Метод, намеченный в I. 3, приводил к аналогии между «дискретным» пространством значений индекса $Z=(1,2, \ldots)$ и непрерывным конфигурационным пространством $Q$ механической системы ( $\Omega k$-мерно, где $k$ число классических механических степеней свободы системы). Неудивительно, что такая аналогия не могла быть достигнута без некоторого насилия над формализмом и математикой. Пространства $Z$ и $Q$ в денствительности весьма различны и любая попытка соотнести их должна приводить к большим трудностям ${ }^{33}$ ).
${ }^{33}$ ) Впрочем, к унификации такого рода задолго до квантовой механики стремился Е. Н. Мооге – основоположник так называемого «общего анализа». Cp. статью на эту тему: Hellinger-Töpliz, Math. Enzyklopädie Bd. II 3, 9 Leipzig, 1927.
โгл. I
Однако, что нам в самом деле нужно, это вовсе не соотношение между $Z$ и $Q$, но только соотношение между функциями в этих двух пространствах, т. е. между последовательностями $x_{1}, x_{2}, \ldots$, которые суть функции в $Z$, и волновыии функциями $\varphi\left(q_{1}, \ldots, q_{k}\right)$, являющимися функциями в $\mathcal{Q}$. Единственно эти функции и представляют собой те объекты, которые входят в постановку квантовой механической задачи.
В теории Шредингера важную роль играет интеграл
\[
\underbrace{\int \ldots \int}_{\underline{\rho}}\left|\varphi\left(q_{1}, \ldots, q_{k}\right)\right|^{2} d q_{1} \ldots d q_{k}
\]

он должен быть равен единице для того, чтобы функции ч можно было дать физическую интерпретацию (ср. I.2). В матричной теории, напротив (ср. проблему $\boldsymbol{E}_{1}$. в I.3), решающую роль играет вектор $x_{1}, x_{2}, \ldots$ На этот вектор всегда накладывается условие конечности суммы $\sum_{
u}\left|x_{v}\right|^{2}$ в духе гильбертовой теории такого рода задач о собственных значениях (ср. ссылку в прим. ${ }^{30}$ ) на стр. 25). Обычно даже, чтобы исключить тривиальное решение $x_{y} \equiv 0$, устанавливают нормировку $\sum_{
u}\left|x_{v}\right|^{2}=1$. Это побуждает нас ограничить круг допустимых в $Z$ или $Q$ функций такими, для которых
\[
\sum_{
u}\left|x_{v}\right|^{2} \text { или } \underbrace{\int \ldots \int}_{\Omega}\left|\varphi\left(q_{1}, \ldots, q_{k}\right)\right|^{2} d q_{1} \ldots d q_{k}
\]

конечны, поскольку лишь для таких функций $\sum_{
u}$ или $\underbrace{\int \ldots \int}_{\varepsilon}$ могут быть сделаны равными единице умножением на постоянную, т. е. функции можно нормировать в обычном смысле ${ }^{34}$ ). Мы назовем множества таких функций $F_{Z}$ и $F_{2}$ соответственно.
34) Многократно отмечалось, что в теории Шредингера для волновой функции $\varphi$ существенно лишь требование конечности интеграла
\[
\underbrace{\int \ldots \int}_{\Omega}\left|\varphi\left(q_{1}, \ldots, q_{k}\right)\right|^{2} d q_{1} \ldots d q_{k} .
\]

Так что, например, 9 может быть сингулярна, может обращаться в бесконечность, если только указанный интеграл остается конечным. Поучительным примером такого рода оказывается атом водорода в релятивистской теории Дирака, ср. Dir a c, Proc. Roy. Soc., Lond., 117 (1928); и W. G ordo n, Z. Physik 48 (1928).

Далее, выполняется теорема: $F_{Z}$ и $F_{\Omega}$ изоморфны (Fischer u. F. Ries $)^{35}$ ).

Точнее это означает следующее: Возможно установить однооднозначное соответствие между $F_{Z}$ и $F_{Q}$, т. е. каждой последовательности $x_{1}, x_{2}, \ldots$ с конечнои $\sum_{
u}\left|x_{v}\right|^{2}$ сопоставить функцию $\zeta\left(q_{1}, \ldots, q_{k}\right)$ с конечным $\underbrace{\int \ldots \int}_{2}\left|\varphi\left(q_{1}, \ldots, q_{k}\right)\right|^{2} d q_{1} \ldots d q_{k}$ и наоборот, так что соответствие будет линеиным и изометрическим. «Линейность» означает: если $x_{1}, x_{2}, \ldots$ соответствует $\varphi\left(q_{1}, \ldots, q_{k}\right)$ II $y_{1}, y_{2}, \ldots$ соответствует $\psi\left(q_{1}, \ldots, q_{k}\right)$, то $a x_{1}, a x_{2}, \ldots$ и $x_{1}+y_{1}$, $x_{2}+y_{2}, \ldots$ соответствуют $a \varphi\left(q_{1}, \ldots, q_{k}\right)$ и $\varphi\left(q_{1}, \ldots, q_{k}\right)+$ $+\psi\left(q_{1}, \ldots, q_{k}\right)$; «изометричность» означает: для соответствующих друг другу $x_{1}, x_{2}, \ldots$ и $\varphi\left(q_{1}, \ldots, q_{k}\right)$ выполняется $\sum_{v}\left|x_{v}\right|^{2}=$ $=\underbrace{\int \ldots \int}_{\Omega}\left|\varphi\left(q_{1}, \ldots, q_{k}\right)\right|^{2} d q_{1} \ldots d q_{k}$ (понятие «изометрии» связано с тем, что принято рассматривать $x_{1}, x_{2}, \ldots$ и $\varphi\left(q_{1}, \ldots, q_{k}\right)$ как векторы, а $\sqrt{\sum_{
u}\left|x_{
u}\right|^{2}}$ и $\sqrt{\underbrace{}_{\boldsymbol{q}} \ldots \int\left|\varphi\left(q_{1}, \ldots, q_{k}\right)\right|^{2} d q_{1} \ldots d q_{k}}$ как соответствующие «длины»). Вдобавок, если $x_{1}, x_{2}, \ldots$ и $y_{1}, y_{2}, \ldots$ отвечают соответственно $\varphi\left(q_{1}, \ldots, q_{k}\right)$ и $\psi\left(q_{1}, \ldots, q_{k}\right)$, то будет даже
\[
\sum_{v} x_{v} \bar{y}_{v}=\underbrace{\int \ldots \int}_{\varepsilon} \varphi\left(q_{1}, \ldots, q_{k}\right) \overline{\psi\left(q_{1}, \ldots, q_{k}\right)} d q_{1} \ldots d q_{k}
\]
(и обе части абсолютно сходятся). По поводу этого последнего пункта заметим, что собственно можно было бы желать, чтобы выполнялось
\[
\sum_{v} x_{v}=\underbrace{\int \ldots \int}_{\Omega} \varphi\left(q_{1}, \ldots, q_{k}\right) d q_{1} \ldots d q_{k}
\]

или нечто в этом роде, т. е. полной аналогии между суммированием с одной стороны, и интегрированием с другой, однако ближайшее
35) В главе о гильбертовом пространстве мы вернемся к доказательству этой теоремы (ср. II, 2, 3, особенно пеорема 5. в II, 2). Заметим, что для многих целей достаточно только части этой теоремы, которая доказывается много проще; именно: изоморфизма между $F_{q}$ и соответствующей частью $F_{z}$; доказательство этой части восходит к H1lbert’y (Gött. Nachr., 1906). Taк, первоначальное шредингерово доказательство эквивалентности (ср. прим. ?) на стр. 13), тоже основано только на этой части теоремы.

$[\Gamma л$. I
рассмотрение показывает, что сложение $\sum_{
u}$ и интегрирование $\underbrace{\int \ldots \int}_{\Omega} \ldots d q_{1} \ldots d q_{k}$ применяются в квантовон механике всегда только к таким выражениям, как $x_{
u} \bar{y}$, или $\varphi\left(q_{1}, \ldots, q_{k}\right) \overline{\psi\left(q_{1}, \ldots, q_{k}\right)}$. Мы не собираемся здесь предпринимать какое-либо исследование того, как это соответствие должно быть установлено, поскольку это все равно будет нашей главной заботой в следующей главе. Но надо подчеркнуть, что̀ означает существование такого соответствия: $Z$ и $Q$ весьма различны и установление прямой связи между ними должно приводить к неразрешимым матеиатическим трудностям. С другой стороны $F_{Z}$ и $F_{Q}$ изоморфны, т. е. идентичны по своей внутренней структуре (они реализуют одни и те же абстрактные свойства в различных математических построениях) – и поскольку они (но не сами $Z$ и $Q$ !) суть собственно аналитические субстраты матричной и волновой теорий, то этот изоморфизм значит, что обе теории должны приводить к одним и тем же численным результатам. Поэтому, например, изоморфизм сопоставляет матрицу
\[
\widetilde{\mathrm{H}}=H\left(\bar{Q}_{1}, \ldots, \bar{Q}_{k}, \stackrel{\rightharpoonup}{P}_{1}, \ldots, \bar{P}_{k}\right)
\]

и оператор
\[
H=H\left(q_{1}, \ldots, q_{k} ; \frac{h}{2 \pi i} \frac{\partial}{\partial q_{1}}, \ldots, \frac{h}{2 \pi i} \frac{\partial}{\partial q_{k}}\right)
\]

друг другу. Поскольку и та и другой получены с помощью одних и тех же алгебраических операций из матриц $\bar{Q}_{l}, \bar{P}_{l}(l=1, \ldots k)$ и функциональных операторов
\[
q_{l}, \ldots, \frac{h}{2 \pi i} \frac{\partial}{\partial q_{l}}, \ldots \quad(l=1, \ldots, k)
\]

соответственно, то достаточно показать, что $q_{l}$, .. отвечает матрице $\bar{Q}_{l}, \ldots$ и $\frac{h}{2 \pi i} \frac{\partial}{\partial q_{l}}, \ldots$ матрице $\bar{P}_{l}, \ldots$ Далее, от матриц $\bar{Q}_{l}, \bar{P}_{t}$ $(l=1, \ldots k)$ не требовалось ничего, кроме того, чтобы они удовлетворяли правилам перестановки, упомянутым в I. 2:
\[
\begin{array}{l}
\bar{Q}_{m} \bar{Q}_{n}-\bar{Q}_{n} \bar{Q}_{m}=0, \quad \bar{P}_{m} \widetilde{P}_{n}-\bar{P}_{n} \bar{P}_{m}=0, \\
Q_{m} P_{n}-P_{n} Q_{m}=\left\{\begin{array}{lll}
=0 & \text { при } & m
eq n \\
=\frac{h}{2 \pi i} 1 & \text { при } & m=n .
\end{array}\right\} \quad(m, n=1,2, \ldots) \\
\end{array}
\]

Но матрицы, соответствующие (по изоморфизму) $q_{l}, \ldots, \frac{h}{2 \pi i} \frac{\partial}{\partial q_{i}}, \ldots$, безусловно будут им удовлетворять, поскольку сами функциональные
операторы $q_{l}, \ldots, \frac{h}{2 \pi i} \frac{\partial}{\partial q_{l}}, \ldots$ обладают этим свойством ${ }^{36}$ ), и свойства эти не теряются при изоморфном переносе на $F_{Z}$.

Поскольку системы $F_{Z}$ и $F_{Q}$ изоморфны, и поскольку квантовые механики, построенные на них, математически равнозначны, то следует ожидать, что единую теорию, не зависимую от случайностей формальной схемы, выбранной в свое время, и представляющую только действительно существенные черты квантовой механики, можно будет построить, лишь если изучить основные внутренние свойства (общие для $F_{Z}$ и $F_{2}$ ), присущие этим системам функций, и взять именно их за исходную точку построения.

Система $F_{Z}$ обычно называется «пространством Гильберта». Таким образом, в первую очередь речь пойдет о том, чтобы разыскать те внутренние своиства гильбертова пространства, которые не зависят от специальных свойств его частных воплощений $F_{Z}$ или $F_{\Omega}$. Математический образ, описываемый этими свойствами (и который в конкретных частных случаях можно в целях вычислений с равным правом принимать за $F_{Z}$ или $F_{9}$, но для общих целей удобнее рассматривать непосредственно), будем называть «абстрактным гильбертовым пространством».

Итак, мы хотим описать абстрактное гильбертово пространство и затем с полной строгостью доказать следующие положения:
1. Что абстрактное гильбертово пространство однозначно характеризуется свойствами, которые будут указаны, т. е. что оно не допускает более сушественно различных реализаций.
2. Что его свойтва осуществляются как в $F_{Z}$, так и в $F_{\Omega}$. (При этом вещи, обсуждавшиеся в I. 4 лишь качественно, будут строго проанализированы.) Когда это будет сделано, мы применим получаемый таким образом математический аппарат к построению квантовой механики.
36) Мы имеем
\[
\begin{array}{l}
q_{m} q_{n}\left(q_{1}, \ldots, q_{k}\right)=q_{n} q_{m} \varphi\left(q_{1}, \ldots, q_{k}\right), \\
\frac{\partial}{\partial q_{m}} \frac{\partial}{\partial q_{n}} \varphi\left(q_{1}, \ldots, q_{k}\right)=\frac{\partial}{\partial q_{n}} \frac{\partial}{\partial q_{m}} \varphi\left(q_{1}, \ldots, q_{k}\right) \text {, } \\
\frac{\partial}{\partial q_{m}} q_{n} \varphi\left(q_{1}, \ldots, q_{k}\right)-q_{n} \frac{\partial}{\partial q_{m}} \varphi\left(q_{1}, \ldots, q_{k}\right)=\left\{\begin{array}{lll}
=0 & \text { при } & m
eq n, \\
=\varphi\left(q_{1} \ldots q_{k}\right) & \text { прн } & m=n,
\end{array}\right. \\
\end{array}
\]
из чего прямо следуют нужные операторные соотношения.
3 и. Нейман