Что происходит со смесью со статистическим оператором $U$, если в ней измеряется какая-нибудь величина $\mathfrak{H}$ с оператором $R$ ? (Под измерением в ансамбле мы понимем здесь измерение величины $\mathfrak{\Re}$ на каждом элементе ансамбля с последующим объединением полученных в результате этого измерения отдельных систем снова в один ансамбль.) На поставленный вопрос можно ответить в той мере, в какой этот вопрос вообще допускаег однозначный ответ.

Bo-первых, рассмотрим случай, когда $R$ имеет чисто дискретный и невырожденный спектр. Пусть $\varphi_{1}, \varphi_{2}, \ldots$ – полная ортонормированная система собственных функций, а $\lambda_{1}, \lambda_{2}, \ldots$ – соответствующие им собственные значения (по предположению все отличные друг от друга). После измерения возникнет следующее положение вещей: В доле $\left(U \varphi_{n}, \varphi_{n}\right)$ исходного ансамбля величина $\mathfrak{M}$ будет иметь значение $\lambda_{n}(n=1,2, \ldots)$. Эта доля образует тогда ансамбль, в котором $\mathfrak{N}$ имеет значение $\lambda_{n}$ с достоверностью (M. в IV.3). Этот ансамбль находится в состоянии $\varphi_{n}$ с (правильно нормированным) статистическим оператором $P_{\left[\varphi_{n}\right]}$. Собирая эти подансамбли, мы получим, таким образом, смесь со статистическим оператором
\[
U^{\prime}=\sum_{n=1}^{\infty}\left(U \varphi_{n}, \varphi_{n}\right) P_{\left[\varphi_{n}\right]} .
\]

Пусть теперь $R$ обладает чисто дискретным спектром, а $\varphi_{1}, \varphi_{2}, \ldots$ и $\lambda_{1}, \lambda_{2}, \ldots$ имеют прежний смысл, за исключением лишь невырожденности, т. е. среди $\lambda_{n}$ могут быть равные друг другу собственные значения. Тогда процесс измерения не определен однозначно (как уже было, например, в случае (\& в IV.3). Действительно, пусть $\mu_{1}, \mu_{2}, \ldots$ – различные вещественные числа, а $S$ – оператор, соответствующий $\varphi_{1}, \varphi_{2}, \ldots$ и $\mu_{1}, \mu_{2}, \ldots$ Пусть этому оператору отвечает величина ( $)$. Определим функцию $F(x)$ :
\[
F\left(\lambda_{n}\right)=\mu_{n} \quad(n=1,2, \ldots) .
\]
тогда $F(S)=R$ и, значит, $F(\mathcal{S})=\Re$. Таким образом, измерение можно рассматривать как измерение $\mathfrak{\Re}$. Это превращает оператор $U$ в оператор $U^{\prime}$, определенный выше, причем $U^{\prime}$ не зависит от (совершенно произвольных) $\mu_{1}, \mu_{2}, \ldots$, но зависит от $\varphi_{1}, \varphi_{2}, \ldots$ хотя эти собственные функции, в силу кратности собственных значений $R$, не определяются единственным образом. B IV. 2 мы установили, основываясь на II.8, что можно сказать относительно $\varphi_{1}, \varphi_{2}, \ldots$ : пусть $\lambda^{\prime}, \lambda^{\prime \prime}, \ldots$ – различные собственные значения среди $\lambda_{1}, \lambda_{2}, \ldots$ пусть $\mathfrak{M}_{\lambda^{\prime}}, \mathfrak{M}_{\lambda^{\prime \prime}}, \ldots$ – множества $f$, удовлетворяющих уравнениям $R f=$ $=\lambda^{\prime} f, R f=\lambda^{\prime \prime} f, \ldots$ Пусть еще $\chi_{1}^{\prime}, \chi_{2}^{\prime}, \ldots, \chi_{1}^{\prime \prime}, \chi_{2}^{\prime \prime}, \ldots, \ldots$ – произвольные ортонормированные системы, растягивающие $\mathfrak{M}_{\lambda^{\prime}}, \mathfrak{M}_{\lambda^{\prime \prime}}, \ldots$ соответственно. Совокупность всех $\chi_{1}^{\prime}, \chi_{2}^{\prime}, \ldots, \chi_{1}^{\prime \prime}, \chi_{2}^{\prime \prime}, \ldots, \ldots$ образует тогда самую общую систему $\varphi_{1}, \varphi_{2}, \ldots$ Таким образом, $U^{\prime}$ может в зависимости от выбора (્, т. е., собственно, в зависимости от выбора измерительной процедуры, иметь вид любого выражения типа
\[
U^{\prime}=\sum_{n}\left(U \chi_{n}^{\prime}, \chi_{n}^{\prime}\right) P_{\left[x_{n}^{\prime}\right]}+\sum_{n}\left(U \chi_{n}^{\prime \prime}, \chi_{n}^{\prime \prime}\right) P_{\left[x_{n}^{\prime \prime}\right]}+\cdots
\]

А это выражение однозначно лищь в особых случаях.
Укажем теперь такой особый случай. Каждое отдельное слагаемое должно в этом случае быть однозначным. То есть для каждого собственного значения $\lambda$, если $\mathfrak{M}_{\lambda}$ означает множество $f$, удовлетворяющих уравнению $R f=\lambda f$, сумма $\sum_{n}\left(U \chi_{n}, \chi_{n}\right) P_{\left[\chi_{n}\right]}$ должна иметь одно и то же значение при любом выборе ортонормированной системы $\chi_{1}, \chi_{2}, \ldots$, на которую натягивается $\mathfrak{M} \lambda_{\lambda}$. Назовем эту сумму $V$, тогда дословное повторение рассуждения из IV. 3 (там только $U_{0}$, $U, \mathfrak{M}$ надо заменить на $U, V, \mathfrak{R}_{\lambda}$ ) показывает, что должно быть $V=c_{\lambda} P_{\text {投 }}$ ( $c_{\lambda}$ – константа, $>0$ ), а это требование эквивалентно справедливости равенства $(U f, f)=c_{\lambda}(f, f)$ для любого $f$ из $\mathfrak{R}_{\lambda}$. Поскольку эти $f$ совпадают со всеми $P_{\text {м }_{\lambda}} g$ для любых $g$, то мы требуем
\[
\left(U P_{M_{\lambda}} g, P_{\mathfrak{M}_{\lambda}} g\right)=c_{\lambda}\left(P_{\mathfrak{M}_{\lambda}} g, P_{\mathfrak{N P}_{\lambda}} g\right),
\]
т. е.
T. e.

для любых собственных значений $\lambda$ оператора $R$. Если же это условие, которое, очевидно, сильно ограничивает $U$, не выполняется, то различные процедуры измерения денствительно могут преобразовать $U$ в различные $U^{\prime}$. (Тем не менее, исходя из термодинамических принципов, в V. 4 мы сможем в общем случае сказать еще кое-что относительно результата $\mathfrak{R}$-измерения.)
17*
в лучшем случае равно обратной величине временной длительности $1 / \tau$, так что $\varepsilon \geqslant \frac{h}{\tau}$, а для того, чтобы монохроматичность светового кванта могла себя проявить во всем интервале $\tau$, измерение должно простираться на весь этот интервал. Случай светового кванта характерен, так как атомные уровни энергии определяются, как правило, из частот соответствующих спектральных линий. Поскольку энергия ведет себя таким образом, можно предположить существование зависимости между точностью и длительностью измерения и для других величин $\mathfrak{A}$. Как же после этого можно было бы оправдать наше допущение о моментальном измерении?

Прежде всего следует согласиться, что это возражение направлено против существенного недостатка, в сущности главного недостатка, квантовой механики: против ее нерелятивистского характера, выделяющего время $t$ по сравнению с тремя пространственными косрдинатами $x, y, z$ и принимающего представление об объективной одновременности. Действительно, в то время как все остальные величины (в частности, координаты $x, y, z$, тесно связанные с $t$ преобразованием Лорентца) изображаются операторами, времени, как и в классической механике, сопоставляется обычный численный параметр $t$. Или же: система, состояшая из двух частиц, обладает волно’вой функцией, которая зависит от $2 \times 3=6$ пространственных координат, и только лишь от одного времени $t$, хотя, в силу преобразования Лорентца, желательно было бы иметь два времени. С этим нерелятивистским характером квантовой механики могло было бы быть связано и то обстоятельство, что мы можем игнорировать естественный закон минимальной длительности измерения. Это – разъяснение, но отнюдь не радостное!

Более точное исследование этого вопроса показывает между тем, что ситуация все же не так плоха. Действительно, что́ нам на самом деле нужно, это совсем не малое время $t$, но лишь малый его эффект при вычислении вероятности $\left(U \varphi_{n}, \varphi_{n}\right)$ – и, значит, при образованиц суммы $U^{\prime}=\sum_{n=1}^{\infty}\left(U \varphi_{n}, \varphi_{n}\right) P_{\left[\varphi_{n}\right]}$ – независимо от того, исходим ли мы из самого оператора $U$ или же из $U_{t}=e^{-\frac{2 \pi l}{h} t \cdot \mathrm{H}} U e^{\frac{2 \pi i}{h} t \cdot \mathrm{H}} \cdot$ В силу соотношения
\[
\left(U_{t} \varphi_{n}, \varphi_{n}\right)=\left(e^{-\frac{2 \pi t}{h} t \cdot \mathrm{H}} U e^{\frac{2 \pi l}{h} t \cdot \mathrm{H}} \varphi_{n}, \varphi_{n}\right)=\left(U e^{\frac{2 \pi l}{h} t \cdot \mathrm{H}} \varphi_{n}, e^{\frac{2 \pi t}{h} t \cdot \mathrm{H}} \varphi_{n}\right),
\]

этот результат может быть достигнут с помощью такого изменения $\mathrm{H}$ возмущающей энергией, при котором $e^{\frac{2 \pi l}{h} t \cdot \text { н }_{n}}$ отличалось бы от $\varphi_{n}$ лишь на постоянный множитель модуля 1. Это значит, что состояние $\varphi_{n}$ должно оставаться под влиянием 2 . в своей существенной
в лучшем случае равно обратной величине временно́й длительности $1 / \tau$, так что $\varepsilon \geqslant \frac{h}{\tau}$, а для того, чтобы монохроматичность светового кванта могла себя проявить во всем интервале $\tau$, измерение должно простираться на весь этот интервал. Случай светового кванта характерен, так как атомные уровни энергии определяются, как правило, из частот соответствующих спектральных линий. Поскольку энергия ведет себя таким образом, можно предположить существование зависимости между точностью и длительностью измерения и для других величин $\mathfrak{A}$. Как же после этого можно было бы оправдать наше допущение о моментальном пзмерении?

Прежде всего следует согласиться, что это возражение направлено против существенного недостатка, в сущности главного недостатка, квантовой механики: против ее нерелятивистского характера, выделяющего время $t$ по сравнению с тремя пространственными косрдинатами $x, y, z$ и принимающего представление об объективной одновременности. Действительно, в то время как все остальные величины (в частности, координаты $x, y, z$, тесно связанные с $t$ преобразованием Лорентца) изображаются операторами, времени, как и в классической механике, сопоставляется обычный численный параметр $t$. Или же: система, состоящая из двух частиц, обладает волновой функцией, которая зависит от $2 \times 3=6$ пространственных координат, и только лишь от одного времени $t$, хотя, в силу преобразования Лорентца, желательно было бы иметь два времени. С этим нерелятивистским характером квантовой механики могло было бы быть связано и то обстоятельство, что мы можем игнорировать естественный закон минимальной длительности измерения. Это – разъяснение, но отнюдь не радостное!

Более точное исследование этого вопроса показывает между тем, что ситуация все же не так плоха. Дећствительно, что́ нам на самом деле нужно, это совсем не малое время $t$, но лишь малый его эффект при вычислении вероятности $\left(U \varphi_{n}, \varphi_{n}\right)$ – и, значит, при образованиц суммы $U^{\prime}=\sum_{n=1}^{\infty}\left(U \varphi_{n}, \varphi_{n}\right) P_{\left[\varphi_{n}\right]}$ – независимо от того, исходим ли мы из самого оператора $U$ или же из $U_{t}=e^{-\frac{2 \pi l}{i t} t \cdot \mathrm{H}} U e^{\frac{2 \pi i}{h} t \cdot \mathrm{H}}$. В силу соотношения
\[
\left(U_{t} \varphi_{n}, \varphi_{n}\right)=\left(e^{-\frac{2 \pi i}{h} t \cdot \mathrm{H}} U e^{\frac{2 \pi i}{h} t \cdot \mathrm{H}} \varphi_{n}, \varphi_{n}\right)=\left(U e^{\frac{2 \pi l}{h} t \cdot \mathrm{H}} \varphi_{n}, e^{\frac{2 \pi t}{h} t \cdot \mathrm{H}} \varphi_{n}\right),
\]

этот результат может быть достигнут с помощью такого изменения $\mathrm{H}$ возмущающей энергией, при котором $e^{\frac{2 \pi i}{h} t \cdot \mathrm{H}^{\prime}} \varphi_{n}$ отличалось бы от $\varphi_{n}$ лишь на постоянный множитель модуля 1. Это значит, что состояние $\varphi_{n}$ должно оставаться под влиянием 2. в своећ существенной
и не поставить ли на место зависимостен между состояниями $S$ и положениями стрелок $\boldsymbol{M}$ зависимости между состояниями $\boldsymbol{S}$ и химическими изменениями в его глазу или даже в его мозгу (т. е. тем, что он «увидел» или «воспринял»). В VI. 1 мы исследуем этот вопрос подробнее. Так или иначе, речь иожет поћти, следовательно, лишь о применении 2. к системе $S+M$. Правда, надо будет еще показать, что это дает для $S$ то же самое, что и непосредственное применение 1 . к $\boldsymbol{S}$. Только лишь после того, как это удастся, мы достигнем единого способа описания физического мира на квантовомеханическон основе. Мы отложим обсуждение этого вопроса до VI.3.

Во-вторых, отметим в связи с 1., что, как мы неоднократно указывали, измерение, в смысле 1., должно быть мгновенным, т. е. должно проводиться в столь короткии промежуток времени, чтобы изменение $U$, обусловленное 2., ғе было бы еще заметно. (Если бы мы захотели поправить результат, вычисляя измененный $U_{t}$ с помощью 2., то все равно бы ничего не вышло, – ведь чтобы прибегнуть к какому-либо $U_{t}$, надо знать $t$, момент измерения, точно, т. е. длительность измерения все равно должна была бы быть короткой.) Однако такое требование сомнительно в самом принципе. Ведь хорошо известно, что существует величина, которая в классической механике канонически сопряжена времени: энергия ${ }^{180}$ ). Поэтому можно ожидать, что для канонически сопряженной пары время – энергия должны существовать соотношения неопределенности, аналогичные соотношениям неопределенности для пары декартова координата импульс ${ }^{181}$ ). Специальная теория относительности также показывает, что должна существовать далеко идущая аналогия: три пространственные координаты и время образуют 4-вектор точно таким же образом, как и три пространственных импульса и энергия. Подобное соотношение неопределенности означало бы, что невозможно очень точно измерить энергию за очень короткий промежуток времени. Действительно, можно ожидать, что между ошибкой измерения $\varepsilon$ и промежутком времени $\tau$ существует соотношение вида
\[
\varepsilon \tau \sim h \text {. }
\]

Физическое рассмотрение, аналогичное проведенному в III. 4 для $p, q$, дећствительно приводит к этому результату ${ }^{181}$ ). Не входя в детали, мы рассмотрим случай светового кванта. Неопределенность в его энергии \& равна, в силу условия частот Бора, $h$-кратнон неопределенности в частоте: $h \Delta$ v. Но $\Delta$ v, как показано в прим. ${ }^{137}$ ) на стр. 182 ,
180) Это соотношение можно найти в любом учебнике классической (гамильтоновой) механики.
181) Соотношения неопределенности для пары время – энергия неоднократно обсуждались. Ср. изложение результатов у H e is e n berg’a в Dle Physikalischen Prinziplen der Quantentheorle, \& II. 2. d., Leipzig, 1930. (Русский перевод: Ге й зен бе р г, Физические приндипы квантовой теории, ГТТИ, М., 1932.)
в лучшем случае равно обратной величине временно́й длительности $1 / \tau$, так что $\varepsilon \geqslant \frac{h}{\tau}$, а для того, чтобы монохроматичность светового кванта могла себя проявить во всем интервале $\tau$, измерение должно простираться на весь этот интервал. Случай светового кванта характерен, так как атомные уровни 9нергии определяются, как правило, из частот соответствующих спектральных линий Поскольку энергия ведет себя таким образом, можно предположить существование зависимости между точностью и длительностью измерения и для других величин $\mathfrak{H}$. Как же после этого можно было бы оправдать наше допущение о моментальном цзмерении?

Прежде всего следует согласнться, что это возражение направлено против существенного недостатка, в сущности главного недостатка, квантовой механики: против ее нерелятивистского характера, выделяющего время $t$ по сравнению с тремя пространственными координатами $x, y, z$ и принимающего представление об объективнои одновременности. Деиствительно, в то время как все остальные величины (в частности, координаты $x, y, z$, тесно связанные с $t$ преобразованием Лорентца) изображаются операторами, времени, как и в классической механике, сопоставляется обычный численный параметр $t$. Или же: система, состоящая из двух частиц, обладает волновой функцией, которая зависит от $2 \times 3=6$ пространственных координат, и только лишь от одного времени $t$, хотя, в силу преобразования Лорентца, желательно было бы иметь два времени. С этим нерелятивистским характером квантовой механики могло было бы быть связано и то обстоятельство, что мы можем игнорировать естественный закон минимальной длительности измерения. Это-разъяснение, но отнюдь не радостное!

Более точное исследование этого вопроса показывает между тем, что ситуация все же не так плоха. Дећствительно, что́ нам на самом деле нужно, это совсем не малое время $t$, но лишь малый его эффект при вычислении вероятности $\left(U \varphi_{n}, \varphi_{n}\right)$ – и, значит, при образовании суммы $U^{\prime}=\sum_{n=1}^{\infty}\left(U \varphi_{n}, \varphi_{n}\right) P_{\left[\varphi_{n}\right]}$ – независимо от того, исходим ли мы из самого оператора $U$ или же из $U_{t}=e^{-\frac{2 \pi t}{h} t \cdot \mathrm{H}} U e^{\frac{2 \pi t}{h} t \cdot \mathrm{H}} \cdot$ В силу соотношения
\[
\left(U_{t} \varphi_{n}, \varphi_{n}\right)=\left(e^{-\frac{2 \pi i}{h} t \cdot \mathrm{H}} U e^{\frac{2 \pi i}{h} t \cdot H} \varphi_{n}, \varphi_{n}\right)=\left(U e^{\frac{2 \pi l}{h} t \cdot \mathrm{H}} \varphi_{n}, e^{\frac{2 \pi l}{h} t \cdot \mathrm{H}} \varphi_{n}\right),
\]

этот результат может быть достигнут с помощью такого изменения $\mathrm{H}$ возмущающей энергией, при котором $e^{\frac{2 \pi l}{h} t \cdot \mathrm{H}^{\prime}} \varphi_{n}$ отличалось бы от $\varphi_{n}$ лишь на постоянный множитель модуля 1. Это значит, что состояние $\varphi_{n}$ должно оставаться под влиянием 2 . в своей существенной
Inv. $v$
части постоянным, т. е. должно быть стационарным состоянием; или же $\mathrm{H} \varphi_{n}$ должно равняться некоторой вещественной константе, умноженной на $\varphi_{n}$, т. е. $\varphi_{n}$ должно быть собственной функцией Н. На первый взгляд такое изменение оператора энергии $\mathrm{H}$, при котором собственные функции оператора $R$ стационарны и, следовательно, являются также собственными функциями $\mathrm{H}$ (т. е. $R$, $\mathrm{H}$ перестановочны), не кажется правдоподобным. Но на самом деле это не так, можно даже убедиться, что типичное измерительное приспособление предполагает как раз изменение такого сорта в $\mathrm{H}$.

Действительно, любое измерение заканчивается тем, что световой квант или частица, обладающая массой, испускаются с известной энергией и в известном направлении и посредством своих характеристик, т. е. своих импульсов, выражают результат измерения; или же тем, что частица с массой (например, стрелка на шкале) приходит в состояние покоя и ее декартовы координаты дают результат измерения. Итак, для светового кванта заданию измеряемон величины эквивалентно, пользуясь терминолэгией III. 6 , задание того $M_{n}$, для которого $M_{n}=1$ (все остальные =0), т. е. задание значений всех $M_{1}, M_{2}, \ldots$; для вылетающећ частицы с массон – задание трех компонент импульса $P^{x}, P^{y}, P^{z}$, а в случае покоящейся частицы с массой – задание трех ее декартовых координат $x, y, z$, или же, пользуясь их операторами, $Q^{x}, Q^{y}, Q^{z}$. Но измерение будет действительно проведено лишь тогда, когда световоИ квант или частица с массои дећствительно улетят «прочь», т. е. когда световой квант не подвергается больше риску быть поглощенным или когда частица с массой не может уже больше отклоняться потенциальными энергиями; или же когда покоящаяся частица с массой действительно покоится, для чего необходима большая масса ${ }^{182}$ ). (Последнее необходимо уже в силу соотношении неопределенности, поскольку скорость должна быть близка к 0 , поэтому ее дисперсия мала, хотя ее произведение на массу, – импульс должен, из-за малой дисперсии координат, обладать большой дисперсией. В действительности стрелки являются макроскопическими объектами, т. е. они огромны.) Далее, оператор энергии $\mathrm{H}$, поскольку он имеет отношение к световому кванту, имеет, согласно III. 6 , вид
\[
\begin{aligned}
\sum_{n=1}^{\infty} h_{\rho} \cdot M_{n}+\sum_{j=1}^{\infty} \sum_{n=1}^{\infty} w_{k j}^{n}\left(\sqrt{M_{n}+1} \cdot\left(\begin{array}{c}
k \rightarrow j \\
M_{n} \rightarrow M_{n}+1
\end{array}\right)+\right. \\
\left.+\sqrt{M_{n}} \cdot\left(\begin{array}{c}
k \rightarrow j \\
M_{n} \rightarrow M_{n}-1
\end{array}\right)\right) ;
\end{aligned}
\]
182) Все остальные подробности измерительного приспособления относятся лишь к связи величины $\mathfrak{R}$, которая собственно и представляет интеpec, или ее оператора $R$ с указанным выше $M_{n}$ или $P^{x}, P^{y}, P^{z}$, или $Q^{x}$, $Q^{y}, Q^{z}$. Конечно, практически именно это является наиболее важной стороной измерительной техники.
в случае же обоих примеров частиц с массой – это
\[
\frac{\left(P^{x}\right)^{2}+\left(P^{y}\right)^{2}+\left(P^{z}\right)^{2}}{2 m}+V\left(Q^{x}, Q^{y}, Q^{z}\right)
\]
( $m$-масса, $V$ – потенциальная энергия). Наши критерии будут гласить, что $w_{k j}^{n}$ должны обращаться в нуль или же что $V$ должно быть постоянно, или же что $m$ должно быть очень велико. Но это как раз и приводит к тому, что $M_{n}$ или $P^{x}, P^{y}, P^{z}$ или $Q^{x}, Q^{y}, Q^{z}$ начинают коммутировать с указанными $\mathrm{H}$.

В заключение следует подчеркнуть, что «делание стационарными» собственно интересующих нас состояний (здесь это $\varphi_{1}, \varphi_{2}, \ldots$ ) играет роль также и в других отделах теоретической физики. Предположение о возможности прерывания химических реакций (их «отравления»), которое часто необходимо в физико-химических «мысленных экспериментах», имеет именно такую природу ${ }^{183}$ ).

Два воздействия 1. и 2. отличаются друг от друга фундаментальным образом. То, что оба они по форме однозначны, т. е. причинны, не существенно: действительно, так как мы рассматриваем статистические свойства смесей, то не удивительно, что любое изменение, даже если оно статистическое, приводит к причинному изменению вероятностей и математических ожиданий. Ведь именно по этой причине и вводят статистические ансамбли и вероятности! Очень существенно, напротив, то, что 2. не приводит к увеличению существующей в $U$ статистической неопределенности, тогда как 1 . приводит к такому увеличению: 2. переводит состояния в состояния
a 1. вполне может перевести состояние в смесь. В этом смысле можно сказать, что эволюция состояния согласно 1. является статистической, а согласно 2. – причинной.

Далее, при фиксированных $\mathrm{H}$ и $t, 2$. является просто унитарным преобразованием всех $U: U_{t}=A U A^{-1}, A=e^{-\frac{2 \pi i}{h} t \cdot \mathrm{H}}$ унитарно, т. е. из $U f=g$ следует, что $U_{t}^{t}(A f)=A g$, так что $U_{t}$ получается из $U$ с помощью унитарного преобразования $A$ гильбертова пространства и тем самым с помощью некоторого изоморфизма, который оставляет инвариантными все наши основные геометрические представления (ср. принципы, разъясненные в 1.4). Поэтому 2. обратимо: достаточно заменить $A$ на $A^{-1}$, а это возможно в силу того, что $A$ и $A^{-1}$ можно считать совершенно произвольными унитарными операторами
183) Cp., например, Nernst, Theoretische Chemie, Stuttgart (многочисленные издания, начиная с 1893), книга IV, Обсуждеңие термодинамических доказательств «закона действующих масс».
[гл. V
благодаря далеко идущей свободе в выборе $\mathrm{H}$ и $t$. Точно так же как и классическая механика, 2. не воспроизводит поэтому одну из наиболее важных и удивительных черт реального мира, а именно его необратимость, фундаментальное различие между направлениями времени в «будущее» и в «прошлое».
Фундаментальным образом по-иному ведет себя 1.: переход
\[
U \rightarrow U^{\prime}=\sum_{n=1}^{\infty}\left(U \varphi_{n}, \varphi_{n}\right) P_{\left[\varphi_{n}\right]}
\]

не является безусловно обратимым. Вскоре мы увидим, что он вообще необратим: в том смысле, что вообще невозможно возвратиться от данного $U^{\prime}$ к его $U$ с помощью повторного применения какогонибудь из процессов 1 . или 2.1

Здесь мы достигли такого положения, когда целесоббразно привлечь термодинамические методы рассмотрения, так как лишь они позволяют нам правильно понять различие между 1. и 2., в котором замешаны вопросы об обратимости.