Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
Что происходит со смесью со статистическим оператором $U$, если в ней измеряется какая-нибудь величина $\mathfrak{H}$ с оператором $R$ ? (Под измерением в ансамбле мы понимем здесь измерение величины $\mathfrak{\Re}$ на каждом элементе ансамбля с последующим объединением полученных в результате этого измерения отдельных систем снова в один ансамбль.) На поставленный вопрос можно ответить в той мере, в какой этот вопрос вообще допускаег однозначный ответ. Bo-первых, рассмотрим случай, когда $R$ имеет чисто дискретный и невырожденный спектр. Пусть $\varphi_{1}, \varphi_{2}, \ldots$ — полная ортонормированная система собственных функций, а $\lambda_{1}, \lambda_{2}, \ldots$ — соответствующие им собственные значения (по предположению все отличные друг от друга). После измерения возникнет следующее положение вещей: В доле $\left(U \varphi_{n}, \varphi_{n}\right)$ исходного ансамбля величина $\mathfrak{M}$ будет иметь значение $\lambda_{n}(n=1,2, \ldots)$. Эта доля образует тогда ансамбль, в котором $\mathfrak{N}$ имеет значение $\lambda_{n}$ с достоверностью (M. в IV.3). Этот ансамбль находится в состоянии $\varphi_{n}$ с (правильно нормированным) статистическим оператором $P_{\left[\varphi_{n}\right]}$. Собирая эти подансамбли, мы получим, таким образом, смесь со статистическим оператором Пусть теперь $R$ обладает чисто дискретным спектром, а $\varphi_{1}, \varphi_{2}, \ldots$ и $\lambda_{1}, \lambda_{2}, \ldots$ имеют прежний смысл, за исключением лишь невырожденности, т. е. среди $\lambda_{n}$ могут быть равные друг другу собственные значения. Тогда процесс измерения не определен однозначно (как уже было, например, в случае (\& в IV.3). Действительно, пусть $\mu_{1}, \mu_{2}, \ldots$ — различные вещественные числа, а $S$ — оператор, соответствующий $\varphi_{1}, \varphi_{2}, \ldots$ и $\mu_{1}, \mu_{2}, \ldots$ Пусть этому оператору отвечает величина ( $)$. Определим функцию $F(x)$ : А это выражение однозначно лищь в особых случаях. для любых собственных значений $\lambda$ оператора $R$. Если же это условие, которое, очевидно, сильно ограничивает $U$, не выполняется, то различные процедуры измерения денствительно могут преобразовать $U$ в различные $U^{\prime}$. (Тем не менее, исходя из термодинамических принципов, в V. 4 мы сможем в общем случае сказать еще кое-что относительно результата $\mathfrak{R}$-измерения.) Прежде всего следует согласиться, что это возражение направлено против существенного недостатка, в сущности главного недостатка, квантовой механики: против ее нерелятивистского характера, выделяющего время $t$ по сравнению с тремя пространственными косрдинатами $x, y, z$ и принимающего представление об объективной одновременности. Действительно, в то время как все остальные величины (в частности, координаты $x, y, z$, тесно связанные с $t$ преобразованием Лорентца) изображаются операторами, времени, как и в классической механике, сопоставляется обычный численный параметр $t$. Или же: система, состояшая из двух частиц, обладает волно’вой функцией, которая зависит от $2 \times 3=6$ пространственных координат, и только лишь от одного времени $t$, хотя, в силу преобразования Лорентца, желательно было бы иметь два времени. С этим нерелятивистским характером квантовой механики могло было бы быть связано и то обстоятельство, что мы можем игнорировать естественный закон минимальной длительности измерения. Это — разъяснение, но отнюдь не радостное! Более точное исследование этого вопроса показывает между тем, что ситуация все же не так плоха. Действительно, что́ нам на самом деле нужно, это совсем не малое время $t$, но лишь малый его эффект при вычислении вероятности $\left(U \varphi_{n}, \varphi_{n}\right)$ — и, значит, при образованиц суммы $U^{\prime}=\sum_{n=1}^{\infty}\left(U \varphi_{n}, \varphi_{n}\right) P_{\left[\varphi_{n}\right]}$ — независимо от того, исходим ли мы из самого оператора $U$ или же из $U_{t}=e^{-\frac{2 \pi l}{h} t \cdot \mathrm{H}} U e^{\frac{2 \pi i}{h} t \cdot \mathrm{H}} \cdot$ В силу соотношения этот результат может быть достигнут с помощью такого изменения $\mathrm{H}$ возмущающей энергией, при котором $e^{\frac{2 \pi l}{h} t \cdot \text { н }_{n}}$ отличалось бы от $\varphi_{n}$ лишь на постоянный множитель модуля 1. Это значит, что состояние $\varphi_{n}$ должно оставаться под влиянием 2 . в своей существенной Прежде всего следует согласиться, что это возражение направлено против существенного недостатка, в сущности главного недостатка, квантовой механики: против ее нерелятивистского характера, выделяющего время $t$ по сравнению с тремя пространственными косрдинатами $x, y, z$ и принимающего представление об объективной одновременности. Действительно, в то время как все остальные величины (в частности, координаты $x, y, z$, тесно связанные с $t$ преобразованием Лорентца) изображаются операторами, времени, как и в классической механике, сопоставляется обычный численный параметр $t$. Или же: система, состоящая из двух частиц, обладает волновой функцией, которая зависит от $2 \times 3=6$ пространственных координат, и только лишь от одного времени $t$, хотя, в силу преобразования Лорентца, желательно было бы иметь два времени. С этим нерелятивистским характером квантовой механики могло было бы быть связано и то обстоятельство, что мы можем игнорировать естественный закон минимальной длительности измерения. Это — разъяснение, но отнюдь не радостное! Более точное исследование этого вопроса показывает между тем, что ситуация все же не так плоха. Дећствительно, что́ нам на самом деле нужно, это совсем не малое время $t$, но лишь малый его эффект при вычислении вероятности $\left(U \varphi_{n}, \varphi_{n}\right)$ — и, значит, при образованиц суммы $U^{\prime}=\sum_{n=1}^{\infty}\left(U \varphi_{n}, \varphi_{n}\right) P_{\left[\varphi_{n}\right]}$ — независимо от того, исходим ли мы из самого оператора $U$ или же из $U_{t}=e^{-\frac{2 \pi l}{i t} t \cdot \mathrm{H}} U e^{\frac{2 \pi i}{h} t \cdot \mathrm{H}}$. В силу соотношения этот результат может быть достигнут с помощью такого изменения $\mathrm{H}$ возмущающей энергией, при котором $e^{\frac{2 \pi i}{h} t \cdot \mathrm{H}^{\prime}} \varphi_{n}$ отличалось бы от $\varphi_{n}$ лишь на постоянный множитель модуля 1. Это значит, что состояние $\varphi_{n}$ должно оставаться под влиянием 2. в своећ существенной Во-вторых, отметим в связи с 1., что, как мы неоднократно указывали, измерение, в смысле 1., должно быть мгновенным, т. е. должно проводиться в столь короткии промежуток времени, чтобы изменение $U$, обусловленное 2., ғе было бы еще заметно. (Если бы мы захотели поправить результат, вычисляя измененный $U_{t}$ с помощью 2., то все равно бы ничего не вышло, — ведь чтобы прибегнуть к какому-либо $U_{t}$, надо знать $t$, момент измерения, точно, т. е. длительность измерения все равно должна была бы быть короткой.) Однако такое требование сомнительно в самом принципе. Ведь хорошо известно, что существует величина, которая в классической механике канонически сопряжена времени: энергия ${ }^{180}$ ). Поэтому можно ожидать, что для канонически сопряженной пары время — энергия должны существовать соотношения неопределенности, аналогичные соотношениям неопределенности для пары декартова координата импульс ${ }^{181}$ ). Специальная теория относительности также показывает, что должна существовать далеко идущая аналогия: три пространственные координаты и время образуют 4-вектор точно таким же образом, как и три пространственных импульса и энергия. Подобное соотношение неопределенности означало бы, что невозможно очень точно измерить энергию за очень короткий промежуток времени. Действительно, можно ожидать, что между ошибкой измерения $\varepsilon$ и промежутком времени $\tau$ существует соотношение вида Физическое рассмотрение, аналогичное проведенному в III. 4 для $p, q$, дећствительно приводит к этому результату ${ }^{181}$ ). Не входя в детали, мы рассмотрим случай светового кванта. Неопределенность в его энергии \& равна, в силу условия частот Бора, $h$-кратнон неопределенности в частоте: $h \Delta$ v. Но $\Delta$ v, как показано в прим. ${ }^{137}$ ) на стр. 182 , Прежде всего следует согласнться, что это возражение направлено против существенного недостатка, в сущности главного недостатка, квантовой механики: против ее нерелятивистского характера, выделяющего время $t$ по сравнению с тремя пространственными координатами $x, y, z$ и принимающего представление об объективнои одновременности. Деиствительно, в то время как все остальные величины (в частности, координаты $x, y, z$, тесно связанные с $t$ преобразованием Лорентца) изображаются операторами, времени, как и в классической механике, сопоставляется обычный численный параметр $t$. Или же: система, состоящая из двух частиц, обладает волновой функцией, которая зависит от $2 \times 3=6$ пространственных координат, и только лишь от одного времени $t$, хотя, в силу преобразования Лорентца, желательно было бы иметь два времени. С этим нерелятивистским характером квантовой механики могло было бы быть связано и то обстоятельство, что мы можем игнорировать естественный закон минимальной длительности измерения. Это-разъяснение, но отнюдь не радостное! Более точное исследование этого вопроса показывает между тем, что ситуация все же не так плоха. Дећствительно, что́ нам на самом деле нужно, это совсем не малое время $t$, но лишь малый его эффект при вычислении вероятности $\left(U \varphi_{n}, \varphi_{n}\right)$ — и, значит, при образовании суммы $U^{\prime}=\sum_{n=1}^{\infty}\left(U \varphi_{n}, \varphi_{n}\right) P_{\left[\varphi_{n}\right]}$ — независимо от того, исходим ли мы из самого оператора $U$ или же из $U_{t}=e^{-\frac{2 \pi t}{h} t \cdot \mathrm{H}} U e^{\frac{2 \pi t}{h} t \cdot \mathrm{H}} \cdot$ В силу соотношения этот результат может быть достигнут с помощью такого изменения $\mathrm{H}$ возмущающей энергией, при котором $e^{\frac{2 \pi l}{h} t \cdot \mathrm{H}^{\prime}} \varphi_{n}$ отличалось бы от $\varphi_{n}$ лишь на постоянный множитель модуля 1. Это значит, что состояние $\varphi_{n}$ должно оставаться под влиянием 2 . в своей существенной Действительно, любое измерение заканчивается тем, что световой квант или частица, обладающая массой, испускаются с известной энергией и в известном направлении и посредством своих характеристик, т. е. своих импульсов, выражают результат измерения; или же тем, что частица с массой (например, стрелка на шкале) приходит в состояние покоя и ее декартовы координаты дают результат измерения. Итак, для светового кванта заданию измеряемон величины эквивалентно, пользуясь терминолэгией III. 6 , задание того $M_{n}$, для которого $M_{n}=1$ (все остальные =0), т. е. задание значений всех $M_{1}, M_{2}, \ldots$; для вылетающећ частицы с массон — задание трех компонент импульса $P^{x}, P^{y}, P^{z}$, а в случае покоящейся частицы с массой — задание трех ее декартовых координат $x, y, z$, или же, пользуясь их операторами, $Q^{x}, Q^{y}, Q^{z}$. Но измерение будет действительно проведено лишь тогда, когда световоИ квант или частица с массои дећствительно улетят «прочь», т. е. когда световой квант не подвергается больше риску быть поглощенным или когда частица с массой не может уже больше отклоняться потенциальными энергиями; или же когда покоящаяся частица с массой действительно покоится, для чего необходима большая масса ${ }^{182}$ ). (Последнее необходимо уже в силу соотношении неопределенности, поскольку скорость должна быть близка к 0 , поэтому ее дисперсия мала, хотя ее произведение на массу, — импульс должен, из-за малой дисперсии координат, обладать большой дисперсией. В действительности стрелки являются макроскопическими объектами, т. е. они огромны.) Далее, оператор энергии $\mathrm{H}$, поскольку он имеет отношение к световому кванту, имеет, согласно III. 6 , вид В заключение следует подчеркнуть, что «делание стационарными» собственно интересующих нас состояний (здесь это $\varphi_{1}, \varphi_{2}, \ldots$ ) играет роль также и в других отделах теоретической физики. Предположение о возможности прерывания химических реакций (их «отравления»), которое часто необходимо в физико-химических «мысленных экспериментах», имеет именно такую природу ${ }^{183}$ ). Два воздействия 1. и 2. отличаются друг от друга фундаментальным образом. То, что оба они по форме однозначны, т. е. причинны, не существенно: действительно, так как мы рассматриваем статистические свойства смесей, то не удивительно, что любое изменение, даже если оно статистическое, приводит к причинному изменению вероятностей и математических ожиданий. Ведь именно по этой причине и вводят статистические ансамбли и вероятности! Очень существенно, напротив, то, что 2. не приводит к увеличению существующей в $U$ статистической неопределенности, тогда как 1 . приводит к такому увеличению: 2. переводит состояния в состояния Далее, при фиксированных $\mathrm{H}$ и $t, 2$. является просто унитарным преобразованием всех $U: U_{t}=A U A^{-1}, A=e^{-\frac{2 \pi i}{h} t \cdot \mathrm{H}}$ унитарно, т. е. из $U f=g$ следует, что $U_{t}^{t}(A f)=A g$, так что $U_{t}$ получается из $U$ с помощью унитарного преобразования $A$ гильбертова пространства и тем самым с помощью некоторого изоморфизма, который оставляет инвариантными все наши основные геометрические представления (ср. принципы, разъясненные в 1.4). Поэтому 2. обратимо: достаточно заменить $A$ на $A^{-1}$, а это возможно в силу того, что $A$ и $A^{-1}$ можно считать совершенно произвольными унитарными операторами не является безусловно обратимым. Вскоре мы увидим, что он вообще необратим: в том смысле, что вообще невозможно возвратиться от данного $U^{\prime}$ к его $U$ с помощью повторного применения какогонибудь из процессов 1 . или 2.1 Здесь мы достигли такого положения, когда целесоббразно привлечь термодинамические методы рассмотрения, так как лишь они позволяют нам правильно понять различие между 1. и 2., в котором замешаны вопросы об обратимости.
|
1 |
Оглавление
|