Как мы знаем, физическим величинам квантовомеханической системы однозначно сопоставлены гипермаксимальные эрмитовы операторы (ср., например, дискуссию в III. 5). Целесообразно сделать допущение, что это соответствие взаимно однозначно, т. е. что каждому гипермаксимальному эрмитову оператору соответствует на самом деле некоторая физическая величина. (Частные применення этого допущения делались также в III. 3.) Тогда будут справедливы следующие правила (ср. $\boldsymbol{F}, \boldsymbol{L}$. в III. 5, а также сказанное в конце IV. 1):
I. Если величине $\mathfrak{\ell}$ соответствует оператор $R$, то величине $f(\mathfrak{R})$ будет соответствовать оператор $f(R)$.
II. Если величинам $\mathfrak{R}$, 厄, … соответствуют операторы $R$, $S, \ldots$ то величине $\mathfrak{A}+\overparen{C}+\ldots$ будет соответствовать оператор $R+S+\ldots$ (Одновременная измеримость величин $\mathfrak{R}, \mathcal{E}, \ldots$ при этом не предполагается. Ср., что говорилось по этому поводу выше.)
$\left.\boldsymbol{A}^{\prime} ., \boldsymbol{B}^{\prime} ., \boldsymbol{\alpha}^{\prime}\right), \boldsymbol{\beta}^{\prime}$ ) и $\boldsymbol{I}_{.}, \boldsymbol{I}$. образуют математический базис нашего анализа.

Пусть $\varphi_{1}, \varphi_{2}, \ldots$ – полная ортонормированная система функций. Вместо оператора $R$ мы будем рассматривать матрицу $a_{\mu
u}=\left(R \varphi_{\mu}, \varphi_{
u}\right)$. Построим еще следующие эрмитовы операторы, матрицы которых имеют вид
\[
\begin{aligned}
e_{\mu
u}^{(n)} & =\left\{\left.\begin{array}{ll}
1, & \text { если } \mu=
u=n, \\
0, & \text { в остальных случаях }
\end{array} \right\rvert\,,\right. \\
f_{\mu
u}^{(m n)} & =\left\{\left.\begin{array}{lll}
1, & \text { если } \mu=m, \quad
u=n, \\
1, & \text { если } \mu=n, \quad
u=m, \\
0, & \text { в остальных случаях }
\end{array} \right\rvert\,,\right. \\
g_{\mu
u}^{(m n)} & =\left\{\begin{array}{rll}
i, & \text { если } \mu=m, \quad
u=n, \\
-i, & \text { если } \mu=n, \quad
u=m, \\
0, & \text { в остальных случаях }
\end{array}\right.
\end{aligned}
\]$\left.P_{\left[\frac{\varphi_{m}+i \varphi_{n}}{V 2}\right.}^{V^{2}}\right]^{-P}\left[\frac{\varphi_{m}-i \varphi_{n}}{\sqrt{2}}\right] \cdot$ Пусть им соответствуют величины $\mathfrak{u}^{(n)}$, $\mathfrak{B}^{(m, n)}, \mathfrak{B}^{(m, n)}$. Очевидно (так как $a_{n m}=\bar{a}_{m n}$ ), что
\[
a_{\mu
u}=\sum_{n} a_{n n} e_{\mu
u}^{(n)}+\sum_{m n} \operatorname{Re} a_{m n} f_{\mu
u}^{(m n)}+\sum_{m n}^{m<n} \operatorname{Im} a_{m n} g_{\mu
u}^{(m n)},
\]

и потому

а значит, в силу $\boldsymbol{I}$. и $\boldsymbol{B}^{\prime}$.,
\[
\begin{array}{l}
\operatorname{Erw}(\mathfrak{H})=\sum_{n} a_{n n} \operatorname{Erw}\left(\mathbf{u}^{(n)}\right)+\sum_{\substack{m n \\
<n}} \operatorname{Re} a_{m n} \operatorname{Erw}\left(\mathfrak{B}^{(m n)}\right)+ \\
\quad+\sum_{\substack{m n}} \operatorname{Im} a_{m n} \operatorname{Erw}\left(\mathfrak{B}^{(m n)}\right) .
\end{array}
\]

Поэтому, если положим
\[
\left.\begin{array}{l}
u_{n n}=\operatorname{Erw}\left(\mathfrak{u}^{(n)}\right), \\
u_{m n}=\frac{1}{2} \operatorname{Erw}\left(\mathfrak{B}^{(m n)}\right)+\frac{i}{2} \operatorname{Erw}\left(\mathfrak{B}^{(m n)}\right), \\
u_{n m}=\frac{1}{2} \operatorname{Erw}\left(\mathfrak{B}^{(m n)}\right)-\frac{i}{2} \operatorname{Erw}\left(\mathfrak{B}^{(m n)}\right)
\end{array}\right\} \quad(m<n)
\]

то будем иметь
\[
\operatorname{Erw}(\mathfrak{\Re})=\sum_{m n} u_{n m} a_{m n}
\]

Так как $u_{n m}=\bar{u}_{m n}$, то можно определить эрмитов оператор $U$ условием $\left.\left(U \varphi_{m}, \varphi_{n}\right)=u_{m n}{ }^{166}\right)$, после чего в правой части окажется
${ }^{166}$ ) То есть
\[
U \varphi_{m}=\sum_{n} u_{m n} \varphi_{n},
\]

для чего, разумеется, необходима конечность $\sum_{n}\left|u_{m n}\right|^{2}$. В ней можно убедиться, например, так: Если $\sum_{n}\left|x_{n}\right|^{2}=1$, то оператор $R=P_{[\varphi]}$ имеет матрицу $\bar{x}_{\mu} x_{\vee}$ для $\varphi=\sum_{n} x_{n} \varphi_{n}$ и соответствующая этому оператору величина $\mathfrak{A}$ будет иметь математическое ожидание $\sum_{m n} u_{m n} \bar{x}_{m} x_{n}$. Так как $P_{[\uparrow]}=P_{[\varphi]}^{2}$,

Spur (UR) (ср. II. 11). Таким обрагом, окончательная формула гласит:
(Sp.)
\[
\operatorname{Erw}(\mathfrak{M})=\operatorname{Spur}(U R),
\]

где $U$ – не зависящић от $R$ эрмитов оператор ${ }^{167}$ ), определяемыи, следовательно, лишь самим ансамблем.

В силу $I$. соотношение $\boldsymbol{S p}$. удовлетворяет условию $\boldsymbol{B}^{\prime}$. при любом выборе оператора $U$. Поэтому нам остается лишь установить, какие ограничения накладываются на $U$ условием $\boldsymbol{A}^{\prime}$..

Если $\|\varphi\|=1$, но в остальных отношениях $\varphi$ произвольно, то величина $\mathfrak{A}$, соответствующая оператору $P_{[\varphi]}$ будет благодаря $P_{[\varphi]}^{2}=P_{[\varphi]}$ и $I$. обладать свойством $\mathfrak{R}^{2}=\mathfrak{R}$, так что согласно $\boldsymbol{A}^{\prime}$. будет $\operatorname{Erw}(\mathfrak{R}) \geqq 0$. Таким образом, $\operatorname{Spur}\left(U P_{\mid \varphi]}\right)=(U \varphi, \varphi) \geqq 0$. Если $f$
$1-P_{[\varphi]}=\left(1-P_{[\varphi]}\right)^{2}$, то это математическое ожидание будет $\geqslant 0$, $\leqq \operatorname{Erw}$ (1) и, значит, – по крайней мере, для нормированных $\operatorname{Erw}(\mathfrak{\Re}),-\geqq 0$, $\leqq 1$. Если $x_{N+1}=x_{N+2}=\ldots=0$, то это означает, что $N$-мерная эрмитова форма $\sum_{m, n=1}^{N} u_{m n} \bar{x}_{m} x_{n}$ при $\sum_{n=1}^{N}\left|x_{n}\right|^{2}=1$ имеет значения $\geqq 0, \leqq 1$, т. е. собственные значения матрицы $u_{\mu
u}, \mu,
u=1, \ldots, N$ будут $\geqq 0$, $\leqq 1$. Поэтому длины векторов $y_{m}=\sum_{n=1}^{N} u_{m n} \overline{x_{n}}$ будут всегда $\leqq$ длин векторов $x_{m}$. Положим $x_{m}=\left\{\left.\begin{array}{lll}1 & \text { для } & m=\bar{m}, \\ 0 & \text { для } & m
eq \bar{m}\end{array} \right\rvert\,\right.$, тогда $y_{m}=u_{m \bar{m}}$, так что
\[
\sum_{m=1}^{N}\left|x_{m}\right|^{2} \geqq\left.\sum_{m=1}^{N}\left|y_{m}{ }^{2}, \quad 1 \geqq \sum_{m=1}^{N}\right| u_{m \bar{m}}\right|^{2} .
\]

Поскольку это справедливо при любом $N$, то будет также $\sum_{n}\left|u_{\bar{m} n}\right|^{2} \leqq 1$.
${ }^{167}$ ) Все рассмотрение, строго говоря, обосновано лишь в том случае, когда все функции $\varphi_{1}, \varphi_{2}, \ldots$ принадлежат области определения оператора $R$. Хотя, конечно, для любого $R$ можно найти такую полную ортонормированную систему $\varphi_{1}, \varphi_{2}, \ldots$ (ср. II. 11), но если $R$ имеет смысл не везде, то эта система будет зависеть от $R$. Собственно говоря, каждой полной ортонормированной системе функций $\varphi_{1}, \varphi_{2}, \ldots$ соответствует, таким образом, свой, зависящий от нее оператор $U$ такой, что равенство
\[
\operatorname{Erw}(\mathfrak{\Re})=\operatorname{Spur}(U R)
\]

имеет место лишь для тех $R$, к области определения которых принадлежат $\varphi_{1}, \varphi_{2}, \ldots$

Между тем все эти операторы $U$ равны друг другу. Действительно, пусть $U^{\prime}, U^{\prime \prime}$ – два таких оператора. Тогда наше равенство будет справедливо для них обоих, если только $R$ везде имеет смысл. Иными словами, тогда Spur $\left(U^{\prime} R\right)=\operatorname{Spur}\left(U^{\prime \prime} R\right)$. Полагая $R=P_{[\varphi]}$, найдем $\left(U^{\prime} \varphi, \varphi\right)=\left(U^{\prime \prime} \varphi, \varphi\right)$, $\left(\left(U^{\prime}-U^{\prime \prime}\right) \varphi, \varphi\right)=0$. Так как это соотношение справедливо для всех $\varphi$ с $\|\varphi\|=1$, а тем самым и для всех элементов пространства Гильберта, то должно быть также и $U-U^{\prime}=0$, т. е. $U=U^{\prime}$.
произвольно, то при условии $f
eq 0$ функция $\varphi=\frac{1}{\|f\|} \cdot f$ будет допустимой, и тогда $(U \varphi, \varphi)=\frac{1}{\|f\|^{2}}(U f, f)$, так что снова $(U f, f) \geqq 0$; при условии же $f=0$ это соотнсшение выполняется автоматически. Таким образом, оператор $U$ дефинитен. Но свойство дефинитности $U$, следующее, как мы убедились, из $A^{\prime}$., является и достаточным, чтобы $\boldsymbol{A}^{\prime}$. было справедливым.

Действительно, $\boldsymbol{A}^{\prime}$. означает лишь, что всегда должно быть Erw $\left(\boldsymbol{\Xi}^{2}\right) \geqq 0$ и ничего больше. Потому что, если величина $\mathfrak{A}$ принимает лишь неотрицательные значения, то для $f(x)=|x|$ будет $f(\mathfrak{\Re})=\mathfrak{\Re}$, и так как для $g(x)=\sqrt{|x|}$ тождественно выполняется $(g(x))^{2}=f(x)$, то $(g(\mathfrak{A}))^{2}=f(\mathfrak{M}), \mathfrak{\Re}=\boldsymbol{\Xi}^{2}$, где $\left.\boldsymbol{\Xi}=g(\mathfrak{M})^{168}\right)$.

Если величине ङ соответствует оператор $S$, то должно быть также Spur $\left(U S^{2}\right) \geqq 0$. Так как оператор $S^{2}$ дефинитен
\[
\left(\left(S^{2} f, f\right)=(S f, S f) \geqq 0\right) \text {, }
\]

то, написав $A, B$ вместо $U, \mathcal{S}^{2}$, видим, что речь идет о доказательстве теоремы: если операторы $A$ и $B$ эрмитовы и дефинитны, то имеет место соотношение Spur $(A B) \geqq 0$. Но она была доказана в II. 11 с помощью общей теоремы о дефинитных операторах (ср. прим. ${ }^{114}$ ) на стр. 140$)^{169}$ ).
168) Непосредственная подстановка $\boldsymbol{S}=\sqrt{\mathfrak{A}}$, т. е. $\boldsymbol{C}=h(\mathfrak{A}), h(x)=\sqrt{\boldsymbol{x}}$, не проходит, так как мы рассматриваем лишь вещественно-значные функции, определенные для всех вещественных $x$, а функция $\sqrt{\bar{x}}$ не является таковой, поскольку для отрицательных $x$ она мнима.
${ }_{169}$ ) У дается провести простое непосредственное доказательство. Пусть $\varphi_{1}$, $\varphi_{2}, \ldots$ – полная ортонормированная система функций, $a_{\mu
u}=\left(A \varphi_{\mu}, \varphi_{
u}\right)$, $b_{\mu
u
u}=\left(B \varphi_{\mu
u}, \varphi_{
u}\right), \operatorname{Spur}(A B)=\sum_{\mu
u} a_{\mu
u} b_{
u \mu}$. Он $\geqq 0$, если все $\sum_{\mu,
u=1}^{N} a_{\mu
u
u} b_{
u \mu} \geqq 0$. Пусть $f=\sum_{\mu=1}^{N} x_{\mu \varphi_{\mu}}$, тогда $(A f, f)=\sum_{\mu,
u=1}^{N} a_{\mu
u} x_{\mu} \bar{x}_{
u} \geqq 0,(B f, f)=\sum_{\mu,
u=1}^{N} b_{\mu
u} x_{\mu} \bar{x}_{
u} \geqq 0$, так что конечные матрицы $a_{\mu,
u}, b_{\mu
u
u}(\mu,
u=1, \ldots, N)$ также дефинитны. Как свойство дефинитности, так и величнна суммы $\sum_{\mu,
u=1}^{N} a_{\mu
u} b_{
u \mu}$ являются инвариантами ортогональных преобразований в $N$-мерном пространстве. Так как матрица $b_{\mu
u}$ эрмитова, то (в $N$-мерном пространстве!) ее можно привести с помощью ортогонального преобразования к диагональному виду. Поэтому еe можно считать диагональной, т. е. $b_{\mu
u}=0$ при $\mu
eq v$. Таким образом, $\sum_{\mu,
u=1}^{N} a_{\mu
u} b_{
u \mu}=\sum_{\mu=1}^{N} a_{\mu \mu} b_{\mu \mu
u}$. Но, в силу дефинитности, $a_{\mu \mu} \geqq 0, \quad b_{\mu \mu} \geqq 0$ тельно $\geqq 0$.
Тем самым мы полностью задали функции $\operatorname{Erw}(\mathfrak{\Re})$ : они соответствуют дефинитным эрмитовым операторам $U$, причем связь между ними дается соотношением $S p$. . Оператор $U$ будем называть статистическим оператором рассматриваемого ансамбля.

Вернемся теперь еще раз к замечаниям 1., 2., 3. из IV.I. Они будут утверждать:
1. С точки зрения относительных вероятностей и математических ожиданий операторы $U$ и $c U$ не различаются между собой существенно ( $c>0$ – константа).
2. $U=0$ не приводит ни к каким утверждениям, а потому должно быть исключено.
3. Абсолютные (т. е. правильно нормированные) вероятности и математические ожидания получаются в случае, когда $\mathrm{Spur} U=1$. Коль скоро $\operatorname{Spur} U$ конечен, оператор $U$ можно нормировать, согласно 1., умножив его на $c=\frac{1}{\operatorname{Spur} U}$. (В силу дефинитности $U$, имеем $\operatorname{Spur} U \geqq 0$, причем даже $\operatorname{Spur} U>0$, так как из Spur $U=0$ вытекает, как было показано в общем виде в конце IV. 1, но в нашем случае получается также из II. 11, что $U=0$, т. е. случай, иск.юченный согласно 2..) Только для бесконечного $\operatorname{Spur} U$ мы сталкиваемся с существенно относительными вероятностями и математическими ожиданиями.
Наконец, надо еще исследовать $\alpha$ ), $\beta$ ) из IV. 1 , т. е. найти среди операторов $U$ те, которые отвечают бездисперсным и однородным ансамблям.

Сначала бездисперсность. В этом случае $U$ можно считать правильно нормированным (cp. IV. 1), причем должно выполняться требование $\operatorname{Erw}\left(\mathfrak{A}^{2}\right)=[\operatorname{Erw}(\mathfrak{\Re})]^{2}$, т. е. $\operatorname{Spur}\left(U R^{2}\right)=[\operatorname{Spur}(U R)]^{2}$. Положив $R=P_{[\varphi]}$, имеем $R^{2}=R=P_{[\varphi]}, \quad \operatorname{Spur}\left(U P_{[\varphi]}\right)=(U \varphi, \varphi)$, так что должно быть $(U \varphi, \varphi)=(U \varphi, \varphi)^{2}$, т. е. $(U \varphi, \varphi)=0$ или 1. Пусть $\left\|\varphi^{\prime}\right\|=1,\left\|\varphi^{\prime \prime}\right\|=1$, тогда функцию $\varphi$ можно изменять непрерывным образом так, что она начинается с $\varphi^{\prime}$ и в конце равна $\varphi^{\prime \prime}$, причем все время $\|\varphi\|=1{ }^{170}$ ). При этом ( $U \varphi, \varphi$ ) тоже изменяется непрерывно, и так как это выражение равно или 0 или 1 , то оно постоянно. Таким образом $\left(U \varphi^{\prime}, \varphi^{\prime}\right)=\left(U \varphi^{\prime \prime}, \varphi^{\prime \prime}\right)$. Это означает, что $(U \varphi, \varphi)$ всегда равно либо 0 , либо 1 , откуда сенчас же получаем $U=0$ или $U=1$. Случай $U=0$ исключен согласно 2 ., а случай $U=1$ ненормируем
170) Для $\varphi^{\prime}=\varphi^{\prime \prime}$ это очевидно. Пусть поэтому $\varphi^{\prime}
eq \varphi^{\prime \prime}$. «Ортогонализация» функций $\varphi^{\prime}, \varphi^{\prime \prime}$ (ср. II. 2) приводит к некоторой функции $\varphi_{1}$ с $\left\|\varphi_{1}\right\|=1$, которая ортогональна к $\varphi^{\prime}$ так что $\varphi^{\prime \prime}$ является линейной комбинацией $\varphi^{\prime}, \varphi_{1}$. Итак, $\varphi^{\prime \prime}=a \varphi^{\prime}+b \varphi_{1}, \| \varphi^{\prime \prime}||^{2}=|a|^{2}+|b|^{2}=1$. Пусть, скажем, $|a|=\cos ^{\prime} \theta$, $|b|=\sin \theta$, так что $a=e^{i \alpha} \cos 0, \quad b=e^{i \beta} \sin \theta$. Tогда $a^{(x)}=e^{i x \alpha} \cos x \theta$, $b^{\left(x_{j}\right.}=e^{i x \beta} \sin x 0$ также удовлетворяюг условию $\left|a^{(x)}\right|^{2}+\left|b^{(x)}\right|^{2}=1$. Положив $\varphi^{(x)}=a^{(x)} \varphi^{\prime}+b^{(x)} \varphi_{1}$, будем иметь $\left\|\varphi^{(x)}\right\|=1$. При этом $\varphi^{(x)}$ непрерывно изменяется от $\varphi^{\prime}(x=0)$ до $\varphi^{\prime \prime}(x=1)$.
(Spur $U=$ числу измерений пространства $=\infty$ ) и, как легко видеть непосредственно, не бездисперсен. Таким образом, не существует ансамблей без дисперсии.

Перейдем теперь к однородным ансамблям. Согласно $\beta$ ) и $S$. оператор $U$ будет чистым, если из
\[
U=V+W
\]
$(V, W$ – дефинитные эрмитовы операторы, как и $U$ ) следует, что $V=c^{\prime} U, W=c^{\prime \prime} U^{171}$ ). Мы утверждаем, что это свойство имеет место тогда и только тогда, когда $U=P_{[\varphi]}(\|\varphi\|=1)$.

Предположим сначала, что $U$ обладает указанным свойством. Так как $U
eq 0$, то существует $f_{0}$, для которого $U f_{0}
eq 0$, а значит, $f_{0}
eq 0$ и, следовательно, ( $\left.U f_{0}, f_{0}\right)>0$ (ср. II. 5, теорема 19.). Построим два эрмитовых оператора
\[
V f=\frac{\left(f, U f_{0}\right)}{\left(U f_{0}, f_{0}\right)} \cdot U f_{0}, \quad W f=U f-\frac{\left(f, U f_{0}\right)}{\left(U f_{0}, f_{0}\right)} \cdot U f_{0} .
\]

тогда
\[
\begin{aligned}
(V f, f) & =\frac{\left|\left(f, U f_{0}\right)\right|^{2}}{\left(U f_{0}, f_{0}\right)} \geqq 0, \\
(W f, f) & =\frac{(U f, f)\left(U f_{0}, f_{0}\right)-\left|\left(f, U f_{0}\right)\right|^{2}}{\left(U f_{0}, f_{0}\right)} \geqq 0
\end{aligned}
\]
(ср. II. 5, теорема 19.), т. е. операторы $V, W$ дефинитны, причем. очевидно, $U=V+W$. Поэтому $V=c^{\prime} U$, и так как $V f_{0}=U f_{0}
eq 0$, то $c^{\prime}=1$, т. е. $U=V$. Пусть теперь $\varphi=\frac{1}{\left\|U f_{0}\right\|} \cdot U f_{0}(\|\varphi\|=1)$ и $c=\frac{\left\|U f_{0}\right\|^{2}}{\left(U f_{0}, f_{0}\right)}(c>0)$, тогда $U f=V f=c(f, \varphi) \varphi=c P_{\lfloor\varphi]} f$, т. е. $U=c P_{[\varphi}$ и, согласно 1., $U$ в существенном совпадает с $P_{[\varphi]}$.

Пусть теперь, обратно, $U=P_{[\varphi]}(\|\varphi\|=1)$. Если $U=V+W$, где $V, W$ – дефинитные операторы, то аргументация ведется следующим образом. Из $U f=0$ следует, что
\[
0 \leqq(V f, f) \leqq(V f, f)+(W f, f)=(U f, f)=0, \quad(V f, f)=0
\]

и, значит, $V f=0$ (ср. выше). Но из ( $f, \varphi)=0$ следует, что $U f=P_{[\varphi]} f=0$, а тем самым и $V f=0$. Поэтому, каково бы ни было $g$, всегда $(f, V g)=(V f, g)=0$. Таким образом, всё, что ортогонально к $\varphi$, ортогонально также и к $V g$, ввиду чего $V g=c_{g} \cdot \varphi$ ( $c_{g}$ – число, зависящее от $g$ ), но нам нужен лишь случай $g=\varphi$, т. е. $V \varphi=c^{\prime} \cdot \varphi$. Любой элемент $f$ имеет вид $(f, \varphi) \cdot \varphi+f^{\prime}$, где $f^{\prime}$ ортогонален к $\varphi$, так что
\[
V f=(f, \varphi) \cdot V \varphi+V f^{\prime}=(f, \varphi) \cdot c^{\prime} \varphi=c^{\prime} P_{[\varphi]} f=c^{\prime} U f .
\]
171) Из-за условия 2. следовало бы, собственно говоря, потребовать, чтобы $V
eq 0, W
eq 0$. Случаи же $V=0$ или $W=0$ здесь содержатся, если положить $c^{\prime}=0, c^{\prime \prime}=1$ или $c^{\prime}=1, c^{\prime t}=0$.
Поэтому $V=c^{\prime} U, W=U-V=\left(1-c^{\prime}\right) U$, чем и завершается доказательство.

Однородные ансамбли соответствуют, таким образом, операторам $U=P_{[\varphi]},\|\varphi\|=1$, причем соотношение $\boldsymbol{S p}$. переходит в формулу $\boldsymbol{E}_{2}$. из III. 1:
\[
\text { (E.) } \quad \operatorname{Erw}(\mathfrak{R})=\operatorname{Spur}\left(P_{[\varphi]} R\right)=(R \varphi, \varphi) .
\]

Заметим, что $\operatorname{Erw}(1)=\operatorname{Spur}\left(P_{[\varphi]}\right)=1$ (ввиду того, что $P_{[\varphi]}$ соответствует одномерному $[\varphi]$, или же согласно $\boldsymbol{E}_{2}$.), т. е. рассматриваемая форма оператора $U$ правильно нормирована. Выясним еще, наконец, при каких условиях $P_{[\varphi]}$ и $P_{[\psi]}$ обладают одной и той же статистикой, т. е. при каких условиях $P_{[\varphi]}=c P_{\{\psi]}(c>0$ – константа, ср. 1.). Так как Spur $\left(P_{[\varphi]}\right)=\operatorname{Spur}\left(P_{[\psi]}\right)$, то $c=1$, так что $P_{[\varphi]}=P_{[\psi]},[\varphi]=[\psi]$, и $\varphi=a \psi$, а из $\|\varphi\|=\|\psi\|=1$ следует для константы $a$, что $|a|=1$; очевидно, это условие также достаточно.

Резюмируя, можно сказать: атсамблей без дисперсии не существует. Однородные же ансамбли существуют, причем они соответствуют операторам $U=P_{[\varphi]},\|\varphi\|=1$ и только этим операторам. Для таких $U$ соотношение $\boldsymbol{S} p$. переходит в $\boldsymbol{E}_{2}$.; нормировка в этом случае правильна, и $U$ не изменяется при замене $\varphi$ на $a \varphi$ ( $a$-константа, $|a|=1$ ), при любом же другом изменении $\varphi$ оператор $U$ изменяется существенным образом (см. 1.). Таким образом, однородные ансамбли соответствуют состояниям квантовой механики, как эти последние были охарактеризованн выше: с помощью элементов $\varphi$ гильбертова пространства с $\|\varphi\|=1$, причем постоянный множитель абсолютной величины 1 не играл роли (ср., например, III. 2), а статистические утверждения выводились из $\boldsymbol{E}_{2}{ }^{172}$ ).

Все это мы вывели из чисто качественных условий $\boldsymbol{A}^{\prime} ., \boldsymbol{B}^{\prime}, \boldsymbol{\alpha}$ ), ß), I., III. .

Таким образом, в рамках наших условий мы пришли к решению, и притом направленному против причинности: в самом деле, все ансамбли обладают дисперсией, даже и однородные.

Остается еще обсудить поднятый в III. 2 вопрос о «скрытых параметрах», т. е. вопрос о том, не вызвана ли дисперсия однородных ансамблей, описываемых волновыми функциями $\varphi$ (т. е. соотношением $E_{2}$.) тем, что эти ансамбли не являются истинными состояниями, но лишь смесями многих состояний, в то время как для описания истинных состояний, поиимо задания волновой функции $\varphi$,
172) Дедукция двух последних параграфов, приводящая к однородным ансамблям, была указана автором Gött. Nachr., 1927. Существование однородных ансамблей, а также их связь с общими ансамблями были обнаружены независимо H. Weyl’eм, Z. Physik 46 (1927) и автором в указанной выше работе. Один частный случай более общих ансамблей (а именно, случай двух связанных систем, ср. дискуссию в VI.2) был рассмотрен ранее Лан д а y, Z. Physik 45 (1927).

—————————————————————-
0006ru_fizik_kvant_book11_page-0242.jpg.txt

2]
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО СТАТИСТИЧЕСКИХ ФОРМУЛ
241
было бы необходимо задать еще и другие характеристики (они и являются «скрытыми параметрами»), которые все вместе описывают всё причинным образом, т. е. приводят к ансамблям без дисперсии. Статистика однородного ансамбля ( $U=P_{[\varphi]},\|\varphi\|=1$ ) возникала бы тогда в результате усреднения по всем настоящим состояниям, из которых состоит ансамбль; иными словами, в результате усреднения по той области значений «скрытых параметров», которая реализуется в этих состояниях. Но это невозможно по двум причинам: Во-первых, потому, что тогда рассматриваемый однородный ансамбль можно было бы представить в виде смеси двух различных ансамблей ${ }^{173}$ ), вопреки его определению. Во-вторых, потому, что ансамблей без дисперсии, которые должны были бы соответствовать «истинным» состояниям (т. е. которые состояли бы исключительно из систем, находящихся в одном и том же «истинном» состоянии), вообще не существует. Заметим, что нам вовсе нет надобности вдаваться здесь более подробно в детали механизма «скрытых параметров»: твердо установленные результаты квантовой механики никоим образом нельзя будет получить с их помощью. Ведь если бы наряду с волновой функцией должны были бы существовать еще и другие фиксирующие состояние параметры («скрытые параметры»), то было бы даже исключено, чтобы те же самые физические величины стояли в тех же самых отношениях друг к другу (т. е. чтобы выполнялись I., II.).

Не помогло бы также предположение о том, что помимо известных изображаемых в квантовой механике с помощью операторов физических величин, существуют еще другие величины, до сих пор неизвестные. В самом деле, ведь тогда даже для известных физических величин оказались бы неверными соотношения, взятые из квантовой механики (т. е. I., II.). Таким образом, дело здесь совсем не в вопросе интерпретации квантовой механики (как нередко считалось). Напротив, квантовая мехсника должна была бы оказаться объективно ошибочной, чтобы стало возможным другое описание элементарных процессов, отличное от статистического.

Стоит упомянуть еще следующее обстоятельство. Соотношения неопределенности имеют на первый взгляд некоторое сходство с основными постулатами теории относительности. Именно, там утверждается, что принципиально невозможно установить одновременность двух событић, происходящих в точках, разделенных расстоянием $r$,
${ }^{173}$ ) Если «скрытые параметры», совокупность которых мы обозначим через $\pi$, принимают лишь дискретные значения $\pi_{1}, \pi_{2}, \ldots, \pi_{n}(n>1)$, то два ансамбля, смесь которых является исходным ансамблем, могут быть получены так: отнесем к первому ансамблю те системы, для которых $\pi=\pi_{1}$, а ко второму ансамблю те системы, для которых $\pi
eq \pi_{1}$. Если же $\pi$ изменяется непрерывно в области II, то выделим подобласть $\Pi^{\prime}$ области II и отнесем систему к первому ансамблю, если для нее $\pi$ принадлежит к $\Pi^{\prime}$, и ко второму ансамблю, если для нее $\pi$ не принадлежит к ${ }^{\prime}$.
16 и. Нейман
с точностью, превосходящей интервал времени длительностью $\frac{r}{c}$ ( $c$ – скорость света), в то время как, согласно соотношениям неопределенности, принципиально невозможно указать положение материальной точки в фазовом пространстве с точностью, превосходящей область объема $\left(\frac{h}{4 \pi}\right)^{3174}$. Несмотря на это, существует фундаментальное различие. Теория относительности отрицает возможность объективного, точного измерения одновременности, но, несмотря на 9то, введением галилеевой системы отсчета можно наложить на мир координатную систему, которая позволит произвести определение одновременности, вполне согласующееся с нашими нормальными представлениями по этому поводу. Этому определению одновременности нельзя приписать объективного смысла только потому, что такую систему координат можно выбирагь бесконечно многими различными способами, в силу чего получается бесконечно много различных, одинаково хороших, определений. Иными словами, в силу невозможности измерения, существует бесконечная многозначность в возможных теоретических определениях. По-другому обстоит дело в квантовой механике: там вообще невозможно описывать систему, характеризуемую волновой функцией $\varphi$, точкой в фазовом пространстве, невозможно даже в том случае, когда вводятся новые (гипотетические, ненаблюдаемые) координаты, «скрытые параметры», поскольку это привело бы к ансамблям без дисперсии. Иными словами, не только измерение невозможно, но невозможно и никакое разумное теоретическое определение (т. е. такое определение, которое хотя и не могло бы быть эмпирически доказано, как в случае теории относительности, но во всяком случае не могло бы быть и эмпирически опровергнуто). Таким образом, принципиальная невозможность измерений основывается на том, что в одних случаях имеется бесконечно много, а в других случаях не имеется вовсе конструктивных определений спорных понятии, которые не противоречили бы непосредственному опыту (или же общим допущениям теории).
174) Это фазовое пространство шестимерно. Его шестью координатами являются три декартовы координаты гочки $q_{1}, q_{2}, q_{3}$ и три соответствующих импульса $p_{1}, p_{2}, p_{3}$. Согласно III. 4, соответствующие дисперсии $\varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \varepsilon_{3}$, $\eta_{1}, \eta_{2}, \eta_{3}$ удовлетворяют соотношенияи
\[
\varepsilon_{1} \eta_{1} \geq \frac{h}{4 \pi}, \quad \varepsilon_{2} \eta_{2} \geqq \frac{h}{4 \pi}, \quad \varepsilon_{3} \eta_{3} \geq \frac{h}{4 \pi},
\]
T. e.
\[
\varepsilon_{1} \varepsilon_{2} \varepsilon_{3} \eta_{1} \eta_{2} \eta_{3} \geqq\left(\frac{h}{4 \pi}\right)^{3},
\]

и в пределах этого объема положение в фазовом пространстве классической механики никогда не определено.

—————————————————————-
0006ru_fizik_kvant_book11_page-0244.jpg.txt

2]
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО СТАТИСТИЧЕСКИХ ФОРМУЛ
243
Резюмируя, можно охарактеризовать положение причинности в современной физике следующим образом. В макромире не существует опыта, который поддержал бы ее. Более того, такой опыт невозможен, так как видимый причинный порядок макромира (т. е. для объектов, воспринимаемых невооруженным глазом) не имеет, конечно, другой причины, кроме «закона больших чисел», совершенно независимо от того, являются управляющие элементарными процессами (т. е. настоящие) законы природы причинңыми или нет ${ }^{175}$ ). То, что макроскопически тождественные объекты ведут себя макроскопически одинаково, имеет мало общего с причинностью: ведь в действительности эти объекты не тождественны, поскольку соответствующие координаты, определяющие состояния образующих их атомов, почти никогда не совпадают. Макроскопическое рассмотрение усредняет по этим координатам (здесь это – «скрытые параметры»), но так как их число очень велико (примерно $10^{25}$ на 12 материи), то это усреднение, в соответствии с известными теоремами теории вероятностей, ведет к чрезвычайно сильному уменьшению всех дисперсий. (Вообще говоря, конечно. В особых же случаях, например в броуновом движении, в нестабильных состояниях и пр., эта кажущаяся макроскопическая причинность уже не имеет места.) Вопрос о причинности оказалось возможным проверить как следует лишь при изучении атомных явлений, самых элементарных процессов, но здесь, на современном этапе наших знаний, все говорит против. Действительно, единственная имеющаяся в нашем распоряжении формальная теория, упорядочивающая и обобцающая, в известной степени удовлетворительно, наш опыт, т. е. квантовая механика, находится с причинностью в непреложном люгическом противоречии. Конечно, было бы преувеличением утверждать, что тем самым с причинностью покончено: несомненно, что квантовая механика в ее нынешнем состоянии остается еще неполной, и могло бы даже оказаться, что она ошибочна, хотя последнее и представляется совершенно невероятным в свете ошеломляющих возможностей, предоставляемых ею для понимания общих проблем и для численного расчета конкретных. Хотя квантовая механика находится в блестящем соответствии с опытом и хотя она приоткрыла нам завесу над одной качественно новой стороной мира, тем не менее ни об одной теории никогда нельзя сказать, что она доказана опытом, но лишь что она дает для него лучшее из известных объяснений Учитывая все эти предосторожности, можно все же сказать: в настоящее время не существует ни повода, ни извинения для разговоров о причинности в природе. Действительно, нет опыта, который поддерживал бы наличие причинности, поскольку макроскопические опыты для этой цели принципиально
175) Cp. необычайно ясное рассуждение Schödinger’a по этому поводу: Naturwiss. 17, Heft 37 (1929).
16*

—————————————————————-
0006ru_fizik_kvant_book11_page-0245.jpg.txt

244
ДЕДУКТИВНОЕ ПОСТРОЕНИЕ ТЕОРИИ
[ГJ. IV
непригодны, а единственная известная теория, которая совместна с совокупностью наших опытных знании относительно элементарных процессов – квантовая механика – ей противоречит.

Речь идет здесь, разумеется, об исстари укоренившемся способе рассмотрения, присущем всем людям, но никоим образом не о логическон необходимости (что, между прочим, видно хотя бы из того, что статистическую теорию вообще удалось построить), и тот, кто подходит к предмету без предвзятого мнения, не имеет никакого основания упорствовать в таком способе рассмотрения. Обосновано ли при таких обстоятельствах жертвовать ради него разумной физической теориен?