Итак, мы продвинулись достаточно далеко, чтобы рассмотреть в абстрактном пространстве Гильберта ту самую задачу, которая составляла в ее частных реализациях $F_{z}$ или $F_{2}$ центральный вопрос квантовой механики – решение уравнений $\boldsymbol{E}_{1}$. и $\boldsymbol{E}_{2}$. из I. 3 . Мы назовем ее проблемой собственных значений и должны будем сформулировать ее наново и более единообразным способом.

В I. 3 и в $\boldsymbol{E}_{1}$. и в $\boldsymbol{E}_{2}$. требовалось найти все решения $\varphi
eq 0$ уравнения
E.
\[
H \varphi=\lambda \varphi,
\]

где $\mathrm{H}$-эрмитов оператор, отвечающий функции Гамильтона (ср. обсуждение в I. 3), $\varphi$-элемент гильбертова пространства, а $\lambda$-вещественное число (Н -дано, $\lambda$ и $\varphi$-ищутся). При этом, однако, выдвигаются определенные требования относительно числа нужных решений. Их должно быть столько, чтобы
1. в матричной теории из этих решений
\[
\varphi_{1}=\left\{s_{11}, s_{12}, \ldots\right\}, \quad \varphi_{2}=\left\{s_{21}, s_{22}, \ldots\right\}, \ldots
\]
(напомним, что мы в $F_{Z}$ !) могла бы быть образована матрица $S=\left\{s_{\mu
u}\right\}$, которая имеет обратную $S^{-1}$ (cр. I. 3);
2. в волновой теории в ряд по решениям
\[
\varphi_{1}=\varphi_{1}\left(q_{1}, \ldots, q_{f}\right), \quad \rho_{2}=\varphi_{2}\left(q_{1}, \ldots, q_{f}\right), \ldots
\]

можно было бы разложить любую функцию $\varphi\left(q_{1}, \ldots, q_{f}\right)$ (не обязанную быть решением уравнения)
\[
\varphi\left(q_{1}, \ldots, q_{f}\right)=\sum_{n=1}^{\infty} c_{n} \varphi_{n}\left(q_{1}, \ldots, q_{f}\right)
\]
$\left(\varphi_{1}, \varphi_{2}, \ldots\right.$ могут принадлежать различным значениям $\lambda$ ). (Последнее обстоятельство не упоминалось, правда, в I. 3, но оно необходимо для дальнейшего развития волновой теории и, в частности, для «теории возмущений» Шредингера ${ }^{66}$ ). ?

Но 1. ведет к тому же, что и 2 ., потому что матрица $S$ переводит $\{1,0,0, \ldots\},\{0,1,0, \ldots\}, \ldots$ соответственно в
\[
\left\{s_{11}, s_{12}, s_{13}, \ldots\right\},\left\{s_{21}, s_{22}, s_{23}, \ldots\right\}, \ldots,
\]

и, следовательно, все гильбертово пространство $\mathfrak{R}_{\infty}$ в замкнутое линенное многообразие, натянутое на $\varphi_{1}, \varphi_{2}, \ldots$, и, значит, для того,
${ }^{66}$ ) См. третью статью из упомя:утого в прим. ${ }^{9}$ ) на стр. 13 сборника (Ann. Phys. [4] Bd. 80 (1926)).
чтобы существовала $\mathcal{S}^{-1}$, последнее обязано тоже быть равным $\mathfrak{R}_{\infty}$. А 2. утверждает то же самое прямо: оно тоже требует, чтобы каждое $\varphi$ могло быть аппроксимировано с любой степенью точности линейной комбинацией $\varphi_{1}, \varphi_{2}, \ldots{ }^{67}$ ).

Выясним, сколь сильно это усповие, и попутно докажем еще раз своиства уравнения $\boldsymbol{E}$., пользуясь тем формальным аппаратом, который теперь имеем в своем распоряжении.

Во-первых, – поскольку мы требуем $\varphi
eq 0$ и поскольку $a \varphi$ есть решение, коль скоро $\varphi$ является таковым, – достаточно рассмотреть только решения с $\|\varphi\|=1$. Во-вторых, нет нужды требовать, чтобы $\lambda$ было вещественным, потому что это следует из $\mathrm{H} \varphi=\lambda \varphi$ :
\[
(\mathrm{H} \varphi, \varphi)=(\lambda \varphi, \varphi)=\lambda(\varphi, \varphi)=\lambda
\]
(ср. II. 5, прим. ${ }^{61}$ ) на стр. 76). В-третьих, решения $\varphi_{1}, \varphi_{2}$, принадлежащие различным $\lambda_{1}, \lambda_{2}$, взаимно ортогональны:
\[
\left(H \varphi_{1}, \varphi_{2}\right)=\lambda_{1}\left(\varphi_{1}, \varphi_{2}\right) ; \quad\left(H \varphi_{1}, \varphi_{2}\right)=\left(\varphi_{1}, H \varphi_{2}\right)=\lambda_{2}\left(\varphi_{1}, \varphi_{2}\right) .
\]

Значит, $\left(\varphi_{1}, \varphi_{2}\right)=0$, так как $\lambda_{1}\left(\varphi_{1}, \varphi_{2}\right)=\lambda_{2}\left(\varphi_{1}, \varphi_{2}\right)$, а $\lambda_{1}
eq \lambda_{2}$.
Пусть теперь $\lambda_{1}, \lambda_{2}, \ldots$ – это отличные друг от друга $\lambda$, для которых $\boldsymbol{E}$. разрешимо. (Если мы выберем для каждого $\lambda$ с разрешимым $H \varphi=\lambda \varphi$ по одному решению $\varphi_{\lambda}$ длины 1 , то эти $\varphi$ образуют, в силу сделанных прежде замечаний, ортонормированную систему. Следовательно, по теореме $3^{(\infty)}$. из II. 2 этот набор образует конечную или бесконечную последовательность. Но, значит, мы можем записывать и $\lambda$ как (быть может, обрывающуюся) последовательность.) Для всякого $\lambda=\lambda_{\rho}$ все решения уравнения $Н \varphi=\lambda \varphi$ образуют линейное многообразие и притом замкнутое ${ }^{68}$ ). Следовательно, согласно теореме 9. существует ортонормированное множество $\varphi_{\rho, 1}, \ldots, \varphi_{\rho, v_{\rho}}$ таких решений, которые как раз растягивают это замкнутое линейное многообразие. Ясно, что число $v_{p}$ – это максимальное число линейнонезависимых решений с $\lambda=\lambda_{\rho}$. Это число известно под названием
67) Мы сознательно не входим здесь в более точные вопросы сходимости; в оригинальных формах матричной и волновой теорий эти вопросы тоже не устанавливались с аккуратностью; позже мы установим это (ср., например, II. 9).
${ }^{68}$ ) Последнее обстоятельство очевидно без дальнейших пояснений только для непрерывных, повсюду определенных $\mathrm{H}$, т. е. если из $f_{n} \rightarrow f$ следует, что $\mathrm{H} f_{n} \rightarrow \mathrm{H} f$. Между тем достаточно будет, как легко убедиться, и менее ограничивающего свойства из $f_{n} \rightarrow f, H f_{n} \rightarrow f^{*}$ следует, что $\mathrm{H} f=f^{*}$ (это так называемая «замкнутость» H; cp. работу автора в Math. Ann. Bd. 102 (1929)). Это последнее всегда выполняется для квантовомеханических операторов, даже для не непрерывных. Точнее, незамкнутый эрмитов оператор может быть сделан замкнутым (и эрмитовым) с помощью однозначного расширения его области определения (что не имеет места, например, для свойства непрерывности, ср. II. 9 , стр. 112).
6 й. Неймаң кратности собственного значения $\lambda_{p} \cdot(
u=1,2, \ldots, \infty ;
u=\infty$ может встречаться. Например, $\lambda=1$ для $\mathrm{H}=1$.) В соответствии с предыдущим рассуждением $\varphi_{\rho, 1}, \ldots, \varphi_{\rho,
u}$ с двумя разными $\rho$ также взаимно ортогональны. Следовательно, полныи набор всех
\[
\varphi_{\rho,
u} \quad\left(\rho=1,2, \ldots ;
u=1, \ldots,
u_{\rho}\right)
\]

также образует ортонормированную систему. Зная источник этой системы, мы замечаем, что на нее натянуто то же самое замкнутое линейное многообразие, что и на все решения $\varphi$ проблемы $\boldsymbol{E}$..

Пронумеруем $\varphi_{\rho, \text { в }}$ в любом порядке, обозначая их через $\psi_{1}, \psi_{2}, \ldots$, соответствующие им $\lambda$ – через $\lambda^{(1)}, \lambda^{(2)}, \ldots$ Итак, сформулированное прежде утверждение, что все решения $\boldsymbol{E}$. должны растягивать $\mathfrak{R}_{\infty}$ как замкнутое линейное многообразие, гласит теперь, что это должны делать уже только $\psi_{1}, \psi_{2}, \ldots$ (подмножество решений!) – и, следовательно, по теореме 7. $\alpha$ ), что эта ортонормированная сйтема полна.

Таким образом, решение проблемы собственных значений в смысле квантовой механики требовало бы найти как раз столько решений
\[
\varphi=\psi_{1}, \psi_{2}, \ldots \quad \text { и } \quad \lambda=\lambda_{1}, \lambda_{2}, \ldots
\]

проблемы $\boldsymbol{E}$., чтобы из них можно было образовать полную нормированную ортогональную систему. Это, однако, в общем случае никоим образом невозможно. Так, например, в волновой теории мы видим, что часть решений $\boldsymbol{E}$. (т. є. $\boldsymbol{E}_{2}$. из I. 3), – а ведь нам нужны все, чтобы можно было разложить по решениям каждую волновую функцию (ср. замечание выше), – не обладает конечным интегралом от квадрата абсолютной величины ${ }^{69}$ ), т. е. не принадлежит гильбертову пространству. В последнем же (а ведь в $\boldsymbol{E}_{2}$. мы учитываем лишь его) не оказывается поэтоиу полной нормированной ортогональной системы решений

С другой стороны, гильбертова теория проблемы собственных значений показывает, что это явление отнюдь не представляет исключения в поведении операторов (даже для непрерывных ${ }^{70}$ )). Значит, нам придется разобраться в том, что это означает физически; ср. III. 3). Если это явление имеет место, т. е. если ортонормированная система, составленная из решений $\boldsymbol{E}$., не полна, то говорят, что у Н есть «непрерывный спектр» («Streckenspektrum»), ( $\lambda_{1}, \lambda_{2}, \ldots$ образуют «дискретныи» спектр («Punktspektrum») H).

Наша следующа́ задача состоит в том, чтобы найти, поскольку $E$. не годится, формулировку проблемы собственных значений эрмитова оператора и применить ее к квантовой механике. IІрежде всего мы должны, следуя пути, указанному Гильбертом (ср. прим. ${ }^{70}$ )), объяснить постановку проблемы собственных значений.
69) Ср., например, как рассматривает Шредингер задачу об атоме водорода; работа, цитированная в прим. 16 ), стр. 18.
$\left.{ }_{70}\right) \mathrm{Cp}$ работу, цитированную в прим. ${ }^{64}$ ), стр. 78.