, что мы можем умножением $\mathrm{V}_{m / m^{\prime}}$ и $v_{n / n^{\prime}}$ на два взаимно обратных множителя добиться выполнения
\[
\sum_{m=1}^{\infty} \mathrm{v}_{m / m}=1, \quad \sum_{n=1}^{\infty} v_{n / n}=1 .
\]

Но тогда видно, что будет $\mathrm{u}_{m / m^{\prime}}=\mathrm{v}_{m / m^{\prime}}$ и $u_{n / n^{\prime}}=v_{n / n^{\prime}}$.)
2. Выполняется либо $\mathrm{v}_{m / m^{\prime}}=\bar{x}_{m} x_{m^{\prime}}$, либо $v_{n / n^{\prime}}=\bar{x}_{n} x_{n}^{\prime}$.
(ибо $\mathrm{U}=P_{[\varphi]}$ означает, что $\varphi=\sum_{m=1}^{\infty} y_{m} \varphi_{m}$, следовательно, $\mathrm{u}_{m / m^{\prime}}=\bar{y}_{m} y_{m^{\prime}}$ и соответственно для $\mathrm{v}_{m / m^{\prime}} ;$ аналогично рассуждаем и для $U=P_{[\xi]}$.)

В дальнейшем мы будем называть $U$ и $U$ проекциями оператора $U$ в $I$ и в $I{ }^{212}$ ).

Обратимся теперь к состояниям из $I+I I, \mathbf{U}=P_{[\Phi]}$. Относящиеся к ним волновые функции $\Phi(q, r)$ могут быть разложены по полной ортонормированной системе $\Phi_{m n}(q, r)=\varphi_{m}(q) \xi_{n}(r)$ :
\[
\Phi(q, r)=\sum_{m, n=1}^{\infty} f_{m n} \varphi_{m}(q) \xi_{n}(r) .
\]

Мы можем также заместить их коэффициентами $f_{m n}(m, n=1,2, \ldots)$, которые ограничены только условием $\sum_{m, n=1}^{\infty}\left|f_{m n}\right|^{2}=\|\Phi\|^{2}$ конечна.
Можно ввести также, два оператора $F$ и $F^{*}$ равенствами
\[
\begin{array}{l}
F \varphi(q)=\int \overline{\Phi(q, r)} \varphi(q) d q, \\
F^{*} \xi(r)=\int \Phi(q, r) \xi(r) d r .
\end{array}
\]

Они линейны и обладают той своеобразной особенностью, что, будучи определенными в $\mathfrak{\Re}^{I}$ или соответственно в $\mathfrak{R}^{I I}$, принимают значения из $\mathfrak{R}^{I I}$ или соответственно из $\mathfrak{R}^{I}$. Они соотносятся как сопряженные операторы, поскольку, очевидно, $(F \varphi, \xi)=\left(\varphi, F^{*} \xi\right)$ (внутреннее произведение в левой части образуется в $\mathfrak{R}^{I I}$, а в правой – в $\mathfrak{R}^{I}$ !). Поскольку различие между $\Re^{I}$ и $\Re^{I I}$ не имеет математического значения, то мы можем применить результаты II. 11, и поэтому $\Sigma(F)$
212) Проекции состояния из $I+I I$ оказываются в $I$ и в $I I$, вообще говоря, смесями, ср. ниже. Это обстоятельство было открыто Ландау (L. Landau, Zs. f. Phys. 45 (1927)).
и $\Sigma\left(F^{*}\right)$, поскольку речь идет об интегральных операторах, будут равны
\[
\iint|\Phi(q, r)|^{2} d q d r=\|\Phi\|^{2}=1 \quad\left(\|\Phi\| \text { в } \mathfrak{R}^{I+I I} !\right)
\]

и, следовательно, конечны. Поэтсму $F$ и $F^{*}$ будут непрерывными, даже полностью непрерывными операторами, произведения $F^{*} F$, равно как и $F F^{*}$, будут дефинитными операторами и
\[
\operatorname{Spur}\left(F^{*} F\right)=\Sigma(F)=1, \quad \operatorname{Spur}\left(F F^{*}\right)=\Sigma\left(F^{*}\right)=1 .
\]

Обращая снова внимание на различие между $\Re^{I}$ и $\Re^{I I}$, замечаем, что $F^{*} F$ определено в $\mathfrak{R}^{I}$, а $F F^{*}$ – в $\mathfrak{R}^{I I}$.

Так как $F \varphi_{m}(q)$ оказывается равным $\sum_{n=1}^{\infty} \bar{f}_{m n} \xi_{n}(r)$, то оператор $F$ имеет своей матрицей $\left\{\overline{f_{m n}}\right\}$ (при использовании полных ортонормированных систем $\varphi_{m}(q)$ и $\left.\xi_{n}(r)\right)$; аналогично матрицей оператора $F^{*}$ будет $\left\{f_{m n}\right\}$. Поэтому $F^{*} F$ и $F F^{*}$ будут иметь матрицы
\[
\left\{\sum_{n=1}^{\infty} \bar{f}_{m n} f_{m^{\prime} n}\right\} \text { и }\left\{\sum_{m=1}^{\infty} \bar{f}_{m n} f_{m n^{\prime}}\right\} .
\]

С другой стороны, оператор $\mathbf{U}=P_{[\Phi]}$ будет обладать в системе функций $\Phi_{m n}(q, r)=\varphi_{m}(q) \xi_{n}(r)$ матрицей $\left\{\bar{f}_{m n} f_{m^{\prime} n^{\prime}}\right\}$, так что матрицами его проекций $U$ и $U$ в $I$ и в $I I$ будут $\sum_{n=1}^{\infty} \bar{f}_{m n} f_{m^{\prime} n}$ и соответственно $\left.\sum_{m=1}^{\infty} \bar{f}_{m n} f_{m n^{\prime}}{ }^{213}\right)$. Поэтому
\[
U=F^{*} F, \quad U=F F^{*} .
\]

Это утверждение не будет зависеть от выбора функций $\varphi_{m}$ и $\xi_{n}$ (так как $U, U$ и $F$ не зависят от такого выбора).

Операторы $U$ и $U$ полностью непрерывны и, согласно II. 11 и IV.3, могут быть записаны в виде
\[
\mathrm{U}=\sum_{k=1}^{\infty} w_{k}^{\prime} P_{\left[\Psi_{k}\right]}, \quad U=\sum_{k=1}^{\infty} w_{k}^{\prime \prime} P_{\left[\eta_{k}\right]},
\]

где $\psi_{k}$ образуют полную ортонормированную систему в $\mathfrak{R}^{I}, \eta_{k}$ такую систему в $\mathfrak{R}^{I I}$ и все $w_{k}^{\prime}, w_{k}^{\prime \prime} \geqslant 0$. Опустим теперь в каждой из обеих формул члены с $w_{k}^{\prime}=0$ или $w_{k}^{\prime \prime}=0$ и перенумеруем оставшиеся опять последовательными числами $1,2, \ldots$ Тогда функции $\psi_{k}$ или $\eta_{k}$ будут образовывать уже только ортонормированную, но
213) Математически это рассуждение соприкасается с работой E. Schmid t’a, Math. Ann. 63 (1907).
не обязательно полную систему, на месте сумм $\sum_{k=1}^{\infty}$ выступят $\sum_{k=1}^{M^{\prime}}$ и $\sum_{k=1}^{M^{\prime \prime}}$, где $M^{\prime}$ и $M^{\prime \prime}$ с равным правом могут как равняться бесконечности, так и быть конечными, но зато все $w_{k}^{\prime}$ и $w_{k}^{\prime \prime}$ будут теперь строго больше нуля.
Рассмотрим некоторую $\psi_{k}$. Будет $\mathrm{U} \psi_{k}=w_{k}^{\prime} \psi_{k}$, следовательно,
\[
F^{*} F \psi_{k}=w_{k}^{\prime} \psi_{k}, \quad F F^{*} F \psi_{k}=w_{k}^{\prime} F \psi_{k}, \quad U F \psi_{k}=w_{k}^{\prime} F \psi_{k} .
\]

Далее
\[
\begin{aligned}
\left(F \psi_{k}, F \psi_{l}\right)=\left(F^{*} F \psi_{k}, \psi_{l}\right)=\left(U \psi_{k}, \psi_{l}\right) & = \\
& =w_{k}^{\prime}\left(\psi_{k}, \psi_{l}\right)=\left\{\begin{array}{lll}
w_{k}^{\prime} & \text { для } & k=l, \\
0 & \text { для } & k
eq l .
\end{array}\right.
\end{aligned}
\]

Поэтому, в частности, $\left\|F \Psi_{k}\right\|^{2}=w_{k}^{\prime}$. Итак, функции $\frac{1}{\sqrt{w_{k}^{\prime}}} F \psi_{k}$ образуют ортонормированную систему в $\mathfrak{R}^{I I}$ и, более того, они будут собственными функциями оператора $U$ с теми же собственными значениями, что у функции $\psi_{k}$ для $U$ (т. е. равными $w_{k}^{\prime}$ ). Это значит, что всякое собственное значение $U$ будет и собственным значением не меньшей кратности для оператора $U$; переставляя $U$ и $U$, получаем, что эти операторы имеют одинаковые собственные значения с одинаковыми кратностями. Итак, числа $w_{k}^{\prime}$ и $w_{k}^{\prime \prime}$ совпадают попарно с точностью до порядка нумерации. Поэтому $M^{\prime}=M^{\prime \prime}=M$, и изменением порядка нумерации $w_{k}^{\prime \prime}$ мы можем достигнуть выполнения $w_{k}^{\prime}=w_{k}^{\prime \prime}=w_{k}$. Но, коль скоро это так, мы можем, не теряя общности, выбрать $\eta_{k}=\frac{1}{\sqrt{w_{k}}} F \psi_{k}$. Тогда будет

Итак,
\[
\frac{1}{\sqrt{w_{k}}} F^{*} \eta_{k}=\frac{1}{w_{k}} F^{*} F \psi_{k}=\frac{1}{w_{k}} \mathrm{U} \psi_{k}=\psi_{k} .
\]
\[
\left.\eta_{k}=\frac{1}{\sqrt{w_{k}}} F \psi_{k}, \quad \psi_{k}=\frac{1}{\sqrt{w_{k}}} F^{*} \eta_{k}^{*}\right) .
\]

Дополним теперь ортонормированную систему $\psi_{1}, \psi_{2}, \ldots$ до полной $\psi_{1}, \psi_{2}, \ldots, \psi_{1}^{\prime}, \psi_{2}^{\prime}, \ldots$ а систему $\eta_{1}, \eta_{2}, \ldots$ до $\eta_{1}, \eta_{2}, \ldots, \eta_{1}^{\prime}, \eta_{2}^{\prime}, \ldots$ (каждая из систем $\psi_{1}^{\prime}, \psi_{2}^{\prime}, \ldots$ и $\eta_{1}^{\prime}, \eta_{2}^{\prime}, \ldots$ может быть пустой, конечной или бесконечнои; они строятся независимо друг от друга). Bce предыдущие рассуждения не зависели от выбора полных орто-
*) См. прим. ${ }^{212}$ ) на стр. 314 .
нормированных систем $\varphi_{1}, \varphi_{2}, \ldots$ и $\xi_{1}, \xi_{2}, \ldots$, мы можем поэтому выбрать в качестве их системы $\psi_{1}, \psi_{2}, \ldots, \psi_{1}^{\prime}, \psi_{2}^{\prime}, \ldots$ и $\eta_{1}, \eta_{2}, \ldots$, $\eta_{1}^{\prime}, \eta_{2}^{\prime}, \ldots$ Именно, пусть $\psi_{k}$ совпадает с $\varphi_{\mu_{k}}, \eta_{k}-$ с $\xi_{
u_{k}}\left(\mu_{1}, \mu_{2}, \ldots\right.$ взаимно различны; то же для $
u_{1},
u_{2}, \ldots$ ). Тогда
\[
F \varphi_{\mu_{k}}=\sqrt{w_{k}} \xi_{v_{k}}, \quad F \varphi_{m}=0 \text { для } \quad m
eq \mu_{1}, \mu_{2}, \ldots
\]

Итак,
\[
f_{m n}=\left\{\begin{array}{l}
\sqrt{w_{k}} \quad \text { для } \quad m=\mu_{k}, \quad n=
u_{k}, \quad k=1,2, \ldots, \\
0 \text { в остальных случаях, }
\end{array}\right.
\]

или, что то же самое,
\[
\Phi(q, r)=\sum_{k=1}^{M} \sqrt{\omega_{k}} \varphi_{\mu_{k}}(q) \xi_{
u_{k}}(r) .
\]

Таким образом, мы достигли, путем соответствующего выбора систем $\varphi_{m}(q)$ и $\xi_{n}(r)$, того, что каждая строка и каждый столбец матрицы $\left\{f_{m n}\right\}$ содержат самое большее один не равный нулю элемент (то, что он даже веществен и положителен, именно равен $\sqrt{w_{k}}$, для дальнейшего не важно). В чем заключается физический смысл этого формального утверждения?

Пусть $A$-оператор с собствгнными функциями $\varphi_{1}, \varphi_{2}, \ldots$ и всеми различными собственными значениями, например $a_{1}, a_{2}, \ldots$; $B$ – такой же оператор с функциями $\xi_{1}, \xi_{2}, \ldots$ и значениями $b_{1}, b_{2}, \ldots$ Оператор $A$ соответствует некоторой физической величине в $I$, оператор $B$ – в $I I$; эти две величины допускают, следовательно, одновременное измерение. Легко видеть, что утверждения « $A$ имеет значение $a_{m}$ » и « $B$ имеет значение $b_{n}$ » определяют совместно состояние $\Phi_{m n}(q, r)=\varphi_{m}(q) \xi_{n}(r)$, которое имеет в состоянии $\Phi(q, r)$ вероятность $\left(P_{\left[\Phi_{m n}\right]} \Phi, \Phi\right)=\left|\left(\Phi, \Phi_{m n}\right)\right|^{2}=\left|f_{m n}\right|^{2}$. Таким образом, наше утверждение означает, что $A$ и $B$ одновременно измеримы, и если бы один из них был измерен в Ф, то тем самым значение другого было бы однозначно определено. (Собственное значение $a_{m}$, которому отвечают все $f_{m n}=0$, встретиться не может, поскольку его полная вероятность $\sum_{n=1}^{\infty}\left|f_{m n}\right|^{2}$ не может равняться нулю, если $a_{m}$ вообще можно найти. Итак, точно для одного $n f_{m n}
eq 0$. Для $b_{n}$ – так же.) Это означает, что в состоянии Ф может встретиться много значений оператора $A$ (каждое значение $a_{m}$, для которого $\sum_{n=1}^{\infty}\left|f_{m n}\right|^{2}>0$, т. е. существует $n$ с $f_{m n}
eq 0$, – в большинстве случаев это будут все $a_{m}$ ) и столько же значений оператора $B$ (каждое $b_{n}$,
для которого $\sum_{n=1}^{\infty}\left|f_{m n}\right|^{2}>0$, т. е. существует одно $m$ с $\left.f_{m n}
eq 0\right)$, но $\Phi$ устанавливает между возможными значениями $A$ и $B$ однооднозначное соответствие.

Если назвать возможные $m: \mu_{1}, \mu_{2}, \ldots$, а соответственные возможные $n: v_{1}, v_{2}, \ldots$, то будет
\[
f_{m n}=\left\{\begin{array}{l}
c_{k}
eq 0, \text { для } m=\mu_{k}, \quad n=
u_{k}, \quad k=1,2, \ldots, \\
0 \text { в остальных случаях, }
\end{array}\right.
\]
т. е. ( $M$ – либо конечно, либо бесконечно)
\[
\Phi(q, r)=\sum_{k=1}^{M} c_{k} \varphi_{\mu_{k}}(q) \xi_{
u_{k}}(r) .
\]

Далее будет
\[
\begin{array}{l}
\mathrm{u}_{m m^{\prime}}=\sum_{n=1}^{\infty} \bar{f}_{m n} f_{m^{\prime} n}=\left\{\begin{array}{l}
\left|c_{k}\right|^{2} \text { для } m=m^{\prime}=\mu_{k}, \quad k=1,2, \ldots, \\
0 \text { в остальных случаях, }
\end{array}\right. \\
u_{n n^{\prime}}=\sum_{m=1}^{\infty} \bar{f}_{m n} f_{m n^{\prime}}=\left\{\begin{array}{l}
\left|c_{k}\right|^{2} \text { для } n=n^{\prime}=
u_{k}, \quad k=1,2, \ldots, \\
0 \text { в остальных случаях, }
\end{array}\right. \\
\end{array}
\]

следовательно,
\[
\mathrm{U}=\sum_{k=1}^{\infty}\left|c_{k}\right|^{2} P_{\left[\varphi_{\mu_{k}}\right]}, \quad U=\sum_{k=1}^{\infty}\left|c_{k}\right|^{2} P_{\left[\varepsilon_{
u_{k}}{ }^{k}\right]} .
\]

Итак, будучи спроектировано в $I$ или в $I I, \Phi$ становится, вообще говоря, смесью, оставаясь состоянием только в $I+I I$, поскольку оно включает утверждение относительно $I+I I$, которое нельзя использовать ни в рамках одной системы $I$, ни в рамках одной системы $I I$, – взаимно однозначное соответствие между значениями операторов $A$ и $B$.

Таким образом, для любого $\Phi$ мы можем так выбрать $A$ и $B$, т. е. функции $\varphi_{m}$ и $\xi_{n}$, что это наше условие будет выполнено, но для произвольных $A$ и $B$ оно, конечно, нарушится. Иными словами, каждое состояние $\Phi$ устанавливает определенную связь между $I$ и $I I$, в то время как связываемые величины $A$ и $B$ зависят от Ф. В какой степени определяет их, т. е. $\varphi_{m}$ и $\xi_{n}$, состояние $\Phi$, легко установить. Если все $\left|c_{k}\right|$ различны и не равны нулю, то $U$ и $U$ (которые фиксируются заданием $\Phi$ ) определяют $\varphi_{m}$ и $\xi_{n}$ однозначно (cp. IV.3); обсуждение общего случая мы оставим на долю читателя.

В заключение заметим, что если $M
eq 1$, то из-за $\left|c_{k}\right|^{2}>0$ ни U, ни $U$ не будут состояниями. Для $M=1$ состояниями будут оба: $\mathrm{U}=P_{\left[\varphi_{\mu_{1}}\right]}$ и $U=P_{\left[\varepsilon_{
u_{1}}\right]}$. Тогда $\Phi(q, r)=c_{1} \varphi_{\mu_{1}}(q) \xi_{
u_{1}}(r)$, а $c_{1}$ можно будет включить в $\varphi_{\mu_{1}}(q)$. Итак, $\mathrm{U}$ и $U$ будут состояниями тогда и
только тогда, когда $\Phi(q, r)$ имеет вид $\varphi(q) \xi(r)$; они будут тогда равняться $P_{[\uparrow]}$ и $P_{[\xi]}$.

На основе полученных выше результатов мы можем сформулировать следующее утверждение. Находится система $I$ в состоянии $\varphi(q)$, а система $I I$ – в состоянии $\xi(r)$, то и $I+I I$ будет находиться в состоянии $\Phi(q, r)=\varphi(q) \xi(r)$. Если же, напротив, $I+I I$ находится в состоянии $\Phi(q, r)$, не имеющем формы произведения $\varphi(q) \xi(r)$, то $I$ и $I I$ будут смесями, но $\Phi$ установит взаимно однозначное соответствие между возможными значениями определенных величин в $I$ и $I I$.