Мы видим, что основные понятия и практические наставления обеих теорий звучат заметно различно. Тем не менее с самого начала они всегда приводили к одним и тем же результатам, даже и тогда, когда это касалось деталей, в которых обе они отличались от более ранних концепций квантовой теории ${}^{23}$ ). Эта необычайная ситуация была, как указано в I.1, вскоре прояснена ${}^{24}$ ) Шредингером, доказавшим их математическую эквивалентность. Мы обратимся сейчас к этому доказательству эквивалентности и в то же время поясним общую теорию преобразований Дирака-Йордана (которая объединяет эти две теории).
3. Эквивалентность двух теорий: Теория преобразований
Фундаментальная проблема матричной теории состояла в отыскании матриц $Q_1,\dots ,Q_k,P_1,\dots ,P_k$ таких, чтобы, во-первых, удовлетворялись перестановочные ссотношения из I. 2 (стр. 15) и, во-вторых, чтобы некоторая определенная функция этих матриц $H(Q_1,\dots ,Q_k,P_1,\dots ,P_k)$ становилась диагональнон матрицен. Эта задача была разделена Борном и Йорданом уже в их первой публикации на две части следующим образом:

Сначала разыскивались какие-нибудь матрицы ${\overline{Q}}_1,\dots ,{\overline{Q}}_k$, ${\overline{P}}_1,\dots ,{\overline{P}}_k$, которые должны были лишь удовлетворять перестановочным соотношениям, что легко достигается ${}^{25}$ ); при этом, вообще говоря,
$$\bar{\mathrm{H}}=H({\overline{Q}}_1,\dots ,{\overline{Q}}_k,{\overline{P}}_1,\dots ,{\overline{P}}_k)$$

не оказывалась диагональной матрицей. Затем правильные решения разыскивались в форме
$$Q_1=S^{-1}{\overline{Q}}_{1}S,\dots ,Q_k=S^{-1}{Q}_{k}S,P_1=S^{-1}{\overline{P}}_{1}S,\dots ,P_k=S^{-1}{\overline{P}}_{k}S,$$

где $S$ могла быть произвольной матрицей (но все же обладающей обратной матрицей $S^{-1}$ со своиствами $S^{-1}S=S{S}^{-1}=1$ ). Поскольку из выполнения перестановочных соотношений для ${\overline{Q}}_1,\dots ,{\overline{Q}}_k,{\overline{P}}_1,\dots ,{\overline{P}}_k$ следует (тождественно в силу свойтв $S!$ ) и их справедливость для $Q_1,\dots ,Q_k,P_1,\dots ,P_k$ и поскольку $\bar{\mathrm{H}}=H({\overline{Q}}_1,\dots ,{\overline{Q}}_k$, ${\overline{P}}_1,\dots ,{\overline{P}}_k)$ переходит в $\mathrm{H}=H(Q_1,\dots ,Q_k,P_1,\dots ,P_k)$, где
${}^{23}$ ) Ср. вторую работу Шредингера, упомянутую в прим. ${}^{16}$ ) на стр. 18.
${}^{24}$ С. прим. ${}^7$ ) на стр. 13.
${}^{25}$ ) Ср., например, $\mathrm{\$}\mathrm{\$}20,23$ книги Борна и Йордана, упомянутой в прим. ‘) на стр. 9.

[rл. 1
$S^{-1}\bar{\mathrm{H}}S={\mathrm{H}}^{26}$ ), то единственное, что надо требовать от $S,-$ это чтобы $S^{-1}\overline{H}S$ была диагональнон матрицен при заданнон $\bar{\mathrm{H}}$. Следовало бы, конечно, еще позаботиться о том, чтобы при этом $S^{-1}{\overline{Q}}_{1}S,\dots$ остались эрмитовыми, как были ${\overline{Q}}_1,\dots$ Однако при более внимательном рассмотрении оказывается, что этому дальнейшему требованию к $S$ всегда можно удовлетворить позже; поэтому сећчас в этом предварительном рассуждении мы оставим его без внимания. Следовательно, требуется привести данную $\bar{\mathrm{H}}$ к диагональной форме с помощью преобразования $S^{-1}\overline{H}S$. Давайте поэтому точно сформулируем, что это значит !

Пусть матрица $\bar{\mathrm{H}}$ имеет элементы $h_{\mu u}$, искомая матрица $S$-элементы $s_{\mu ,}$ и (также неизвестная) диӑональная матрица $\mathrm{H}$-диагональные элементы $w_{\mu }$ и, следовательно, общий элемент $w_{\mu }{\delta }_{\mu u}{}^{27}$ ). $\mathrm{H}=S^{-1}\bar{\mathrm{H}}S$ утверждает то же, что и $S\mathrm{H}=\bar{\mathrm{H}}S$, а последнее означает (если мы приравняем друг другу соответствующие, определяемые по известным правилам матричного умножения элементы с обеих сторон равенства):
$$\sum _u{s}_{\mu u}\cdot w_u{\delta }_{u\rho }=\sum _u{h}_{\mu u}\cdot s_{u\rho }\text{, }$$
т. е.
$$\sum _u{h}_{\mu u}\cdot s_{v\rho }=w_{\rho }\cdot s_{\mu \rho }\cdot$$

Отдельные столбцы $s_{1\rho },s_{2p},\dots$ матрицы $S(p=1,2,\dots$ ) и соответствующие диагональные элементы ${}_p$ матрицы $\mathrm{H}$ являются, следовательно, решениями так называемой проблемы собственных значений, которая записывается следующим образом:
$$\sum _u{h}_{\mu ,u}{x}_u=\lambda \cdot x_{\mu }(\mu =1,2,\dots )$$
26) Поскольку
$$\begin{array}{c}{S}^{-1}\cdot 1\cdot S=1,S^{-1}\cdot aA\cdot S=a\cdot S^{-1}AS,\\ S^{-1}\cdot (A+B)\cdot S=S^{-1}AS+S^{-1}BS,S^{-1}\cdot AB\cdot S=S^{-1}AS\cdot S^{-1}BS,\end{array}$$

то для любого матричного полинома $P(A,B,\dots )$
$$S^{-1}P(A,B,\dots )S=P(S^{-1}AS,S^{-1}BS,\dots ).$$

Взяв в качестве $P$ левые части перестановочных соотношений, убедимся
в их инвариантности; взяв в качестве $P$ величину $\mathrm{H}$, получим $S^{-1}\bar{\mathrm{H}}S=\mathrm{H}$.
27) $8_{\mu u}$ — это хорошо известный снмвол Кронекера:
$$\begin{array}{l}{\delta }_{\mu u}=1\text{ при }\mu =u,\\ {\delta }_u=0\text{ при }\mu eqv.\end{array}$$

(тривиальное решение $x_1=x_2=\dots =0$ естественно исключается). Денствительно, $x_v=s_{\text{vp }},\lambda =w_{\rho }$ есть решение. (Решение $x_v\equiv 0$ и, следовательно, $s_{u\rho }\equiv 0$ [для всех $y$ ] не относится к делу, поскольку тогда $p$-и столбец $S$ исчез бы тождественно, в то время как $S$ обладает обратной матрицей $S^{-1}$ !). Замечательно, что в существенном единственно такие решения и возможны.

В самом деле, полученное выше уравнение означает, что преобразование вектора $x=\{x_1,x_2,\dots \}$ с помощью матрицы $\overline{H}$ равняется тому же вектору, умноженному на число $\lambda$. Преобразуем $x=$ $=\{x_1,x_2,\dots \}$ с помощью ${\mathcal{S}}^{-1}$ и обозначим полученный при этом вектор через $y=\{y_1,y_2,\dots )$. Если мы преобразуем $у$ с помощью $H_{\text{, то }}$ это будет то же, что преобразование $x$ с помощью ${\mathrm{HS}}^{-1}=$ $=S^{-1}\bar{\mathrm{H}}S\cdot S^{-1}=S^{-1}\cdot \bar{\mathrm{H}}$, а следовательно то же, что преобразование $\lambda x$ с помощью $S^{-1}$, т. е. $\lambda y$. Далее $Н$ имеет компоненты
$$\sum _u{w}_{\mu }{\delta }_{\mu u}{y}_u=w_{\mu }{y}_{\mu },$$

а $\lambda y$-компоненты $\lambda y_{\mu }$, т. е. требуется, чтобы $w_{\mu }{y}_{\mu }=\lambda y_{\mu }$ для всех $\mu =1,2,\dots$ а это означает, что $y_{\mu }=0$ для всех $w_{\mu }eq\lambda$. Это означает, если обозначить через ${\eta }^0$ вектор, у которого $p$-я компонента есть 1 , а все остальные — нули, — что $y$ есть линейный агрегат таких ${\eta }_p^p$ для которых $w_p=\lambda$, — частности, $у$ нуль, если таковых вовсе нет. Значение $x$ получается применением $S$ к $y$, следовательно, $x$ есть определенный выше линейный агрегат векторов ${\eta }^p$, преобразованных с помощью $S$. Компонента $S{\eta }^p$ с номером $\mu$ есть (поскольку $u$-и компонентой ${\eta }^p$ была ${\delta }_{u\rho }$ ): $\sum _u{s}_{\mu uu}{\delta }_{up}=s_{\mu p}$. Если мы теперь будем понимать $p$-й столбец $S:s_{1p},s_{2p},\dots$ как вектор, то $x$ будет линейным агрегатом всех столбцов, для которых $w_p=\lambda$, в частности, $x$ есть нуль, если таковых не существует. Таким образом, наше первоначальное утверждение доказано: $w_1,w_2,\dots$ — это единственные собственные значения и $x_v=s_{v\rho },\lambda =w_{\rho }$ — в существенном единственные решения.

Это весьма важно, поскольку не только знания $S$ и $\mathrm{H}$ достаточно для определения всех решений проблемы собственных значений, но и наоборот, мы можем определить $S$ и $\mathrm{H}$, коль скоро мы решили проблему собственных значений полностью. Например, для $\mathrm{H}$ : $w_{\mu }$ составлено из всех решений $\lambda$ и каждое такое $\lambda$ появляется в ряду $w_1,w_2,\dots$ столько раз, сколько есть принадлежащих ему линейно-

[ГЛ. I
независимых решений $x_1,x_2,\dots {}^{28}$ ), тем самым $w_1,w_2,\dots$ уже определены с точностью до порядка следования ${}^{29}$ ).

Таким образом, центральная проблема матричной теории — это решение уравнения проблемы собственных значений:
$$\text{ E. }\sum _u{h}_{\mu u}{x}_u=\lambda \cdot x_{\mu }(\mu =1,2,\dots ).$$

Переидем теперь к волновой теории. Основное уравнение этой теории «волновое уравнение»:
$$\text{ E. }H\phi (q_1,\dots ,q_k)=\lambda \cdot \phi (q_1,\dots ,q_k),$$

где $H$-уже обсуждавшийся дифференциальный оператор. Надо отыскать все решения $\phi (q_1,\dots ,q_k)$ и $\lambda$, исключая тривиальное: $\phi (q_1,\dots ,q_k)=0$ и $\lambda$ произвольно. Это похоже на то, что требовалось в ${\mathit{E}}_1$ : последовательность $x_1,x_2,\dots$ может рассматриваться как функция $x_{\text{v }}$ «прерывной» переменной $\vee$ (со значениями $1,2,\dots$ ), соответствующая функции $\phi (q_1,\dots ,q_k)$ «непрерывных» переменных $q_1,\dots ,q_k;\lambda$ каждый раз играет одну и ту же роль. И только линейное преобразование
$$x_{\mu }\to \sum _u{h}_{\mu u}{x}_u$$

на первый взгляд совсем не похоже на преобразование
$$\phi (q_1,\dots ,q_k)\to H\phi (q_1,\dots ,q_k).$$

Как же достичь аналогии?
Мы рассматривали индекс $\vee$ как переменную и установили параллель между ней и $k$ переменными $q_1,\dots ,q_k$, т. е. между положительным целым числом и произвольной точкой $k$-мерного конфигурационного пространства (которое мы будем отныне называть пространством $\mathrm{\Omega }$ ). Поэтому нельзя ожидать, что $\sum _u$ можно перенести в $Q$ в виде суммы, скорее правильной аналогией будет интеграл $\underset{\mathit{Q}}{\underbrace{\int \dots \int }}\dots d{q}_1\dots d{q}_k$ (или, короче, ${\int }_{\mathrm{\Omega }}\dots dv,dv$-элемент объема
${}^{28}$ ) Ведь столбцы $s_{1\rho },s_{2\rho },\dots$ — матрицы $S$ с таким $\rho$, что $w_{\rho }=\lambda$ образуют полный набор решений и в качестве столбцов матрицы, имеющей обратную, должны быть линейно независимы.
${}^{29}$ ) Поскольку произвольная перестановка столбцов $S$ одновременно с соответствующей перестановкой строк $S^{-1}$ переставляет таким же образом диагональные элементы $\mathrm{H}$, порядск $w_1,w_2,\dots$ фактически неопределен и неустановим.

$d{q}_1\dots d{q}_k$ в 2$)$. Матричному элементу $h_{\text{риv }}$, который зависит от двух переменных типа индекса $y$, тогда соответствует функция
$$h(q_1,\dots ,q_k;q_1^{\prime },\dots ,q_k^{\prime }),$$

в которой $q_1,\dots ,q_k$ и $q_1^{\prime },\dots ,q_k^{\prime }$ независимо пробегают всю область $\mathrm{\Omega }$. Преобразование
$$x_{\mathrm{p}\alpha }\to \sum _u{h}_{\mu u}{x}_u\text{ или }{x}_u\to \sum _{u^{\prime }}{h}_{u{u}^{\prime }}{x}_{u^{\prime }}$$

должно перейти тем самым в
$$\begin{array}{l}\phi (q_1,\dots ,q_k)\to \\ \to \underset{2}{\underbrace{\int \dots \int }}h(q_1,\dots ,q_k;q_1^{\prime },\dots ,q_k^{\prime })\phi (q_1^{\prime },\dots ,q_k^{\prime })d{q}_1^{\prime }\dots d{q}_k^{\prime },\end{array}$$

а проблема собственных значений ${\mathit{E}}_1$, которая может быть записана как
$$E_1.\sum _{u^{\prime }}{h}_{y^{\prime }}{x}_{y^{\prime }}=\lambda \cdot x_y$$

переходит в
$$\begin{array}{l}{E}_3.\underset{\mathrm{\Omega }}{\underbrace{\int \dots \int }}h(q_1,\dots ,q_k;q_1^{\prime },\dots ,q_k^{\prime })\phi (q_1^{\prime },\dots ,q_k^{\prime })d{q}_1^{\prime }\dots d{q}_k^{\prime }=\\ =\lambda \cdot \phi (q_1,\dots ,q_k).\end{array}$$

Задачи собственных значений типа ${\mathit{E}}_3$. широко изучались в математике и действительно могут быть представлены в виде, в сильной степени аналогичном проблеме $E_1$. Они называются «интегральными уравнениями» ${}^{30}$ ).

Однако, к несчастью, ${\mathit{E}}_2$. не представляется в такой форме или, точнее, она может быть представлена в этой форме лишь, если для дифференциального оператора
$$H=H(q_1,\dots ,q_k,\frac{h}{2\pi i}\frac{\partial }{\partial q_1},\dots ,\frac{h}{2\pi i}\frac{\partial }{\partial q_k})$$
30) Теория интегральных уравнений обрела свою йпеделенную форму. в работах Фредгольма и Гильберта. Исчерпывающее изложение, пополненное литературными ссылками, можно найти в книге Куранта и Гильберта Courant-Hilbert, Methoden der Mathematischen Physik, Berlin, 1931. (Русский перевод: Методы математической физики, Гостехиздат, 1951.)

ігл. I
может быть найдена такая функция $h(q_1,\dots ,q_k;q_1^{\prime },\dots ,q_k^{\prime })$, что
I. $H\phi (q_1,\dots ,q_k)=$
$$=\underset{\mathrm{\Omega }}{\underbrace{\int \dots \int }}h(q_1,\dots ,q_k;q_1^{\prime },\dots ,q_k^{\prime })\phi (q_1^{\prime },\dots ,q_k^{\prime })d{q}_1\dots d{q}_k$$

выполняется тождественно (т. е. для всех $\phi (q_1,\dots ,q_k)$ ).
Эту $h(q_1,\dots ,q_k;q_1^{\prime },\dots ,q_k^{\prime })$, если она существует, будем впредь называть (интегральным) «ядром» функционального оператора $H$, а сам $H$ тогда называется «интегральным оператором».

Но такое преобразование вообще невозможно, т. е. дифференциальные операторы $H$ никогда не являются интегральными операторами. Даже простенший функциональный оператор, преобразующий каждую $\phi$ в самое себя, — этот оператор называется 1 — не является таковым. Остановимся на этом операторе, положив ради простоты $k=1$. Итак, требуется, чтобы было:
${\mathrm{\Delta }}_1$.
$$\phi (q)\equiv {\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}h(q,q^{\prime })\phi \left(q^{\prime }\right)d{q}^{\prime }$$

Заменим $\phi (q)$ на $\phi (q+q_0)$, положим $q=0$ и введем переменную интегрирования $q^{\prime \prime }=q^{\prime }+q_0$. Тогда $\phi \left(q_0\right)={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}h(0,q^{\prime \prime }-q_0)\phi \left(q^{\prime \prime }\right)d{q}^{\prime \prime }$.
Если мы теперь заменим $q_0,q^{\prime \prime }$ на $q,q^{\prime }$, мы увидим, что $h(0,q^{\prime }-q$ ) решает задачу, так же как и $h(q,q^{\prime })$, так что мы вправе считать, что $h(q,q^{\prime })$ зависит лишь от $q^{\prime }-q$. Тогда требование формулируется так:
$${\mathrm{\Delta }}_{\text{2. }}\phi (q)\equiv {\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}h(q^{\prime }-q)\phi \left(q^{\prime }\right)d{q}^{\prime },(h(q,q^{\prime })=h(q^{\prime }-q)).$$

Заменяя снова $\phi (q)$ на $\phi (q+q_0)$, убедимся, что достаточно рассмотреть случаћи $q=0$ :
${\mathrm{\Delta }}_3$.
$$\phi (0)\equiv {\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}h(q)\phi (q)dq.$$

Замена $\phi (q)$ на $\phi (-q)$ показывает, что $h(-q)$ есть, так же как $h(q)$, решение и, следовательно, $h_1(q)=\frac{1}{2}(h(q)+h(-q))$-тоже, так что $h(q)$ можно считать четной функцией $q$.

Ясно, что этим условиям невозможно удовлетворить: если мы выберем $\phi (q)>0$ для $q⩾0,\phi (0)=0$, то из ${\mathrm{\Delta }}_3$. следует, что $h(q)=0$ для $q⩾0^{31}$ ). Если же мы выберем $\phi (q)=1$, то получится
$${\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}h(q)dq=1,$$

тогда как из предыдущего безусловно следует
$${\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}h(q)dq=0$$

Несмотря на это, Дирак лицемерно допустил сущєствование функции такого рода:
$${\mathbf{\Delta }}_4\text{. }\delta (q)=0\text{ для }q⋛0,\delta (q)=\delta (-q),\int \delta (q)dq=1.$$

Она удовлетворила бы ${\mathbf{\Delta }}_{\mathbf{3}}$ :
$$\begin{array}{rl}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\delta (q)\phi (q)dq=\phi (0){\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\delta (q)dq+{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\delta (q)\{\phi (q)-\phi (0)\}dq& =\\ & =\phi (0)\cdot 1+{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}0\cdot dq=\phi (0)\end{array}$$

а следовательно, также ${\mathbf{\Delta }}_{\mathbf{1}}$. и ${\mathbf{\Delta }}_{\mathbf{2}}$. . Мы должны представлять себе эту функцию исчезающей везде, кроме начала координат, и настолько сильно бесконечной в этой точке, что полный интеграл от нее все же оказывается равным единице ${}^{32}$ ).

Если уж мы признаем эту фикцию, то можно будет представлять самые разнообразные дифференциальные операторы, как операторы
31) Точнее, если мы возьмем за основу интеграл в смысле Лебега, то для $q⩾0$ должно быть $h(q)=0$, исключая множество меры нуль, т. е. за исключением этого множества $h(q)\equiv 0$ тождественно.
${}^{32}$ ) Площадь под кривой $8(q)$ мы должны представлять себе как бесконечно узкий и бесконечно высокий пик в точке $q=0$, таким образом, что его плоцадь равна единице, скажем как предельное поведение функции $\sqrt{\frac{a}{\pi }}{e}^{-a{q}^2}$ при $a\to +\mathrm{\infty }$, но это все равно невозможно не в меньшей мере.

—————————————————————-
0006ru_fizik_kvant_book11_page-0029.jpg.txt

28
ВВОДНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ
ггл. I
интегральные, если в дополнение к $\delta (q)$ ввести и ее производные. Тогда находим, что
$$\begin{array}{c}\frac{d^n}{d{q}^n}\phi (q)=\frac{d^n}{d{q}^n}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\delta (q-q^{\prime })\phi \left(q^{\prime }\right)d{q}^{\prime }={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\frac{{\partial }^n}{\partial q^n}\delta (q-q^{\prime })\phi \left(q^{\prime }\right)d{q}^{\prime }=\\ ={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{\delta }^{(n)}(q-q^{\prime })\phi \left(q^{\prime }\right)d{q}^{\prime },\\ q^n\phi (q)={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\delta (q-q^{\prime })q^n\phi \left(q^{\prime }\right)d{q}^{\prime },\end{array}$$
т. е. что $\frac{d^n}{d{q}^n}$ и $q^n$ имеют интегральные ядра ${\delta }^{(n)}(q-q^{\prime })$ и $\delta (q-q^{\prime })q^n$ соответственно. По той же схеме мы можем найти интегральные ядра сколь угодно сложных дифференциальных операторов. При нескольких переменных $q_1,\dots ,q_k$ к цели приводят произведения $\delta$-функций, например:
$$\begin{array}{l}\underset{\mathrm{\Omega }}{\underbrace{\int \dots \int \delta }}(q_1-q_1^{\prime })\delta (q_2-q_2^{\prime })\dots \delta (q_k-q_k^{\prime })\phi (q_1^{\prime },\dots ,q_k^{\prime })d{q}_1^{\prime }\dots d{q}_k^{\prime }=\\ ={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}[\dots \left[{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\left[{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\phi (q_1^{\prime },q_2^{\prime },\dots ,q_k^{\prime })\delta (q_1-q_1^{\prime })d{q}_1^{\prime }\right]\delta (q_2-q_2^{\prime })d{q}_2^{\prime }\right]\dots ]\times \\ \times \delta (q_k-q_k^{\prime })d{q}_k^{\prime }=\\ ={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}[\dots \left[{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\phi (q_1,q_2^{\prime },\dots ,q_k^{\prime })\delta (q_2-q_2^{\prime })d{q}_2^{\prime }\right]\dots ]\delta (q_k-q_k^{\prime })d{q}_k^{\prime }=\\ =\dots =\phi (q_1,q_2,\dots ,q_k)\text{, }\\ \underset{\mathrm{\Omega }}{\underbrace{\int \dots \int }}{\delta }^{\prime }(q_1-q_1^{\prime })\delta (q_2-q_2^{\prime })\dots \delta (q_k-q_k^{\prime })\phi (q_1^{\prime },\dots ,q_k^{\prime })d{q}_1^{\prime }\dots d{q}_k^{\prime }=\\ =\frac{d}{d{q}_1}\underset{\mathrm{\Omega }}{\underbrace{\int \dots \int }}\delta (q_1-q_1^{\prime })\delta (q_2-q_2^{\prime })\dots \\ \dots \delta (q_k-q_k^{\prime })\phi (q_1^{\prime },\dots ,q_k^{\prime })d{q}_1^{\prime }\dots d{q}_k^{\prime }=\frac{d}{d{q}_1}\phi (q_1,\dots ,q_k),\end{array}$$

и так далее.
Так можно навязать интегральное представление $I$, практически всем операторам.
Коль скоро есть такое представление, аналогия между ${\mathit{E}}_1$. и ${\mathit{E}}_3$. становится полной, нужно лишь заменить $v,v^{\prime },\sum _{v^{\prime }},x$ на
$$q_1,\dots ,q_k;q_1^{\prime },\dots ,q_k^{\prime };\underset{\mathrm{\Omega }}{\underbrace{\int \dots \int }}\dots d{q}_1^{\prime }\dots d{q}_k^{\prime };\phi .$$

Как векторам $x_v$ соответствуют функции $\phi (q_1,\dots ,q_k)$, так и матрицам $h_{\mathrm{v}}{}^{\prime }$ нужно поставить в соответствие интегральные ядра $h(q_1,\dots ,q_k;q_1^{\prime },\dots ,q_k^{\prime })$; однако еще целесообразней рассматривать эти ядра прямо как матрицы и соответственно считать $q_1,\dots ,q_k$ нндексами строк, а $q_1^{\prime },\dots ,q_k^{\prime }$ индексами столбцов, соответствующими v и $v^{\prime }$. Мы тогда имеем, кроме обычных матриц $\left\{h_{v{v}^{\prime }}\right\}$ с дискретными совокупностями столбцов и строк, нумерованными числами $1,2,\dots$ еще другие $\left\{h(q_1,\dots ,q_k;q_1^{\prime },\dots ,q_k^{\prime })\right\}$ (интегральные ядра), для которых каждая совокупность характеризуется $k$-переменными, непрерывно пробегающими все $\mathrm{\Omega }$.

Эта аналогия может показаться чисто формальной, но в действительности это не так, ибо индексы $u$ и $v^{\prime }$ могут также рассматриваться как координаты в пространстве состояний именно, если понимать их как квантовые числа (в смысле теории Бора: как номера возможных орбит в фазовом пространстве, которые оказываются дискретными вследствие запретов, накладываемых квантовыми условиями).

Мы не будем прослеживать далее этот ход мысли, развивая который Дирак и Йордан очертили единую теорию квантовых процессов. «Несобственные» конструкции (такие, как $\delta (x),{\delta }^{\prime }(x)$ ) играют в нем решающую роль — они лежат за пределами обычно употребляемых математических методов, а мы надеемся описать квантовую механику с помощью именно этих последних методов. Поэтому мы перейдем к другому (шредингерову) методу объединения обеих теорий.