Хотя наше выражение для энтропии является, как мы видели, образованием, совершенно аналогичным классической энтропии, представляется удивительным, что при временно̀м развитии системы (процесс 2.) она остается постоянной и увеличивается только при измерениях (процесс 1.), – в классической теории (где измерения вообще не играют роли) она ведь, как правило, увеличивалась уже при обычном механическом развитии системы во времени. Поэтому этот кажущийся парадокс нуждается в разъяснении.

Нормальная процедура классической термодинамики протекает следующим образом. Берется сосуд объема $\mathcal{P}$, в правой половине которого (объем $\frac{\tau^{2}}{2}$, отделенный от другой половины промежуточной стенкой) находятся $M$ молекул (ради простоты – идеального) газа температуры T. Если мы расширим этот газ изотермически и обратимо до объема $\mathcal{V}$ (давая промежуточной перегородке отодвинуться под деиствием давления газа, используя освобождающуюся механическую работу и поддерживая температуру газа постоянной большим тепловым резервуаром температуры T), то энтропия вовне (в резервуаре) уменьшится на $M \times \ln 2$ (ср. прим. ${ }^{195}$ ) на стр. 275), следовательно, энтропия газа на столько же возрастет. Если же, напротив, мы просто вытянем перегородку, то газ продиффундирует в свободную левую половину, объем возрастет до $\mathcal{P}$, т. е. энтропия увеличится на $M \times \ln 2$, без того, чтобы создалась какая-либо компенсация. Процесс будет, таким образом, необратимым, и энтропия возрастет в ходе простого механического развития системы во времени (именно, в ходе диффузии). Почему же наша теория не приводит ни к чему похожему?

Соотношения становятся всего яснее, если положить $M=1$; для такого одномолекулярного газа термодинамика все еще справедлива, и то, что его энтропия возрастает на $x \ln 2$ при удвоении объема, это верно. Однако эта разница на $x \ln 2$ дейстительно есть лишь до тех пор, пока мы на самом деле не знаем о молекуле ничего более того, что она находится в объеме $\frac{\mathcal{V}}{2}$ пли соответственно $\mathcal{V}$. Если, например, молекула находится в объеме $\mathscr{P}$, но известно, расположена она справа или слева от середины сосуда, то достаточно вставить посередине перегородку и дать молекуле оттеснить ее изотермически и обратимо к левому или правому концу сосуда. При этом будет совершена механическая работа $x \operatorname{T} \ln 2$, т. е. эта энергия отнимется от теплового резервуара. В результате молекула опять окажется в объеме $\mathscr{P}$, однако мы уже не будем знать, располагается ли она справа или слева от середины, но зато произошло ведь компенсирующее уменьшение энтропии (в резервуаре) на $x \ln 2$. Иными словами, мы обменяли наше знание на уменьшение энтропии на $x \ln 2{ }^{202}$ ). Можно сказать, что энтропия в объеме $\mathscr{V}$ будет такой же, что и в объеме $\frac{\mathscr{V}}{2}$, если только известно, в какой половине сосуда расположена молекула. Поэтому, если бы мы перед диффузией знали молекулу (т. е. ее положение и импульс) с полной подробностью, то для каждого момента после диффузии можно было бы вычислить, расположена она в правой или в левой половине, т. е. энтропия вообще бы не возросла. Только тогда, когда в нашем распоряжении имеется одна лишь макроскопическая информация, что первоначальный объем составлял $\frac{\mathscr{Y}}{2}$, в процессе диффузии действительно происходит возрастание энтропии.

Итак, для классического наблюдателя, знающего все импульсы и координаты, энтропия постоянна, а именно равна нулю, так как
202) Сцилард показал (ср. прим. ${ }^{194}$ ) на стр. 273), что это «знание» нельзя также и добыть дешевле, чем ценой компенсирующего увеличения энтропии на $x \ln 2$ : в общем случае $x \ln 2$ – это «термодинамическая цена» знания, какой из двух альтернативных случаев осуществляется. Для любых попыток провести описанный выше процесс в случае, когда неизвестно, в какой половине сосуда находится нолекула, можно доказать их несостоятельность, хотя они и оперируют зачастую с весьма сложными автоматическими механизмами больцманова «термодинамическая Еероятность» (ср. выше, прим. ${ }^{201}$ ) на стр. 289) равна тогда 1 , — как раз как в нашей теории для состояний, $U=P_{[\uparrow]}$, которые ведь тоже отвечают наибольшей возможной степени знаний наблюдателя относительно системы.

Изменения энтропии со временем касаются, следовательно, той ситуации, когда наблюдатель знает не всё или может выяснить (измерить) не всё, что принципиально измеримо. Его чувства как раз позволяют ему воспринимать только так называемые макроскопические величины. Это разъяснение изложенного в начале параграфа кажущегося противоречия налагает, однако, на нас обязанность найти для квантовомеханических ансамблей точный аналог классической макроскопической энтропии, т. е. энтропии, рассматриваемой с точки зрения такого наблюдатсля, который может мерить не все величины, но лишь некоторые избранные, именно – макроскопические, величины, да и эти – в зависимости от обстоятельств – только с ограниченной точностью.

B III. 3 мы узнали, что все измерения с ограниченной степенью точности могут быть заменены абсолютно точными измерениями других величин, являющихся функциями от них и обладающих чистэ дискретными спектрами. Если $\mathfrak{H}$-такая величина, $R$ – ее оператор, а $\lambda^{(1)}, \lambda^{(2)}, \ldots$ – отличные друг от друга из числа ее собственных значений, то измерение $\mathfrak{A}$ равносильно ответу на вопросы: «Равно ли $\mathfrak{A}$ значению $\lambda^{(1)}$ ?», «Равно ли $\mathfrak{A}$ значению $\lambda^{(2)}$ ?», … Мы могли бы, конечно, сказать и непосредственно: если величина ( с оператором $S$ должна быть измерена с ограниченной точностью, например надо рассудить, в каком из интервалов $c_{n-1}<\lambda \leqslant c_{n}$ она лежит $\left(\ldots<c_{-2}<c_{-1}<c_{0}<c_{1}<c_{2}<\ldots ; c_{n} \rightarrow+\infty\right.$ или к- $\infty$ при $n \rightarrow+\infty$ или к «Лежит ли ङ в $c_{n-1}<\lambda \leqslant c_{n}$ ?», $n=0, \pm 1, \pm 2, \ldots$

Но таким вопросам соответствуют, согласно III. 5 , проекционные операторы $E$, чьи величины ( (прннимающе только два значения 0 и 1) собственно и подлежат измерению. В наших примерах величинами (F будут функции $F_{n}(\mathfrak{M}), n=1,2, \ldots$, где

или же функции $G_{n}$ (ङ) $, n=0, \pm 1, \pm 2, \ldots$, где

а операторами $E$ будут соответственно $F_{n}(R)$ или $G_{n}(S)$. Итак, вместо того чтобы задавать макроскопически измеримые величины вместе с достижимой точностью измерения, можно задать вопросы (F,
на которые могут ответить макроскопические измерения или же их проекционные операторы $E$ (cp. III.5). Как раз это является отличительным признаком макроскопичєского наблюдателя – задание его $E$ (классически мы характеризовали бы его, например, тем, что он в состоянии измерить в каждом кубическом сантиметре занимаемого газом объема температуру и давление – возможно с определенной ограниченнои точностью, – но ничего другого) ${ }^{203}$ ).

В самой природе макроскопического измерения заключено, что все, измеримое вообще, измеримо тотчас же, т. е. что все вопросы, на которые можно ответить макроскопически, тотчас же находят свой ответ; это значит, что все $E$ перестановочны друг с другом. Как раз потому ведь неодновременная измеримость квантовомеханических величин и произвела сначала столь парадоксальное впечатление, что это понятие чуждо макроскопическому образу восприятия. Благодаря большому принципиальному значению этого пункта будет уместно обсудить его несколько подробнее.

Представим себе яснее способ, которым две явно не измеримые одновременно величины, например координата $q$ и импульс $p$ (ср. III. 4), измеряются одновременно с ограниченной точностью. Пусть средними ошибками измерения будут $\varepsilon$ и $\eta$ (согласно соотношению неопределенностей $\varepsilon \eta \sim h$ ), обсуждение в МII. 4 показало, что при таких претензиях к точности одновременное измерение в самом деле возможно, – измерение положения ( $q$ ) проводится не слишком коротковолновым светом, а измерение импульса ( $p$ ) – не слишком длинными цугами волн. Когда все приготовлено таким образом, то собственно измерение состоит в том, что как-либо идентифицируются, например фотографируются, два световых кванта – один световой квант, отклонившийя за счет комптон-эффекта при измерении $q$, и второй, отразившийся при измерении $p$ с эффектом Допплера, свою частоту изменивший и для обнаружения этой частоты соответствующим оптическим устройством (призмой, дифракционной решеткой) отклоненный, световой квант. Итак, в конце опыта мы имеем дело с двумя световыми квантами или даже просто с двумя фотографическими пластинками, и из направления этих квантов или из расположения почернений на пластинках мы должны вычислить $q$ и $p$. Здесь следует отметить, что ничто не препятствует нам определить эти два направления или места этих двух почернений сколь угодно точно, ибо очевидно, что это – одновременно измеримые величины (это импульсы или соответственно координаты двух различных объектов), но это нисколько не поможет измерению $q$ и $p$. Действительно, как было показано в III. 4, связь этих величин с $q$ и $p$ так устроена, что для последних как раз сохраняются неточности \& и $\eta$ (даже при
203) Такая характеристика макроскопического наблюдателя восходит к Вигнеру.
совершенно точном знании первых), и нельзя устроить опыт так, чтобы стало $\varepsilon \eta \ll h$.

Итак, если мы введем эти два направления или два положения почернений как самостоятельные физические величины, их операторы пусть будут называться $Q^{\prime}$ и $P^{\prime}$, то видим, что $Q^{\prime}$ и $P^{\prime}$ совершенно точно перестановочны, но принадлежащие $q$ и $p$ операторы $Q$ и $P$ можно выразить с их помощью не аккуратнее, чем с точностью до $\varepsilon$ и $\eta$. Пусть относящимися к $Q^{\prime}$ и $P^{\prime}$ величинами будут $q^{\prime}$ и $p^{\prime}$; та интерпретация, что макроскопически измеримые величины – это, собственно, не сами $q$ и $p$, но $q^{\prime}$ и $p^{\prime}$, совершенно естественна и полностью соответствует нашему постулату об одновременной измеримости всех макроскопических величин.

Целесообразно трактовать выясненное обстоятельство вообще как характеристику макроскопического способа рассмотрения. Это рассмотрение состоит тогда в том, чтобы заменить все возможные операторы $A, B, C, \ldots$, как правило, не коммутирующие друг с другом, другими операторами $A^{\prime}, B^{\prime}, C^{\prime}, \ldots$, функциями которых они приближенно являются и которые коммутируют друг с другом. Поскольку эти функции операторов $A^{\prime}, B^{\prime}, C^{\prime}, \ldots$ можно тоже обозначить через $A^{\prime}, B^{\prime}, C^{\prime}, \ldots$ то мы вправе сказать, что $A^{\prime}, B^{\prime}$, $C^{\prime}, \ldots$ являются приближениями для $A, B, C, \ldots$ но коммутируют друг с другом. Если порядок величины операторов $A^{\prime}-A, B^{\prime}-B$, $C^{\prime}-C, \ldots$ задан числами $\varepsilon_{A}, \varepsilon_{B}, \varepsilon_{C}, \ldots$, то мы видим, что произведение $\varepsilon_{A} \varepsilon_{B}$ будет такого порядка, как $A B-B A$ (что ведь, вообще говоря, $
eq 0$ ) и т. д., – это определяет границы достижимой степени приближения. Разумно, конечно, уже при задании $A, B, C, \ldots$ ограничиться лишь такими операторами, чьи физические величины хоть в каком-либо приближении макроскопически постижимы.

Эти чисто качественные рассуждения остаются пустой программой, пока мы не сможем показать, что они требуют чего-либо математически проводимого. Остановимся поэтому на том, чтобы обсудить для характерного случая $Q$ и $P$ вопрос о существовании $Q^{\prime}$ и $P^{\prime}$ чисто математически. Итак, пусть заданы два положительных числа $\varepsilon$ и $\eta$ с $\varepsilon \eta=\frac{h}{4 \pi}$; мы ищем два коммутирующих оператора $Q^{\prime}$ и $P^{\prime}$ таких, чтобы $Q^{\prime}-Q$ и $P^{\prime}-P$ имели бы (в некотором, еще подлежащем более точному определению смысле) порядок величины $\varepsilon$ и $\eta$.

Мы достигнем этого с двумя совершенно точно измеримыми величинами $q^{\prime}$ и $p^{\prime}$, т. е. такими, чтобы $Q^{\prime}$ и $P^{\prime}$ обладали чисто дискретным спектром; поскольку они перестановочны, то существует состоящая из их общих собственных функций полная ортонормированная система $\varphi_{1}, \varphi_{2}, \ldots$ (cр. II. I0). Соответствующие собственные значения $Q^{\prime}$ и $P^{\prime}$ пусть будут $a_{1}, a_{2}, \ldots$ и $b_{1}, b_{2}, \ldots$ так что
$Q^{\prime}=\sum_{n=1}^{\infty} a_{n} P_{\left[\varphi_{n}\right]} \quad$ и $P^{\prime}=\sum_{n=1}^{\infty} b_{n} P_{\left[\varphi_{n}\right]}$. То, что их измерение – пусть проводимое так, что после него возникает одно из состояний $\varphi_{1}, \varphi_{2}, \ldots$ (измеряя, например, некоторую величину $\mathfrak{R}$, которой соответствует оператор $R$ с собственными фунцциями $\varphi_{1}, \varphi_{2}, \ldots$ и всеми различными собственными значениями $c_{1}, c_{2}, \ldots$, тогда $Q^{\prime}$ и $P^{\prime}$ будут функциями $R$ ), – включает приближенно и измерение $Q$ и $P$, видно из следующего: В состоянии $\varphi_{n}$ операторы $Q$ и $P$ выражаются приближенно через соответствующие значения $Q^{\prime}$ и $P^{\prime}$, т. е. через $a_{n}$ и $b_{n}$, в том смысле, что их дисперсии вблизи этих значений малы. Этими дисперсиями будут математические ожидания величин $\left(q-a_{n}\right)^{2}$ и $\left(p-b_{n}\right)^{2}$, т. е.
\[
\left(\left(Q-a_{n} 1\right)^{2} \varphi_{n}, \varphi_{n}\right)=\left\|\left(Q-a_{n} 1\right) \varphi_{n}\right\|^{2}=\left\|Q \varphi_{n}-a_{n} \varphi_{n}\right\|^{2}
\]

и
\[
\left(\left(P-b_{n} 1\right)^{2} \varphi_{n}, \varphi_{n}\right)=\left\|\left(P-b_{n} 1\right) \varphi_{n}\right\|^{2}=\left\|P_{n}-b_{n} \varphi_{n}\right\|^{2} .
\]

Они будут масштабами для квадратов разностей между $Q^{\prime}$ и $Q$ или соответственно между $P^{\prime}$ и $P$, т. е. должны примерно равняться $\varepsilon^{2}$ или $\eta^{2}$. Итак, мы требуем, чтобы
\[
\left\|Q \varphi_{n}-a_{n} \varphi_{n}\right\| \leqslant \varepsilon ; \quad\left\|P \varphi_{n}-b_{n} \varphi_{n}\right\| \leqslant \eta \ldots
\]

Поэтому, вместо того чтобы говорить о $Q^{\prime}$ и $P^{\prime}$, целесообразнее просто найти полную ортонормированную систему $\varphi_{1}, \varphi_{2}, \ldots$, для которой при соответствующем выборе $a_{1}, a_{2}, \ldots$ и $b_{1}, b_{2}, \ldots$ выполнялись бы приведенные оценки.

Отдельные $\varphi($ с $\|\varphi\|=1)$, для которых при соответственно подобранных $a$ и $b$ выполняется
\[
\|Q \varphi-a \varphi\|=\varepsilon \quad \text { х } \quad\|P \varphi-b \varphi\|=\eta,
\]

мы уже знаем из III. 4:
\[
\varphi_{\rho, \sigma, \gamma}=\varphi_{\rho, \sigma, \gamma}(q)=\left(\frac{2 \gamma}{h}\right)^{1 / 4} e^{-\frac{\pi \gamma}{h}(q-\sigma)^{2}+\frac{2 \pi \rho}{h} i q},
\]

где мы из-за вү $=\frac{h}{4 \pi}$ опять положили $\varepsilon=\sqrt{\frac{h \gamma}{4 \pi}}, \quad \eta_{1}=\sqrt{\frac{h}{4 \pi}}$ (т. е. $\left.\gamma=\frac{\varepsilon}{\eta}\right)$ и где надо выбрать $a=0$ и $b=p$. Речь идет теперь о том, чтобы составить из этих $\varphi_{\rho, a, y}$ полную ортонормированную систему. Поскольку $\rho$ – это математическое ожидание оператора $Q$, а $\sigma$ – оператора $P$, то хотелось бы допустить, что $\rho$ и $\sigma$ пробегают системы чисел независимо друг от друга, и притом так, чтобы первая имела примерно плотность $\varepsilon$, а вторая – $\eta$. В действительности оказывается удобным выбрать единицы $2 \sqrt{\pi} \cdot \varepsilon=\sqrt{h \gamma}$ и $2 \sqrt{\pi} \cdot \eta=\sqrt{\frac{h}{\gamma}}$, так
чтобы было $\rho=\sqrt{h \gamma} \mu, \sigma=\sqrt{\frac{h}{\gamma}}
u(\mu,
u=0, \pm 1, \pm 2, \ldots)$. Итак, функции

должны будут играть роль $\varphi_{n}(n=1,2, \ldots)$; то, что вместо одного индекса у нас появились два – и и $v$, – конечно, несущественно.

Однако эти $\psi_{\mu,
u}$ пока еще не ортогональны. (Нормированными они являются, и условия
\[
\left\|Q \psi_{\mu,
u}-\sqrt{h \gamma} \mu \psi_{\mu
u}\right\|=\varepsilon, \quad\left\|P \psi_{\mu,
u}-\sqrt{\frac{\hbar}{\gamma}} \psi_{\mu,
u}\right\|=\eta
\]

выполнены.) Если мы «ортогонализируем» (ср. II. 2, док. теоремы 8.) их методом Шмидта (в какойнибудь последовательности), то для ортонормированной системы $\psi_{\mu,
u}^{\prime}$, которая тогда возникнет, можно будет без труда доказать полноту и установить справедливость оценок
\[
\left\|Q \psi_{\mu,
u}^{\prime}-\sqrt{h \gamma} \mu \psi_{\mu,
u}^{\prime}\right\| \leqslant C \varepsilon ; \quad\left\|P \psi_{\mu,
u}^{\prime}-\sqrt{\frac{h}{\gamma}}
u \psi_{\mu,
u}^{\prime}\right\| \leqslant C \eta,
\]

причем для $C$ получится значение $\sim 60$. Доказательство этих утверждений потребовало бы довольно громоздких, но не требующих каких-либо новых точек зрения, выкладок, которые мы обойдем. Множители $C \sim 60$ не играют большой роли, поскольку измеренная в макроскопических (CGS) единицах величина $\varepsilon \eta=\frac{h}{4 \pi}$ оказывается совершенно необычаиной малости ( $\left.\sim 10^{-28} !\right)$.

Итак, мы можем сказать теперь, подводя итоги, что допущение о коммутативности всех макроскопических операторов мотивировано; следовательно, в частности, это так и для введенных выше макроскопических проекционных операторов $E$.

Операторы $E$ отвечают всем вопросам (E, на которые можно ответить с макроскопической точки зрения, т. е. всем разбиениям на различные случаи, относящиеся к исследуемой системе, которые могут быть проведены макроскопически. Как мы видели, они все перестановочны; согласно III. 5, вместе с $E$ к ним относится и $1-E$, далее, вместе с $E$ и $F$ – также и операторы $E F, E+F-E F$ и $E-E F$. Естественно допустить, что их существует лишь конечное число: $E_{1}, \ldots, E_{n}$. Введем на мгновение обозначение $E^{(+)}=E$ и $E^{(-)}=1-E$ и рассмотрим все $2^{n}$ произведений $E_{1}^{\left(s_{1}\right)} \ldots E_{n}^{\left(s_{n}\right)}\left(s_{1}, \ldots, s_{n}= \pm 1\right)$. Любые два различных из них обладают произведением нуль, так как если $E_{1}^{\left(s_{1}\right)} \ldots E_{n}^{\left(s_{n}\right)}$ и $E_{1}^{\left(t_{1}\right)} \ldots E_{n}^{\left(t_{n}\right)}$ два таких произведения, у которых, например, $s_{v}
eq t_{v}$, то в их произведение вондут множители $E_{v}^{\left(s_{v}\right)}$ и $E_{v}^{\left(t_{v}\right)}$, т. е. $E_{v}^{(t)}=E$ и $E_{
u}^{(-)}=1-E$, произведение которых равно нулю.
[r.t. V
Каждое $E_{v}$ является суммон нескольких таких произведении, именно
\[
E_{v}=\sum_{s_{1}, \ldots, s_{
u-1}, s_{v+1}, \ldots, s_{n}= \pm 1} E_{1}^{\left(s_{1}\right)} \ldots E_{v-1}^{\left(s_{y-1}\right)} \cdot E_{v}^{(+)} \cdot E_{\gamma+1}^{\left(s_{v+1}\right)} \cdots E_{n}^{\left(s_{n}\right)} .
\]

Если мы назовем те из этих произведений, которые отличны от нуля, $E_{1}^{\prime}, \ldots, E_{m}^{\prime}$ (ясно, что $m \leqslant 2^{n}$, но должно быть даже $m \leqslant n-1$, так как все они должны встретиться среди $E_{1}, \ldots, E_{n}$ и не равны нулю), то будет $E_{\mu}^{\prime}
eq 0, E_{\mu}^{\prime} E_{
u}^{\prime}=0$ для $\mu
eq
u$ и каждый $E_{\mu}$ есть сумма нескольких $E_{\gamma}^{\prime}$. (Из последнего следует также, что $n=2^{m}$.) Заметим, что никогда не может случиться, что $E_{\mu}+E_{
u}=E_{\rho}^{\prime}$, исключая $E_{\mu}=0$, $E_{
u}=E_{\rho}^{\prime}$ или $E_{\mu}=E_{\rho}^{\prime}, E_{
u}=0$, так как иначе $E_{\mu}$ и $E_{\gamma}$ были бы суммами нескольких $E_{\pi}^{\prime}$, следовательно $E_{\rho}^{\prime}$ – суммой $\geqslant 2$ операторов $E_{\pi}^{\prime}$ (возможно, с повторениями). По теоремам 15. и 16. из II. 4 все эти операторы были бы отличны друг от друга, поскольку их $\geqslant 2$, и от $E_{p}^{\prime}$. Но поэтому должны были бы равняться нулю их произведения с $E_{\rho}^{\prime}$, следовательно и произведение их суммы, что противоречит тому, что эта должна была быть равной $E_{\rho}^{\prime}$.

Итак, соответствующие операторам $E_{1}^{\prime}, \ldots, E_{m}^{\prime}$ свойства $
otin_{1}^{\prime}, \ldots,
otin_{m}^{\prime}-$ это макроскопические свойства следующего рода: Ни одно из них не абсурдно. Любые два взаимно исключают друг друга. Любое макроскопическое свойство оказывается расщепимым на некоторые из них. Ни одно из них нельзя дальнейим расщеплением разложить на два более точных макроскопических свойства. Итак, $\mathfrak{E}_{1}^{\prime}, \ldots \mathfrak{E}_{m}^{\prime}$ осуществляют самое глубокое макроскопическое различение случаев, которое вообще может быть сделано; они макроскопически неразложимы.

В дальнеишем мы не будем требовать конечности их числа, но только существования макроскопически неразложимых свойств $\mathbb{E}_{1}^{\prime}, \mathbb{E}_{2}^{\prime}, \ldots$ Соответствующие проекционные операторы пусть будут $E_{1}^{\prime}, E_{2}^{\prime}, \ldots$, опять все $
eq 0$, любые два ортогональные и такие, что каждый макроскопический $E$ есть сумма некоторых из них.

Поэтому и 1 должна быть суммой некоторых из них; не войд некоторый $E_{\gamma}^{\prime}$ в их число, он был бы к ней, т. е. к 1 , ортогонален, т. е. было бы $E_{\mathrm{v}}^{\prime}=E_{\mathrm{y}}^{\prime} \cdot 1=0$, что невозможно. Поэтому $E_{1}^{\prime}+E_{2}^{\prime}+$ $+\ldots \equiv 1$. Мы опустим теперь штрихи и будем писать $\mathcal{E}_{1}, \mathcal{E}_{2}, \ldots$ и $E_{1}, E_{2}, \ldots$ Относящиеся к ним замкнутые линенные многообразия будут называться $\mathfrak{R}_{1}, \mathfrak{M}_{2}, \ldots$ а числа их измерений $-s_{1}, s_{2}, \ldots$ Будь все $s_{n}=1$, т. е. $\mathfrak{R}_{n}$ одномерны, то было бы и $\mathfrak{M}_{n}=\left[\varphi_{n}\right]$, $E_{n}=P_{\left[\varphi_{n}\right]}$ и, из-за $E_{1}+E_{2}+\ldots=1, \varphi_{1}, \varphi_{2}, \ldots$ – полной ортонормированной системой Это означало бы, что уже макроскопические измерения позволяли бы полностью установить состояние рассматриваемон системы. Поскольку в нсрмальном случае это не так, то, вообще говоря, будет $s_{n}>1$ и даже $s_{n} \gg 1$.

Заметим кстати, что операторы $E_{n}$, являющиеся элементарными кирпичиками макроскопического описания мира, в некотором смысле соответствуют обычному в классической теории разделению на клетки фазового пространства. Что они в состоянии приближенно передавать поведение некоммутирующих операторов, в частности поведение столь важных для фазового пространства $Q$ и $P$, – мы уже видели.

Какой же энтропией обладает смесь $U$ для макроскопического наблюдателя, чьи неразложимые проекционные операторы – это $E_{1}, E_{2}, \ldots$ ? Или, более точно, какую максимальную энтропию может выиграть такой наблюдатель при преобразовании $U$ в $V$, т. е. какое уменьшение энтропии (оно может быть, естественно, 을 во внешних объектах в состоянии он в лучшем случае создать в качестве компенсации за переход $U \rightarrow V$ ?

Прежде всего следует подчеркнуть, что два ансамбля $U$ и $U^{\prime}$, для которых все $E_{1}, E_{2}, \ldots$ обладают одинаковыми ожидаемыми значениями, т. е. такие, что $\operatorname{Spur}\left(U E_{n}\right)=\operatorname{Spur}\left(U^{\prime} E_{n}\right)(n=1,2, \ldots)$ он вовсе не может различить друг от друга. Правда, он смог бы, возможно, сделать это спустя некоторое время, так как $U$ и $U^{\prime}$ эволюционируют согласно 2. и равенство $\operatorname{Spur}\left(A U A^{-1} E_{n}\right)=\operatorname{Spur}\left(A U^{\prime} A^{-1} E_{n}\right)$ с $A=e^{-\frac{2 \pi i}{h} t \mathrm{H}}$ не должно было бы более выполняться $\left.{ }^{204}\right)$, но мы ведь рассматриваем только измерения, которые можно выполнить тотчас. Итак, при изложенных выше условиях мы вправе считать $U$ и $U^{\prime}$ неразличимыми. Далее, наблюдатель может употреблять лишь такие полупроницаемые стенки, которые пропускают $\varphi$ некоторых $E_{n}$ и отражают все остальные. Этого оказывается достаточно, чтобы, как без труда можно убедиться, следуя методу V.2, перевести некоторый $U^{\prime}=\sum_{n=1}^{\infty} x_{n} E_{n}$ в некоторыи $V^{\prime}=\sum_{n=1}^{\infty} y_{n} E_{n}$ обратимым образом, так что для разности энтропий сохранится выражение
\[
x \operatorname{Spur}\left(U^{\prime} \ln U^{\prime}\right)-x \operatorname{Spur}\left(V^{\prime} \ln V^{\prime}\right) \text {, }
\]
т. е. энтропия $U^{\prime}$ будет равна – $x \operatorname{Spur}\left(U^{\prime} \ln U^{\prime}\right)$. Правда, надо
${ }^{204}$ ) Если $E_{n}$ коммутирует с $\mathrm{H}$, следовательно и с $A$, то равенство все же выполняется из-за
\[
\operatorname{Spur}\left(A \cdot U A^{-1} E_{n}\right)=\operatorname{Spur}\left(U A^{-1} E_{n} \cdot A\right)=\operatorname{Spur}\left(U A^{-1} A E_{n}\right)=\operatorname{Spur}\left(U E_{n}\right) .
\]

Но все $E_{n}$, т. е. все макроскопические величины, все они ни в коей мере не коммутируют с $\mathrm{H}$. Многие из них, например центр тяжести какого-либо газа при диффузии, изменяются со временем вполне заметно. Это значит, что Spur ( $\left.U E_{n}\right)$ не постоянен. Поскольку все макроскопические величины перестановочны, то $\mathrm{H}$ ни в коем случае не есть макроскопическая величина, т. е. энергию нельзя совершенно точно измерить макроскопически. С этим можно согласиться без даяьнейшего.
заметить, что, – чтобы такие $U^{\prime}$ со свойстом Spur $U^{\prime}=1$ вообще существовали, – шпуры $\operatorname{Spur} E_{n}$, т. е. числа $s_{n}$, должны быть конечны. Поэтому мы примем, что все $s_{n}$ конечны. Оператор $U^{\prime}$ обладает $s_{1}$-кратным собственным значением $x_{1}, s_{2}$-кратным собственным значением $x_{2}, \ldots$ поэтому $-U^{\prime} \ln U^{\prime}$ будет обладать $s_{1}$-кратным собственным значением $-x_{1} \ln x_{1}, s_{2}$-кратным собственным значением $-x_{2} \ln x_{2}, \ldots$ Таким образом, Spur $U^{\prime}=1$ означает, что $\sum_{n=1}^{\infty} s_{n} x_{n}=1$, а энтропия равняется $-\chi \sum_{n=1}^{\infty} s_{n} x_{n} \ln x_{n}$. Из-за
\[
U^{\prime} E_{m}=\sum_{n=1}^{\infty} x_{n} E_{n} E_{m}=x_{m} E_{m} ; \operatorname{Spur}\left(U^{\prime} E_{m}\right)=x_{m} \operatorname{Spur} E_{m}=s_{m} x_{m},
\]

будет ${ }^{\prime} x_{m}=\frac{\operatorname{Spur}\left(U^{\prime} E_{m}\right)}{s_{m}}$, поэтому обсуждаемая энтропия будет равна
\[
\text { – } \sum_{n=1}^{\infty} \operatorname{Spur}\left(U^{\prime} E_{n}\right) \ln \frac{\operatorname{Spur}\left(U^{\prime} E_{n}\right)}{s_{n}}
\]

Для произвольного $U$ (Spur $U=1$ ) энтропия тоже должна равняться
\[
-x \sum_{n=1}^{\infty} \operatorname{Spur}\left(U E_{n}\right) \ln \frac{\operatorname{Spur}\left(U E_{n}\right)}{s_{n}} .
\]

Действительно, положи мы
\[
x_{n}=\frac{\operatorname{Spur}\left(U E_{n}\right)}{s_{n}}, \quad U^{\prime}=\sum_{n=1}^{\infty} x_{n} E_{n},
\]

то будет $\operatorname{Spur}\left(U E_{n}\right)=\operatorname{Spur}\left(U^{\prime} E_{n}\right)$, и поскольку $U$ и $U^{\prime}$ неразличимы, то они должны обладать одной и той же энтропией.

Надо еще упомянуть, что эта энтропия всегда превосходит обыкновенную: всегда будет
\[
-x \sum_{n=1}^{\infty} \operatorname{Spur}\left(U E_{n}\right) \ln \frac{\operatorname{Spur}\left(U E_{n}\right)}{s_{a}} \geqslant-x \operatorname{Spur}(U \ln U)
\]

и знак равенства достигнется только для $U=\sum_{n=1}^{\infty} x_{n} E_{n}$. Согласно результатам V.3, это гарантированно будет иметь место, если $U^{\prime}=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\operatorname{Spur}\left(U E_{n}\right)}{s_{n}} E_{n}$ может быть создано из $U$ несколькими (не обязательно макроскопическими) применениями процесса 1. ., так как слева ведь стоит $-x \operatorname{Spur}\left(U^{\prime} \ln U^{\prime}\right)$, а $U=\sum_{n=1}^{\infty} x_{n} E_{n}$ означает то же,
что и $U=U^{\prime}$. Выберем ортонормированную систему $\varphi_{1}^{(n)}, \ldots, \varphi_{s_{n}}^{(n)}$, растягиваюшую принадлежащее $E_{i t}$ линенное многообразие $\mathfrak{R}_{n}$; из-за $\sum_{n=1}^{\infty} E_{n}=1 \quad$ совокупность всех $\varphi_{
u}^{(n)}\left(n=1,2, \ldots ;
u=1, \ldots, s_{n}\right)$ образует полную ортонормированную систему. Пусть $R$ – оператор, собственными функциями (со всеми различными собственными значениями) которого они являются, а $\mathfrak{R}$ – его физическая величина. При измерении $\mathfrak{R}$ из $U$ получается, в силу 1 .,

Положим теперь
\[
U^{\prime \prime}=\sum_{n=1}^{\infty} \sum_{
u=1}^{s_{n}}\left(U_{
u}^{(n)}, \varphi_{v}^{(n)}\right) \cdot P_{\left[p_{
u}^{(n)}\right]} .
\]
\[
\psi_{\mu}^{(n)}=\frac{1}{\sqrt{s_{n}}} \sum_{
u=1}^{s_{n}} e^{\frac{2 \pi i}{s_{n}} \mu
u} \varphi_{
u}^{(n)} \quad\left(\mu=1, \ldots, s_{n}\right) .
\]

функции $\psi_{1}^{(n)}, \ldots, \psi_{s_{n}}^{(n)}$ образуют ортонормированную систему, которая растягивает то же замкнутое линейное многообразие $\mathfrak{M}_{n}$, что и $\varphi_{1}^{(n)}, \ldots, \varphi_{s_{n}}^{(n)}$. Поэтому и $\psi_{
u}^{(n)}\left(n=1,2, \ldots ;
u=1, \ldots, s_{n}\right)$ образуют полную ортӧнормированную систему. Построим с этими собственными функциями оператор $S$ и относяшуюся к нему физическую величину (๐. Отметим еще, что выполняются следующие формулы:

Поэтому при измерении (8 в силу 1 . из $U^{\prime \prime}$ получится
\[
\begin{array}{c}
\sum_{m=1}^{\infty} \sum_{\mu=1}^{s_{m}}\left(U^{\prime \prime} \psi_{\mu}^{(m)}, \psi_{\mu}^{(m)}\right) P_{\left[\psi_{\mu}^{(m)}\right]}= \\
=\sum_{m=1}^{\infty} \sum_{\mu=1}^{s_{m}}\left[\sum_{n=1}^{\infty} \sum_{
u=1}^{s_{n}}\left(U \varphi_{
u}^{(n)}, \varphi_{
u}^{(n)}\right)\left(P_{\left[\varphi_{
u}^{(n)}\right]} \psi_{\mu}^{(m)}, \psi_{\mu}^{(m)}\right)\right] P_{\left[\psi_{\mu}^{(m)}\right]}= \\
=\sum_{m=1}^{\infty} \sum_{\mu=1}^{s_{m}}\left[\sum_{
u=1}^{s_{m}^{m}} \frac{\left(U \varphi_{
u}^{(m)}, \varphi_{
u}^{(m)}\right)}{s_{m}}\right] P_{\left[\psi_{\mu}^{(m)}\right]}= \\
=\sum_{m=1}^{\infty} \sum_{
u=1}^{s_{m}} \frac{\operatorname{Spur}\left(U E_{m}\right)}{s_{m}} P_{\left[\psi_{\mu}^{(m)}\right]}=\sum_{m=1}^{\infty} \frac{\operatorname{Spur}\left(U E_{m}\right)}{s_{m}} E_{m}=U^{\prime} .
\end{array}
\]

Таким образом, двух процессов 1 . хватает, чтобы преобразовать $U$ в $U^{\prime}$, – и это все, в чем мы нуждались для доказательства.
[гл. $\mathrm{V}$
Для состояний $\left(U=P_{[\varphi]}, \quad \operatorname{Spur}\left(U E_{n}\right)=\left(E_{n} \varphi, \varphi\right)=\left\|E_{n} \varphi\right\|^{2}\right) \quad$ эта энтропия
\[
-\chi \sum_{n=1}^{\infty}\left\|E_{n} \varphi\right\|^{2} \ln \frac{\left\|E_{n} \varphi\right\|^{2}}{s_{n}}
\]

не испытывает более тех зол, что «микроскопическая», — она, вообще говоря, не остается постоянной во времени (т. е. при процесce 2.) и не для всех состояний равна нулю. Действительно, что $\operatorname{Spur}\left(U E_{n}\right)$, из которого строится наша энтропия, вообще говоря, не остается постоянным со временем, уже обсуждалось в прим. ${ }^{244}$ ) (стр. 301). Легко выяснить, когда состояние $U=P_{[p]}$ будет обладать энтропией 0 : Поскольку $\frac{\left\|E_{n} \varphi\right\|^{2}}{s_{n}} \geqslant 0$ и $\leqslant 1$, то все слагаемые $\left\|E_{n} \varphi\right\|^{2} \ln \frac{\left\|E_{n} \varphi\right\|^{2}}{s_{n}}$ в выражении для энтропии $\leqslant 0$, они должны были бы, следовательно, все обратиться в 0 . Это требует, чтобы $\frac{\left\|E_{n} \varphi\right\|^{2}}{s_{n}}=0$ или $=1$. Первое означает, что $E_{n} \varphi=0$, последнеечто $\left\|E_{n} \varphi\right\|=\sqrt{s_{n}}$. Поскольку, однако, $\left\|E_{n} \varphi\right\| \leqslant 1, \quad s_{n} \geqslant 1$, то для последнего нужно $s_{n}=1$ и $\left\|E_{n} \varphi\right\|=\|\varphi\|$, т. е. $E_{n} \varphi=\varphi$ или $s_{n}=1$ и $\varphi$ лежит в $\mathfrak{M}_{n}$. Это последнее не может, конечно, выполняться для двух различных $n$, но не может и не выполняться ни для одного, так как тогда было бы всегда $E_{n} \varphi=0$, т. е., в силу $\sum_{n=1}^{\infty} E_{n}=1, \varphi=0$. Итак, надо, чтобы в точности для одного $n$ १ лежала бы в $\mathfrak{M}_{n}$, и при этом было бы $s_{n}=1$. Поскольку ранее мы установили, что, вообще говоря, все $s_{n} \gg 1$, то это невозможно. Итак, наша энтропия всегда $>0$.

Поскольку макроскопическая энтропия зависит от времени, то следующиЙ вопрос, который нам надо разрешить, состоит в том, ведет ли она себя, как энтропия феноменологической термодинамики в действительном мире, т. е. возрастает ли она прогрессивно? В основанной на классической механике теории утвердительный ответ на этот вопрос получается через посредство так называемой $\mathrm{H}$-теоремы Больцмана, но при этом приходится делать известные статистические допущения, так называемые «гипотезы беспорядка» ${ }^{205}$ ). В квантовой
205) Относительно классической Н-теоремы ср. Во It z m a n n, Vorlesungen uber Gastheorie, Leipzig, 1896, равно как и чрезвычайно поучительное обсуждение у П. и Т. Эренфестов (ск. прим. ${ }^{185}$ ) на стр. 267). «Гипотезы молекулярного беспорядка», которые могли бы занять в квантовой механике место соответствующих гипотез Больцмана, формулировал Паули (в зоммерфельдовом юбилейном сборнике, 1928), там же с их помощью доказывается Н-теорема. Недавно автору удалось доказать и эргодическую теорему классической механики, ср. Proc. Nat. Ас., янв. и март 1930, равно как и усиление y G. D. Birkh off, Proc. Nat. Аc., декабрь 1929, март 1930.
механике автору удалось доказать соответствующую теорему без предположений такого рода ${ }^{206}$ ). Более близкое знакомство с этим предметом, равно как и с теснейшим образом связанной с ним эргодической теоремой (ср. прим. ${ }^{206}$ ), где последняя также доказывается), завело бы нас слишком далеко, и мы должны отказаться от передачи этих исследований. Заинтересованного в этом направлении читателя мы отсылаем к приведенным работам*).
${ }^{206}$ ) Zs. f. Phys. 57, 30 (1929). (См. перевод этой статьи в конце книги.) *) См. прим. ${ }^{206}$ ). Прим. ред.