Мы видим, что основные понятия и практические наставления обеих теорий звучат заметно различно. Тем не менее с самого начала они всегда приводили к одним и тем же результатам, даже и тогда, когда это касалось деталей, в которых обе они отличались от более ранних концепций квантовой теории ${ }^{23}$ ). Эта необычайная ситуация была, как указано в I.1, вскоре прояснена ${ }^{24}$ ) Шредингером, доказавшим их математическую эквивалентность. Мы обратимся сейчас к этому доказательству эквивалентности и в то же время поясним общую теорию преобразований Дирака-Йордана (которая объединяет эти две теории).
3. Эквивалентность двух теорий: Теория преобразований
Фундаментальная проблема матричной теории состояла в отыскании матриц $Q_{1}, \ldots, Q_{k}, P_{1}, \ldots, P_{k}$ таких, чтобы, во-первых, удовлетворялись перестановочные ссотношения из I. 2 (стр. 15) и, во-вторых, чтобы некоторая определенная функция этих матриц $H\left(Q_{1}, \ldots, Q_{k}, P_{1}, \ldots, P_{k}\right)$ становилась диагональнон матрицен. Эта задача была разделена Борном и Йорданом уже в их первой публикации на две части следующим образом:

Сначала разыскивались какие-нибудь матрицы $\bar{Q}_{1}, \ldots, \bar{Q}_{k}$, $\bar{P}_{1}, \ldots, \bar{P}_{k}$, которые должны были лишь удовлетворять перестановочным соотношениям, что легко достигается ${ }^{25}$ ); при этом, вообще говоря,
\[
\overline{\mathrm{H}}=H\left(\bar{Q}_{1}, \ldots, \bar{Q}_{k}, \bar{P}_{1}, \ldots, \bar{P}_{k}\right)
\]

не оказывалась диагональной матрицей. Затем правильные решения разыскивались в форме
\[
Q_{1}=S^{-1} \bar{Q}_{1} S, \ldots, Q_{k}=S^{-1} Q_{k} S, \quad P_{1}=S^{-1} \bar{P}_{1} S, \ldots, P_{k}=S^{-1} \bar{P}_{k} S,
\]

где $S$ могла быть произвольной матрицей (но все же обладающей обратной матрицей $S^{-1}$ со своиствами $S^{-1} S=S S^{-1}=1$ ). Поскольку из выполнения перестановочных соотношений для $\bar{Q}_{1}, \ldots, \bar{Q}_{k}, \bar{P}_{1}, \ldots, \bar{P}_{k}$ следует (тождественно в силу свойтв $S !$ ) и их справедливость для $Q_{1}, \ldots, Q_{k}, P_{1}, \ldots, P_{k}$ и поскольку $\overline{\mathrm{H}}=H\left(\bar{Q}_{1}, \ldots, \bar{Q}_{k}\right.$, $\left.\bar{P}_{1}, \ldots, \bar{P}_{k}\right)$ переходит в $\mathrm{H}=H\left(Q_{1}, \ldots, Q_{k}, P_{1}, \ldots, P_{k}\right)$, где
${ }^{23}$ ) Ср. вторую работу Шредингера, упомянутую в прим. ${ }^{16}$ ) на стр. 18.
${ }^{24}$ С. прим. ${ }^{7}$ ) на стр. 13.
${ }^{25}$ ) Ср., например, $\$ \$ 20,23$ книги Борна и Йордана, упомянутой в прим. ‘) на стр. 9.

[rл. 1
$S^{-1} \overline{\mathrm{H}} S=\mathrm{H}^{26}$ ), то единственное, что надо требовать от $S,-$ это чтобы $S^{-1} \bar{H} S$ была диагональнон матрицен при заданнон $\overline{\mathrm{H}}$. Следовало бы, конечно, еще позаботиться о том, чтобы при этом $S^{-1} \bar{Q}_{1} S, \ldots$ остались эрмитовыми, как были $\bar{Q}_{1}, \ldots$ Однако при более внимательном рассмотрении оказывается, что этому дальнейшему требованию к $S$ всегда можно удовлетворить позже; поэтому сећчас в этом предварительном рассуждении мы оставим его без внимания. Следовательно, требуется привести данную $\overline{\mathrm{H}}$ к диагональной форме с помощью преобразования $S^{-1} \bar{H} S$. Давайте поэтому точно сформулируем, что это значит !

Пусть матрица $\overline{\mathrm{H}}$ имеет элементы $h_{\mu
u}$, искомая матрица $S$-элементы $s_{\mu,}$ и (также неизвестная) диӑональная матрица $\mathrm{H}$-диагональные элементы $w_{\mu}$ и, следовательно, общий элемент $w_{\mu} \delta_{\mu
u}{ }^{27}$ ). $\mathrm{H}=S^{-1} \overline{\mathrm{H}} S$ утверждает то же, что и $S \mathrm{H}=\overline{\mathrm{H}} S$, а последнее означает (если мы приравняем друг другу соответствующие, определяемые по известным правилам матричного умножения элементы с обеих сторон равенства):
\[
\sum_{
u} s_{\mu
u} \cdot w_{
u} \delta_{
u \rho}=\sum_{
u} h_{\mu
u} \cdot s_{
u \rho} \text {, }
\]
т. е.
\[
\sum_{
u} h_{\mu
u} \cdot s_{v \rho}=w_{\rho} \cdot s_{\mu \rho} \cdot
\]

Отдельные столбцы $s_{1 \rho}, s_{2 p}, \ldots$ матрицы $S(p=1,2, \ldots$ ) и соответствующие диагональные элементы ${ }_{p}$ матрицы $\mathrm{H}$ являются, следовательно, решениями так называемой проблемы собственных значений, которая записывается следующим образом:
\[
\sum_{
u} h_{\mu,
u} x_{
u}=\lambda \cdot x_{\mu} \quad(\mu=1,2, \ldots)
\]
26) Поскольку
\[
\begin{array}{c}
S^{-1} \cdot 1 \cdot S=1, \quad S^{-1} \cdot a A \cdot S=a \cdot S^{-1} A S, \\
S^{-1} \cdot(A+B) \cdot S=S^{-1} A S+S^{-1} B S, S^{-1} \cdot A B \cdot S=S^{-1} A S \cdot S^{-1} B S,
\end{array}
\]

то для любого матричного полинома $P(A, B, \ldots)$
\[
S^{-1} P(A, B, \ldots) S=P\left(S^{-1} A S, S^{-1} B S, \ldots\right) .
\]

Взяв в качестве $P$ левые части перестановочных соотношений, убедимся
в их инвариантности; взяв в качестве $P$ величину $\mathrm{H}$, получим $S^{-1} \overline{\mathrm{H}} S=\mathrm{H}$.
27) $8_{\mu
u}$ – это хорошо известный снмвол Кронекера:
\[
\begin{array}{l}
\delta_{\mu
u}=1 \text { при } \mu=
u, \\
\delta_{
u}=0 \text { при } \mu
eq v .
\end{array}
\]

(тривиальное решение $x_{1}=x_{2}=\ldots=0$ естественно исключается). Денствительно, $x_{v}=s_{\text {vp }}, \lambda=w_{\rho}$ есть решение. (Решение $x_{v} \equiv 0$ и, следовательно, $s_{
u \rho} \equiv 0$ [для всех $y$ ] не относится к делу, поскольку тогда $p$-и столбец $S$ исчез бы тождественно, в то время как $S$ обладает обратной матрицей $S^{-1}$ !). Замечательно, что в существенном единственно такие решения и возможны.

В самом деле, полученное выше уравнение означает, что преобразование вектора $x=\left\{x_{1}, x_{2}, \ldots\right\}$ с помощью матрицы $\bar{H}$ равняется тому же вектору, умноженному на число $\lambda$. Преобразуем $x=$ $=\left\{x_{1}, x_{2}, \ldots\right\}$ с помощью $\mathcal{S}^{-1}$ и обозначим полученный при этом вектор через $y=\left\{y_{1}, y_{2}, \ldots\right)$. Если мы преобразуем $у$ с помощью $H_{\text {, то }}$ это будет то же, что преобразование $x$ с помощью $\mathrm{HS}^{-1}=$ $=S^{-1} \overline{\mathrm{H}} S \cdot S^{-1}=S^{-1} \cdot \overline{\mathrm{H}}$, а следовательно то же, что преобразование $\lambda x$ с помощью $S^{-1}$, т. е. $\lambda y$. Далее $Н$ имеет компоненты
\[
\sum_{
u} w_{\mu} \delta_{\mu
u} y_{
u}=w_{\mu} y_{\mu},
\]

а $\lambda y$-компоненты $\lambda y_{\mu}$, т. е. требуется, чтобы $w_{\mu} y_{\mu}=\lambda y_{\mu}$ для всех $\mu=1,2, \ldots$ а это означает, что $y_{\mu}=0$ для всех $w_{\mu}
eq \lambda$. Это означает, если обозначить через $\eta^{0}$ вектор, у которого $p$-я компонента есть 1 , а все остальные – нули, – что $y$ есть линейный агрегат таких $\eta_{p}^{p}$ для которых $w_{p}=\lambda$, – частности, $у$ нуль, если таковых вовсе нет. Значение $x$ получается применением $S$ к $y$, следовательно, $x$ есть определенный выше линейный агрегат векторов $\eta^{p}$, преобразованных с помощью $S$. Компонента $S \eta^{p}$ с номером $\mu$ есть (поскольку $
u$-и компонентой $\eta^{p}$ была $\delta_{
u \rho}$ ): $\sum_{
u} s_{\mu
u
u} \delta_{
u p}=s_{\mu p}$. Если мы теперь будем понимать $p$-й столбец $S: s_{1 p}, s_{2 p}, \ldots$ как вектор, то $x$ будет линейным агрегатом всех столбцов, для которых $w_{p}=\lambda$, в частности, $x$ есть нуль, если таковых не существует. Таким образом, наше первоначальное утверждение доказано: $w_{1}, w_{2}, \ldots$ – это единственные собственные значения и $x_{v}=s_{v \rho}, \lambda=w_{\rho}$ – в существенном единственные решения.

Это весьма важно, поскольку не только знания $S$ и $\mathrm{H}$ достаточно для определения всех решений проблемы собственных значений, но и наоборот, мы можем определить $S$ и $\mathrm{H}$, коль скоро мы решили проблему собственных значений полностью. Например, для $\mathrm{H}$ : $w_{\mu}$ составлено из всех решений $\lambda$ и каждое такое $\lambda$ появляется в ряду $w_{1}, w_{2}, \ldots$ столько раз, сколько есть принадлежащих ему линейно-

[ГЛ. I
независимых решений $x_{1}, x_{2}, \ldots{ }^{28}$ ), тем самым $w_{1}, w_{2}, \ldots$ уже определены с точностью до порядка следования ${ }^{29}$ ).

Таким образом, центральная проблема матричной теории – это решение уравнения проблемы собственных значений:
\[
\text { E. } \quad \quad \sum_{
u} h_{\mu
u} x_{
u}=\lambda \cdot x_{\mu} \quad(\mu=1,2, \ldots) .
\]

Переидем теперь к волновой теории. Основное уравнение этой теории «волновое уравнение»:
\[
\text { E. } \quad H \varphi\left(q_{1}, \ldots, q_{k}\right)=\lambda \cdot \varphi\left(q_{1}, \ldots, q_{k}\right),
\]

где $H$-уже обсуждавшийся дифференциальный оператор. Надо отыскать все решения $\varphi\left(q_{1}, \ldots, q_{k}\right)$ и $\lambda$, исключая тривиальное: $\varphi\left(q_{1}, \ldots, q_{k}\right)=0$ и $\lambda$ произвольно. Это похоже на то, что требовалось в $\boldsymbol{E}_{1}$ : последовательность $x_{1}, x_{2}, \ldots$ может рассматриваться как функция $x_{\text {v }}$ «прерывной» переменной $\vee$ (со значениями $1,2, \ldots$ ), соответствующая функции $\varphi\left(q_{1}, \ldots, q_{k}\right)$ «непрерывных» переменных $q_{1}, \ldots, q_{k} ; \lambda$ каждый раз играет одну и ту же роль. И только линейное преобразование
\[
x_{\mu} \rightarrow \sum_{
u} h_{\mu
u} x_{
u}
\]

на первый взгляд совсем не похоже на преобразование
\[
\varphi\left(q_{1}, \ldots, q_{k}\right) \rightarrow H \varphi\left(q_{1}, \ldots, q_{k}\right) .
\]

Как же достичь аналогии?
Мы рассматривали индекс $\vee$ как переменную и установили параллель между ней и $k$ переменными $q_{1}, \ldots, q_{k}$, т. е. между положительным целым числом и произвольной точкой $k$-мерного конфигурационного пространства (которое мы будем отныне называть пространством $\Omega$ ). Поэтому нельзя ожидать, что $\sum_{
u}$ можно перенести в $Q$ в виде суммы, скорее правильной аналогией будет интеграл $\underbrace{\int \ldots \int}_{\boldsymbol{Q}} \ldots d q_{1} \ldots d q_{k}$ (или, короче, $\int_{\Omega} \ldots d v, d v$-элемент объема
${ }^{28}$ ) Ведь столбцы $s_{1 \rho}, s_{2 \rho}, \ldots$ – матрицы $S$ с таким $\rho$, что $w_{\rho}=\lambda$ образуют полный набор решений и в качестве столбцов матрицы, имеющей обратную, должны быть линейно независимы.
${ }^{29}$ ) Поскольку произвольная перестановка столбцов $S$ одновременно с соответствующей перестановкой строк $S^{-1}$ переставляет таким же образом диагональные элементы $\mathrm{H}$, порядск $w_{1}, w_{2}, \ldots$ фактически неопределен и неустановим.

$d q_{1} \ldots d q_{k}$ в 2$)$. Матричному элементу $h_{\text {риv }}$, который зависит от двух переменных типа индекса $y$, тогда соответствует функция
\[
h\left(q_{1}, \ldots, q_{k} ; q_{1}^{\prime}, \ldots, q_{k}^{\prime}\right),
\]

в которой $q_{1}, \ldots, q_{k}$ и $q_{1}^{\prime}, \ldots, q_{k}^{\prime}$ независимо пробегают всю область $\Omega$. Преобразование
\[
x_{\mathrm{p} \alpha} \rightarrow \sum_{
u} h_{\mu
u} x_{
u} \quad \text { или } \quad x_{
u} \rightarrow \sum_{
u^{\prime}} h_{
u
u^{\prime}} x_{
u^{\prime}}
\]

должно перейти тем самым в
\[
\begin{array}{l}
\varphi\left(q_{1}, \ldots, q_{k}\right) \rightarrow \\
\rightarrow \underbrace{\int \ldots \int}_{2} h\left(q_{1}, \ldots, q_{k} ; q_{1}^{\prime}, \ldots, q_{k}^{\prime}\right) \varphi\left(q_{1}^{\prime}, \ldots, q_{k}^{\prime}\right) d q_{1}^{\prime} \ldots d q_{k}^{\prime},
\end{array}
\]

а проблема собственных значений $\boldsymbol{E}_{1}$, которая может быть записана как
\[
E_{1} . \quad \quad \quad \sum_{
u^{\prime}} h_{y^{\prime}} x_{y^{\prime}}=\lambda \cdot x_{y}
\]

переходит в
\[
\begin{array}{l}
E_{3} . \underbrace{\int \ldots \int}_{\Omega} h\left(q_{1}, \ldots, q_{k} ; q_{1}^{\prime}, \ldots, q_{k}^{\prime}\right) \varphi\left(q_{1}^{\prime}, \ldots, q_{k}^{\prime}\right) d q_{1}^{\prime} \ldots d q_{k}^{\prime}= \\
=\lambda \cdot \varphi\left(q_{1}, \ldots, q_{k}\right) . \\
\end{array}
\]

Задачи собственных значений типа $\boldsymbol{E}_{3}$. широко изучались в математике и действительно могут быть представлены в виде, в сильной степени аналогичном проблеме $E_{1}$. Они называются «интегральными уравнениями» ${ }^{30}$ ).

Однако, к несчастью, $\boldsymbol{E}_{2}$. не представляется в такой форме или, точнее, она может быть представлена в этой форме лишь, если для дифференциального оператора
\[
H=H\left(q_{1}, \ldots, q_{k}, \frac{h}{2 \pi i} \frac{\partial}{\partial q_{1}}, \ldots, \frac{h}{2 \pi i} \frac{\partial}{\partial q_{k}}\right)
\]
30) Теория интегральных уравнений обрела свою йпеделенную форму. в работах Фредгольма и Гильберта. Исчерпывающее изложение, пополненное литературными ссылками, можно найти в книге Куранта и Гильберта Courant-Hilbert, Methoden der Mathematischen Physik, Berlin, 1931. (Русский перевод: Методы математической физики, Гостехиздат, 1951.)

ігл. I
может быть найдена такая функция $h\left(q_{1}, \ldots, q_{k} ; q_{1}^{\prime}, \ldots, q_{k}^{\prime}\right)$, что
I. $H \varphi\left(q_{1}, \ldots, q_{k}\right)=$
\[
=\underbrace{\int \ldots \int}_{\Omega} h\left(q_{1}, \ldots, q_{k} ; q_{1}^{\prime}, \ldots, q_{k}^{\prime}\right) \varphi\left(q_{1}^{\prime}, \ldots, q_{k}^{\prime}\right) d q_{1} \ldots d q_{k}
\]

выполняется тождественно (т. е. для всех $\varphi\left(q_{1}, \ldots, q_{k}\right)$ ).
Эту $h\left(q_{1}, \ldots, q_{k} ; q_{1}^{\prime}, \ldots, q_{k}^{\prime}\right)$, если она существует, будем впредь называть (интегральным) «ядром» функционального оператора $H$, а сам $H$ тогда называется «интегральным оператором».

Но такое преобразование вообще невозможно, т. е. дифференциальные операторы $H$ никогда не являются интегральными операторами. Даже простенший функциональный оператор, преобразующий каждую $\varphi$ в самое себя, – этот оператор называется 1 – не является таковым. Остановимся на этом операторе, положив ради простоты $k=1$. Итак, требуется, чтобы было:
$\Delta_{1}$.
\[
\varphi(q) \equiv \int_{-\infty}^{\infty} h\left(q, q^{\prime}\right) \varphi\left(q^{\prime}\right) d q^{\prime}
\]

Заменим $\varphi(q)$ на $\varphi\left(q+q_{0}\right)$, положим $q=0$ и введем переменную интегрирования $q^{\prime \prime}=q^{\prime}+q_{0}$. Тогда $\varphi\left(q_{0}\right)=\int_{-\infty}^{\infty} h\left(0, q^{\prime \prime}-q_{0}\right) \varphi\left(q^{\prime \prime}\right) d q^{\prime \prime}$.
Если мы теперь заменим $q_{0}, q^{\prime \prime}$ на $q, q^{\prime}$, мы увидим, что $h\left(0, q^{\prime}-q\right.$ ) решает задачу, так же как и $h\left(q, q^{\prime}\right)$, так что мы вправе считать, что $h\left(q, q^{\prime}\right)$ зависит лишь от $q^{\prime}-q$. Тогда требование формулируется так:
\[
\Delta_{\text {2. }} \quad \varphi(q) \equiv \int_{-\infty}^{\infty} h\left(q^{\prime}-q\right) \varphi\left(q^{\prime}\right) d q^{\prime},\left(h\left(q, q^{\prime}\right)=h\left(q^{\prime}-q\right)\right) .
\]

Заменяя снова $\varphi(q)$ на $\varphi\left(q+q_{0}\right)$, убедимся, что достаточно рассмотреть случаћи $q=0$ :
$\Delta_{3}$.
\[
\varphi(0) \equiv \int_{-\infty}^{\infty} h(q) \varphi(q) d q .
\]

Замена $\varphi(q)$ на $\varphi(-q)$ показывает, что $h(-q)$ есть, так же как $h(q)$, решение и, следовательно, $h_{1}(q)=\frac{1}{2}(h(q)+h(-q))$-тоже, так что $h(q)$ можно считать четной функцией $q$.

Ясно, что этим условиям невозможно удовлетворить: если мы выберем $\varphi(q)>0$ для $q \geqslant 0, \varphi(0)=0$, то из $\Delta_{3}$. следует, что $h(q)=0$ для $q \geqslant 0^{31}$ ). Если же мы выберем $\varphi(q)=1$, то получится
\[
\int_{-\infty}^{\infty} h(q) d q=1,
\]

тогда как из предыдущего безусловно следует
\[
\int_{-\infty}^{\infty} h(q) d q=0
\]

Несмотря на это, Дирак лицемерно допустил сущєствование функции такого рода:
\[
\mathbf{\Delta}_{4} \text {. } \delta(q)=0 \text { для } q \gtreqless 0, \delta(q)=\delta(-q), \int \delta(q) d q=1 .
\]

Она удовлетворила бы $\boldsymbol{\Delta}_{\mathbf{3}}$ :
\[
\begin{aligned}
\int_{-\infty}^{\infty} \delta(q) \varphi(q) d q=\varphi(0) \int_{-\infty}^{\infty} \delta(q) d q+\int_{-\infty}^{\infty} \delta(q)\{\varphi(q)-\varphi(0)\} d q & = \\
& =\varphi(0) \cdot 1+\int_{-\infty}^{\infty} 0 \cdot d q=\varphi(0)
\end{aligned}
\]

а следовательно, также $\boldsymbol{\Delta}_{\mathbf{1}}$. и $\boldsymbol{\Delta}_{\mathbf{2}}$. . Мы должны представлять себе эту функцию исчезающей везде, кроме начала координат, и настолько сильно бесконечной в этой точке, что полный интеграл от нее все же оказывается равным единице ${ }^{32}$ ).

Если уж мы признаем эту фикцию, то можно будет представлять самые разнообразные дифференциальные операторы, как операторы
31) Точнее, если мы возьмем за основу интеграл в смысле Лебега, то для $q \geqslant 0$ должно быть $h(q)=0$, исключая множество меры нуль, т. е. за исключением этого множества $h(q) \equiv 0$ тождественно.
${ }^{32}$ ) Площадь под кривой $8(q)$ мы должны представлять себе как бесконечно узкий и бесконечно высокий пик в точке $q=0$, таким образом, что его плоцадь равна единице, скажем как предельное поведение функции $\sqrt{\frac{a}{\pi}} e^{-a q^{2}}$ при $a \rightarrow+\infty$, но это все равно невозможно не в меньшей мере.

—————————————————————-
0006ru_fizik_kvant_book11_page-0029.jpg.txt

28
ВВОДНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ
ггл. I
интегральные, если в дополнение к $\delta(q)$ ввести и ее производные. Тогда находим, что
\[
\begin{array}{c}
\frac{d^{n}}{d q^{n}} \varphi(q)=\frac{d^{n}}{d q^{n}} \int_{-\infty}^{\infty} \delta\left(q-q^{\prime}\right) \varphi\left(q^{\prime}\right) d q^{\prime}=\int_{-\infty}^{\infty} \frac{\partial^{n}}{\partial q^{n}} \delta\left(q-q^{\prime}\right) \varphi\left(q^{\prime}\right) d q^{\prime}= \\
=\int_{-\infty}^{\infty} \delta^{(n)}\left(q-q^{\prime}\right) \varphi\left(q^{\prime}\right) d q^{\prime}, \\
q^{n} \varphi(q)=\int_{-\infty}^{\infty} \delta\left(q-q^{\prime}\right) q^{n} \varphi\left(q^{\prime}\right) d q^{\prime},
\end{array}
\]
т. е. что $\frac{d^{n}}{d q^{n}}$ и $q^{n}$ имеют интегральные ядра $\delta^{(n)}\left(q-q^{\prime}\right)$ и $\delta\left(q-q^{\prime}\right) q^{n}$ соответственно. По той же схеме мы можем найти интегральные ядра сколь угодно сложных дифференциальных операторов. При нескольких переменных $q_{1}, \ldots, q_{k}$ к цели приводят произведения $\delta$-функций, например:
\[
\begin{array}{l}
\underbrace{\int \ldots \int \delta}_{\Omega}\left(q_{1}-q_{1}^{\prime}\right) \delta\left(q_{2}-q_{2}^{\prime}\right) \ldots \delta\left(q_{k}-q_{k}^{\prime}\right) \varphi\left(q_{1}^{\prime}, \ldots, q_{k}^{\prime}\right) d q_{1}^{\prime} \ldots d q_{k}^{\prime}= \\
=\int_{-\infty}^{\infty}\left[\ldots\left[\int_{-\infty}^{\infty}\left[\int_{-\infty}^{\infty} \varphi\left(q_{1}^{\prime}, q_{2}^{\prime}, \ldots, q_{k}^{\prime}\right) \delta\left(q_{1}-q_{1}^{\prime}\right) d q_{1}^{\prime}\right] \delta\left(q_{2}-q_{2}^{\prime}\right) d q_{2}^{\prime}\right] \ldots\right] \times \\
\times \delta\left(q_{k}-q_{k}^{\prime}\right) d q_{k}^{\prime}= \\
=\int_{-\infty}^{\infty}\left[\ldots\left[\int_{-\infty}^{\infty} \varphi\left(q_{1}, q_{2}^{\prime}, \ldots, q_{k}^{\prime}\right) \delta\left(q_{2}-q_{2}^{\prime}\right) d q_{2}^{\prime}\right] \ldots\right] \delta\left(q_{k}-q_{k}^{\prime}\right) d q_{k}^{\prime}= \\
=\ldots=\varphi\left(q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{k}\right) \text {, } \\
\underbrace{\int \ldots \int}_{\Omega} \delta^{\prime}\left(q_{1}-q_{1}^{\prime}\right) \delta\left(q_{2}-q_{2}^{\prime}\right) \ldots \delta\left(q_{k}-q_{k}^{\prime}\right) \varphi\left(q_{1}^{\prime}, \ldots, q_{k}^{\prime}\right) d q_{1}^{\prime} \ldots d q_{k}^{\prime}= \\
=\frac{d}{d q_{1}} \underbrace{\int \ldots \int}_{\Omega} \delta\left(q_{1}-q_{1}^{\prime}\right) \delta\left(q_{2}-q_{2}^{\prime}\right) \ldots \\
\ldots \delta\left(q_{k}-q_{k}^{\prime}\right) \varphi\left(q_{1}^{\prime}, \ldots, q_{k}^{\prime}\right) d q_{1}^{\prime} \ldots d q_{k}^{\prime}=\frac{d}{d q_{1}} \varphi\left(q_{1}, \ldots, q_{k}\right), \\
\end{array}
\]

и так далее.
Так можно навязать интегральное представление $I$, практически всем операторам.
Коль скоро есть такое представление, аналогия между $\boldsymbol{E}_{1}$. и $\boldsymbol{E}_{3}$. становится полной, нужно лишь заменить $v, v^{\prime}, \sum_{v^{\prime}}, x$ на
\[
q_{1}, \ldots, q_{k} ; q_{1}^{\prime}, \ldots, q_{k}^{\prime} ; \underbrace{\int \ldots \int}_{\Omega} \ldots d q_{1}^{\prime} \ldots d q_{k}^{\prime} ; \varphi .
\]

Как векторам $x_{v}$ соответствуют функции $\varphi\left(q_{1}, \ldots, q_{k}\right)$, так и матрицам $h_{\mathrm{v}}{ }^{\prime}$ нужно поставить в соответствие интегральные ядра $h\left(q_{1}, \ldots, q_{k} ; q_{1}^{\prime}, \ldots, q_{k}^{\prime}\right)$; однако еще целесообразней рассматривать эти ядра прямо как матрицы и соответственно считать $q_{1}, \ldots, q_{k}$ нндексами строк, а $q_{1}^{\prime}, \ldots, q_{k}^{\prime}$ индексами столбцов, соответствующими v и $v^{\prime}$. Мы тогда имеем, кроме обычных матриц $\left\{h_{v v^{\prime}}\right\}$ с дискретными совокупностями столбцов и строк, нумерованными числами $1,2, \ldots$ еще другие $\left\{h\left(q_{1}, \ldots, q_{k} ; q_{1}^{\prime}, \ldots, q_{k}^{\prime}\right)\right\}$ (интегральные ядра), для которых каждая совокупность характеризуется $k$-переменными, непрерывно пробегающими все $\Omega$.

Эта аналогия может показаться чисто формальной, но в действительности это не так, ибо индексы $
u$ и $v^{\prime}$ могут также рассматриваться как координаты в пространстве состояний именно, если понимать их как квантовые числа (в смысле теории Бора: как номера возможных орбит в фазовом пространстве, которые оказываются дискретными вследствие запретов, накладываемых квантовыми условиями).

Мы не будем прослеживать далее этот ход мысли, развивая который Дирак и Йордан очертили единую теорию квантовых процессов. «Несобственные» конструкции (такие, как $\delta(x), \delta^{\prime}(x)$ ) играют в нем решающую роль – они лежат за пределами обычно употребляемых математических методов, а мы надеемся описать квантовую механику с помощью именно этих последних методов. Поэтому мы перейдем к другому (шредингерову) методу объединения обеих теорий.