Возвратимся теперь к анализу квантовомеханических теории, прерванному математическими рассуждениями главы II. До сих пор мы обсудили лишь, как позволяет квантовая механика определить все возможные значения одной определенной физической величины, энергии, – это будут собственные значения оператора энергии Н. т. е. числа из его спектра. Напротив, вопрос о том, что может она сказать о значениях других величин, равно как о причинных или статистических связях между ними, не был затронут. Теперь нам надо заняться теми утверждениями теории, которые относятся к этим проблемам. За основу примем волново-механический метод описания, так как эквивалентность обеих теорий уже установлена.

При таком методе описания ясно, что все, что мы хотим сказать о состоянии системы, надо извлекать из ее волновой функции $\varphi\left(q_{1}, \ldots, q_{k}\right)$. (Пусть у системы $k$ степеней свободы и $q_{1}, \ldots, q_{k}$ координаты еe конфигурационного пространства.) При этом мы не будем ограничиваться только стационарными состояниями системы (квантовыми орбитами, волновые функции $\varphi$ которых являются собственными функциями оператора $\mathrm{H}: \mathrm{H} \varphi=\lambda \varphi$, ср. I. 3), но допускать все состояния системы, т. е. любые волновые функции $\varphi$ (изменение которых определяется временны́м дифференциальным уравнением Шредингера: $\mathrm{H} \varphi=-\frac{h}{2 \pi i} \frac{\partial}{\partial t} \varphi$, ср. І. 2). Какие же высказывания можно сделать относительно системы, находящейся в состоянии $\varphi$ ?

Прежде всего заметим, что волновая функция $\varphi$ была нормирована (I. 3) соотношением
\[
\int_{-\infty}^{\infty} \ldots \int_{-\infty}^{\infty}\left|\varphi\left(q_{1}, \ldots, q_{k}\right)\right|^{2} d q_{1} \ldots d q_{k}=1
\]
т. е. в нашей новой терминологии – как точка гильбертова пространства $\mathfrak{R}_{\infty}$ всех $f\left(q_{1}, \ldots, q_{k}\right)$ с конечным
\[
\int_{-\infty}^{\infty} \ldots \int_{-\infty}^{\infty}\left|f\left(q_{1}, \ldots, q_{k}\right)\right|^{2} d q_{1} \ldots d q_{k}
\]
(некоторого $F_{\Omega} !$ ) – соотношением $\|\varphi\|=1$. Иными словами, точка должна лежать на поверхности единичного шара в гильбертовом пространстве ${ }^{117}$ ). Мы уже знаем, что постоянный (т. е. не зависящии от $q_{1}, \ldots, q_{k}$ ) множитель в $\varphi$ лишен физического смысла. (Т. е. можно заменить $\varphi$ на $a \varphi, a$-комплексное число. В силу нормировки $\|\varphi\|=1$, должно быть $|a|=1$ ). Далее, надо указать еще на то, что $\varphi$, помимо координат $q_{1}, \ldots, q_{k}$ конфигурационного пространства нащей системы, зависит еще и от времени $t$; однако гильбертово пространство строится лишь относительно $q_{1}, \ldots, q_{k}$ (ведь и нормировка относилась только к ним), не учитывая зависимости от $t$, которое следует скорее рассматривать как параметр. Вследствие этого $\varphi$, как точка $\mathfrak{R}_{\infty}$, зависит от $t$, но, напротив, не зависит от $q_{1}, \ldots, q_{k}$ : ибо как точка $\mathfrak{R}_{\infty} \varphi$ представляет всю функциональную зависимость от $q_{1}, \ldots, q_{k}$ в целои. Поэтому мы будем иногда указывать параметр $t$ в $\varphi$ (когда $\varphi$ рассматривается как точка $\Re_{\infty}$ ), записывая $\varphi_{t}$.

Итак, рассмотрим состояние $\varphi=\varphi\left(q_{1}, \ldots, q_{k}\right)$. Статистическое утверждение, которое можно тогда сделать, гласит: система находится в точке $q_{1}, \ldots, q_{k}$ конфигурационного пространства с плотностью вероятности $\left|\varphi\left(q_{1}, \ldots, q_{k}\right)\right|^{2}$, т. е. вероятность того, что система окажется в объеме $V$ конфигурационного пространства, будет равна
(Это один из первых и самых простых примеров, на которых был осознан статистический характер квантовой механики ${ }^{118}$ ); впрочем, связь между этим утверждением и предположением Шредингера о распределении заряда [cр. I.2] является очевидной.) Далее, пусть энергии системы соответствует оператор. $\mathrm{H}$, его собственными значениями
117) Согласно геометрической аналогии, шаром в $\mathfrak{\Re}_{\infty}$ с центром $\varphi_{0}$ и радиусом $r$ должно быть множество точек, для которых $\left\|f-\varphi_{0}\right\| \leqq r$, его внутренностью – множество $\left\|f-\varphi_{0}\right\|<r$, а поверхностью- множество $\left\|f-\varphi_{0}\right\|=r$. Для единичного шара $\varphi_{0}=0, r=1$.
118) Первые статистические утверждения о поведении системы, находящейся в состоянии $\varphi$, восходят к М. Борну; более детально вопрос рассматривался Дираком и Иорданом, ср. ссылки в примечания ${ }^{8}$ ) и ${ }^{2}$ ) на стр. 13 и 10.
будут $\lambda_{1}, \lambda_{2}, \ldots$, а собственными функциями – $\varphi_{1}, \varphi_{2}, \ldots$, тогда вероятностью значения энергии $\lambda_{n}$ в состоянии $\varphi$ будет
\[
\left|\int \ldots \int \varphi\left(q_{1}, \ldots, q_{k}\right) \overline{\varphi_{n}\left(q_{1}, \ldots, q_{n}\right)} d q_{1} \ldots d q_{k}\right|^{2} .
\]
(Ср. работы, упомянутые в прим. ${ }^{118}$ ). ) Желательно теперь объединить эти два утверждения и придать им единую форму.
Пусть $V-k$-мерный параллелепипед
\[
q_{1}^{\prime}<q_{1} \leqq q_{1}^{\prime \prime}, \ldots, q_{k}^{\prime}<q_{k} \leqq q_{k}^{\prime \prime} .
\]

Обозначим интервалы $\left\{q_{1}^{\prime}, q_{1}^{\prime \prime}\right\}, \ldots,\left\{q_{k}^{\prime}, q_{k}^{\prime \prime}\right\}$ соответственно через $I_{1}, \ldots, I_{k}$. Координатам $q_{1}, \ldots, q_{k}$ сопоставляются операторы $q_{1} \cdots, \ldots, q_{k} \ldots$ соответственно. Разложения единицы, принадлежащие этим операторам, определим следующим образом (ср. II. 8): разложение, принадлежащее $q_{j}(j=1, \ldots, k)$, обозначается $E_{j}(\lambda)$ и
\[
E_{j}(\lambda) f\left(q_{1}, \ldots, q_{k}\right)=\left\{\begin{array}{ccc}
f\left(q_{1}, \ldots, q_{k}\right) & \text { для } & q_{j} \leqq \lambda, \\
0 & \text { для } & q_{j}>\lambda .
\end{array}\right.
\]

Введем следующее общее обознатение: если $F(\lambda)$ – некоторое разложение единицы, а $I$ – интервал $\left\{\lambda^{\prime}, \lambda^{\prime \prime}\right\}$, то положим $F(I)=$ = $F\left(\lambda^{\prime \prime}\right)-F\left(\lambda^{\prime}\right)$ (это – проекционный оператор, так как при $\lambda^{\prime} \leqq \lambda^{\prime \prime}$ $F\left(\lambda^{\prime}\right) \leqq F\left(\lambda^{\prime \prime}\right)$ ). Тогда вероятность того, что система находится в указанном выше объеме $V$, т. е. что $q_{1}$ лежит-в $I_{1}, \ldots, q_{k}$ в $I_{k}$, составит
\[
\begin{array}{l}
\int_{q_{1}^{\prime}}^{q_{1}^{n}} \cdots \int_{q_{k}^{\prime}}^{\dot{q}_{k}^{\prime \prime}}\left|\varphi\left(q_{1}, \ldots, q_{k}\right)\right|^{2} d q_{1} \ldots d q_{k} \Rightarrow \\
\quad=\int \ldots \int\left|E_{1}\left(I_{1}\right) \ldots E_{k}\left(I_{k}\right) \varphi\left(q_{1}, \ldots, q_{k}\right)\right|^{2} d q_{1} \ldots d q_{k}
\end{array}
\]
(поскольку $E_{1}\left(I_{1}\right) \ldots E_{k}\left(I_{k}\right) \varphi\left(q_{1}, \ldots, q_{k}\right)=\varphi\left(q_{1}, \ldots, q_{k}\right)$, если $q_{1}$ принадлежит $I_{1}, \ldots, q_{k}$ принадлежит $I_{k}$, а в остальных случаях $=0$ ), т. е.
\[
=\left\|E_{1}\left(I_{1}\right) \ldots E_{k}\left(I_{k}\right) \varphi\right\|^{2}
\]

В качестве второго примера рассмотрим вероятность того, что энергия лежит в интервале $I$, равном $\left\{\lambda^{\prime}, \lambda^{\prime \prime}\right\}$. Разложение единицы $E(\lambda)$ оператора $H$ определено (cp. II. 8) как $E(\lambda)=\sum_{n} \sum_{n} P_{\left[\varphi_{n}\right]}$, поэтому
\[
E(I)=E\left(\lambda^{\prime \prime}\right)-E\left(\lambda^{\prime}\right)=\sum_{\lambda^{\prime}<\lambda_{n} \leqq \lambda^{\prime \prime}} P_{\left[\varphi_{n}\right]} \cdot
\]
Но рассматриваемая вероятность, – поскольку лишь значения энергии $\lambda_{1}, \lambda_{2}, \ldots$ относятся к делу, 一 является суммой вероятностен всех $\lambda_{n}$, для которых $\lambda^{\prime}<\lambda_{n} \leqq \lambda^{\prime \prime}$, и, следовательно, равна
\[
\begin{array}{c}
\sum_{\lambda^{\prime}<\lambda_{n} \leqq \lambda^{n}}\left|\int \cdots \int \varphi\left(q_{1}, \ldots, q_{k}\right) \overline{\varphi_{n}\left(q_{1}, \ldots, q_{k}\right)} d q_{1} \ldots d q_{k}\right|^{2}= \\
=\sum_{\lambda^{\prime}<\lambda_{n} \leqq \lambda^{n}}\left|\left(\varphi, \varphi_{n}\right)\right|^{2}=\sum_{\lambda^{\prime}<\lambda_{n} \leqq \lambda^{*}}\left(P_{\left[\varphi_{n}\right]} \varphi, \varphi\right)= \\
=\left(\left\{\sum_{\lambda^{\prime}<\lambda_{n} \leqq \lambda^{*}} P_{\left[\varphi_{n}\right]}\right\} \varphi, \varphi\right)=(E(I) \varphi, \varphi)=\|E(I) \varphi\|^{2} .
\end{array}
\]

Итак, в обоих случаях достигается результат, которыи можно сформулировать следующим образом:
$(W$.$) Вероятность того, что в состоянии \varphi$ величины с операторами $R_{1}, \ldots, R_{l}{ }^{119}$ ) принимают значения из соответствующих интервалов $I_{1}, \ldots, I_{l}$, равна
\[
\left\|E_{1}\left(I_{1}\right) \ldots E_{l}\left(I_{l}\right) \varphi\right\|^{2}
\]

где $E_{1}(\lambda), \ldots, E_{l}(\lambda)$ – разложения единицы, принадлежащие операторам $R_{1}, \ldots, R_{l}$ соответственно.
Первый случай соответствовал $l=k, R_{1}=q_{\mathrm{i}} \cdot \ldots, R_{k}=q_{k} \cdots$, второй $-l=1, R_{1}=\mathrm{H}$. Мы хотим теперь принять, что утверждение $\boldsymbol{W}$. справедливо и в общем случае; в самом деле, оно включает в себя все статистические утверждения квантовой механики, сделанные до сих пор.

Одно ограничение его применимости все же необходимо. Поскольку при постановке задачи порядок операторов $R_{1}, \ldots, R_{l}$ совершенно произволен, то он не должен сказываться и на результате, т. е. операторы $E_{1}\left(I_{1}\right), \ldots, E_{l}\left(I_{l}\right)$ или, что то же самое, все операторы $E_{l}\left(\lambda_{1}\right), \ldots, E_{l}\left(\lambda_{l}\right)$ должны коммутировать между собой. Согласно II. 10, это означает, что $R_{1}, \ldots, R_{l}$ коммутативны. Это условие выполняется в случае $q_{1} \cdots, \ldots, q_{k} \cdots$, а при $l=1, R_{1}=\mathrm{H}$ оно даже беспредметно.

Итак, постулируем $W$. для любых коммутирующих операторов $R_{1}, \ldots, R_{l}$. Тогда $E_{1}\left(I_{1}\right), \ldots, E_{l}\left(I_{l}\right)$ взаимно коммутируют и, следо-
\”19) B IV. 1 мы обсудим более обстоятельно вопрос относительно этого соответствия, сопоставляющего каждой физической величине эрмитов оператор. Пока же мы знаем лишь на основании I. 2 , что операторы $q_{1}, \ldots, q_{k}$ соответствуют координатам, оператори $\frac{h}{2 \pi i} \frac{\partial}{\partial q_{1}}, \ldots, \frac{h}{2 \pi i} \frac{\partial}{\partial q_{k}}$ соответствуют импульсам, а «онератор энергии» $\mathrm{H}$ – энергии.
вательно, $E_{1}\left(I_{1}\right) \ldots E_{l}\left(I_{l}\right)$ будет проекционным оператором (теорема 14. в II. 4), а рассматриваемая вероятность принимает вид
\[
W=\left\|E_{1}\left(I_{1}\right) \ldots E_{l}\left(I_{l}\right) \varphi\right\|^{2}=\left(E_{1}\left(I_{1}\right) \ldots E_{l}\left(I_{l}\right) \varphi, \varphi\right)
\]
(теорема 12. в. II. 4.).
Прежде чем идти дальше, надо установить некоторые свойства $W_{.}$, которые должны иметь место в любой разумной статистической теории.
1. Порядок утверждений безразличен.
2. Пустые утверждения, т. е. такие, для которых $I_{j}$ есть интервал $\{-\infty,+\infty\}$, можно вставлять по желанию, не изменяя $W$, ибо их вклад сводится лишь к множителю
\[
E_{j}(I)=E(+\infty)-E(-\infty)=1-0=1 .
\]
3. Выполняется теорема сложения вероятностей, т. е. если мы разобьем интервал $I_{j}$ на два интервала $I_{j}^{\prime}, I_{j}^{\prime \prime}$, то старая вероятность будет суммой двух новых. Действительно, пусть $I_{j}, I_{j}^{\prime}, I_{j}^{\prime \prime}$ обозначают соответственно интервалы $\left\{\lambda^{\prime}, \lambda^{\prime \prime}\right\},\left\{\lambda^{\prime}, \lambda\right\},\left\{\lambda, \lambda^{\prime \prime}\right\}$, тогда
\[
E\left(\lambda^{\prime \prime}\right)-E\left(\lambda^{\prime}\right)=\left(E(\lambda)-E\left(\lambda^{\prime}\right)\right)+\left(E\left(\lambda^{\prime \prime}\right)-E(\lambda)\right),
\]
т. е. $E\left(I_{j}\right)=E\left(I_{j}^{\prime}\right)+E\left(I_{j}^{\prime \prime}\right)$, что в силу второй из приведенных выше форм $W$ (линейной по $\left.E_{1}\left(I_{1}\right) \ldots E_{j}\left(I_{j}\right) \ldots E_{l}\left(I_{l}\right)\right)$ и дает аддитивность вероятностей
4. Для абсурдных утверждений (один из $I_{j}$ пуст) $W=0$, поскольку в этом случае соответствующее $E_{j}\left(I_{j}\right)=0$. Для тривиально справедливых предложений (вссе $I_{j}$ равны $\{-\infty,+\infty\}$ ) $W=1$, поскольку тогда все $E_{j}\left(I_{j}\right)=1, W=\|\varphi\|^{2}=1$. Всегда имеет место неравенство $0 \leqq W \leqq 1$ в силу теоремы 13. из II. 4.

Наконец, заметим, что $\boldsymbol{W}$. содержит утверждение: величина $R_{j}$ может принимать лишь свои собственные значення, т. е. числа из ее спектра. Действительно, если интервал $I_{j}$, равный $\left\{\lambda^{\prime}, \lambda^{\prime \prime}\right\}$, лежит вне спектра, то $E_{j}(\lambda)$ постоянно в нем и, значит,
\[
E_{j}\left(I_{j}\right)=E_{j}\left(\lambda^{\prime \prime}\right)-E_{j}\left(\lambda^{\prime}\right)=0,
\]

откуда следует, что $W=0$.
Положим теперь $l=1$ и обозначим $R_{1}$ просто через $R$. Пусть $\Re$-та физическая величина, которой сопоставляется оператор $R$ (см. прим. ${ }^{119}$ )). Пусть $F(\lambda)$ – произвольная функция. Требуется вычислить математическое ожидание $F(\mathfrak{R})$.

Для этой цели разделим интервал $\{-\infty,+\infty\}$ на последовательность подинтервалов $\left\{\lambda_{n}, \lambda_{n+1}\right\}, n=0, \pm 1, \pm 2, \ldots$ Вероятность того, что $\mathfrak{P}$ лежит в подингервале $\left\{\lambda_{n}, \lambda_{n+1}\right\}$, будет
\[
\left(\left\{E\left(\lambda_{n+1}\right)-E\left(\lambda_{n}\right)\right\} \varphi, \varphi\right)=\left(E\left(\lambda_{n+1}\right) \varphi, \varphi\right)-\left(E\left(\lambda_{n}\right) \varphi, \varphi\right),
\]
и математическое ожидание $F(\mathscr{H})$ оказывается, следовательно, равным сумме
\[
\sum_{n=-\infty}^{+\infty} F\left(\lambda_{n}^{\prime}\right)\left\{\left(E\left(\lambda_{n+1}\right) \varphi, \varphi\right)-\left(E\left(\lambda_{n}\right) \varphi, \varphi\right)\right\}
\]

если $\lambda_{n}^{\prime}$ является надлежащим промежуточным значением из подинтервала $\left\{\lambda_{n}, \lambda_{n+1}\right\}$. Начнем теперь выбирать точки подразделения $\ldots, \lambda_{-2}, \lambda_{-1} \lambda_{0}, \lambda_{1}, \lambda_{2}, \ldots$ все более и более близкими, тогда эта сумма будет сходиться к интегралу Стильтьеса
\[
\int_{-\infty}^{\infty} F(\lambda) d(E(\lambda) \varphi, \varphi) .
\]

Поэтому рассматриваемое математическое ожидание также равно этому интегралу. Но в силу общего определения операторной функции в II. 8 этот интеграл равен $(F(R) \varphi, \varphi)$. Следовательно, мы получаем:
( $\left.E_{1}.\right)$ Пусть $\mathfrak{R}$ – произвольная физическая величина, $R$ – ее оператор (см. прим. ${ }^{119}$ )), а $F(\lambda)$ – произвольная функция. Тогда для математического ожидания $F(\mathfrak{H})$ в состоянии $\varphi$ выполняется
\[
\operatorname{Erw}(F(\mathfrak{R}) ; \varphi)=(F(R) \varphi, \varphi) .
\]

В частности, если мы положим $F(\lambda)=\lambda$, то будет:
$\left(E_{2}.\right)$ Пусть $\mathfrak{N}, R$ будут как и раньше. Тогда для математического ожидания $\mathfrak{A}$ в состоянии $\varphi$ имеем
\[
\operatorname{Erw}(\mathfrak{\Re} ; \varphi)=(R \varphi, \varphi) .
\]

Перейдем теперь к исследованию связей между $W_{.,} \boldsymbol{E}_{\mathbf{1},}, \boldsymbol{E}_{2}$. Мы вывели $\boldsymbol{E}_{1}$. из $\boldsymbol{W}$. и $\boldsymbol{E}_{2}$. из $\boldsymbol{E}_{\mathbf{1}}$..
Если обозначить оператор величины $F(\mathfrak{R})$ через $S$, то сравнение $\boldsymbol{E}_{1}$. с $\boldsymbol{E}_{2}$. даст нам
\[
(S \varphi, \varphi)=(F(R) \varphi, \varphi)
\]

для любого состояния $\varphi$, т. е. для всех $\varphi$ с $\|\varphi\|=1$. Следовательно, и вообще
\[
(S f, f)=(F(R) f, f)
\]
(для $f=0$ это очевидно, а в остальных случаях $\varphi=\frac{1}{\|f\|} f$ ), значит, также
\[
(S f, g)=(F(R) f, g)
\]
(заменить $f$ на $\frac{f+g}{2}$ и на $\frac{f-g}{2}$ и результаты вычесть – получим равенство вещественных частен; беря $l f, g$ вместо $f, g$-мнимых
частей). Таким образом, должно быть $S=F(R)$. Сформулируем этот важный результат отдельно.
(F.) Если величине $\mathfrak{A}$ соответствует оператор $R$, то величине $F(\mathfrak{R})$ должен соответствовать оператор $F(R)$.
В предположении $\boldsymbol{F}_{.}$, однако, $\boldsymbol{E}_{\mathbf{1}}$. очевидным образом следует из $E_{2}$. .

Поэтому (предполагая $\boldsymbol{F}_{\text {.), }} \boldsymbol{E}_{1}$. и $\boldsymbol{E}_{2}$. являются эквивалентными утверждениями. Покажем, что они эквивалентны также и $W$.. Поскольку они следуют из $W$., то остается лишь убедиться, что $W$. следует из $E_{1}$. или из $E_{2}$.

Пусть $R_{1}, \ldots, R_{l}$ – взаимно коммутирующие операторы, принадлежащие соответственно величинам $\mathfrak{R}_{1}, \ldots, \mathfrak{R}_{l}$. Согласно II. 10 , они являются функциями одного эрмитова оператора $R$ :
\[
R_{1}=F_{1}(R), \ldots, R_{l}=F_{l}(R) .
\]

Примем, что $R$ также принадлежит некоторой величине $\mathfrak{R}$. (Этим самым допускается, что любой величине $\mathfrak{R}$ принадлежит некоторый [гипермаксимальнын] эрмитов оператор $R$ и наоборот. Ср. прим. ${ }^{119}$ ) на стр. 151 и раздел IV. 2.) Тогда благодаря $F$.
\[
\mathfrak{\Re}_{1}=F_{1}(\mathfrak{R}), \ldots, \mathfrak{\Re}_{t}=F_{l}(\mathfrak{A}) .
\]

Допустим теперь, что $I_{1}, \ldots, I_{l}$ – интервалы, о которых говорится в $W_{0}$, и
\[
G_{j}(\lambda)=\left\{\left.\begin{array}{lllll}
1 & \text { для } & \lambda \text { из } & I_{j} \\
0 & \text { для } & \lambda \text { вне } & I_{j}
\end{array} \right\rvert\, \quad(j=1, \ldots, l) .\right.
\]

Положим
\[
H(\lambda)=G_{1}\left(F_{1}(\lambda)\right) \ldots G_{l}\left(F_{l}(\lambda)\right)
\]

и образуем величину
\[
=H(\mathfrak{P}) \text {. }
\]

Если $\mathfrak{R}_{j}$ лежит в $I_{j}$, т. е. $F_{j}(\mathfrak{R})$ лежит в $I_{j}$, то $G_{j}\left(F_{j}(\mathfrak{R})\right)$ равняется 1; в остальных случаях оно равно 0 . Таким образом, $\mathfrak{C}=H(\mathfrak{R})$ равно 1 , если все $\mathfrak{R}_{j}$ лежат в своих $I_{j}(j=1, \ldots, l)$, в остальных случаях – это 0. Математическое ожидание (е равно, стало быть, вероятности $W$ того, что $\mathfrak{R}_{1}$ лежит в $I_{1}, \ldots, \mathfrak{\Re}_{l}$ лежит в $I_{l}$. Отсюда
\[
\begin{array}{l}
W=\operatorname{Erw}(\boldsymbol{\Theta}, \varphi)=(H(R) \varphi, \varphi)= \\
\quad=\left(G_{1}\left(F_{1}(R)\right) \ldots G_{l}\left(F_{l}(R)\right) \varphi, \varphi\right)=\left(G_{1}\left(R_{1}\right) \ldots G_{l}\left(R_{l}\right) \varphi, \varphi\right) .
\end{array}
\]

Обозначим снова разложение единицы, относящееся к $R_{j}$, через $E_{j}(\lambda)$, и пусть $I_{j}$ – интервал $\left\{\lambda_{j}^{\prime}, \lambda_{j}^{\prime \prime}\right\}$. Тогда, на основании сказанного
в конце II. 8, в принятых там обозначениях
\[
\begin{array}{c}
G_{j}(\lambda)=e_{\lambda_{j}^{\prime}}(\lambda)-e_{\lambda_{j}^{\prime}}(\lambda), \\
G_{j}\left(R_{j}\right)=e_{\lambda_{j}^{\prime \prime}}\left(R_{j}\right)-e_{\lambda_{j}^{\prime}}^{\prime}\left(R_{j}\right)=E_{j}\left(\lambda_{j}^{\prime \prime}\right)-E_{j}\left(\lambda_{j}^{\prime}\right)=E_{j}\left(I_{j}\right)
\end{array}
\]

и, значит,
\[
W=\left(E_{1}\left(I_{1}\right) \ldots E_{l}\left(I_{l}\right) \varphi, \varphi\right) .
\]

Но это как раз и есть $\boldsymbol{W}$.
Вследствие простоты формулировки, утверждения $\boldsymbol{E}_{2}$. и $\boldsymbol{F}$. особенно удобны как основа, на которой строится вся теория. Мы видели, что наиболее общее возможное вероятностное утверждение $\boldsymbol{W}$. следует из них, но утверждение $\boldsymbol{W}$. обладает двумя замечательными особенностями:
1. W. является статистическим, а не причинным утверждением, т. е. из него не следует, какие значения принимают величины $\mathfrak{M}_{1}, \ldots, \mathfrak{H}_{l}$ в состоянии $\varphi$, но лишь с какими вероятностями эти величины принимают все возможные значения.
2. На вопрос в постановке, свойственной $W$., нельзя ответить для произвольных величин $\mathfrak{\Re}_{1}, \ldots, \mathfrak{\Re}_{l}$, но только для таких, для которых соответствующие операторы $R_{1}, \ldots, R_{l}$ коммутируют друг с другом.
Обсудить значение этих двух фактов будет нашей ближайшей задачей.