Темой настоящей работы является выяснение связи между макроскопическим и микроскопическим рассмотрениями сложной системы, т. е. обсуждение вопроса, почему дело обстоит так, что обычные термодинамические методы статистической механики дают возможность делать в подавляющем большинстве правильные утверждения относительно систем, известных неполным образом (т. е. только макроскопически). В частности: каким образом, во-первых, возникает своеобразное, казалось бы, необратимое поведение энтропии и почему, во-вторых, для известной неполным образом (реальной) системы позволительно подставлять статистические своиства (фиктивного) микроканонического ансамбля **). И на эти вопросы мы должны ответить, пользуясь средствами квантовой механики.
Как известно, в классической механике эти вопросы привели к построению двух детально разработанных теоретических систем: больцмановой и гиббсовой статистических механик. Первая теория не
*) J. v. Neumann, Zs. f. Phys. 57, 30-70 (1929).
**) Здесь имеются в виду замкнутые и изолированные системы. Известно, что для системы, сообщающейся с большим тепловым резервуаром, характеристичным является так называемый канонический ансамбль. Но методы статистической механики позволяют без труда свести этот случай к предыдущему, если только тепловой резервуар присоединить к системе.
смогла дать окончательного и удовлетворительного решения, потому что в ней приходится существенно пользоваться так называемым предположением о «беспорядке», – а понимание природы этого «беспорядка» и представляет как раз основную задачу *). Вторая теория по своему подходу была бы вполне пригодна для этого: однако она привела к математической проблеме, так называемой проблеме квазиэргодичности, оказавшейся абсолютно непреодолимой ни при тогдашнем состоянии науки, ни при нынешнем. Поэтому теория Гиббса приведет к цели, только если предположить правильность соответствующей математической теоремы.
Далее, в общих принципиальных вопросах новая квантовая механика отличается от классической механики совершенно необычайной простотой*). И именно благодаря этому обстоятельству в квантовой механике цель может быть достигнута с помощью сравнительно простых математических средств, если только следовать гиббсову пути. Так, в дальнейшем окажется возможньм доказать эргодическую теорему и $H$-теорему (которые являются двумя указанными выше постановками вопроса) независимо от каких бы то ни было предположений о беспорядке. Однако прежде, чем переходить к подробному разговору об этом, не лишне сказать несколько слов о понятии макроскопического в квантовой механике.
2. Принципиальной трудностью квантовомеханического воссоздания гиббсовой теории является то, что здесь нельзя избегнуть обращения к понятию «фазового пространства», т. е. – для системы с $f$ степенями свободы -к $2 f$-мерному пространству, описываемому $f$ координатами $q_{1}, \ldots, q_{f}$ и их $f$ импульсами $p_{1}, \ldots, p_{f}$, 一все важные для этой цели понятия (энергетическая поверхность, фазовые ячейки, микроканонические и канонические ансамбли и т. д.) определяются в нем. В квантовой механике никак нельзя построить такое фазовое пространство, так как координата $q_{k}$ и ее импульс $p_{k}$ не могут быть измерены одновременно, напротив, между их вероятными ошибками (разбросами) $\Delta q_{k}$ и $\Delta p_{k}$ всегда имеет место соотношение неопределенности $\left.\Delta q_{k} \cdot \Delta p_{k} \geqslant \frac{h}{4 \pi} * * *\right)$. Более того, невозможно даже указать для какого-либо состояния системы два интервала $I, J$ таких, что $q_{k}$ с достоверностью лежит в $I$, а $p_{k}$ с достоверностью лежит в $J$ (этого нельзя сделать и тогда,
*) Cр. (также и для дальнейшего) критическое обсуждение этих условий в работе P. и T. Ehrenfest, Enzyk1. d. Math. Wiss., Bd. IV, 4. D. (Art. 32) и далее Phys. Zs. 8 (1907).
**) Правда, в случае многих спецнальных проблем дело обстоит как раз наоборот.
***) Cp. W. Heisenberg, Zs. 1. Phys. 43, Heft. 3/4 (1927), а также
N. Bohr, Naturwissenschaften 16, Heit 15 (1928). Относительно границы $\frac{h}{4 \pi}$ см., например, H. Weyl, Gruppentheorie und Quantenmechanik, Leipzig, 1928 , S. 272.
когда произведение их длин намного больше, чем $\frac{h}{4 \pi}$ !*)), 一так что не только непрерывное фазовое пространство, но и его дискретные разбиения на ячейки лишены смысла! Несмотря на это, в действительности совершенно очевидно и то, что при макроскопических измерениях координаты и импульсы измеряются одновременно, – здесь возникает даже представление, что это возможно благодаря неточности макроскопических измерений, которая намного больше неточности, при которой еще можно было бы опасаться коллизии с соотношениями неопределенности. Как же согласовать эти два противоречащих друг другу обстоятельства?
Мы считаем, что правильной является следующая интерпретация: при макроскопическом одновременном измерении координаты и импульса (или двух других величин, квантовомеханически одновременно не измеримых) в деиствительности одновременно и точно измеряются две физические величины, только эти величины не являются в точности координатой и импульсом. Пусть, скажем, это будут положения двух стрелок или места двух почернений фотографических пластинок **), – ничто не мешает нам измерить их одновременно и с достаточной точностью, но связь этих величин с реальными интересующими нас физическими величинами ( $q_{k}$ и $p_{k}$ ) довольно неопределенна, причем мерилом этой необходимой по законам природы неточности связи как раз и является соотношение неопределенностей (ср. прим. ***) на стр. 326).
Математическая формулировка: квантовая механика сопоставляет величинам $q_{k}$ и $p_{k}$ известные операторы $\boldsymbol{Q}_{k}=q_{k} \ldots$ и
*) Это означает, что если волновая функция $\varphi\left(q_{1}, \ldots, q_{f}\right)$ обращается в нуль для всех значений $q_{k}$, лежащих вне какого-нибудь конечного интервала $I$, то ее коэффициенты Фурье $c\left(p_{1}, \ldots, p_{f}\right)$ (мы разлагаем
\[
\left.\varphi\left(q_{1}, \ldots, q_{f}\right)=\int_{-\infty}^{\infty} \ldots \int_{-\infty}^{\infty} c\left(p_{1}, \ldots, p_{f}\right) e^{\frac{2 \pi i}{h}\left(p_{1} q_{1}+\ldots+p_{f} q_{f}\right)} d p_{1} \ldots d p_{f}\right)
\]
должны всегда $
eq 0$ при произвольно больших $p_{k}$.
**) Координату и импульс частицы можно представлять себе измеренными в смысле цитированных в прим. ***) на стр. 326 работ, скажем, следующим образом: с одной стороны, частица освещается пучком света, сфокусированным в приблизительном месте ее нахождения, и рассеянный свет фотографируется (координата) и, с другой стороны, частица освещается достаточно монохроматичным и плоскопараллельным пучком света, причем отраженный свет фотографируется после прохождения через призму (для констатации длины волны) (импульс). Естественно, что должна соблюдаться связь между точностями, обусловленная соотношением неопределенностей. Таким образом получаем на двух пластинках два почернения, устанавливающие с известными точностями координату и импульс.
$\left.\boldsymbol{P}_{k}=\frac{h}{2 \pi i} \frac{\partial}{\partial q_{k}} \ldots *\right)$, неперестановочность которых $\left(\boldsymbol{Q}_{k} \boldsymbol{P}_{k}
eq \boldsymbol{P}_{k} \boldsymbol{Q}_{k}\right.$, разность же равна, как известно, $\frac{h}{2 \pi i} 1$ ) соответствует одновременной неизмеримости этих величин **). Предположим теперь, что существуют два других перестановочных оператора $\boldsymbol{Q}_{k}^{\prime}$ и $\boldsymbol{P}_{k}^{\prime}$, которые лишь мало отличаются от $\boldsymbol{Q}_{\boldsymbol{k}}, \boldsymbol{P}_{\boldsymbol{k}}$, причем настолько мало, что для их соответственных отклонений мерой являются два числа $\Delta Q_{k}$ и $\Delta P_{k}$, произведение которых не превосходит существенно $\frac{h}{4 \pi}$ из соотношения неопределенностей. (Естественно, что в силу $\boldsymbol{P}_{k} \boldsymbol{Q}_{k}-\boldsymbol{Q}_{k} \boldsymbol{P}_{k}=$ $=\frac{h}{4 \pi i} 1, Q_{k}^{\prime} \rho_{k}^{\prime}-P_{k}^{\prime} Q_{k}^{\prime}=0$ оно не может быть меньше $\frac{h}{4 \pi}$ 1) Немного отличная, но, как легко убедиться, по существу, та же формулировка получается, если заметить следующее: перестановочные операторы $\boldsymbol{Q}_{k}^{\prime}, \boldsymbol{P}_{k}^{\prime}$ должны обладать полной ортогональной системой общих соо́ственных функций ***), назовем их $\varphi_{1}, \varphi_{2}, \ldots$ Потребуем тогда от этой системы следующее: в любом состоянии $\varphi_{n}$ дисперсии $\boldsymbol{Q}_{k}$ и $\boldsymbol{P}_{k}$ меньше, чем $\Delta Q_{k}$ и $\Delta P_{k}$ соответственно (и при этом $\Delta Q_{k} \cdot \Delta P_{k} \sim \frac{h}{4 \pi}$ ). Тогда одновременное измерение $\boldsymbol{Q}_{k}^{\prime}, \boldsymbol{P}_{k}^{\prime}$, после которого должно наступать некоторое состояние $\varphi_{n}$, действительно дает нам одновременную информацию относительно $\boldsymbol{a}_{\boldsymbol{k}}$ и $\boldsymbol{P}_{\boldsymbol{k}}$. Впрочем, достаточно отыскать полную ортогональную систему $\varphi_{1}, \varphi_{2}, \ldots$ с указанными выше свойстами; тогда $\boldsymbol{Q}_{k}^{\prime}, \boldsymbol{P}_{k}^{\prime}$ могут быть сейчас же установлены для этого достаточно лишь задать их собственные значения в состояниях $\varphi_{n}(n=1,2, \ldots)$, каковые собственные значения целесообразно выбрать равными математическим ожиданиям $\boldsymbol{Q}_{k}, \boldsymbol{P}_{k}$ в состояниях $\varphi_{n}$ ****).
*) Cp. Schrödinger, Ann. d. Phys. 79, 8 (1926).
** Cp. P. D ir a c, Proc. Roy. Soc. 113 (1927) и W. He is e n be rg, l. c., прим. ***) на стр. 326 .
***) Будем считать ради простоты, что реально измеренные величины $Q_{k}^{\prime}, P_{k}^{\prime}$ имеют только дискретный спектр, что бывает на самом деле, если мы имеем дело с конечным объемом. Тогда существование общей системы собственных функций доказывается в точности так же, как в случае обычных (конечномерных) матриц. Ср. по этому поводу F roben i us, J. f. Math. 84 (1877), Hellinger u. Toeplitz. Enzykl. d. Math. Wiss., Bd. II, C. 13 (Art. 41).
****) То есть
\[
\int_{-\infty}^{\infty} q_{k}\left|\varphi_{n}\left(q_{1}, \ldots q_{f}\right)\right|^{2} d q_{1} \ldots d q_{f}
\]
и
\[
\frac{h}{2 \pi i} \int_{-\infty}^{\infty} \varphi_{q_{k}}^{\prime}\left(q_{1}, \ldots, q_{f}\right) \varphi^{*}\left(q_{1}, \ldots, q_{f}\right) d q_{1} \ldots d q_{f} .
\]
Это, по существу, уб̋едительное допущение мы можем теперь подтвердить математически: каковы бы ни были два положительных числа $\varepsilon, \gamma_{i}$ с $\varepsilon \eta=C \cdot \frac{h}{4 \pi}$ ( $C$-константа, ср. по этому поводу прим. *)), существует полная ортогональная система $\varphi_{1}, \varphi_{2}, \ldots$ такая, что в любом состоянии $\varphi_{n}$ дисперсии $\boldsymbol{Q}_{k}$ и $\boldsymbol{P}_{k}$ будут меньше, чем $\varepsilon, \eta$ соответственно *). Задание $\varphi_{n}$ и доказательство их свойств приводит к довольно затруднітельным выкладкам **), приводить которые мы здесь не станем, тем более что сказанное до сих пор достаточно проясняет принципиально наиболеє важное.
Таким образом мы делаем следующее допущение о сущности макроскопических измерений: они являются исключительно измерениями одновременно измеримых величин (с взаимно герестановочными операторами), которые связаны с простыми и не измеримыми одновременно физическими величинами (координаты, импульсы и т. д.) лишь настолько, насколько это допускается соотношениями неопределенности. В дальнейшем изложении работы должно быть показано, как это осуществляется в деталях.
3. Относительно общего формального аппарата квантовой механики надо иметь в виду следующее. Состояния системы будут характеризоваться известным образом комплексными функциями $\varphi=\varphi\left(q_{1}, \ldots, q_{f}\right)$ (так называемыми волновыми функциями), определенными
*) Как видно, $C \approx 1$ было бы идеальной оценкой (использующей все возможности, допускаемые соотношением неопределенности). Автору удалось лішь достичь $C<3,600$, но поскольку $\frac{h}{4 \pi}$ в макроскопических (CGS)-единицах составляет $\approx 10^{-28}$, то это несущественно.
**) Нужно воспользоваться введенными Гейзенбергом, 1. с. прим. ***) на стр. 326, волновыми пакетами
\[
e^{-\frac{1}{4 \theta^{2}} q^{2}+\left(\frac{a}{2 \theta^{2}}+\frac{2 \pi i}{h} b\right) q}
\]
– мы пишем $q$ вместо $q_{k}$ и опускаем остальные из $q_{1}, \ldots, q_{f}$, в указанном выше состоянии $Q=q \ldots$ и $P=\frac{h}{2 \pi i} \frac{\partial}{\partial q} \ldots$ имеют средние значения $a, b$ и квадраты дисперсий $\theta^{2},\left(\frac{h}{4 \pi \theta}\right)^{2}$ соответственно, – где
\[
\begin{array}{l}
a=\sqrt{\frac{4 \pi}{C}} \varepsilon \cdot i ; \quad b=\sqrt{\frac{4 \pi}{C}} \eta \cdot j=\sqrt{\frac{C}{4 \pi}} \frac{h}{\varepsilon} \cdot J ; \\
\theta=\frac{1}{\sqrt{\bar{C}}} \text { в и } i, j=0, \pm 1, \pm 2, \ldots \\
\end{array}
\]
Получающиеся таким образом функции записываются в каком-нибудь порядке в виде последовательности и затем, согласно Шмидту (E. Sch m id t, Math. Ann. 63 (1907)), «ортогонализируются», Это дает желаемую систему $\varphi_{1}, \varphi_{2}, \ldots$
в «пространстве состоянић» системы, т. е. в $f$-мерном пространстве, описываемом $f$ координатами $q_{1}, \ldots, q_{f}$, физические же величины эрмитовыми операторами $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}, \ldots *)$. Важнейшими операциями с этими объектами являются: «внутреннее произведение»
\[
(\varphi, \psi)=\int \ldots \int \varphi\left(q_{1}, \ldots, q_{f}\right) \psi\left(q_{1}, \ldots, q_{f}\right)^{*} d q_{1} \ldots d q_{f}
\]
(* мы обозначаем комплексное сопряжение) и «абсолютная величина»
\[
|\varphi|=\sqrt{(\varphi, \varphi)}=\sqrt{\left.\int \ldots \int\left|\varphi\left(q_{1}, \ldots, q_{f}\right)\right|^{2} d q_{1} \ldots d q_{f} * *\right)} .
\]
Простейше описание состояний с помощью волновой функции $\varphi$ делается так: математическое ожидание величины $\boldsymbol{A}$ в состоянии $\varphi$ равняется $(\boldsymbol{A} \varphi, \boldsymbol{\varphi}$ ). Задание всех математических ожиданий означает, поскольку одновременно с этим становятся известными математические ожидания всех степеней (т. е. так называемые высшие моменты распределения вероятностей), знание всего распределения вероятностей любой величины, т. е. полную статистическую характеристику системы ***).
Нам нужна также статистика величин в системе, в которой имеется не одно состояние $\varphi$, а много состояний $\varphi_{1}, \varphi_{2}, \ldots$ с соответствующими вероятностями $w_{1}, w_{2}, \ldots$ Тогда математическое ожидание $\boldsymbol{A}$ равно, очевидно, $\sum_{n} w_{n}\left(\boldsymbol{A} \varphi_{n}, \varphi_{n}\right)$, что удобнее записать по-другому. Именно, будем описывать оператор $\boldsymbol{A}$ в некоторой полной ортогональной системе функций матрицей $a_{\mu
u}$, а функции $\varphi_{n}$ – векторами $\left.x_{\mu}^{n}(\mu,
u=1,2, \ldots) * * * *\right)$. Тогда
\[
\sum_{n} w_{n}\left(A \varphi_{n}, \varphi_{n}\right)=\sum_{n} w_{n} \sum_{\mu,
u} a_{\mu
u} x_{\mu}^{n^{*}} x_{
u}^{n}=\sum_{\mu,
u} a_{\mu
u}\left[\sum_{n} w_{n} x_{
u}^{n} x_{\mu}^{n^{*}}\right],
\]
т. е. если обозначить через $U$ оператор с матрицей $\sum_{n} w_{n} x_{\mu}^{n} x_{
u}^{n^{*}}$, то рассматриваемое выражение будет равно шпуру от $\boldsymbol{A} \boldsymbol{U} * * * * *)$. Тем са-
*) В способе обозначений и мегодах, используемых ниже, мы придерживаемся работы автора в Gött. Nachr. 11 Nov. 1927, S. $245-272$. Однако все необходимое для поставленной цели будет резюмировано здесь.
**) Вычисления с этими объектами описываются вкратце, например, в работе автора в Gött. Nachr., 20 Mai 1927, S. 1 – 57. $\left.{ }^{* * *}\right)$ C. Dirac, 1. c., прим. ***) на стр. 328 и работу автора, 1. c., прим. *).
*****) C. 1. с., прим. **).
*****) Cp. 1. с., прим. *) и далее Dira c, Proc. Combr. Phil. Soc., 29 Oct. 1928. Шпур – это сумма диагональных элементов матрицы; так как эта сумма инвариантна по отношению к унитарным преобразованиям, то можно просто говорить о шпуре оператора безотносительно к определенной полной ортогональной системе функций.
мым статистическое поведение введенных смесей многих состояний характеризуется оператором $\boldsymbol{U}$ на основании правила: математическое ожидание $\boldsymbol{A}$ равняется Spur $(\boldsymbol{A} \boldsymbol{U})$. Мы называем $\boldsymbol{U}$ статистическим оператором смеси. Как видно, знания его достаточно для описания смесей, причем нет нужды задавать отдельные состояния, из которых состоит смесь.
Кроме того, удобно ввести огобое обозначение для оператора с матрицей $x_{\mu} x_{
u}^{*}\left(x_{\mu}\right.$ – вектор волновой функции $\left.\varphi\right): \boldsymbol{P}_{\varphi}$. Легко верифицировать и другое определение: $\boldsymbol{P}_{\varphi} f=(f, \varphi) \cdot \varphi(f-$ любая другая волновая функция). Тогда будет $U=\sum_{n} w_{n} P_{\varphi_{n}}$, в частности $P_{\varphi}$ является статистическим оператором самого состояния $\varphi$.
4. Теперь мы можем непосредственно перейти к (квантовомеханической) формулировке эргодической теоремы. А именно, мы обсудим сначала два подхода, которые хоть и не решают саму проблему, но, как нам кажется, проясняют и делают более прозрачными существующие здесь соотношения.
Классическая формулировка эргодической теоремы (точнее, квазиэргодической теоремы) звучит так: точка фазового пространства, изображающая систему, в своем движении (определяемом из дифференциальных уравнений механики) сколь угодно близко приближается к любой точке энергетической поверхности системы, при этом время, проводимое изображающей точкой в среднем за сольшой промежуток времени в какой-нибудь области энергетической поверхности, пропорционально объему этой области*). Тем самым в случае заданного состояния статистические свойтва временно́го ансамбля (который получается усреднением каждой величины по всем временам) оказываются тождественными статистическим свойствам его микроканонического ансамбля. Этот последний представляет собой смесь всех точек, изображающих систему, лежащих на энергетической поверхности, причем кускам поверхности равной площади (ср. прим. *) приписываются равные веса.
Пусть теперь в квантовомеханической формулировке $\boldsymbol{H}$ будет оператором энергии, $\varphi_{1}, \varphi_{2}, \ldots$ – его собственными функциями **), а $W_{1}$,
*) В качестве объема, как известно, здесь берется не ( $2 f-1$ )-мерная площадь энергетической поверхности а $2 f$-мерный объем прилегающего к энергетической поверхности слоя, т. е. интеграл от обратного градиента энергии по указанному куску поверхности. – На существенную (и часто недооцениваемую) разницу между двумя половинами приведенной в тексте формулировки квазиэргодической теоремы указывали П. и Т. Эренфесты (l. с., прим. *) на стр. 326): вторая половина неизбежно необходима для обоснования статистической механики Гиббса.
**) Точнее, некоторая полная ортогональная система, образованная из них, – система координат, в которой $H$ – диагонален. (Мы предполагаем. что сплошной спектр отсутствует.)
$W_{2}, \ldots$ – соответствующими собственными значениями. Состояние $\psi=\sum_{n} a_{n} \cdot \varphi_{n}$ эволюционирует с тәчением времени $t(\gtreqless 0$ ) в смысле временного дифференциального уравнения Шредингера следующим образом:
\[
\psi_{t}=\sum_{n} a_{n} e^{\frac{2 \pi i}{h} w_{n} t} \cdot \varphi_{n}=\sum_{n} a_{n}(t) \varphi_{n} .
\]
Прежде всего, здесь надо теперь проанализировать несколько подробнее понятие энергетической поверхности. Именно, с течением времени постоянными остаются все $\left|a_{n}(t)\right|^{2}=\left|a_{n}\right|^{2}$, а не только математическое ожидание энергии ( $\left.\boldsymbol{H} \psi_{t}, \psi_{t}\right)=\sum_{n}\left|a_{n}(t)\right|^{2} W_{n}$. Поскольку эти $\left|a_{n}(t)\right|^{2}$ характеризуют всю энергетическую статистику *), мы можем сказать так: Закон сохранения энергии классической механики переносится в квантовую механику не просто в форме сохранения только средних значений но в форме сохранения распределения вероятностен энергии. Если бы мы определили квантовомеханическую «энергетическую поверхность», казалось бы, естественным образом с помощью $\sum_{n}\left|a_{n}\right|^{2} W_{n}=$ const, то о справедливости эргодической теоремы не могло бы быть и речи – ведь существует бесконечно много «интегралов движения» $\left|a_{1}\right|^{2},\left|a_{2}\right|^{2}, \ldots$ Ее надо определить, скорее, посредством $\left|a_{1}\right|^{2}=$ const $_{1},\left|a_{2}\right|^{2}=$ const $_{2}, \ldots$ Так возникает вопрос: Будь $a_{n}=r_{n} \cdot e^{l \alpha}{ }_{n}\left(r_{n} \geqq 0,0 \leqq \alpha_{n}<2 \pi\right)$, тогда энергетическая поверхность состоит из всех $\psi^{\prime}=\sum_{n} a_{n}^{\prime} \cdot \varphi_{n}$ с $a_{n}^{\prime}=$ $=r_{n} \cdot e^{i \alpha_{n}^{\prime}}\left(0 \leqq \alpha_{n}^{\prime}<2 \pi\right)$. Подходят ли тогда $a_{n}(t)=r_{n} \cdot e^{i\left(\frac{2 \pi}{h} \varpi_{n} t+\alpha_{n}\right)}$ произвольно близко ко всем $a_{n}^{\prime}$, т. е. $\frac{2 \pi}{h} W_{n} t+\alpha_{n}-$ к $\alpha_{n}^{\prime}$ (конечно по $\bmod 2 \pi$, причем для всех $n=1,2, \ldots$ ), и как велики будут «относительные времена пребывания» в заданных $\alpha_{n}^{\prime}$-интервалах? Мы можем спроєить и так: Будет ли $\frac{W_{h}}{h} t$ сколь угодно близко подходить для надлежащего $t$ к произвольной системе $\frac{\alpha_{n}^{\prime}-\alpha_{n}}{2 \pi}(\bmod 1$ для всех $n=1,2, \ldots$ ), и каковы будут относительные времена пребывания? Согласно теоремам Кронекера для выполнения первой половины требования необходимой и достаточнои является целочисленно-линеинная независимость $\frac{W_{n}}{h}$ между собон, т. е. условие, что не существует
*) Например потому, что они, согласно $\left(H^{k} \psi_{t}, \psi_{t}\right)=\sum_{n}\left|a_{n}(t)\right|^{2} W_{n}^{k}$, определяют математические ожидания всех степеней энергии, т. е. все моменты ее статистики.
соотношения $x_{1} \frac{W_{1}}{h}+\ldots+x_{n} \frac{W_{i t}}{h}=0$ ( $n$ произвольно велико, но конечно; $x_{1}, \ldots, x_{n}$ целочисленны), если только не имеет места равенство $x_{1}=\ldots=x_{n}=0$ *). Из дальнейших теорем Вейя следует, что в этом случае времена пребывания также оказываются правильными, а именно, они пропорциональны произведениям длин интервалов **). Итак, в этой формулировке эргодическая теорема вытекает из того, что между термами $\frac{W_{n}}{h}$ системы не имеется резонансов ***).
Собственно, мы здесь потребовали даже слишком многого: действительно истинным, существенным для всех приложений, ядром эргодической теоремы является, как уже упоминалось выше, соответствие между временным ансамблем и микроканоническим ансамблем, а вовсе не вопрос о том, какой именно путь проделывает на энергетической поверхности точка, изображающая систему. Как мы знаем из 3., для этого необходимо лишь соответствие между статистическими операторами этих двух ансамблей (их «настоящий» состав в отношении волновых функций здесь заведомо не может быть установлен).
Пусть теперь $\psi_{t}$ имеет статистический оператор $\boldsymbol{P}_{\psi_{t}}$, тогда речь идет о том, что он один раз усредняется (при фиксированных $\alpha_{n}$ ) по всем $t$ (временно́й ансамбль), а другой раз – при $t=0$ по всем $\alpha_{n}$ (мы пишем $\alpha_{n}$ вместо $\alpha_{n}^{\prime}$, т. е. михроканонический ансамбль). Запишем оператор $\boldsymbol{P}_{\psi_{t}}$ в виде матрицы в системе координат $\varphi_{1}, \varphi_{2}, \ldots$ В силу того, что $\psi_{t}=\sum_{n} r_{n} e^{i\left(\frac{2 \pi}{h} W_{n} t+a_{n}\right)} \cdot \varphi_{n}$, его $m, n$-компонента будет равна $r_{m} r_{n} e^{i\left(\frac{2 \pi}{h}\left(W_{m}-W_{n}\right) t+\left({ }_{m}{ }^{-\alpha_{n}}\right)\right)}$. Усредняя ее по всем $\alpha_{l}$, получаем 0 при $m
eq n$ и $r_{m}^{2}$ при $m=n$. Чтобы тот же результат
*) Cp. Kronecker, Ber. d. Preuß. Akad. d. Wiss. zu Berlin, 1884, S. 1071-1080, 1179-1193, 1271-1299. **) Cp. W e y 1, Math. Ann. 77 (1915).
***) Может показаться странным, что здесь фигурируют $\frac{W_{n}}{h}$, а не $\frac{W_{m}-W_{n}}{h}$, но это связано с некоторой неточностью нашего рассмотрения. А именно, постоянный множитель (с модулем 1) не имеет смысла для волновой функции $\psi$ (например, он выпадает из статистического оператора $\boldsymbol{P}_{\psi}$ ), поэтому мы должны были бы, собственно говоря, налагать указанные выше требования не на сами фазы $\frac{2 \pi}{h} W_{n} t+\alpha_{n}$, но лишь на их разности, скажем, на $\frac{2 \pi}{h}\left(W_{n}-W_{1}\right) t+\left(\alpha_{n}-\alpha_{1}\right)(n=2,3, \ldots)$. Тогда мы снова получаем требования из текста, но уже относящиеся к собственным частотам $\frac{W_{n}-W_{1}}{h}$ $(n=2,3, \ldots)$.
получился при усреднении по $t$, должно быть $\frac{2 \pi}{h}\left(W_{m}-W_{n}\right)
eq 0$, т. е. $W_{m}
eq W_{n}$, при $m
eq n$. Это означает: вырождение должно полностью отсутствовать (условие намного более слабое, чем предыдущее!).
Тем самым эргодическая теорема была бы доказана, казалось бы, в удовлетворительном объеме. Тем не менее этот результат не может нас удовлетворить, поскольку здесь ничего не говорится о роли макроскопичности. Ведь мы здесь оперировали с совершенно точно заданными системами, так, например, энергетическая поверхность описывалась точным заданием всех $\left|a_{n}\right|^{2}$. Для того чтобы подойти к только частично известным системам статистической механики, нам надо еще несколько модифицировать нашу постановку вопроса *).
5. Эта модификация должна состоять в первую очередь в том, что надо макроскопически переосмыслить понятие энергетической поверхности, т. е. надо расширить микроканонический ансамбль до совокупности всех состояний, энергетические статистики которых макроскопически неотличимы от энергетической статистики данных состояний. При таких обстоятельствах соответствия между временны́ми и микроскопическими средними следует требовать лишь для макроскопических величин. Но зато это ослабление влечет за собой существенное усиление, которое становится возможным лишь при макроскопическом способе рассмотрения. А именно, мы покажем, что для любого состояния системы значение любой (макроскопически измеримой) величины не только имеет микроканоническое среднее в качестве временно́го среднего, но и обладает малой дисперсией, т. е. временные точки, в которых значение отклоняется от среднего не мало, очень редки.
Полезно сравнить это с соответствующими соображениями из классической теории. Там указанную теорему, эквивалентную оправданию статистически-механических методов, разбивают на два шага следующим образом: прежде всего надо показать, что для любой величины временна̀я статистика совпадает с микроканонической, а затем, что для так называемых макроскопических величин последняя имеет малую дисперсию. Первое утверждение как раз и является классической квазиэргодической теоремой, которая не может быть доказана в настоящее время, а второе, напротив, можно легко доказать с помощью комбинаторных вычисленић**). Взамен этого, как уже было сказано, мы будем называть эргодической теоремой указанное выше следствие из обеих частей.
*) То, что доказанная только что теорема не может быть правильной эргодической теоремой, видно также из того, что ее предпосылки (невырожденные энергии) являются слишком слабыми: они сохраняют силу для известного контрпримера против классической эргодической теоремы! Ср. III., 3.
**) Ср., в особенности, I. с., прим. *) на стр. 326.
Более точная дискуссия будет приведена в ходе этой работы, здесь же мы укажем только на два следующих обстоятельства: во-первых, в нашей формулировке эргодическо теоремы мы потребуем, чтобы намеченное выше временное поведение действительно имело место для каждого начального состояния системы (для любого $\psi$ ) без исключения (классически можно было бы вполне допустить исключения в частях энергетической поверхности, имеющих меньшую размерность). Во-вторых, надо подчеркнуть, что реальное состояние, с которым мы и работаем, является волновой функциен, т. е. чем-то микроскопическим, – если бы мы здесь действовали макроскопически, то это означало бы введение гипотезы о беспорядке, но мы как раз этого хотим безусловно избежать. То же самое можно сказать и об операторе энергии, который фигурирует в зависящем от времени дифференциальном уравнении Шредингера*), его тоже надо рассматривать точно (микроскопически). (Иначе, конечно, будет при построении энергетической поверхности, что будет видно из дальнейшей дискуссии.) Перейем теперь после сказанного к небольшому разговору об условиях, которые оказываются необходимыми для справедливости эргодической теоремы.
6. Они распадаются на две группы: во-первых, те, которые относятся к (микроскопическому) оператору энергии $\boldsymbol{H}$, во-вторых, те, которые относятся к подразделению (макроскопическон) энергетической поверхности на фазовые ячеики и к величине последних. (Дальше мы точно установим, что следует понимать квантовомеханически под энергетической поверхностью, фазовыми ячейками и другими конструкциями в фазовом пространстве; предварительно же вполне достаточно будет оперировать с этими понятиями так, как это было обычным в доквантовомеханической теории. В частности, под фазовыми ячейками мы понимаем такие подразделения фазового пространства, которые могут быть осуществлены с помощью макроскопических измерений.)
Относительно энергии оказывается: разности термов (собственные колебания) должны отличаться друг от друга, а также и сами термы (отсутствие вырождения!), т. е. если $W_{1}, W_{2}, \ldots$ являются собственными значениями, то все $W_{m}-W_{n}(m
eq n)$ должны отличаться друг от друга, а также и все $W_{n}^{m}$. (Допустимы даже редкие исключения!) Как видно, по своей силе это условие занимает промежуточное положение между двумя найденными в 4. В разумности этого условия мы убедимся в разделе III. 3. этоћ работы. В частности, мы увидим, что оно нарушается как раз в классических контрпримерах против эргодической теоремы (идеальный газ без соударений, объем, запол-
*) Оно гласит $\frac{\partial}{\partial t} \psi_{t}=\frac{2 \pi i}{h}$ Н $_{t} ;$ в 4. мы воспользовались его явным решением. ненный излучением без поглощения) и опять восстанавливается известными (но признаваемыми действенными лишь эвристически) контрправилами (введение столкновений, а также поглощений и испусканий соответственно).
Относительно величины фазовых ячеек получается в существенном следующее: число состояний (квантовых орбит) в каждой фазовой ячейке не только должно быть очень велико, но в среднемдолжно быть все еще велико по сравнению с числом базовых ячеек на их энергетической поверхности. Более подробное разъяснение этого условия оставим до дальнейших обсуждений этой работы, здесь же укажем только на следующее: если совершать предельный переход $h \rightarrow 0$ (так что квантовая механика приближается к классической), но не менять макроскопически технику измерений, то первое число будет неограниченно возрастать, тогда как второе будет постоянным, так что наше условие выполняется все лучше. Итак, его выполнимость обеспечена во всяком случае, если макроскопическая техника измерений слишком груба, чтобы достигнуть квантовых эффектов (тогда $h$ практически равно 0 ).
Еще остается сформулировать $H$-теорему (которую мы тоже докажем). Мы можем естественным образом сопоставить каждому состоянию $\psi$ энтропию, а равным образом и его микроканонический ансамбль *), а затем проследим за временным изменением энтропии и сравним ее первоначальное значение с конечным (последнее, как легко показать, всегда $\geqq$ начального). Как и в классической механике, здесь также не может быть и речи о постоянном возрастании энтропии и тем менее о преимущественно положительном знаке ее производной (или же отношения разностей): здесь, как и там, остаются в силе возражения, связанные с обратимостью и повторимостью. В духе обсуждения этого обстоятельства, проведенного П. и Т. Эренфестами (ср. 1. с., прим.*) на стр. 326), мы склонны скорее видеть существенную часть утверждения $H$-теоремы в следующем: временна́я средняя энтропии состояния $\psi_{t}$ лишь мало отличается от энтропии микроканонического ансамбля, – и поскольку последняя является верхней гранью для первой, это означает, что энтропия состояния $\psi_{t}$ спускается сколько-нибудь заметно ниже границы лишь очень редко.
Мы увидим, что $H$-теорема справедлива при тех же предположениях, что и эргодическая теорема.
Итак, резюмируя, можно сказать вот что: В квантовой механике эргодическую теорему и $H$-теорему можно доказать во всей строгости и без гипотезы о беспорядке, тем самым устанавливается гарантированная применимость статистически-механических методов к термодинамике без привлечения каких бы то ни было дальнейших
*) Ср. конец I. 3., где приводятся подробности относительно связи этой энтропии с энтропией, определенной автором в Gött. Nachr., 11 Nov. 1927, S. 273-291.
гипотез*). Совершенно ясно, конечно, что это связано с тем обстоятельством, что, как и дифференциальные уравнения классической механики, зависящее от времени уравнение Шредингера, лежащее в основе квантовой механики, обладает свойстом обратимости и повторимости*), ввиду чего само по себе не может быть достаточным для объяснения необратимых процессов**).
7. Можно было бы сказать еще несколько слов о связи этой работы с другими квантовомеханическими исследованиями вопросов статистической механики и термодинамики. Статьи Шредингера *), а также Нордгейма**) и Паули ****) описывают макроскопические соотношения на основании предположения о беспорядке, а потому относятся к другому направлению. Одна более ранняя работа автора стоит полностью на микроскопической точке зрения и также преследует другую цель: из предположенной справедливости феноменологического второго закона термодинамики сделать вывод относительно величины энтропии.
Автор хотел бы здесь подчеркнуть, что он считает себя обязанным выразить глубокую благодарность Е. Вигнеру за многочисленные обсуждения, в процессе которых возникли постановки вопросов этой работы.
