Мы еще должны доказать утверждение 2. из I. 4: что $F_Z,F_{\mathcal{Q}}$ действительно выполняют условия $\mathit{A}$. — $\mathit{E}$.. При этом достаточно рассмотреть $F_8$, так как мы уже показали в II. 2 , что $\mathrm{\Re }$ с $\mathit{A},-\mathit{E}$. по всем своим своиствам идентично с ${\mathfrak{R}}_{\mathrm{\infty }}$, т. е. с $F_Z$, так что A.-E. должны выполняться и для $F_Z$. Кроме того, мы докажем
51) Этот раздел не является необходимым для понимания дальнейших частей текста.
упомянутую в II. 2 независимость условий $D$., $\mathit{E}$. от $\mathit{A}.-{\mathit{C}}^{(\mathrm{\infty })}$. и тот факт, что они следуют из $\mathit{A}.-{\mathit{C}}^{(\mathit{n})}$, , т. е. что они имеют место в ${\mathrm{\Re }}_n$. Эти три чисто математических вопроса составляют содержание этого раздела.

Начнем с доказательства выполнения свойств $A.-E$. в $F_2$. Для этого нам придется опереться на лебегово понятие интеграла, относительно обоснования которого мы лишь сощлемся на специальную литературу по этому вопросу ${}^{52}$ ). (Интеграл Лебега важен нам только в данном случае, и знакомство с ним не является необходимым для чтения следующих глав.)

B I. 4 мы ввели $Q$ как $k$-мерное пространство элементов $q_1,\dots ,q_k$ и $F_Q$ как множество всех функций $f(q_1,\dots ,q_k)$ с конечным $\int \dots \int {\left|f(q_1,\dots ,q_k)\right|}^{2}d{q}_1\dots d{q}_k$; при этом все $q_1,\dots ,q_k$ могут меняться от $-\mathrm{\infty }$ до $+\mathrm{\infty }$. Впрочем, все наши рассуждения останутся справедливыми, и даже вывод будет по большей части дословно тот же, и если бы мы ограничили интервалы изменения $q_1,\dots ,q_k$ (так чтобы $\mathrm{\Omega }$ было, например, полупространством, внутренностью куба, внутренностью сферы или внешностью этих фигур и т. д.), и даже если бы мы выбрали в качестве $Q$ искривленную поверхность (как, например, поверхность сферы и т. п.). Но для того, чтобы не потеряться в ненужных усложнениях (их сможет без затруднений рассмотреть читатель по образцу нашего типичного доказательства), мы ограничимся указанным простейшии случаем. Итак, пройдем последовательно $\mathit{A}.-\mathit{E}$. одно за другим.

Относительно A.. Мы должны показать, что если $f$ и $g$ принадлежат $F$, то $af,f\pm g$ также принадлежат ему. Иными словами, если конечны
$${\int }_{\mathrm{\Omega }}|f{|}^2,{\int }_{\mathrm{\Omega }}|g{|}^2$$
(мы ввели сокращенное обозначение для $\int \underset{\alpha }{\dots \int }{\left|f(q_1,\dots ,q_k)\right|}^2\times$ $\times d{q}_1\dots d{q}_k$ и $\int \dots \int {\left|g(q_1,\dots ,q_k)\right|}^{2}d{q}_1\dots d{q}_k$, поскольку это не может привести к путанице), то ${\int }_{\mathrm{\Omega }}|af{|}^2=|a{|}^2{\int }_{\mathrm{\Omega }}|f{|}^2,{\int }_{\mathrm{\Omega }}|f\pm g{|}^2$
52) Hапример, Carathéodory, Vorlesungen über reelle Funktionen, Leipzig, 1927, в особенности стр. 237-274; K a m k e, Das Lebesguesche Integral, Leipzig, 1925.
[Из русских руководств по интегралу Лебега можно рекомендовать читателю, например, книгу Натансона, Теория функций вещественной переменной, Гостехиздат, 1950 г., или соответствующую главу в V томе Курса высшей математики В. И. Смирнов а, Гостехиздат, 1947 г. (Прим. ред.)]
4*

[гл. II
также конечны. Первое утверждение тривиально. Вследствие того, что $|f\pm g{|}^2=|f{|}^2+|g{|}^2\pm 2\mathrm{Re}(f\overline{g}{)}^{53})$, справедливость второго будет установлена, как только будет показано, что интеграл ${\int }_{\mathrm{\Omega }}|f\cdot \overline{g}|={\int }_{\mathrm{\Omega }}|f|\cdot |g|$ конечен. Однако, поскольку $|f|\cdot |g|\leqq$ $\leqq \frac{1}{2}(|f{|}^2+|g{|}^2$ ), то последнее следует непосредственно из исходной гипотезы.

Относительно B. . Мы определим $(f,g)$ как ${\int }_{\mathrm{\Omega }}f\overline{g}$. Этот интеграл, как мы только что убедились, сходится абсолютно. Все свойства, постулированные в $\mathit{B}$., очевидны, кроме последнего: что $(f,f)=0$ влечет за собой $f\equiv 0$. Теперь $(f,f)=0$ означает, что ${\int }_{\mathrm{\Omega }}|f{|}^2=0$. Следовательно, множество точек, на котором $|f{|}^2>0$, т. е. $f(q_1,\dots ,q_k)eq0$, должно иметь лебегову меру нуль. Если мы теперь будем считать две функции $f$ и $g$, для которых $feqg$ [т. е. $f(q_1,\dots ,q_k)eqg(q_1,\dots ,q_k)$ ] имеет место только на множестве $q_1,\dots ,q_k$ лебеговой меры нуль, функциями несущественно различными ${}^{54}$ ), то мы можем сделать тогда вывод, что $f\equiv 0$.

Относительно $C$. Пусть $O_1,\dots ,O_m-m$ областей в $Q$, никакие две из которых не имеют ни одной общей точки, и пусть мера Jебега каждой из них больше нуля, но конечна. Пусть $f_l(q_1,\dots ,q_k)$ есть 1 в $O_l$ и нуль повсюду, кроме $O_l$. Поскольку ${\int }_{\mathrm{\Omega }}{\left|f_l\right|}^2$ равен мере $O_l$, то $f_l$ принадлежит $F_{\mathrm{\Omega }}(l=1,\dots ,n)$. Эти $f_1,\dots ,f_n$ линейно независимы. Действительно, $a_1{f}_1+\dots +a_n{f}_n\equiv 0$ означает что функция в левой части не исчезает лишь на множестве меры нуль. Следовательно, она имеет корни в каждой $O_l$, но поскольку она постоянна и равна $a_l$ в $O_l$, то $a_l=0,l=1,\dots ,n$. Поскольку это построение проходит для всех $n$, то должно иметь место $C^{(\mathrm{\infty })}$.

Oтносительно D.. Пусть последовательность $f_1,\dots ,f_n$ удовлетворяет критерию сходимости Коши, т. е. для каждого $\epsilon >0$ существует некоторое $N=N(\epsilon )$, такое, что $\int {|f_m-f_n|}^2<\epsilon$ при $m,n\geqq N$. Выберем $n_1=N\left(\frac{1}{8}\right);n_2\geqq n_1,N\left(\frac{1}{8^2}\right);n_3\geqq n_1,n_2$,
53) Вообще
$$\begin{array}{rl}|x+y{|}^2=(x+y)(\overline{x}+\overline{y})=x\overline{x}+y\overline{y}+(x\overline{y}+\overline{xy})& =\\ & =|x{|}^2+|y{|}^2+2\mathrm{Re}(\overline{xy}).\end{array}$$
54) Это обычное в теории интеграла Лебега определение.

$N\left(\frac{1}{8^3}\right);\dots$ Тогда $n_1\leqq n_2\leqq \dots ;n_u,n_{v+1}\geqq N\left(\frac{1}{8^v}\right)$; следовательно, ${\int }_{\alpha }{|f_{n_{u+1}}-f_{n_y}|}^2<\left(\frac{1}{8^u}\right)$. Рассмотрим теперь множество $P^{(v)}$ всех точек, для которых $|f_{n_{v+1}}-f_{n_v}|>\frac{1}{2^v}$. Если его лебегова мера равна ${\mu }^{(v)}$, то
$${\int }_{\mathcal{\Omega }}{|f_{n_{u+1}}-f_{n_u}|}^2\geqq {\mu }^{(u)}{\left(\frac{1}{2^u}\right)}^2=\frac{{\mu }^{(u)}}{4^u},\frac{{\mu }^{(u)}}{4^u}<\frac{1}{8^u},{\mu }^{(u)}<\frac{1}{2^u}.$$

Рассмотрим также множество $Q^{(u)}$, возникающее при объединении $P^{(v)},P^{(v+1)},P^{(u+2)},\dots$. Его мера Лебега
$$\leqq {\mu }^{(v)}+{\mu }^{(v+1)}+{\mu }^{(v+2)}+\dots <\frac{1}{2^v}+\frac{1}{2^{v+1}}+\frac{1}{2^{v+2}}+\dots =\frac{1}{2^{v-1}}.$$

Вне $Q^{(v)}$ выполняется
$$\begin{array}{rl}|f_{n_{u+1}}-f_{n_u}|<\frac{1}{2^v};|f_{n_{u+2}}-f_{n_{u+1}}|& <\frac{1}{2^{u+1}};\\ & |f_{n_{u+3}}-f_{n_{u+2}}|<\frac{1}{2^{v+2}},\dots \end{array}$$

Следовательно, вообще для $u\leqq u^{\prime }\leqq u^{\prime \prime }$
$$\begin{array}{l}|f_{n_{v^{\prime }}}-f_{n_{u^{\prime }}}|\leqq |f_{n_{y^{\prime }+1}}-f_{n_{v^{\prime }}}|+|f_{n_{u^{\prime }+2}}-f_{n_{u^{\prime }+1}}|+\dots \\ \dots +|f_{n_{v^{\prime \prime }}}-f_{n_{v^n}-1}|<\frac{1}{2^{v^{\prime }}}+\frac{1}{2^{v^{\prime }+1}}+\dots +\frac{1}{2^{v^n-1}}<\frac{1}{2^{v^{\prime }-1}}.\end{array}$$

При $v^{\prime }\to \mathrm{\infty }$ эта величина стремится к нулю, независимо от $v^{\prime \prime }$, т. е. последовательность $f_{n_1},f_{n_2},\dots$ удовлетворяет условию сходимости Коши, если $q_1,\dots ,q_k$ не лежит в $Q^{(u)}$. Поскольку (при фиксированных $q_1,\dots ,q_k$ ) речь идет о числах, эта последовательность также будет сходиться. Значит, мы можем утверждать обратное: Если последовательность $f_{n_1},f_{n_2},\dots$ не сходится при каких-либо значениях $q_1,\dots ,q_k$, то они лежат в $Q^{(u)}$. Назовем $Q$ множество всех значений $q_1,\dots ,q_k$, для которых нет сходимости. Тогда $Q$ есть подмножество $Q^{(v)}$ и его мера не больше, чем мера $Q^{(u)}$, т. е. $<\frac{1}{2^{u-1}}$. Это справедливо для любых у, так как $Q$ определено независимо от $u$. Следовательно, $Q$ имеет меру Лебега 0 . Поэтому ничего не случится, если, например, положить все $f_n{}^{3}Q$ равными нулю (ср. прим. ${}^{54}$ ) на стр. 52). Но тогда $f_{n_1},f_{n_2},\dots$ будет сходиться и в $Q$, т. е. везде.

Таким образом, мы описали подпоследовательность $f_{n_1},f_{n_2},\dots$ последовательности $f_1,f_2,\dots$, сходящуюся в каждой точке $q_1,\dots ,q_k$ (нет необходимости, чтобы это было верно для всей $f_1,f_2,\dots$ ). Пусть предел $f_{n_1},f_{n_2},\dots$ есть $f=f(q_1,\dots ,q_k)$. Мы должны, стало быть, показать, что: 1. $f$ принддлежит $F_Q$, т. е. ${\int }_{\mathrm{\Omega }}|f{|}^2$ конечен. 2. $f$ есть предел $f_{n_1},f_{n_2},\dots$ не только в смысле сходимости при каждом $q_1,\dots ,q_k$, но также и в смысле «сходимости по длине» в пространстве Гильберта, т. е. $\Vert f-f_{n_y}\Vert \to 0$ или ${\int }_{\mathrm{\Omega }}{|f-f_{n_v}|}^2\to 0$. 3. В последнем смысле $f$-это даже предел всей последовательности $f_1,f_2,\dots$, т. е. $\Vert f-f_n\Vert \to 0$, или ${\int }_{\mathrm{\Omega }}{|f-f_n|}^2\to 0$.

Выберем $\epsilon >0$ и $u_0$ такое, что $n_{v_0}\geqq N(\epsilon )$ (например, $\frac{1}{8^{v_0}}⩽\epsilon$ ), и $u\geqq u_0,n\geqq N(\mathrm{s})$. Тогда ${\int }_{\mathrm{\Omega }}{|f_{n_v}-f_n|}^2<\epsilon$. Если мы устремим теперь $u\to \mathrm{\infty }$, то подинтегральное выражение будет стремиться к ${|f-f_n|}^2$, следовательно (в соответствии с теоремой сходимости интеграла Лебега, ср. прим. ${}^{52})$ на стр. 51), ${\int }_{\mathrm{\Omega }}{|f-f_n|}^2\leqq \epsilon$. Соответственно, во-первых, интеграл ${\int }_{\mathrm{\Omega }}{|f-f_n|}^2$ будет конечен, т. е. $f-f_n$ будет принадлежать $F_8$; а так как $f_n$ принадлежит $F_{\mathrm{\Omega }}$, то и $f$ будет принадлежать $F_{\mathrm{\Omega }}$ также; таким образом 1. доказано. Во-вторых, из полученного неравенства следует, что ${\int }_{\mathrm{\Omega }}{|f-f_n|}^2\to 0$ при $n\to \mathrm{\infty }$ и, значит, 2. и 3. доказаны тоже.

Oтносительно E.. Мы должны посмотреть последовательность функций $f_1,f_2,\dots$, всюду вплотную в $F_2$.

Пусть ${\mathcal{Q}}_1,Q_2,\dots$ — последовательность областей в $Q$, покрывающих всю $Q$, каждая из которых имеет конечную меру. (Пусть, например, ${\mathrm{\Omega }}_N$ есть шар радиуса $N$ с центром в начале координат.) Пусть $f=f(q_1,\dots ,q_k)$ — некоторыи элемент $F_2$. Определим $f_N=$ $=f_N(q_1,\dots ,q_k)$ для каждого $N=1,2,\dots$ :

—————————————————————-
0006ru_fizik_kvant_book11_page-0056.jpg.txt

3]
ОТСТУПЛЕНИЕ: ОБ УСЛОвиях $A,-E$.
55
При $N\to \mathrm{\infty },f_N(q_1,\dots ,q_k)\to f(q_1,\dots ,q_k)$ (начиная с некоторого $N$ достигается даже равенство), следовательно, ${|f-f_N|}^2\to 0$. Далее, $f-f_N$ равняется 0 или $f$, и поэтому ${|f-f_N|}^2\leqq |f{|}^2$. Следовательно, интегралы ${\int }_{\mathrm{\Omega }}{|f-f_N|}^2$ мажорируются (конечным!) интегралом ${\int }_{\mathrm{\Omega }}|f{|}^2$ не зависящим от $n$. Поскольку подынтегральные выражения стремятся к нулю, то же вєрно относительно интегралов (ср. цитированную выше теорему сходимости): ${\int }_{\mathrm{\Omega }}{|f-f_N|}^2\to 0,\Vert f-f_N\Vert \to 0$.

Назовем классом $G$ класс всех функций $g=g(q_1,\dots ,q_k)$, для которых множество всех точек, где $geq0$, имеет конечную меру и которые удовлетворяют во всем пространстве неравенству $|g|\leqq C$ с произвольным, но фиксированным $C$. Все определенные выше $f_N$ принадлежат $G$. Следовательно, $G$ всюду плотен в $F_2$.

Пусть $g$ принадлежит $G$ и $\epsilon >0$. Пусть мера множества, где $geq0$, есть $M$, а верхняя граница $|g|$ есть $C$. Выберем цепочку рациональных чисел $-C<p_1<p_2<\dots <p_t<C$ таким образом, чтобы было ${\rho }_1<-C+\epsilon ,{\rho }_2<p_1+\epsilon ,\dots ,{\rho }_t<p_{t-1}+\epsilon ,C<p_t+\epsilon$, что легко может быть сделано. Заменим теперь каждое значение $\mathrm{Re}g(q_1,\dots ,q_k)$ на ближайшее $p_s(s=1,2,\dots ,t)$, оставляя лишь нуль по-прежнему нулем. Тогда мы получим некую новую функцию $h_1(q_1,\dots ,q_k)$, которая повсюду отличается от $\mathrm{Re}g$ меньше чем на $\epsilon$. Точно так построим $h_2(q_1,\dots ,q_k)$ для $\mathrm{Im}g$. Тогда для $h=h_1+i{h}_2$ имеем
$$\begin{array}{c}{\int }_{\mathrm{\Omega }}|g-h{|}^2={\int }_{\mathrm{\Omega }}{|\mathrm{Re}g-h_1|}^2+{\int }_{\mathrm{\Omega }}{|\mathrm{Im}g-h_2|}^2\leqq \mathrm{M}{\epsilon }^2+{\mathrm{M}}^2=2{\mathrm{M}}^2,\\ \Vert g-h\Vert \leqq \sqrt{2\mathrm{M}}\epsilon .\end{array}$$

Если дано $\delta >0$, то положим $\epsilon <\frac{\delta }{\sqrt{2\mathrm{M}}}$, и тогда $\Vert g-h\Vert <\delta$.
Назовем классом $H$ класс всех функций $h=h(q_1,\dots ,q_k)$, которые принимают только конечное число различных значений, именно лишь значения вида $\rho +l\sigma$, где $\rho$ и $\sigma$ — рациональные числа, и каждое такое значение, кроме нуля, лишь на множестве конечной меры. Построенные выше $h$ принадлежат классу $H$ и, следовательно, $H$ всюду плотен в $G$, а следовательно также и в $F_8$.

Пусть II — множество с конечной мерой Лебега. Определим функ. цию $f_{\mathrm{\Pi }}=f_{\mathrm{II}}(q_1,\dots ,q_k)$ :

Класс $H$, очевидно, состоит из всех
$$\sum _{s=1}^t({\rho }_s+i{\sigma }_s)f_{{\mathrm{\Pi }}_s}(t=1,2,\dots ;{\rho }_s,{\sigma }_s\text{ рациональны }).$$

Найем теперь последовательность П-множеств ${\mathrm{\Pi }}^{(1)},{\mathrm{\Pi }}^{(2)},\dots$ со следующим свойтвом: Для каждого П-множества и для каждого $\epsilon >0$ существует ${\mathrm{\Pi }}^{(n)}$ такое, что мера множества всех точек, принадлежащих II, но не ${\mathrm{II}}^{(n)}$, или принадлежащих ${\mathrm{II}}^{(n)}$, но не II (такое множество называют разностью множеств II и ${\mathrm{\Pi }}^{(n)}$ ), меньше $\epsilon$. Если мы имеем такую последовательность, то совокупность элементов вида
$$\sum _{s=1}^t(P_s+i{\sigma }_s)f_{\mathrm{\Pi }\left(n_s\right)}$$
$(t=1,2,\dots ,{\rho }_s$ и ${\sigma }_s$ рациональны, $n_s=1,2,\dots )$ всюду плотна в $H$ : Действительно, если мы выберем для каждого I ${}_s$ свое II ${}^{\left({}^n\right)}$ соответственно предыдущему рассуждению, то
$$\begin{array}{l}{\int }_{\mathcal{Q}}{|\sum _{s=1}^t({\rho }_s+i{\sigma }_s)f_{{\mathrm{\Pi }}_s}-\sum _{s=1}^t({\rho }_s+l{\sigma }_s)f_{\mathrm{\Pi }\left(n_s\right)}|}^2\leqq \\ \leqq \sum _{s=1}^t{\int }_{\alpha }{|({\rho }_s+i{\sigma }_s)f_{{\mathrm{II}}_s}-({\rho }_s+l{\sigma }_s)f_{\mathrm{\Pi }}\left(n_s\right)|}^2=\\ =\sum _{s=1}^t(p_s^2+{\sigma }_s^2){\int }_Q{|f_{\mathrm{II}}-f_{\mathrm{II}}\left(n_s\right)|}^2=\\ =\sum _{s=1}^t({\rho }_s^2+{\sigma }_s^2)\cdot \left(\text{ мера разности множеств }{\mathrm{\Pi }}_s\text{ и }{\mathrm{\Pi }}^{({}^n}\right))<\sum _{s=1}^t({\rho }_s^2+{\sigma }_s^2)\cdot \epsilon \text{. }\end{array}$$

Если задано некоторое $\delta >0$, то уже
$$\epsilon =\frac{{\delta }^2}{\sum _{s=1}^t({\rho }_s^2+{\sigma }_s^2)}$$

дает нам
$$\Vert \sum _{s=1}^t({\rho }_s+i{\sigma }_s)f_{\mathrm{II}}-\sum _{s=1}^t({\rho }_s+i{\sigma }_s)f_{\mathrm{In}}\left(n_s\right)\Vert <\delta .$$

Но элементы $\sum _{s=1}^t(p_s+i{\sigma }_s)f_{\mathrm{n}}\left(n_s\right)$ образуют последовательность, если мы их соответствующим образом упорядочим. Это можно сделать

следующим образом. Обозначая общий знаменатель всех $p_1,{\sigma }_1,\dots$ $\dots {\rho }_t,{\sigma }_t$ через $\tau$, а новые числители через ${\rho }_1^{\prime },{\sigma }_1^{\prime },\dots ,p_t^{\prime }$, ${\sigma }_t^{\prime }$, получим
$$\frac{1}{\tau }\sum _{s=1}^t({\rho }_s^{\prime }+i{\sigma }_s^{\prime })f_{\mathrm{II}}\left(n_s\right),$$

где $t,\tau =1,2,\dots ;{\rho }_s^{\prime },{\sigma }_s^{\prime }=0,\pm 1,\pm 2,\dots ,n_s=1,2,\dots$ для $s=1,2,\dots ,t$. Задача упорядочения этих функций в последовательность сводится к упорядочению их целочисленных номеров $t,\tau$, ${\rho }_1^{\prime },{\sigma }_1^{\prime },\dots ,{\rho }_t^{\prime },{\sigma }_t^{\prime },n_1,\dots ,n_t$. Среди этих комплексов чисел сгруппируем вместе те, для которых положительное целое
$$I=t+\tau +\left|{\rho }_1^{\prime }\right|+\dots +\left|{\rho }_t^{\prime }\right|+\left|{\sigma }_t^{\prime }\right|+n_1+\dots +n_t$$

имеет одно значение. Затем расставим эти группы в порядке возрастания значения индекса группы $I$. Каждая из этих групп (с фиксированным I) состоит, очевидно, из конечного числа рассматриваемых комплексов. Если мы теперь расставим элементы в каждой из этих конечных совокупностей каким-либо образом, то мы в самом деле получим простую последовательность всех указанных комплексов.

Чтобы иметь возможность описать введенную последовательность множеств ${\mathrm{I}}^{(1)},{\mathrm{II}}^{(2)},\dots$, воспользуемся тем, что для каждого множества II с конечной мерой Лебега М и для каждого $\delta >0$ существует открытое точечное множество II’, покрывающее II, но мера которого превосходит $M$ на величину $<\delta$ (см. литературу, указанную в прим. ${}^{52}$ ) на стр. 51 , а также ${}^{45}$ ) на стр. 41 , где определяется понятие «открытого точечного множества»). Но для каждого открыотличается от меры ${\mathrm{\Pi }}^{\prime }$ на величину < . Ясно, что все длины ребер этих кубов и все координаты их центров могут быть выбраны рациональными. Теперь легко видеть, что разностное множество ПІ и П\», определенное выше, имеет меру $<\delta +\delta =2\delta$ и, следовательно, для $\delta <\frac{\epsilon }{2}$ меру $<\epsilon$. Поэтому мы достигнем цели, если сумеем упорядочить в последовательность совокупности описанных выше кубов.

Эти совокупности кубов характеризуются числом кубов $n=$ $=1,2,\dots$, длиной ребер куба $x^{(v)}$ и координатами центральных точек ${\xi }_1^{(v)},\dots ,{\xi }_k^{(v)}(v=1,2,\dots ,n)$. Числа $x^{(v)},{\xi }_1^{(v)},\dots ,{\xi }_k^{(v)}$ рациональны. Пусть их общий знаменатель (для всех $u=1,2,\dots ,n$ ) есть $\eta =$ $=1,2,\dots$ а их числители суть
$${\mathit{x}}^{\prime (u)}=1,2,\dots ;{\xi }_1^{\prime (u)},\dots ,{\xi }_k^{\prime (u)}=0,\pm 1,\pm 2,\dots$$

Следовательно, совокупности кубов характеризуются комплексами чисел
$$n,\eta ,x^{\prime (1)},{\xi }_1^{\prime (1)},\dots ,{\xi }_k^{\prime (1)},\dots ,x_1^{\prime (n)},{\xi }_1^{(n)},\dots ,{\xi }_k^{\prime (n)}.$$

Если мы расставим их в порядке возрастания сумм
$$\begin{array}{rl}n+\eta +x^{\prime (1)}+\left|{\xi }_1^{\prime (1)}\right|+\dots +\left|{\xi }_k^{\prime (1)}\right|+& \dots +x^{\prime (n)}+\\ & +\left|{\xi }_1^{\prime (n)}\right|+\dots +\left|{\xi }_k^{\prime (n)}\right|,\end{array}$$

то мы получим простую последовательность, в точности так, как в предыдущем случае линеиных комбинаций функций.

Прежде чем продолжать, ответим на следующий вопрос: Дано $\mathfrak{R}$, удовлетворяющее $\mathit{A}.-\mathit{E}$. (с ${\mathit{C}}^{(\mathrm{\infty })})$; в каких подмножествах $\mathfrak{R}$ из $\mathfrak{R}$ $\mathit{A}$. — $\mathit{E}$. снова удовлетворяются (с теми же определениями $af,f\pm g$ и $(f,g))$ ?

Чтобы выполнялось $A.,\mathfrak{R}$ должно быть линейным многообразием. $\mathit{B}$. справедливо само по себе. Отложим на время $\mathit{C}$.: во всяком случае или ${\mathit{C}}^{(\mathit{n})}$, или ${\mathit{C}}^{(\mathrm{\infty })}$. имеют место. $\mathit{D}$. означает: если последовательность в $\mathfrak{M}$ удовлетворяет критерию сходимости Коши, то она имеет предел в $\mathfrak{M}$. Поскольку эта последовательность во всяком случае имеет свой предел в $\mathfrak{R}$, то $D$. означает просто, что этот предел должен принадлежать $\mathfrak{M}$. Это значит, что $\mathfrak{M}$ должно быть замкнутым. Условие $\mathit{E}$., как мы убедились при доказательстве теоремы 9., выполняется всегда. Следовательно, мы можем суммировать результат: $\mathfrak{M}$ должно .быть замкнутым линейным многообразием. Обратимся к ортонормированной системе, растягивающей $\mathfrak{M}$ (теорема 9.), ${\phi }_1,{\phi }_2,\dots$ Если она бесконечна, то, очевидно, имеет место ${\mathit{C}}^{(\mathrm{\infty })}$. и $\mathfrak{M}$ изоморфно ${\mathfrak{R}}_{\mathrm{\infty }}$, т. е. самому $\mathfrak{R}$; если она заканчивается некоторым ${\phi }_n$, то имеет место (например, как следствие теоремы $3^{(n)}$.) ${\mathit{C}}^{(n)}$, т. е. $\mathfrak{R}$ изоморфно ${\mathfrak{R}}_n$.

Но поскольку $\mathit{D}$. и $\mathit{E}$. имеют место в $\mathfrak{M}$ во всяком случае, значит они справедливы в каждом ${\mathfrak{R}}_n$. Значит, они также следуют из $\mathit{A}.-{\mathit{C}}^{(n)}.$.

Как видно, мы избежали прямой проверки выполнения свойств $\mathit{A}$. $-\mathit{E}$. (с ${\mathit{C}}^{(n)}$. или ${\mathit{C}}^{(\mathrm{\infty })}$ ) в ${\mathfrak{R}}_n$ или ${\mathfrak{R}}_{\mathrm{\infty }}$ за счет искусственных логических доводов. Однако и непосредственное установление этих свойств не представляет существенных затруднений. Предоставим это доказательство читателю.

Остается еще показать, что $D$. и $\mathit{E}$. независимы от $A.-C^{(\mathrm{\infty })}$.. Как мы только что видели, любое ли́нейное многообразие в ${\mathfrak{R}}_{\mathrm{\infty }}$ удовлетворяет $\mathit{A}.,\mathit{B}.,\mathit{E}$. и ${\mathit{C}}^{(\mathit{n})}$. или ${\mathit{C}}^{(\mathrm{\infty })}$; но если оно не замкнуто, то $D$. не выполняется. В этом случае в нем должно иметь место $C^{(\mathrm{\infty })}$., поскольку из ${\mathit{C}}^{(n)}$. прямо следует $\mathit{D}$. Н Нетрудно теперь привести пример такого незамкнутого линейного множества. Пусть ${\phi }_1,{\phi }_2,\dots$ есть ортонормированная система, тогда элементы $\sum _{u=1}^N{x}_u{\phi }_u(N=1,2,\dots$; $x_1,\dots ,x_N$ произвольны) образуют линейное многообразие, однако незамкнутое, потому что $\sum _{u=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{v}{\phi }_u(\sum _1^{\mathrm{\infty }}{\left(\frac{1}{u}\right)}^2$ конечна!) является предельной точкой, но не элементом множества
$$(\sum _{u=1}^N\frac{1}{u}{\phi }_u\to \sum _{u=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{u}{\phi }_1\text{ при }N\to \mathrm{\infty }).$$

Следовательно, D. не зависит от $A.-{\mathit{C}}^{(\mathrm{\infty })}$. и $\mathit{E}$.
Рассмотрим далее все комплексные функции $x(\alpha )$ с непрерывным параметром $\alpha$ : $-\mathrm{\infty }<\alpha <+\mathrm{\infty }$. Кроме того, предположим, что $x(\alpha )eq0$ возможно записать в виде последовательности такой, что сумма $\sum _{\alpha }|x(\alpha ){|}^2$, распространенная по членам этой последовательности, будет конечной 55 ). Все функции $x(\alpha )$ образуют пространство ${\mathfrak{R}}_{\text{cont }}$. Поскольку для любых двух функций $x(\alpha ),y(\alpha )$ этого пространства $x(\alpha )$ или $y(\alpha )eq0$ только для двух $\alpha$-последовательностей и поскольку мы можем объединить эти две последовательности в одну, то $x(\alpha )=y(\alpha )=0$ вездє, кроме некоторой $\alpha$-последовательности ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots$ Следовательно, мы должны обсудить только значения $x_n=x\left({\alpha }_n\right),y_n=y\left({\alpha }_n\right)$ для всех $n=1,2,\dots$ Поэтому, пока мы рассматриваем только две точки ${\mathfrak{R}}_{\text{cont }}$, все будет происходить так же, как и в ${\mathfrak{R}}_{\mathrm{\infty }}$. Но значит $\mathit{A}$. и $\mathit{B}$., выполняются в ${\mathfrak{R}}_{\text{cont }}$ в точности так же, как и в ${\mathfrak{R}}_{\mathrm{\infty }}{}^{56}$ ). То же будет справедливо и для $k(k=1,2,\dots )$ точек ${\mathfrak{R}}_{\text{cont }}$, поэтому ${\mathit{C}}^{(\mathrm{\infty })}$. также имеет место в ${\mathfrak{R}}_{\text{cont }}$. Более того, все остается верным даже для последовательности точек ${\mathfrak{R}}_{\text{cont }}$. Рассмотрим $x_1(\alpha ),x_2(\alpha ),\dots$, причем $\alpha$, для которых $x_n(\alpha )eq0$, образуют последовательность для каждого $n=1,2,\dots :{\alpha }_1^{(n)},{\alpha }_2^{(n)},\dots$ Эти последовательности образуют все вместе двоиную последовательность ${\alpha }_m^{(n)}(n,m=1,2,\dots )$, которая может быть записана как простая последовательность ${\alpha }_1^{(1)},{\alpha }_2^{(1)},{\alpha }_1^{(2)},{\alpha }_3^{(1)},{\alpha }_2^{(2)},{\alpha }_1^{(3)},\dots$ Следовательно, и $D$. выполняется в ${\mathfrak{R}}_{\text{cont }}$ так же, как и в ${\mathfrak{R}}_{\mathrm{\infty }}$. Иначе обстоит дело с $\mathit{E}$.. В этом случае играют роль все точки (ведь все они должны быть предельными точками соответствующих последовательностей), и поэтому мы не можем делать заключение $о{\mathrm{\Re }}_{\text{cont }}$ на

в5) Хотя $\alpha$ и меняется непрерывно, это будет сумма, а не интеграл, поскольку ведь в сумме фигурирует только некоторая последовательность этих $\alpha !$
${}^{\text{вб) }}$ Естественным образом мы определяем $(x(\alpha ),y(\alpha ))$ как $\sum _{\alpha }x(\alpha )\overline{y(\alpha )}$.

основании ${\mathrm{\Re }}_{\mathrm{\infty }}$. И это условие действительно не выполняется, потому что не будет справедливым одно из его следствий: существует ортонормальная система, которая не может быть записана как последовательность (вопреки теореме $3^{(\mathrm{\infty })}$ ).
Пусть
$$x_{\beta }(\alpha )=\left\{\begin{array}{l}1\text{ для }\alpha =\beta \\ 0\text{ для }\alpha eq\beta \end{array}\right\};$$

для каждого $\beta x_{\beta }(\alpha )$ будет элементом ${\mathrm{\Re }}_{\text{cont }}$, и $x_{\beta }(\alpha )$ образуют ортонормированную систему. Но в виде последовательности их можно было бы записать, только если бы это было возможно для всех $+\mathrm{\infty }>\beta >-\mathrm{\infty }$, между тем хорошо известно, что это невозможно ${}^{57}$ ). Следовательно, $\mathit{E}$. также независимо от $\mathit{A}.-\mathit{C}.{}^{(\mathrm{\infty })}$, $\mathit{D}$. .
(В заключение следует отметить фундаментальную разницу между пространством функций $f(x)$ с конечным интегралом ${\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}|f(x){|}^{2}dx$ и пространством функций $x(\alpha )$ с конечной суммой $\sum _a^{-\mathrm{\infty }}|x(\alpha ){|}^2$. Мы могли бы, конечно, с равным правом называть первое пространством всех $x(\alpha )$ с конечным ${\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}d\alpha |x(\alpha ){|}^2$ ! Вся разница — это только замена $\int \dots d\alpha$ на $\sum _{\alpha }\dots$, и, несмотря на это, первое пространство есть $F_8$, оно удовлетворяет, следовательно, условиям $\mathit{A}$. — $\mathit{E}$, и изоморфно пространству ${\mathfrak{R}}_{\mathrm{\infty }}$, в то время как второе $-{\mathrm{\Re }}_{\text{cont }}$ нарушает условие $\mathit{E}$. и отличается от ${\mathfrak{R}}_{\mathrm{\infty }}$ существенным образом. И тем не менее оба пространства тождественны и отличаются только определением длины !)