Мы еще должны доказать утверждение 2. из I. 4: что $F_{Z}, F_{\mathcal{Q}}$ действительно выполняют условия $\boldsymbol{A}$. – $\boldsymbol{E}$.. При этом достаточно рассмотреть $F_{8}$, так как мы уже показали в II. 2 , что $\Re$ с $\boldsymbol{A},-\boldsymbol{E}$. по всем своим своиствам идентично с $\mathfrak{R}_{\infty}$, т. е. с $F_{Z}$, так что A.-E. должны выполняться и для $F_{Z}$. Кроме того, мы докажем
51) Этот раздел не является необходимым для понимания дальнейших частей текста.
упомянутую в II. 2 независимость условий $D$., $\boldsymbol{E}$. от $\boldsymbol{A} .-\boldsymbol{C}^{(\infty)}$. и тот факт, что они следуют из $\boldsymbol{A} .-\boldsymbol{C}^{(\boldsymbol{n})}$, , т. е. что они имеют место в $\Re_{n}$. Эти три чисто математических вопроса составляют содержание этого раздела.

Начнем с доказательства выполнения свойств $A .-E$. в $F_{2}$. Для этого нам придется опереться на лебегово понятие интеграла, относительно обоснования которого мы лишь сощлемся на специальную литературу по этому вопросу ${ }^{52}$ ). (Интеграл Лебега важен нам только в данном случае, и знакомство с ним не является необходимым для чтения следующих глав.)

B I. 4 мы ввели $Q$ как $k$-мерное пространство элементов $q_{1}, \ldots, q_{k}$ и $F_{Q}$ как множество всех функций $f\left(q_{1}, \ldots, q_{k}\right)$ с конечным $\int \ldots \int\left|f\left(q_{1}, \ldots, q_{k}\right)\right|^{2} d q_{1} \ldots d q_{k}$; при этом все $q_{1}, \ldots, q_{k}$ могут меняться от $-\infty$ до $+\infty$. Впрочем, все наши рассуждения останутся справедливыми, и даже вывод будет по большей части дословно тот же, и если бы мы ограничили интервалы изменения $q_{1}, \ldots, q_{k}$ (так чтобы $\Omega$ было, например, полупространством, внутренностью куба, внутренностью сферы или внешностью этих фигур и т. д.), и даже если бы мы выбрали в качестве $Q$ искривленную поверхность (как, например, поверхность сферы и т. п.). Но для того, чтобы не потеряться в ненужных усложнениях (их сможет без затруднений рассмотреть читатель по образцу нашего типичного доказательства), мы ограничимся указанным простейшии случаем. Итак, пройдем последовательно $\boldsymbol{A} .-\boldsymbol{E}$. одно за другим.

Относительно A.. Мы должны показать, что если $f$ и $g$ принадлежат $F$, то $a f, f \pm g$ также принадлежат ему. Иными словами, если конечны
\[
\int_{\Omega}|f|^{2}, \int_{\Omega}|g|^{2}
\]
(мы ввели сокращенное обозначение для $\int \underset{\alpha}{\ldots \int}\left|f\left(q_{1}, \ldots, q_{k}\right)\right|^{2} \times$ $\times d q_{1} \ldots d q_{k}$ и $\int \ldots \int\left|g\left(q_{1}, \ldots, q_{k}\right)\right|^{2} d q_{1} \ldots d q_{k}$, поскольку это не может привести к путанице), то $\int_{\Omega}|a f|^{2}=|a|^{2} \int_{\Omega}|f|^{2}, \int_{\Omega}|f \pm g|^{2}$
52) Hапример, Carathéodory, Vorlesungen über reelle Funktionen, Leipzig, 1927, в особенности стр. 237-274; K a m k e, Das Lebesguesche Integral, Leipzig, 1925.
[Из русских руководств по интегралу Лебега можно рекомендовать читателю, например, книгу Натансона, Теория функций вещественной переменной, Гостехиздат, 1950 г., или соответствующую главу в V томе Курса высшей математики В. И. Смирнов а, Гостехиздат, 1947 г. (Прим. ред.)]
4*

[гл. II
также конечны. Первое утверждение тривиально. Вследствие того, что $\left.|f \pm g|^{2}=|f|^{2}+|g|^{2} \pm 2 \operatorname{Re}(f \bar{g})^{53}\right)$, справедливость второго будет установлена, как только будет показано, что интеграл $\int_{\Omega}|f \cdot \bar{g}|=\int_{\Omega}|f| \cdot|g|$ конечен. Однако, поскольку $|f| \cdot|g| \leqq$ $\leqq \frac{1}{2}\left(|f|^{2}+|g|^{2}\right.$ ), то последнее следует непосредственно из исходной гипотезы.

Относительно B. . Мы определим $(f, g)$ как $\int_{\Omega} f \bar{g}$. Этот интеграл, как мы только что убедились, сходится абсолютно. Все свойства, постулированные в $\boldsymbol{B}$., очевидны, кроме последнего: что $(f, f)=0$ влечет за собой $f \equiv 0$. Теперь $(f, f)=0$ означает, что $\int_{\Omega}|f|^{2}=0$. Следовательно, множество точек, на котором $|f|^{2}>0$, т. е. $f\left(q_{1}, \ldots, q_{k}\right)
eq 0$, должно иметь лебегову меру нуль. Если мы теперь будем считать две функции $f$ и $g$, для которых $f
eq g$ [т. е. $f\left(q_{1}, \ldots, q_{k}\right)
eq g\left(q_{1}, \ldots, q_{k}\right)$ ] имеет место только на множестве $q_{1}, \ldots, q_{k}$ лебеговой меры нуль, функциями несущественно различными ${ }^{54}$ ), то мы можем сделать тогда вывод, что $f \equiv 0$.

Относительно $C$. Пусть $O_{1}, \ldots, O_{m}-m$ областей в $Q$, никакие две из которых не имеют ни одной общей точки, и пусть мера Jебега каждой из них больше нуля, но конечна. Пусть $f_{l}\left(q_{1}, \ldots, q_{k}\right)$ есть 1 в $O_{l}$ и нуль повсюду, кроме $O_{l}$. Поскольку $\int_{\Omega}\left|f_{l}\right|^{2}$ равен мере $O_{l}$, то $f_{l}$ принадлежит $F_{\Omega}(l=1, \ldots, n)$. Эти $f_{1}, \ldots, f_{n}$ линейно независимы. Действительно, $a_{1} f_{1}+\ldots+a_{n} f_{n} \equiv 0$ означает что функция в левой части не исчезает лишь на множестве меры нуль. Следовательно, она имеет корни в каждой $O_{l}$, но поскольку она постоянна и равна $a_{l}$ в $O_{l}$, то $a_{l}=0, l=1, \ldots, n$. Поскольку это построение проходит для всех $n$, то должно иметь место $C^{(\infty)}$.

Oтносительно D.. Пусть последовательность $f_{1}, \ldots, f_{n}$ удовлетворяет критерию сходимости Коши, т. е. для каждого $\varepsilon>0$ существует некоторое $N=N(\varepsilon)$, такое, что $\int\left|f_{m}-f_{n}\right|^{2}<\varepsilon$ при $m, n \geqq N$. Выберем $n_{1}=N\left(\frac{1}{8}\right) ; \quad n_{2} \geqq n_{1}, N\left(\frac{1}{8^{2}}\right) ; \quad n_{3} \geqq n_{1}, n_{2}$,
53) Вообще
\[
\begin{aligned}
|x+y|^{2}=(x+y)(\bar{x}+\bar{y})=x \bar{x}+y \bar{y}+(x \bar{y}+\overline{x y}) & = \\
& =|x|^{2}+|y|^{2}+2 \operatorname{Re}(\overline{x y}) .
\end{aligned}
\]
54) Это обычное в теории интеграла Лебега определение.

$N\left(\frac{1}{8^{3}}\right) ; \ldots$ Тогда $n_{1} \leqq n_{2} \leqq \ldots ; n_{
u}, n_{v+1} \geqq N\left(\frac{1}{8^{v}}\right)$; следовательно, $\int_{\alpha}\left|f_{n_{
u+1}}-f_{n_{y}}\right|^{2}<\left(\frac{1}{8^{
u}}\right)$. Рассмотрим теперь множество $P^{(v)}$ всех точек, для которых $\left|f_{n_{v+1}}-f_{n_{v}}\right|>\frac{1}{2^{v}}$. Если его лебегова мера равна $\mu^{(v)}$, то
\[
\int_{\mathcal{\Omega}}\left|f_{n_{
u+1}}-f_{n_{
u}}\right|^{2} \geqq \mu^{(
u)}\left(\frac{1}{2^{
u}}\right)^{2}=\frac{\mu^{(
u)}}{4^{
u}}, \quad \frac{\mu^{(
u)}}{4^{
u}}<\frac{1}{8^{
u}}, \quad \mu^{(
u)}<\frac{1}{2^{
u}} .
\]

Рассмотрим также множество $Q^{(
u)}$, возникающее при объединении $P^{(v)}, P^{(v+1)}, P^{(
u+2)}, \ldots$. Его мера Лебега
\[
\leqq \mu^{(v)}+\mu^{(v+1)}+\mu^{(v+2)}+\ldots<\frac{1}{2^{v}}+\frac{1}{2^{v+1}}+\frac{1}{2^{v+2}}+\ldots=\frac{1}{2^{v-1}} .
\]

Вне $Q^{(v)}$ выполняется
\[
\begin{aligned}
\left|f_{n_{
u+1}}-f_{n_{
u}}\right|<\frac{1}{2^{v}} ;\left|f_{n_{
u+2}}-f_{n_{
u+1}}\right| & <\frac{1}{2^{
u+1}} ; \\
& \left|f_{n_{
u+3}}-f_{n_{
u+2}}\right|<\frac{1}{2^{v+2}}, \ldots
\end{aligned}
\]

Следовательно, вообще для $
u \leqq
u^{\prime} \leqq
u^{\prime \prime}$
\[
\begin{array}{l}
\left|f_{n_{v^{\prime}}}-f_{n_{
u^{\prime}}}\right| \leqq\left|f_{n_{y^{\prime}+1}}-f_{n_{v^{\prime}}}\right|+\left|f_{n_{
u^{\prime}+2}}-f_{n_{
u^{\prime}+1}}\right|+\ldots \\
\ldots+\left|f_{n_{v^{\prime \prime}}}-f_{n_{v^{n}}-1}\right|<\frac{1}{2^{v^{\prime}}}+\frac{1}{2^{v^{\prime}+1}}+\ldots+\frac{1}{2^{v^{n}-1}}<\frac{1}{2^{v^{\prime}-1}} . \\
\end{array}
\]

При $v^{\prime} \rightarrow \infty$ эта величина стремится к нулю, независимо от $v^{\prime \prime}$, т. е. последовательность $f_{n_{1}}, f_{n_{2}}, \ldots$ удовлетворяет условию сходимости Коши, если $q_{1}, \ldots, q_{k}$ не лежит в $Q^{(
u)}$. Поскольку (при фиксированных $q_{1}, \ldots, q_{k}$ ) речь идет о числах, эта последовательность также будет сходиться. Значит, мы можем утверждать обратное: Если последовательность $f_{n_{1}}, f_{n_{2}}, \ldots$ не сходится при каких-либо значениях $q_{1}, \ldots, q_{k}$, то они лежат в $Q^{(
u)}$. Назовем $Q$ множество всех значений $q_{1}, \ldots, q_{k}$, для которых нет сходимости. Тогда $Q$ есть подмножество $Q^{(v)}$ и его мера не больше, чем мера $Q^{(
u)}$, т. е. $<\frac{1}{2^{
u-1}}$. Это справедливо для любых у, так как $Q$ определено независимо от $
u$. Следовательно, $Q$ имеет меру Лебега 0 . Поэтому ничего не случится, если, например, положить все $f_{n}{ }^{3} Q$ равными нулю (ср. прим. ${ }^{54}$ ) на стр. 52). Но тогда $f_{n_{1}}, f_{n_{2}}, \ldots$ будет сходиться и в $Q$, т. е. везде.

Таким образом, мы описали подпоследовательность $f_{n_{1}}, f_{n_{2}}, \ldots$ последовательности $f_{1}, f_{2}, \ldots$, сходящуюся в каждой точке $q_{1}, \ldots, q_{k}$ (нет необходимости, чтобы это было верно для всей $f_{1}, f_{2}, \ldots$ ). Пусть предел $f_{n_{1}}, f_{n_{2}}, \ldots$ есть $f=f\left(q_{1}, \ldots, q_{k}\right)$. Мы должны, стало быть, показать, что: 1. $f$ принддлежит $F_{Q}$, т. е. $\int_{\Omega}|f|^{2}$ конечен. 2. $f$ есть предел $f_{n_{1}}, f_{n_{2}}, \ldots$ не только в смысле сходимости при каждом $q_{1}, \ldots, q_{k}$, но также и в смысле «сходимости по длине» в пространстве Гильберта, т. е. $\left\|f-f_{n_{y}}\right\| \rightarrow 0$ или $\int_{\Omega}\left|f-f_{n_{v}}\right|^{2} \rightarrow 0$. 3. В последнем смысле $f$-это даже предел всей последовательности $f_{1}, f_{2}, \ldots$, т. е. $\left\|f-f_{n}\right\| \rightarrow 0$, или $\int_{\Omega}\left|f-f_{n}\right|^{2} \rightarrow 0$.

Выберем $\varepsilon>0$ и $
u_{0}$ такое, что $n_{v_{0}} \geqq N(\varepsilon)$ (например, $\frac{1}{8^{v_{0}}} \leqslant \varepsilon$ ), и $
u \geqq
u_{0}, n \geqq N(\mathrm{~s})$. Тогда $\int_{\Omega}\left|f_{n_{v}}-f_{n}\right|^{2}<\varepsilon$. Если мы устремим теперь $
u \rightarrow \infty$, то подинтегральное выражение будет стремиться к $\left|f-f_{n}\right|^{2}$, следовательно (в соответствии с теоремой сходимости интеграла Лебега, ср. прим. $\left.{ }^{52}\right)$ на стр. 51), $\int_{\Omega}\left|f-f_{n}\right|^{2} \leqq \varepsilon$. Соответственно, во-первых, интеграл $\int_{\Omega}\left|f-f_{n}\right|^{2}$ будет конечен, т. е. $f-f_{n}$ будет принадлежать $F_{8}$; а так как $f_{n}$ принадлежит $F_{\Omega}$, то и $f$ будет принадлежать $F_{\Omega}$ также; таким образом 1. доказано. Во-вторых, из полученного неравенства следует, что $\int_{\Omega}\left|f-f_{n}\right|^{2} \rightarrow 0$ при $n \rightarrow \infty$ и, значит, 2. и 3. доказаны тоже.

Oтносительно E.. Мы должны посмотреть последовательность функций $f_{1}, f_{2}, \ldots$, всюду вплотную в $F_{2}$.

Пусть $\mathcal{Q}_{1}, Q_{2}, \ldots$ – последовательность областей в $Q$, покрывающих всю $Q$, каждая из которых имеет конечную меру. (Пусть, например, $\Omega_{N}$ есть шар радиуса $N$ с центром в начале координат.) Пусть $f=f\left(q_{1}, \ldots, q_{k}\right)$ – некоторыи элемент $F_{2}$. Определим $f_{N}=$ $=f_{N}\left(q_{1}, \ldots, q_{k}\right)$ для каждого $N=1,2, \ldots$ :

—————————————————————-
0006ru_fizik_kvant_book11_page-0056.jpg.txt

3]
ОТСТУПЛЕНИЕ: ОБ УСЛОвиях $A,-E$.
55
При $N \rightarrow \infty, f_{N}\left(q_{1}, \ldots, q_{k}\right) \rightarrow f\left(q_{1}, \ldots, q_{k}\right)$ (начиная с некоторого $N$ достигается даже равенство), следовательно, $\left|f-f_{N}\right|^{2} \rightarrow 0$. Далее, $f-f_{N}$ равняется 0 или $f$, и поэтому $\left|f-f_{N}\right|^{2} \leqq|f|^{2}$. Следовательно, интегралы $\int_{\Omega}\left|f-f_{N}\right|^{2}$ мажорируются (конечным!) интегралом $\int_{\Omega}|f|^{2}$ не зависящим от $n$. Поскольку подынтегральные выражения стремятся к нулю, то же вєрно относительно интегралов (ср. цитированную выше теорему сходимости): $\int_{\Omega}\left|f-f_{N}\right|^{2} \rightarrow 0,\left\|f-f_{N}\right\| \rightarrow 0$.

Назовем классом $G$ класс всех функций $g=g\left(q_{1}, \ldots, q_{k}\right)$, для которых множество всех точек, где $g
eq 0$, имеет конечную меру и которые удовлетворяют во всем пространстве неравенству $|g| \leqq C$ с произвольным, но фиксированным $C$. Все определенные выше $f_{N}$ принадлежат $G$. Следовательно, $G$ всюду плотен в $F_{2}$.

Пусть $g$ принадлежит $G$ и $\varepsilon>0$. Пусть мера множества, где $g
eq 0$, есть $M$, а верхняя граница $|g|$ есть $C$. Выберем цепочку рациональных чисел $-C<p_{1}<p_{2}<\ldots<p_{t}<C$ таким образом, чтобы было $\rho_{1}<-C+\varepsilon, \rho_{2}<p_{1}+\varepsilon, \ldots, \rho_{t}<p_{t-1}+\varepsilon, C<p_{t}+\varepsilon$, что легко может быть сделано. Заменим теперь каждое значение $\operatorname{Re} g\left(q_{1}, \ldots, q_{k}\right)$ на ближайшее $p_{s}(s=1,2, \ldots, t)$, оставляя лишь нуль по-прежнему нулем. Тогда мы получим некую новую функцию $h_{1}\left(q_{1}, \ldots, q_{k}\right)$, которая повсюду отличается от $\operatorname{Re} g$ меньше чем на $\varepsilon$. Точно так построим $h_{2}\left(q_{1}, \ldots, q_{k}\right)$ для $\operatorname{Im} g$. Тогда для $h=h_{1}+i h_{2}$ имеем
\[
\begin{array}{c}
\int_{\Omega}|g-h|^{2}=\int_{\Omega}\left|\operatorname{Re} g-h_{1}\right|^{2}+\int_{\Omega}\left|\operatorname{Im} g-h_{2}\right|^{2} \leqq \mathrm{M} \varepsilon^{2}+\mathrm{M}^{2}=2 \mathrm{M}^{2}, \\
\|g-h\| \leqq \sqrt{2 \mathrm{M}} \varepsilon .
\end{array}
\]

Если дано $\delta>0$, то положим $\varepsilon<\frac{\delta}{\sqrt{2 \mathrm{M}}}$, и тогда $\|g-h\|<\delta$.
Назовем классом $H$ класс всех функций $h=h\left(q_{1}, \ldots, q_{k}\right)$, которые принимают только конечное число различных значений, именно лишь значения вида $\rho+l \sigma$, где $\rho$ и $\sigma$ – рациональные числа, и каждое такое значение, кроме нуля, лишь на множестве конечной меры. Построенные выше $h$ принадлежат классу $H$ и, следовательно, $H$ всюду плотен в $G$, а следовательно также и в $F_{8}$.

Пусть II – множество с конечной мерой Лебега. Определим функ. цию $f_{\mathrm{\Pi}}=f_{\mathrm{II}}\left(q_{1}, \ldots, q_{k}\right)$ :

Класс $H$, очевидно, состоит из всех
\[
\sum_{s=1}^{t}\left(\rho_{s}+i \sigma_{s}\right) f_{\Pi_{s}} \quad\left(t=1,2, \ldots ; \rho_{s}, \sigma_{s} \text { рациональны }\right) .
\]

Найем теперь последовательность П-множеств $\Pi^{(1)}, \Pi^{(2)}, \ldots$ со следующим свойтвом: Для каждого П-множества и для каждого $\varepsilon>0$ существует $\Pi^{(n)}$ такое, что мера множества всех точек, принадлежащих II, но не $\mathrm{II}^{(n)}$, или принадлежащих $\mathrm{II}^{(n)}$, но не II (такое множество называют разностью множеств II и $\Pi^{(n)}$ ), меньше $\varepsilon$. Если мы имеем такую последовательность, то совокупность элементов вида
\[
\sum_{s=1}^{t}\left(P_{s}+i \sigma_{s}\right) f_{\Pi\left(n_{s}\right)}
\]
$\left(t=1,2, \ldots, \rho_{s}\right.$ и $\sigma_{s}$ рациональны, $\left.n_{s}=1,2, \ldots\right)$ всюду плотна в $H$ : Действительно, если мы выберем для каждого I $_{s}$ свое II $^{\left({ }^{n}\right)}$ соответственно предыдущему рассуждению, то
\[
\begin{array}{l}
\int_{\mathcal{Q}}\left|\sum_{s=1}^{t}\left(\rho_{s}+i \sigma_{s}\right) f_{\mathrm{\Pi}_{s}}-\sum_{s=1}^{t}\left(\rho_{s}+l \sigma_{s}\right) f_{\Pi\left(n_{s}\right)}\right|^{2} \leqq \\
\leqq \sum_{s=1}^{t} \int_{\alpha}\left|\left(\rho_{s}+i \sigma_{s}\right) f_{\mathrm{II}_{s}}-\left(\rho_{s}+l \sigma_{s}\right) f_{\mathrm{\Pi}}\left(n_{s}\right)\right|^{2}= \\
=\sum_{s=1}^{t}\left(p_{s}^{2}+\sigma_{s}^{2}\right) \int_{Q}\left|f_{\mathrm{II}}-f_{\mathrm{II}}\left(n_{s}\right)\right|^{2}= \\
\left.=\sum_{s=1}^{t}\left(\rho_{s}^{2}+\sigma_{s}^{2}\right) \cdot\left(\text { мера разности множеств } \Pi_{s} \text { и } \Pi^{\left({ }^{n}\right.}\right)\right)<\sum_{s=1}^{t}\left(\rho_{s}^{2}+\sigma_{s}^{2}\right) \cdot \varepsilon \text {. } \\
\end{array}
\]

Если задано некоторое $\delta>0$, то уже
\[
\varepsilon=\frac{\delta^{2}}{\sum_{s=1}^{t}\left(\rho_{s}^{2}+\sigma_{s}^{2}\right)}
\]

дает нам
\[
\left\|\sum_{s=1}^{t}\left(\rho_{s}+i \sigma_{s}\right) f_{\mathrm{II}}-\sum_{s=1}^{t}\left(\rho_{s}+i \sigma_{s}\right) f_{\mathrm{In}}\left(n_{s}\right)\right\|<\delta .
\]

Но элементы $\sum_{s=1}^{t}\left(p_{s}+i \sigma_{s}\right) f_{\mathrm{n}}\left(n_{s}\right)$ образуют последовательность, если мы их соответствующим образом упорядочим. Это можно сделать

следующим образом. Обозначая общий знаменатель всех $p_{1}, \sigma_{1}, \ldots$ $\ldots \rho_{t}, \sigma_{t}$ через $\tau$, а новые числители через $\rho_{1}^{\prime}, \sigma_{1}^{\prime}, \ldots, p_{t}^{\prime}$, $\sigma_{t}^{\prime}$, получим
\[
\frac{1}{\tau} \sum_{s=1}^{t}\left(\rho_{s}^{\prime}+i \sigma_{s}^{\prime}\right) f_{\mathrm{II}}\left(n_{s}\right),
\]

где $t, \tau=1,2, \ldots ; \rho_{s}^{\prime}, \sigma_{s}^{\prime}=0, \pm 1, \pm 2, \ldots, n_{s}=1,2, \ldots$ для $s=1,2, \ldots, t$. Задача упорядочения этих функций в последовательность сводится к упорядочению их целочисленных номеров $t, \tau$, $\rho_{1}^{\prime}, \sigma_{1}^{\prime}, \ldots, \rho_{t}^{\prime}, \sigma_{t}^{\prime}, n_{1}, \ldots, n_{t}$. Среди этих комплексов чисел сгруппируем вместе те, для которых положительное целое
\[
I=t+\tau+\left|\rho_{1}^{\prime}\right|+\ldots+\left|\rho_{t}^{\prime}\right|+\left|\sigma_{t}^{\prime}\right|+n_{1}+\ldots+n_{t}
\]

имеет одно значение. Затем расставим эти группы в порядке возрастания значения индекса группы $I$. Каждая из этих групп (с фиксированным I) состоит, очевидно, из конечного числа рассматриваемых комплексов. Если мы теперь расставим элементы в каждой из этих конечных совокупностей каким-либо образом, то мы в самом деле получим простую последовательность всех указанных комплексов.

Чтобы иметь возможность описать введенную последовательность множеств $\mathrm{I}^{(1)}, \mathrm{II}^{(2)}, \ldots$, воспользуемся тем, что для каждого множества II с конечной мерой Лебега М и для каждого $\delta>0$ существует открытое точечное множество II’, покрывающее II, но мера которого превосходит $M$ на величину $<\delta$ (см. литературу, указанную в прим. ${ }^{52}$ ) на стр. 51 , а также ${ }^{45}$ ) на стр. 41 , где определяется понятие «открытого точечного множества»). Но для каждого открыотличается от меры $\Pi^{\prime}$ на величину < . Ясно, что все длины ребер этих кубов и все координаты их центров могут быть выбраны рациональными. Теперь легко видеть, что разностное множество ПІ и П\”, определенное выше, имеет меру $<\delta+\delta=2 \delta$ и, следовательно, для $\delta<\frac{\varepsilon}{2}$ меру $<\varepsilon$. Поэтому мы достигнем цели, если сумеем упорядочить в последовательность совокупности описанных выше кубов.

Эти совокупности кубов характеризуются числом кубов $n=$ $=1,2, \ldots$, длиной ребер куба $x^{(v)}$ и координатами центральных точек $\xi_{1}^{(v)}, \ldots, \xi_{k}^{(v)}(v=1,2, \ldots, n)$. Числа $x^{(v)}, \xi_{1}^{(v)}, \ldots, \xi_{k}^{(v)}$ рациональны. Пусть их общий знаменатель (для всех $
u=1,2, \ldots, n$ ) есть $\eta=$ $=1,2, \ldots$ а их числители суть
\[
\boldsymbol{x}^{\prime(
u)}=1,2, \ldots ; \xi_{1}^{\prime(
u)}, \ldots, \xi_{k}^{\prime(
u)}=0, \pm 1, \pm 2, \ldots
\]

Следовательно, совокупности кубов характеризуются комплексами чисел
\[
n, \eta, x^{\prime(1)}, \xi_{1}^{\prime(1)}, \ldots, \xi_{k}^{\prime(1)}, \ldots, x_{1}^{\prime(n)}, \xi_{1}^{(n)}, \ldots, \xi_{k}^{\prime(n)} .
\]

Если мы расставим их в порядке возрастания сумм
\[
\begin{aligned}
n+\eta+x^{\prime(1)}+\left|\xi_{1}^{\prime(1)}\right|+\ldots+\left|\xi_{k}^{\prime(1)}\right|+ & \ldots+x^{\prime(n)}+ \\
& +\left|\xi_{1}^{\prime(n)}\right|+\ldots+\left|\xi_{k}^{\prime(n)}\right|,
\end{aligned}
\]

то мы получим простую последовательность, в точности так, как в предыдущем случае линеиных комбинаций функций.

Прежде чем продолжать, ответим на следующий вопрос: Дано $\mathfrak{R}$, удовлетворяющее $\boldsymbol{A} .-\boldsymbol{E}$. (с $\left.\boldsymbol{C}^{(\infty)}\right)$; в каких подмножествах $\mathfrak{R}$ из $\mathfrak{R}$ $\boldsymbol{A}$. – $\boldsymbol{E}$. снова удовлетворяются (с теми же определениями $a f, f \pm g$ и $(f, g))$ ?

Чтобы выполнялось $A ., \mathfrak{R}$ должно быть линейным многообразием. $\boldsymbol{B}$. справедливо само по себе. Отложим на время $\boldsymbol{C}$.: во всяком случае или $\boldsymbol{C}^{(\boldsymbol{n})}$, или $\boldsymbol{C}^{(\infty)}$. имеют место. $\boldsymbol{D}$. означает: если последовательность в $\mathfrak{M}$ удовлетворяет критерию сходимости Коши, то она имеет предел в $\mathfrak{M}$. Поскольку эта последовательность во всяком случае имеет свой предел в $\mathfrak{R}$, то $D$. означает просто, что этот предел должен принадлежать $\mathfrak{M}$. Это значит, что $\mathfrak{M}$ должно быть замкнутым. Условие $\boldsymbol{E}$., как мы убедились при доказательстве теоремы 9., выполняется всегда. Следовательно, мы можем суммировать результат: $\mathfrak{M}$ должно .быть замкнутым линейным многообразием. Обратимся к ортонормированной системе, растягивающей $\mathfrak{M}$ (теорема 9.), $\varphi_{1}, \varphi_{2}, \ldots$ Если она бесконечна, то, очевидно, имеет место $\boldsymbol{C}^{(\infty)}$. и $\mathfrak{M}$ изоморфно $\mathfrak{R}_{\infty}$, т. е. самому $\mathfrak{R}$; если она заканчивается некоторым $\varphi_{n}$, то имеет место (например, как следствие теоремы $3^{(n)}$.) $\boldsymbol{C}^{(n)}$, т. е. $\mathfrak{R}$ изоморфно $\mathfrak{R}_{n}$.

Но поскольку $\boldsymbol{D}$. и $\boldsymbol{E}$. имеют место в $\mathfrak{M}$ во всяком случае, значит они справедливы в каждом $\mathfrak{R}_{n}$. Значит, они также следуют из $\boldsymbol{A} .-\boldsymbol{C}^{(n)} .$.

Как видно, мы избежали прямой проверки выполнения свойств $\boldsymbol{A}$. $-\boldsymbol{E}$. (с $\boldsymbol{C}^{(n)}$. или $\boldsymbol{C}^{(\infty)}$ ) в $\mathfrak{R}_{n}$ или $\mathfrak{R}_{\infty}$ за счет искусственных логических доводов. Однако и непосредственное установление этих свойств не представляет существенных затруднений. Предоставим это доказательство читателю.

Остается еще показать, что $D$. и $\boldsymbol{E}$. независимы от $A .-C^{(\infty)}$.. Как мы только что видели, любое ли́нейное многообразие в $\mathfrak{R}_{\infty}$ удовлетворяет $\boldsymbol{A} ., \boldsymbol{B} ., \boldsymbol{E}$. и $\boldsymbol{C}^{(\boldsymbol{n})}$. или $\boldsymbol{C}^{(\infty)}$; но если оно не замкнуто, то $D$. не выполняется. В этом случае в нем должно иметь место $C^{(\infty)}$., поскольку из $\boldsymbol{C}^{(n)}$. прямо следует $\boldsymbol{D}$. Н Нетрудно теперь привести пример такого незамкнутого линейного множества. Пусть $\varphi_{1}, \varphi_{2}, \ldots$ есть ортонормированная система, тогда элементы $\sum_{
u=1}^{N} x_{
u} \varphi_{
u}(N=1,2, \ldots$; $x_{1}, \ldots, x_{N}$ произвольны) образуют линейное многообразие, однако незамкнутое, потому что $\sum_{
u=1}^{\infty} \frac{1}{v} \varphi_{
u}\left(\sum_{1}^{\infty}\left(\frac{1}{
u}\right)^{2}\right.$ конечна!) является предельной точкой, но не элементом множества
\[
\left(\sum_{
u=1}^{N} \frac{1}{
u} \varphi_{
u} \rightarrow \sum_{
u=1}^{\infty} \frac{1}{
u} \varphi_{1} \quad \text { при } \quad N \rightarrow \infty\right) .
\]

Следовательно, D. не зависит от $A .-\boldsymbol{C}^{(\infty)}$. и $\boldsymbol{E}$.
Рассмотрим далее все комплексные функции $x(\alpha)$ с непрерывным параметром $\alpha$ : $-\infty<\alpha<+\infty$. Кроме того, предположим, что $x(\alpha)
eq 0$ возможно записать в виде последовательности такой, что сумма $\sum_{\alpha}|x(\alpha)|^{2}$, распространенная по членам этой последовательности, будет конечной 55 ). Все функции $x(\alpha)$ образуют пространство $\mathfrak{R}_{\text {cont }}$. Поскольку для любых двух функций $x(\alpha), y(\alpha)$ этого пространства $x(\alpha)$ или $y(\alpha)
eq 0$ только для двух $\alpha$-последовательностей и поскольку мы можем объединить эти две последовательности в одну, то $x(\alpha)=y(\alpha)=0$ вездє, кроме некоторой $\alpha$-последовательности $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \ldots$ Следовательно, мы должны обсудить только значения $x_{n}=x\left(\alpha_{n}\right), y_{n}=y\left(\alpha_{n}\right)$ для всех $n=1,2, \ldots$ Поэтому, пока мы рассматриваем только две точки $\mathfrak{R}_{\text {cont }}$, все будет происходить так же, как и в $\mathfrak{R}_{\infty}$. Но значит $\boldsymbol{A}$. и $\boldsymbol{B}$., выполняются в $\mathfrak{R}_{\text {cont }}$ в точности так же, как и в $\mathfrak{R}_{\infty}{ }^{56}$ ). То же будет справедливо и для $k(k=1,2, \ldots)$ точек $\mathfrak{R}_{\text {cont }}$, поэтому $\boldsymbol{C}^{(\infty)}$. также имеет место в $\mathfrak{R}_{\text {cont }}$. Более того, все остается верным даже для последовательности точек $\mathfrak{R}_{\text {cont }}$. Рассмотрим $x_{1}(\alpha), x_{2}(\alpha), \ldots$, причем $\alpha$, для которых $x_{n}(\alpha)
eq 0$, образуют последовательность для каждого $n=1,2, \ldots: \alpha_{1}^{(n)}, \alpha_{2}^{(n)}, \ldots$ Эти последовательности образуют все вместе двоиную последовательность $\alpha_{m}^{(n)}(n, m=1,2, \ldots)$, которая может быть записана как простая последовательность $\alpha_{1}^{(1)}, \alpha_{2}^{(1)}, \alpha_{1}^{(2)}, \alpha_{3}^{(1)}, \alpha_{2}^{(2)}, \alpha_{1}^{(3)}, \ldots$ Следовательно, и $D$. выполняется в $\mathfrak{R}_{\text {cont }}$ так же, как и в $\mathfrak{R}_{\infty}$. Иначе обстоит дело с $\boldsymbol{E}$.. В этом случае играют роль все точки (ведь все они должны быть предельными точками соответствующих последовательностей), и поэтому мы не можем делать заключение $о \Re_{\text {cont }}$ на

в5) Хотя $\alpha$ и меняется непрерывно, это будет сумма, а не интеграл, поскольку ведь в сумме фигурирует только некоторая последовательность этих $\alpha !$
${ }^{\text {вб) }}$ Естественным образом мы определяем $(x(\alpha), y(\alpha))$ как $\sum_{\alpha} x(\alpha) \overline{y(\alpha)}$.

основании $\Re_{\infty}$. И это условие действительно не выполняется, потому что не будет справедливым одно из его следствий: существует ортонормальная система, которая не может быть записана как последовательность (вопреки теореме $3^{(\infty)}$ ).
Пусть
\[
x_{\beta}(\alpha)=\left\{\begin{array}{l}
1 \text { для } \alpha=\beta \\
0 \text { для } \alpha
eq \beta
\end{array}\right\} ;
\]

для каждого $\beta x_{\beta}(\alpha)$ будет элементом $\Re_{\text {cont }}$, и $x_{\beta}(\alpha)$ образуют ортонормированную систему. Но в виде последовательности их можно было бы записать, только если бы это было возможно для всех $+\infty>\beta>-\infty$, между тем хорошо известно, что это невозможно ${ }^{57}$ ). Следовательно, $\boldsymbol{E}$. также независимо от $\boldsymbol{A} .-\boldsymbol{C} .{ }^{(\infty)}$, $\boldsymbol{D}$. .
(В заключение следует отметить фундаментальную разницу между пространством функций $f(x)$ с конечным интегралом $\int_{-\infty}^{\infty}|f(x)|^{2} d x$ и пространством функций $x(\alpha)$ с конечной суммой $\sum_{a}^{-\infty}|x(\alpha)|^{2}$. Мы могли бы, конечно, с равным правом называть первое пространством всех $x(\alpha)$ с конечным $\int_{-\infty}^{\infty} d \alpha|x(\alpha)|^{2}$ ! Вся разница – это только замена $\int \ldots d \alpha$ на $\sum_{\alpha} \ldots$, и, несмотря на это, первое пространство есть $F_{8}$, оно удовлетворяет, следовательно, условиям $\boldsymbol{A}$. – $\boldsymbol{E}$, и изоморфно пространству $\mathfrak{R}_{\infty}$, в то время как второе $-\Re_{\text {cont }}$ нарушает условие $\boldsymbol{E}$. и отличается от $\mathfrak{R}_{\infty}$ существенным образом. И тем не менее оба пространства тождественны и отличаются только определением длины !)