Теперь мы можем заняться доказательством высказанного в V. 1 утверждения о необратимости процесса измерения. Если, например, $U$ – состояние, $U=P_{[\varphi]}$, то в результате измерения некоторои величины $\mathfrak{P}$, оператор $R$ которой обладает собственными функциями $\varphi_{1}$, $\varphi_{2}, \ldots$, оно переходит в ансамбль
\[
U^{\prime}=\sum_{n=1}^{\infty}\left(P_{\left[\varphi \mid \varphi_{n}\right.}, \varphi_{n}\right) \cdot P_{\left[\varphi_{n}\right]}=\sum_{n=1}^{\infty}\left|\left(\varphi, \varphi_{n}\right)\right|^{2} P_{\left[\varphi_{n}\right]},
\]

и если $U^{\prime}$ – не состояние, то при этом происходит возрастание энтропии (энтропия $U$ была 0 , а энтропия $U^{\prime}$ будет $>0$ ), так что процесс необратим. Но чтобы $U^{\prime}$ было состоянием, следовательно было $P_{\left[\varphi_{n}\right]}$, где $\varphi_{n}$ – его собственные функции, должно быть $\left|\left(\varphi, \varphi_{n}\right)\right|^{2}=0$ для всех $\varphi_{n}$, исключая одну (для нее $=1$ ), т. е. $\varphi$ должна быть ортогональна ко всем $\varphi_{n}, n
eq \bar{n}$. Но тогда $\varphi=c \varphi_{\bar{n}}$, причем $|c|=1$, следовательно $P_{[\varphi]}=P_{[\varphi]}$ и $U=U^{\prime}$. Итак, всякое измерение в состоянии необратимо, исключая случай, когда собственная функция измеренной величины (т. е. эта ве.ичина в данном состоянии) имеет точное значение, когда измерение вообще не меняет состояния. Как мы видим, акаузальное поведение однозначным образом связано поэтому и с определенными сопутствующими термодинамическими явлениями.

Мы хотим обсудить теперь с полной общностью, когда процесс 1. $U \rightarrow U^{\prime}=\sum_{n=1}^{\infty}\left(U \varphi_{n}, \varphi_{n}\right) \cdot P_{\left[\varphi_{n}\right]}$ повышает энтропию.

Ансамбль $U$ обладает энтропией – $N x \operatorname{Spur}(U \ln U)$, и если $w_{1}, w_{2}, \ldots$ – его собственные значения, а $\psi_{1}, \psi_{2}, \ldots$ – собственные функции, то это равно
\[
-N \times \sum_{n=1}^{\infty} w_{n} \ln w_{n}=-N \times \sum_{n=1}^{\infty}\left(U \psi_{n}, \psi_{n}\right) \ln \left(U \psi_{n}, \psi_{n}\right) .
\]

Что до $U^{\prime}$, то он обладает собственными значениями $\left(U \varphi_{1}, \varphi_{1}\right)$, $\left(U \varphi_{2}, \varphi_{2}\right), \ldots$ следовательно его энтропия равна
\[
-N x \sum_{n=1}^{\infty}\left(U \varphi_{n}, \varphi_{n}\right) \ln \left(U \varphi_{n}, \varphi_{n}\right)
\]

Поэтому энтропия ансамбля $U \gtreqless$ энтропии $U^{\prime}$ в зависимости от того, будет ли
\[
\sum_{n=1}^{\infty}\left(U \psi_{n}, \psi_{n}\right) \ln \left(U \psi_{n}, \psi_{n}\right) \sum_{n=1}^{\infty}\left(U \varphi_{n}, \varphi_{n}\right) \ln \left(U \varphi_{n}, \varphi_{n}\right) .
\]
Покажем сперва, что в *, во всяком случае, выполняется знак $\geqslant$, т. е. что процесс $U \rightarrow U^{\prime}$ не уменьшает энтропии; хотя это и ясно термодинамически, тем не менее для наших дальненших целей будет важно обладать и чисто математическим доказательством этого обстоятельства. Именно, мы будем считать $U$, а вместе с ним и $\psi_{1}, \psi_{2}, \ldots$ фиксированными, а систему $\varphi_{1}, \varphi_{2}, \ldots$ – пробегающей все возможные полные ортонормированные системн.

Мы можем сперва ограничиться из соображений непрерывности такими системами $\varphi_{1}, \varphi_{2}, \ldots$ в которых только конечное число функций $\varphi_{n}$ отличны от соответствующих функций $\psi_{n}$. Итак, пусть, например, для $n>M$ всегда $\varphi_{n}=\psi_{n}$. Тогда функции $\varphi_{n}$ с $n \leqslant M$ будут линейными комбинациями функции $\psi_{n}$ с $n \leqslant M$ и наоборот, т. е.
\[
\varphi_{m}=\sum_{n=1}^{M} x_{m n} \psi_{n} \quad(m=1, \ldots, M)
\]

и $M$-мерная матрица $\left\{x_{m n}\right\}$ очевидно унитарна. Выполняется $\left(U \psi_{m}, \psi_{m}\right)=w_{m}$ и, как легко вычислить,
\[
\left(U \varphi_{m}, \varphi_{m}\right)=\sum_{n=1}^{M} w_{n}\left|x_{m: t}\right|^{2} \quad(m=1, \ldots, M),
\]

так что требуется доказать, что
\[
\sum_{m=1}^{M} w_{m} \ln w_{m} \geqslant \sum_{m=1}^{M}\left(\sum_{n=1}^{M} w_{n}\left|x_{m n}\right|^{2}\right) \ln \left(\sum_{n=1}^{M} w_{n}\left|x_{m n}\right|^{2}\right) .
\]

Поскольку правая часть является непрерывной функцией $M^{2}$ ограниченных переменных $x_{m n}$, то она имеет максимум и ( $\left\{x_{m n}\right\}$ унитарна!) принимает его; так как левая сторона является значением правой для
\[
x_{m n}=\left\{\begin{array}{lll}
1 & \text { для } & m=n, \\
0 & \text { для } & m
eq n,
\end{array}\right.
\]

то остается показать, что названный максимум осуществляется как раз для этой системы переменных $x_{m n}$.

Итак, пусть $x_{m n}^{0}(m, n=1, \ldots, M)$ – те значения переменных, для которых осуществляется максимум. Если перемножить матрицу $\left\{x_{m, n}^{0}\right\}$ с унитарной матрицей
\[
\left\{\begin{array}{c}
\alpha, \beta, 0, .0 \\
-\bar{\beta}, \bar{\alpha}, 0, .0 \\
0,0,1, .0 \\
\cdot . \dot{0} \cdot .1
\end{array}\right\} ; \quad|\alpha|^{2}+|\beta|^{2}=1,
\]
то получится унитарная матрица $\left\{x_{m n}^{\prime}\right\}$, т. е. опять допустимая система переменных $x_{m n}$. Пусть, именно, $\alpha=\sqrt{1-\varepsilon^{2}}, \beta=\vartheta \varepsilon$ ( вещественно, $|\vartheta|=1$ ) и. в мало, так что в дальнеиших вычислениях мы будем учитывать только члены порядка $1, \varepsilon, \varepsilon^{2}$, а членами порядка $\varepsilon^{3}$, $\varepsilon^{4}, \ldots$ – пренебрегать. Тогда $\alpha \approx 1-\frac{1}{2} \varepsilon^{2}$, и в новой матрице $\left\{x_{m n}^{\prime}\right\}$ будет
\[
\begin{array}{l}
x_{1 n}^{\prime} \approx\left(1-\frac{1}{2} \varepsilon^{2}\right) x_{1 n}^{0}+\vartheta \varepsilon x_{2 n}^{0} ; \\
x_{2 n}^{\prime} \approx-\bar{\vartheta} \varepsilon x_{1 n}^{0}+\left(1-\frac{1}{2} \varepsilon^{2}\right) x_{2 n}^{0} ; \\
x_{m n}^{\prime}=x_{m n}^{0} \quad(m \geqslant 3),
\end{array}
\]

и, следовательно, далее
\[
\begin{array}{l}
\sum_{n=1}^{M} w_{n}\left|x_{1 n}^{\prime}\right|^{2} \approx \sum_{n=1}^{M} w_{n}\left|x_{1 n}^{0}\right|^{2}+\sum_{n=1}^{M} 2 w_{n} \operatorname{Re}\left(\bar{\vartheta} x_{1 n}^{0} \overline{x_{2 n}^{0}}\right) \cdot \varepsilon+ \\
+\sum_{n=1}^{M} w_{n}\left(-\left|x_{1 n}^{0}\right|^{2}+\left|x_{2 n}^{0}\right|^{2}\right) \cdot \varepsilon^{2} ; \\
\sum_{n=1}^{M} w_{n}\left|x_{2 n}^{\prime}\right|^{2} \approx \sum_{n=1}^{M} w_{n}\left|x_{2 n}^{0}\right|^{2}-\sum_{n=1}^{M} 2 w_{n} \operatorname{Re}\left(\bar{\vartheta} x_{1 n}^{0} \bar{x}_{2 n}^{0}\right) \cdot \varepsilon- \\
-\sum_{n=1}^{M} w_{n}\left(-\left|x_{1 n}^{0}\right|^{2}+\left|x_{2 n}^{0}\right|^{2}\right) \cdot \varepsilon^{2} ; \\
\sum_{n=1}^{M} w_{n}\left|x_{m n}^{\prime}\right|^{2}=\sum_{n=1}^{M} w_{n}\left|x_{m n}^{0}\right|^{2} .
\end{array}
\]

Подставляя эти выражения в $f(x)=x \ln x$, учитывая при этом, что
\[
f^{\prime}(x)=\ln x+1, \quad f^{\prime \prime}(x)=\frac{1}{x},
\]

и выполняя сложение, мы получим
\[
\begin{array}{l}
\sum_{m=1}^{M}\left(\sum_{n=1}^{M} w_{n}\left|x_{m n}^{\prime}\right|^{2}\right) \ln \left(\sum_{n=1}^{M} w_{n}\left|x_{m n}^{\prime}\right|^{2}\right) \approx \\
\approx \sum_{m=1}^{M}\left(\sum_{n=1}^{M} w_{n}\left|x_{m n}^{0}\right|^{2}\right) \ln \left(\sum_{n=1}^{M} w_{n}\left|x_{m n}^{0}\right|^{2}\right)+ \\
+\left(\ln \left(\sum_{n=1}^{M} w_{n}\left|x_{1 n}^{0}\right|^{2}\right)-\ln \left(\sum_{n=1}^{M} w_{n}\left|x_{2 n}^{0}\right|^{2}\right)\right) \cdot \sum_{n=1}^{M} 2 w_{n} \operatorname{Re}\left(\bar{\vartheta} x_{1 n}^{0} \bar{x}_{2 n}^{0}\right) \cdot \varepsilon+
\end{array}
\]
[гл, V
\[
\begin{array}{l}
+\left[-\left(\ln \left(\sum_{n=1}^{M} w_{n}\left|x_{1 n}^{0}\right|^{2}\right)-\ln \left(\sum_{n=1}^{M} w_{n}\left|x_{2 n}^{0}\right|^{2}\right) \times\right.\right. \\
\times\left(\sum_{n=1}^{M} w_{n}\left|x_{1 n}^{0}\right|^{2}-\sum_{n=1}^{M} w_{n}\left|x_{2 n}^{0}\right|^{2}\right)+ \\
\left.+\frac{1}{2}\left(\frac{1}{\sum_{n=1}^{M} w_{n}\left|x_{1 n}^{0}\right|^{2}}+\frac{1}{\sum_{n=1}^{M} w_{n}\left|x_{2 n}^{0}\right|^{2}}\right)\left(\sum_{n=1}^{M} 2 \operatorname{Re}\left(\bar{\vartheta} x_{1 n}^{0} \bar{x}_{2 n}^{0}\right)\right)^{2}\right] \cdot \varepsilon^{2} .
\end{array}
\]

Чтобы первый член справа осуществлял максимум, коэффициент при $\varepsilon$ должен $=0$, а коэффициент при $\varepsilon^{2}$ быть $\leqslant 0$. Первый из них содержит два множителя,
\[
\ln \left(\sum_{n=1}^{M} w_{n}\left|x_{1 n}^{0}\right|^{2}\right)-\ln \left(\sum_{n=1}^{M} w_{n}\left|x_{2 n}^{0}\right|^{2}\right)
\]

и
\[
\sum_{n=1}^{M} 2 w_{n} \operatorname{Re}\left(\bar{\vartheta} x_{1 n}^{0} \overline{x_{2 n}^{0}}\right) .
\]

Будь первый из них $=0$, в коэффициенте при $\varepsilon^{2}$ первый член будет $=0$ (он всегда $\leqslant 0$ ), так что второн член, которын, очевидно, всегда $\geqslant 0$, должен будет обратиться в нуль, чтобы весь коэффициент был $\leqslant 0$. Это означает, что $\sum_{n=1}^{M} 2 w_{n} \operatorname{Re}\left(\bar{\partial} x_{1 n}^{0} \bar{x}_{2 n}^{0}\right)=0$, т. е. второћ множитель в коэффициенте при $\varepsilon$ должен тогда тоже $=0$, что можно записать также и в форме $2 \operatorname{Re}\left(\bar{\gamma} \sum_{n=1}^{M} w_{n} x_{1 n}^{0} \bar{x}_{2 n}^{0}\right)=0$. Поскольку это условие переходит, при соответствующем выборе $\theta$, на абсолютную величину суммы $\sum_{n=1}^{M}$, то она должна обращаться в нуль: $\sum_{n=1}^{M} w_{n} x_{1 n}^{0} \bar{x}_{2 n}^{0}=0$.

Поскольку мы могли бы поставить на место 1 и 2 любые два различных $k, j=1, \ldots, M$, то получается
\[
\sum_{n=1}^{M} w_{n} x_{k n}^{0} \bar{x}_{j n}^{0}=0 \quad \text { для } \quad k
eq J .
\]

Но это значит, что унитарное преобразование координат с матрицей $\left\{x_{m n}^{0}\right\}$ преобразует диагональную матрицу с диагональными элементами $w_{1}, \ldots, w_{n}$ снова к диагональной форме. Поскольку диагональные элементы являются мультипликаторами (или собственными значениями) матрицы, то при преобразовании координат они не меняются, а могут, самое большее, переставиться. До преобразования
это были величины $w_{m}(m=1, \ldots, M)$; после преобразования это будут величины $\sum_{n=1}^{M} w_{n}\left|x_{m n}^{0}\right|^{2}(m=1, \ldots, N)$. Итак, суммы $\sum_{n=1}^{M} w_{n} \ln w_{n}$ и $\sum_{m=1}^{M}\left(\sum_{n=1}^{M} w_{n}\left|x_{m n}^{0}\right|^{2}\right) \ln \left(\sum_{n=1}^{M} w_{n}\left|x_{m n}^{0}\right|^{2}\right)$ имеют те же самые значения, т. е. при
\[
x_{m n}=\left\{\left.\begin{array}{ll}
1 & \text { для } m=n \\
0 & \text { для } m
eq n
\end{array} \right\rvert\,\right.
\]

осуществляется максимум, как то и утверждалось.
Установим теперь, когда в соотношении * имеет место знак равенства. Когда это выполняется, сумма
\[
\sum_{n=1}^{\infty}\left(U \chi_{n}, \chi_{n}\right) \ln \left(U \chi_{n}, \chi_{n}\right)
\]

будет принимать максимальное значение не только для $\chi_{n}=\psi_{n}$ $(n=1,2, \ldots)$ (собственных функций оператора $U$, ср. выше), но и для $\chi_{n}=\varphi_{n}(n=1,2, \ldots)$. (Считаем, что $\chi_{1}, \chi_{2}, \ldots$ пробегают все полные ортонормированные системы.) В частности, это выполняется, если унитарное преобразование испытывают только $M$ первых $\varphi_{n}$ (т. е. если $\chi_{n}=\varphi_{n}$ для $\left.n>M\right)$. Пусть $u_{m n}=\left(U \varphi_{m}, \varphi_{n}\right)(m, n=1, \ldots, M)$, $v_{1}, \ldots, v_{M}$ будут собственными значениями конечной (а также и эрмитовой и дефинитной) матрицы $\left\{u_{m n}\right\}$, а $\left\{\alpha_{m n}\right\}(m, n=1, \ldots, M)$ матрицей, приводящей $\left\{u_{m n}\right\}$ к диагональному виду. Функции $\varphi_{1}, \ldots, \varphi_{M}$ пусть она переводит в $\omega_{1}, \ldots, \omega_{M}, \varphi_{m}=\sum_{n=1}^{M} \alpha_{m n} \omega_{n}(m=1, \ldots, M)$, тогда $U \omega_{n}=v_{n} \omega_{n}$, следовательно,
\[
\left(U \omega_{m}, \omega_{n}\right)=\left\{\begin{array}{lll}
v_{n} & \text { для } & m=n . \\
0 & \text { для } & m
eq n .
\end{array}\right.
\]

Для $\xi_{m}=\sum_{n=1}^{M} x_{m n} \omega_{n}\left(m=1, \ldots, M ;\left\{x_{m n}\right\}\right.$ пусть тоже будет унитарной) будет, следовательно, $\left(U \xi_{k}, \xi_{j}\right)=\sum_{n=1}^{M} v_{n} x_{k n} \bar{x}_{j n}$. Поэтому, согласно допущению о $\varphi_{1}, \ldots, \varphi_{M}$, величина $\sum_{m=1}^{M}\left(\sum_{n=1}^{M} v_{n}\left|x_{m n}\right|^{2}\right) \ln \left(\sum_{n=1}^{M} v_{n}\left|x_{m n}\right|^{2}\right)$ принимает максимум при $x_{m n}=\alpha_{m n}$. В силу предыдущего доказательства отсюда следует $\sum_{n=1}^{M} v_{n} \alpha_{k n} \bar{\alpha}_{j n}=0$ для $k
eq j$, т. е. $\left(U \psi_{k}, \psi_{j}\right)=0$ для $k
eq j, k, j=1, \ldots, M$.
гл. v
Это должно выполняться для всех $M$; следовательно, $U \varphi_{k}$ ортогональна ко всем $\varphi_{j}, k
eq j$, поэтому равна $w_{k}^{\prime} \varphi_{k}$ ( $w_{k}^{\prime}$ – константа). Тем самым $\varphi_{1}, \varphi_{n}, \ldots$ оказываются собственными функциями $U$ с собственными значениями $w_{1}^{\prime}, w_{2}^{\prime}, \ldots$ (т. е. с перестановкой собственных вначений $w_{1}, w_{2}, \ldots$ ). Но при таких обстоятельствах
\[
U^{\prime}=\sum_{n=1}^{\infty}\left(U \varphi_{n}, \varphi_{n}\right) \cdot P_{\left[\varphi_{n}\right]}=\sum_{n=1}^{\infty} w_{n}^{\prime} \cdot P_{\left[\varphi_{n}\right]}=U .
\]

Итак, мы нашли, что
Процесс 1., $U \rightarrow U^{\prime}=\sum_{n=1}^{\infty}\left(U \varphi_{n}, \varphi_{n}\right) \cdot P_{\left[\varphi_{n}\right]} \quad\left(\varphi_{1}, \varphi_{2}, \ldots\right.$ – собственные функции оператора $R$ измеряемой величины $\mathfrak{R}$ ) никогда не уменьшает энтропии; он даже увеличивает ее всегда, исключая случай, когда все $\varphi_{1}, \varphi_{2}, \ldots$ являются собственными функциями $U$, т. е. когда $U=\dot{U}^{\prime}$.

Впрочем, в этом случае $U$ коммутирует с $R$, и это тоже характерно для того, чтобы такой случай имел место (поскольку коммутативность равносильна существованию системы общих собственных функций $\varphi_{1}, \varphi_{2}, \ldots$, ср. II. 10).

Итак, процесс 1. необратим во всех случаях, когда он вообще приводит к каким-либо изменениям.

Теперь мы должны рассмотреть вопросы обратимости при процессах 1. и 2. независимо от феноменологической термодинамики, как то было прокламировано в V. 2 в качестве второго пункта программы. Математический метод, с помощью которого это может удаться, мы уже знаем: Если выполняется второе начало, то энтропия должна равняться $-N x \operatorname{Spur}(U \ln U)$, и эта величина не вправе уменьшиться ни при каком процессе 1 . или 2 .. Поэтому нам надо рассмотреть теперь $-N x \operatorname{Spur}(U \ln U$ ) как чисто математическую величину, независимо от ее толкования как энтропии, и выяснить, џто происходит с ней при 1. и 2. ${ }^{200}$ ).

При процессе 2. из $U$ возникает $U_{t}=e^{-\frac{2 \pi t}{h} t \mathrm{H}} U e^{\frac{2 \pi t}{h} t \mathrm{H}}$, т. е. если обозначить унитарный оператор $e^{-\frac{2 \pi l}{h} t \mathrm{H}}$ через $A, U \rightarrow U_{t}=A U A^{-1}$. Поскольку в силу унитарности $A$ вамена $f \rightarrow A f$ осуществляет изоморфное отображение гильбертова пространства само на себя, которое переводит каждыи оператор $P$ в $A P A^{-1}$, то вообще $F\left(A P A^{-1}\right)=A F(P) A^{-1}$. Поэтому $U_{t} \ln U_{t}=A \cdot U \ln U \cdot A^{-1}$. Отсюда $\operatorname{Spur}\left(U_{t} \ln U_{t}\right)=\operatorname{Spur}(U \ln U)$, т. е. наша величина $-N \% \operatorname{Spur}(U \ln U)$ сохраняется при 2. постоянной. Что происходит с ней при 1., мы
200) Мы, естественно, могли бы опустить здесь множитель $N x$ и рассматривать просто – Spur ( $U \ln U$ ) или же чтобы сохранить пропорциональность числу өлементов $N$, величину $-N$ Spur $(U \ln U)$.
только что (и притом без ссылок на второе начало) выяснили: если $U$ при этом меняется (т. е. $U
eq U^{\prime}$ ), то она возрастает, при неизменном же $U$ (т. е. при $U=U^{\prime}$ или же при $\varphi_{1}, \varphi_{2}, \ldots$, являющихся собственными функциями $U$, или же при коммутирующих $U$ и $R$ ) она, естественно, тоже остается неизменнои. Итак, при воздействии, составленном из многих процессов 1. и 2. (в произвольных числе и порядке), $-N x \operatorname{Spur}(U \ln U)$ остается, следовательно, неизменной, если каждый из процессов 1. недећствен (т. е. не совершает какихлибо изменений), а во всех остальных случаях – возрастает. Поэтому, если рассматриваются только воздействия 1. и 2., то каждый из процессов 1., который вообще что-либо меняет, необратим.

Существуют, правда, и более простые выражения, чем– Spur ( $U \ln U)$, которые не убывают при процессах 1. и остаются постоянными при 2., например, наибольшее собственное значение оператора $U$. В самом деле, при 2. оно, как и все собственные значения $U$, не меняется, при 1. же собственные значения $w_{1}, w_{2}, \ldots$ оператора $U$ переходят в собственные значения $\sum_{n=1}^{\infty} w_{n}\left|x_{1 n}\right|^{2}, \sum_{n=1}^{\infty} w_{n}\left|x_{2 n}\right|^{2}, \ldots$ оператора $U^{\prime}$ (ср. рассмотрение этого параграфа), и, поскольку из-за унитарности матрицы $\left\{x_{m n}\right\}$ будет выполняться $\sum_{n=1}^{\infty}\left|x_{1 n}\right|^{2}=1, \sum_{n=1}^{\infty}\left|x_{2 n}\right|^{2}=1, \ldots$, то все эти числа $\leqslant$ наибольшего $w_{n}$ (наибольшее $w_{n}$ существует, поскольку все $w_{n} \geqslant 0$, и из-за $\sum_{n=1}^{\infty} w_{n}=1$ должно быть $w_{n} \rightarrow 0$ ). Поскольку безусловно можно изменить $U$ таким образом, чтобы величина – Spur $(U \ln U)=-\sum_{n=1}^{\infty} w_{n} \ln w_{n}$ осталась бы инвариантнои, а наибольшее собственное значение $w_{n}$ уменьшилось бы, то видно, что существуют переходы, возможные с точки зрения феноменологической термодинамики, -которые, следовательно, действительно можно провести путем наших газовых процессов, но которые никогда не могли бы произойти лишь через посредство последовательного примеңения 1. и 2.. Это показывает, что введения газовых методов нельзя избежать.

Вместо – Spur $(U \ln U)$ мы могли бы, конечно, рассматривать $\operatorname{Spur}(F(U))$ для какой-либо подходящей $F(x)$. Что последнее выражение будет увеличиваться при 1, для $U
eq U^{\prime}$ (для $U=U^{\prime}$, равно как и при 2., оно, естественно, останется инвариантным), можно доказать точно так же, как мы делали для $F(x)=-x \ln x$, если только для функции $F(x)$ будут выполняться те свойства, которые мы единственно использовали выше; именно, что $F^{\prime \prime}(x)<0$ и что
$F^{\prime}(x)$ монотонно убывает (последнее, впрочем, следует из первого). Итак, для нащего нетермодинамического рассмотрения необратимости мы можем употребить любой $\operatorname{Spur}(F(U))$, будь только $F(x)$ выпуклая кверху функция, т. е. выполняйся $F^{\prime \prime}(x)<0$ (в интервале $0 \leqslant x \leqslant 1$, поскольку в нем лежат все собственные значения $U$ ).

В заключение следовало бы еще показать, что и смешивая два ансамбля $U$ и $V$ (например, в соотношении $\alpha: \beta, \alpha>0, \beta>0$, $\alpha+\beta=1$ ) мы не придем к уменьшению энтропии, т. е. что
$-\operatorname{Spur}((\alpha U+\beta V) \ln (\alpha U+\beta V)) \geqslant-\alpha \operatorname{Spur}(U \ln U)-\beta \operatorname{Spur}(V \ln V)$.
И это утверждение остается справєдливым для всякой выпуклой функции $F(x)$ на месте $-x \ln x$; доказательство мы предоставим читателю.

Займемся теперь розыском стяционарно равновеснон смеси, т. е. смеси максимальной энтропии при заданной энергии. Последнее надо, конечно, понимать в том смысле, что предписано математическое ожидание энергии, – только такое понимание будет соответствовать идее цитированных в прим. ${ }^{184}$ ) (стр. 266) методов термодинамического исследования статистических ансамблен. Таким образом, допустимыми будут лишь те смеси, для чьих $U$ выполняется $\operatorname{Spur} U=1$ и $\operatorname{Spur}(U \mathrm{H})=\mathrm{E}$, где $\mathrm{H}$ – оператор энергии, а Е-ее предписанное математическое ожидание. При этих дополнительных условиях надо сделать – $N x \operatorname{Spur}(U \ln U$ ) максимальнон. Сделаем еще то упрощающее предположение, что $\mathrm{H}$ обладает чисто дискретным спектром, именно, собственными значениями $W_{1}, W_{2}, \ldots$ и собственными функциями $\varphi_{1}, \varphi_{2}, \ldots$ (среди них могут быть и многократные).

Пусть $\mathfrak{\mathcal { N }}$ – некоторая величина, чей оператор $R$ обладает теми же собственными функциями $\varphi_{1}, \varphi_{2}, \ldots$, но всеми различными собственными значениями. Измерение $\mathfrak{\Re}$ преобразует $U$ согласно 2. в $U^{\prime}=$ $=\sum_{n=1}^{\infty}\left(U \varphi_{n}, \varphi_{n}\right) P_{\left[\varphi_{n}\right]} ;$ при этом $-N x \operatorname{Spur}(U \ln U)$ возрастает, а Spur $U$ и $\operatorname{Spur}(U \mathrm{H})$ не изменяются – последнее из-за того, что $\varphi_{n}$ – это собственные функции $\mathrm{H}$ и, следовательно, $\left(\mathrm{H}_{m}, \varphi_{n}\right)$ для $m
eq n$ обращаются в нуль:
$\operatorname{Spur}\left(U^{\prime} \mathrm{H}\right)=\sum_{n=1}^{\infty}\left(U \varphi_{n}, \varphi_{n}\right) \operatorname{Spur}\left(P_{\left[\varphi_{n}\right]} \mathrm{H}\right)=$
\[
=\sum_{n=1}^{\infty}\left(U \varphi_{n}, \varphi_{n}\right)\left(H \varphi_{n}, \varphi_{n}\right)=\sum_{m, n=1}^{\infty}\left(U \varphi_{m}, \varphi_{n}\right)\left(H \varphi_{n}, \varphi_{m}\right)=\operatorname{Spur}(U \mathrm{H})
\]

это должно выполняться и из-за коммутативности $R$ и $H$ (т. е. из-за одновременной измеримости $\mathfrak{R}$ и энергии). Поэтому искомый максимум будет таким же, как если бы мы ограничились операторами $U^{\prime}$, т. е. статистическими операторами с собственными функциями $\varphi_{1}, \varphi_{2}, \ldots$ и будет достигаться как раз на этих функциях.
Итак, пусть $U=\sum_{n=1}^{\infty} w_{n} P_{\left[\varphi_{n}\right]}$, и так как все операторы $U, U H$ и $U \ln U$ обладают собственными функциями $\varphi_{n}$, но собственными значениями $w_{n}, W_{n} w_{n}$ и $w_{n} \ln w_{n}$ соответственно, то речь идет о том, чтобы достичь максимума для $-N x \sum_{n=1}^{\infty} w_{n} \ln w_{n}$ при дополнительных условиях $\sum_{n=1}^{\infty} w_{n}=1$ и $\sum_{n=1}^{\infty} W_{n} w_{n}=\mathrm{E}$. Но это в точности та же задача, что и встающая в соответствующей проблеме равновесия в обычной теории газов ${ }^{201}$ ), и поэтому она решается так же. По известным правилам нахождения экстремумов, для максимальной системы чисел $w_{1}, w_{2}, \ldots$ должно выполняться
\[
\frac{\partial}{\partial w_{n}}\left(\sum_{m=1}^{\infty} w_{m} \ln w_{m}\right)+\alpha \frac{\partial}{\partial w_{n}}\left(\sum_{m=1}^{\infty} w_{m}\right)+\beta \frac{\partial}{\partial w_{n}}\left(\sum_{m=1}^{\infty} W_{m} w_{m}\right)=0,
\]

где $\alpha$ и $\beta$ – подходящие постоянные и $n=1,2, \ldots$ Это значит, что
\[
\left(\ln w_{n}+1\right)+\alpha+\beta W_{n}=0, \quad w_{n}=e^{-1-\alpha-\beta W_{n}}=a e^{-\beta W_{n}},
\]

где вместо $\alpha$ введена постоянная $a=e^{-1-\alpha}$. Из $\sum_{n=1}^{\infty} w_{n}=1$ следует, чго $a=\frac{1}{\sum_{n=1}^{\infty} e^{-\beta W_{n}}}$, и поэтому
\[
w_{n}=\frac{e^{-\beta W_{n}}}{\sum_{m=1}^{\infty} e^{-\beta W_{m}}}
\]

а из-за $\sum_{n=1}^{\infty} W_{n} w_{n}=\mathrm{E}$ должно выполняться
\[
\frac{\sum_{n=1}^{\infty} W_{n} e^{-\beta W_{n}}}{\sum_{n=1}^{\infty} e^{-\beta W_{n}}}=\mathrm{E},
\]

что фиксирует. $\beta$. Если ввести, как обычно, «сумму состояний»
\[
Z(\beta)=\sum_{n=1}^{\infty} e^{-\beta W_{n}}=\operatorname{Spur}\left(e^{-\xi \mathrm{H}}\right)
\]
201) Cp. M. Plank, Theorie der Wärmestrahlung, Lelpzig, 1913.
19 и. Нейман

—————————————————————-
0006ru_fizik_kvant_book11_page-0291.jpg.txt

290
ОБЩЕЕ РАССМОТРЕНИЕ
โгл. V
(ср. сюда и далее прим. ${ }^{197}$ ) на стр. 277), то будет
\[
Z^{\prime}(\beta)=-\sum_{n=1}^{\infty} W_{n} e^{-\beta W_{n}}=\operatorname{Spur}\left(\mathrm{H} e^{-\beta \mathrm{H}}\right),
\]

и следовательно, условие для $\beta$ будет гласить
\[
-\frac{Z^{\prime}(\beta)}{Z(\beta)}=\mathrm{E} \text {. }
\]
(Мы допустили здесь еще, что $\sum_{n=1}^{\infty} e^{-\beta W_{n}}$ и $\sum_{n=1}^{\infty} W_{n} e^{-\beta W_{n}}$ сходятся для всех $\beta>0$, т. е. что для $n \rightarrow \infty$ значения $W_{n} \rightarrow \infty$, и притом достаточно быстро. Например, хватит требования $\frac{W_{n}}{\ln n} \rightarrow \infty$.) Для самого $U$ возникает следующее выражение:
\[
U=\sum_{n=1}^{\infty} a e^{-\beta W_{n} P_{\left[\varphi_{n}\right]}}=a e^{-\beta \mathrm{H}}=\frac{e^{-\beta \mathrm{H}}}{\operatorname{Spur}\left(e^{-\beta \mathrm{H}}\right)}=\frac{e^{-\beta \mathrm{H}}}{Z(\beta)} .
\]

Итак, свойства равновесного ансамбля $U$, которые фиксируются заданием значения $\mathrm{E}$ или $\beta$, т. е. зависят, как то и должно было быть, от одного параметра, можно определить с помощью методов, обычных в кинетической теории газов.
Энтропия нашего ансамбля будәт равна
\[
\begin{array}{l}
\mathbf{S}=-N x \operatorname{Spur}(U \ln U)=-N x \operatorname{Spur}\left(\frac{e^{-\beta \mathrm{H}}}{Z(\beta)} \ln \frac{e^{-\beta H}}{Z(\beta)}\right)= \\
=-\frac{N x}{Z(\beta)} \operatorname{Spur}\left(e^{-\beta \mathrm{H}}(-\beta \mathrm{H}-\ln Z(\beta))\right)= \\
= \frac{\beta N x}{Z(\beta)} \operatorname{Spur}\left(\mathrm{H} e^{-\beta \mathrm{H}}\right)+\frac{\ln Z(\beta) N x}{Z(\beta)} \operatorname{Spur}\left(e^{-\beta H}\right)= \\
\quad=N x\left[-\frac{\beta Z^{\prime}(\beta)}{Z(\beta)}+\ln Z(\beta)\right],
\end{array}
\]

а полная энергия
\[
N \mathrm{E}=-N \frac{Z^{\prime}(\beta)}{Z(\beta)}
\]
(эту полную энергию, а не саму $\mathbf{E}$ надо ставить в параллель к $\mathbf{S}$ ). Тем самым $U, \mathbf{S}$ и $N E$ выражены через $\beta$. Вместо того чтобы выражать $\beta$ через $\mathbf{E}$, будет практичнее найти температуру $\mathbf{T}$ равновесной смеси и свести все к ней. Это делается так: Приведем нашу равновесную смесь в соприкосновение с тепловым резервуаром температуры $\mathbf{T}^{\prime}$, чтобы она могла перенять от него энергию $N d \mathbf{E}$, при этом (по смыслу обоих начал) суммарная энергия не должна измениться,
а энтропия – уменьшиться. Тепловой резервуар теряет при этом энергию $N d \mathrm{E}$, поэтому его энтропия увеличивается на $-\frac{N d \mathrm{E}}{\mathrm{T}^{\prime}}$, и в то же время должно быть
\[
d \mathbf{S}-\frac{N d \mathbf{E}}{\mathbf{T}^{\prime}}=\left(\frac{d \mathbf{S}}{N d \mathbf{E}}-\frac{1}{\mathbf{T}^{\prime}}\right) N d \mathbf{E} \geqslant 0 .
\]

С другой стороны, конечно, $N d \mathrm{E} 0$, судя по тому $\mathbf{T}^{\prime}$ ¿, поскольку более холодные тела получают энергию от более теплых; поэтому $\mathbf{T}^{\prime} \mathrm{T}_{\mathrm{Z}}$ означает, что
\[
\frac{d \mathbf{S}}{N d \mathbf{E}}-\frac{1}{\mathbf{T}^{\prime}} \gtreqless 0,
\]
T. е. что
\[
\mathbf{T}^{\prime} \frac{N d \mathrm{E}}{d \mathbf{S}}=\frac{N \frac{d \mathrm{E}}{d \beta}}{\frac{d \mathbf{S}}{d \beta}} .
\]

Поэтому
\[
\mathbf{T}=\frac{N \frac{d \mathrm{E}}{d \beta}}{\frac{d \mathbf{S}}{d \beta}}=-\frac{1}{x} \frac{\left(\frac{Z^{\prime}(\beta)}{Z(\beta)}\right)^{\prime}}{\left(\ln Z(\beta)-\beta \frac{Z^{\prime}(\beta)}{Z(\beta)}\right)^{\prime}}=-\frac{1}{x} \frac{\left(\frac{Z^{\prime}(\beta)}{Z(\beta)}\right)^{\prime}}{-\beta\left(\frac{Z^{\prime}(\beta)}{Z(\beta)}\right)^{\prime}}=\frac{1}{x \beta},
\]
T. e,
\[
\beta=\frac{1}{x T} .
\]

Тем самым все величины $U, \mathrm{~S}$ и $N \mathrm{E}$ представлены как функции температуры.

Аналогия полученных выше виражений для энтропии, равновесного ансамбля и т. п., соответствующим результатам термодинамической теории, основывающеися на классической механике, сразу бросается в глаза. Прежде всего, энтропия $-N x \operatorname{Spur}(U \ln U)$. Смесь $U=\sum_{n=1}^{\infty} w_{n} P_{\left[\varphi_{n}\right]}$ – это смесь ансамблей $P_{\left[\varphi_{1}\right]}, P_{\left[\varphi_{2}\right]}, \ldots$ в соотношениях $w_{1}: w_{2}: \ldots$, т. е. $N w_{1}$ систем $\varphi_{1}, N w_{2}$ систем $\varphi_{2}, \ldots$ Больцманову энтропию этого ансамбля можно получить с помощью «термодинамической вероятности» $\frac{N !}{\left(N w_{1}\right) !\left(N w_{2}\right) ! \ldots}$, она будет равна ее $x$-кратному логарифму (прим. ${ }^{201}$ ) на с’тр. 289). Поскольку $N$ велико, то мы вправе приблизить факториал формулой Стирлинга $x ! \approx \sqrt{2 \pi x} e^{-x} x^{x}$; тогда $x \ln \frac{N !}{\left(N w_{1}\right) !\left(N w_{2}\right) ! \ldots}$ переходит в своей существенной части в $-N x \sum_{n=1}^{\infty} w_{n} \ln w_{n}$, а это как раз и есть $-N x \operatorname{Spur}(U \ln U)$.
$19^{*}$
Далее, для равновесного ансамбля у нас было $U=e^{-\frac{\mathrm{H}}{\mathrm{xT}}}$ (мы опускаем здесь численный множитель $\frac{1}{Z(\beta)}$ ); это равно $\sum_{n=1}^{\infty} e^{-\frac{W_{n}}{x \mathrm{~T}}} P_{\left[\varphi_{n}\right]}, \quad$ т. е. представляет собой смесь состояний $P_{\left[\varphi_{1}\right]}, P_{\left[\varphi_{2}\right]}, \ldots$, т. е. смесь стационарных состояний с энергиями $W_{1}, W_{2}, \ldots$ и с (относительными) весами $e^{-\frac{W_{1}}{x T}}: e^{-\frac{W_{2}}{x T}}: \ldots$ Если какое-либо собственное значение энергии многократно, например $W_{n_{1}}=\ldots=W_{n_{\mathrm{v}}}=W$, то смесь $P_{\left[\varphi_{n_{1}}\right]}+\ldots+P_{\left[\varphi_{n_{y}}\right]}$ войдет с весом $e^{-\frac{W}{x T}}$, т. е. правильно нормированный ансамбль $\frac{1}{v}\left(P_{\left[\varphi_{1}\right]}+\ldots+P_{\left[\varphi_{n_{y}}\right]}\right)$ (ср. начало IV. 3)- с весом ve $e^{-\frac{W}{\mathrm{xT}}} \cdot$ Но как раз так и определяется классическии «канонический ансамбль (если отвлечься от появления специфически квантовомеханического образования $\frac{1}{v}\left(P_{\left[\varphi_{\left.n_{1}\right]}\right.}+\ldots+P_{\left[\varphi_{n]}\right]}\right)$; это так называемая теорема Больцмана (см. прим. ${ }^{201}$ ) на стр. 289).

Для $\mathbf{T} \rightarrow \infty$ веса̀ $e^{-\frac{W_{n}}{x T}}$ стремятся к 1 , следовательно, наш $U-$ к $\sum_{n=1}^{\infty} P_{\left[\varphi_{n}\right]}=1$. Таким образом, $U=1$ является абсолютным состоянием равновесия в случае, когда нет энергетических ограничений, результат, который мы уже получили в IV.3. Мы видим, что «априорная равновероятность квантовых орбит» (имеются в виду простые, невырожденные; в общем случае кратность уровня является «априорным весом», ср. сказанное выше) возникает в этой теории сама собой

Стоит установить, сколь много может быть высказано относительно равновесного ансамбля $U$ заданной энергии нетермодинамически, т. е. на основе только тех обстоятельств, что $U$ стационарен (не меняется с течением времени, процесс 1.) и что он остается неизменным при всех измерениях, не затрагивающих энергии (т. е. при измерениях величин, измеримых одновременно с энергией; процесс 2. с коммутирующими $R$ и $\mathrm{H}$, т. е. с $\varphi_{1}, \varphi_{2}, \ldots$, являющимися собственными функциями $\mathrm{H}$ ).

Первое означает, в силу дифференциального уравнения $\frac{\partial}{\partial t} U=$ $=\frac{2 \pi i}{h}(U \mathrm{H}-\mathrm{H} U)$, только, что $\mathrm{H}$ и $U$ коммутируют. Последнее утверждает, что если $\varphi_{1}, \varphi_{2}, \ldots$ можно использовать в качестве полной системы собственных функций для $\mathrm{H}$, то $U=U^{\prime}$, т. е.

—————————————————————-
0006ru_fizik_kvant_book11_page-0294.jpg.txt

4]
МАҚРОСКОПИЧЕСКОЕ ИЗМЕРЕНИЕ
293
$\varphi_{1}, \varphi_{2}, \ldots$ будут собственными функциями и для $U$. Пусть соответствующими собственными значениями $\mathrm{H}$ будут $W_{1}, W_{2}, \ldots$ а для $U-w_{1}, w_{2}, \ldots$ Если $W_{j}=W_{k}$, то мы можем заменить для $\mathrm{H}$ функции $\varphi_{j}$, $\varphi_{k}$ на $\frac{\varphi_{j}+\varphi_{k}}{\sqrt{2}}, \frac{\varphi_{j}-\varphi_{k}}{\sqrt{2}}$; поэтому эти комбинации тоже будут собственными функциями $U$, откуда следует, что $w_{j}=w_{k}$. Поэтому можно построить функцию $F(x)$, удовлетворяющую $F\left(W_{n}\right)=w_{n}(n=1,2, \ldots)$, и тогда будет $F(\mathrm{H})=U$. Ясно, что этого достаточно, равно как и то, что это повлечет за собой коммутативность $\mathrm{H}$ и $U$.

Итак, на этом пути вполне выводится $U=F(\mathrm{H})$, однако установить вид $F(x)$ (т. е. что, как мы знаем, $F(x)=\frac{1}{Z(\beta)} e^{-\beta x}$, $\left.\beta=\frac{1}{x \mathbf{T}}\right)$ не удается. Из условий $\operatorname{Spur} U=1$ и $\operatorname{Spur}(U \mathrm{H})=\mathrm{E}$ получается еще, что
\[
\sum_{n=1}^{\infty} F\left(W_{n}\right)=1 \quad \text { и } \sum_{n=1}^{\infty} W_{n} F\left(W_{n}\right)=\mathrm{E} .
\] но этими результатами метод исчерпывает себя полностью.