Прежде чем довести до конца обсуждение процесса измерения в смысле развитых в VI. 1 идей с помощью найденных в VI. 2 формальных средств, мы хотели бы еще использовать результаты VI. 2, чтобы исключить многократно предлагавшуюся возможность объяснения статистического характера процесса $1 .(\mathrm{V} .1)$. Она основывается на следующем рассуждении. Пусть $I$ означает наблюдаемую систему, а $I I$ — наблюдателя. Если $I$ находится до измерения в состоянии $\mathrm{U}=P_{\mid \varphi]}$, а $I I-$ в смеси $U=\sum_{n=1}^{\infty} w_{n} P_{\left[\xi_{n}\right]}$, то $I+I I$ будет в однозначно определенной смеси $\mathbf{U}$, именно, как легко сосчитать, следуя VI. 2, будет
\[
\mathbf{U}=\sum_{n=1}^{\infty} w_{n} P_{\left[\Phi_{n}\right]}, \quad \Phi_{n}(q, r)=\varphi(q) \xi_{n}(r) .
\]

Если теперь имеет место измерение величины $A$ в $I$, то его надо понимать как взаимодействие между $I$ и $I I$, т. е. как процесс 2 . (V.1) с некоторым оператором энергии Н. Если оно продолжается время $t$, то превратит $\mathbf{U}$ в
\[
\mathbf{U}^{\prime}=e^{-\frac{2 \pi i}{h} t \mathbf{H}} \mathbf{U} e^{\frac{2 \pi i}{h} t \mathbf{H}},
\]

именно, как легко видеть, в
\[
\left.\mathbf{U}^{\prime}=\sum_{n=1}^{\infty} w_{n} P_{e^{-\frac{2 \pi t}{h} t} \mathbf{H}_{n}}\right]^{.}
\]

Если бы теперь всякое $\Phi_{n}(q, r)$ имело форму $\psi_{n}(q) \eta_{n}(r)$, где $\psi_{n}-$ собственная функция $A$, а $\eta_{n}$ образуют некоторую фиксированную полную ортонормированную систему, то это вмешательство имело бы характер измерения, переводя каждое состояние $\varphi$ системы $I$ в смесь собственных функций $\psi_{n}$ оператора $A$. Статистический характер возникает здесь из того, что, хотя система $I$ и находилась до измерения в одном определенном состоянии, но II была смесью, а в процессе взаимодействия «смешанный» характер $I I$ «заразил» и систему $I+I I$, в частности, превратил в смесь проекцию в $I$. Иными словами, измерение не приводит к определенному результату из-за того, что состояние наблюдателя перед измерением не является точно определенным. Было бы мыслимо, что такой механизм функционирует, так как степень информации наблюдателя о его собственном состоянии могла бы быть ограничета законами природы. Эти границы нашли бы себе выражение в значениях $w_{n}$, которые должны были бы определяться только наблюдателем (т. е. не зависели бы от $\varphi$ !).

Как раз здесь эта попытка объяснения терпит крушение, ибо квантовая механика требует, чтобы было
\[
w_{n}=\left(P_{\left[\psi_{n}\right]} \varphi \cdot \varphi\right)=\left|\left(\varphi, \psi_{n}\right)\right|^{2},
\]
т. е. чтобы $w_{n}$ зависело от $\varphi$ ! Существующее, возможно, другое разложение $\mathbf{U}^{\prime}=\sum_{n=1}^{\infty} w_{n}^{\prime} P_{\left[\Phi_{n}^{\prime}\right]} \quad$ (в котором $\Phi_{n}^{\prime}(q, r)=\psi_{n}(q) \eta_{n}(r)$ ортогональны и нормированы!) тоже не помогает, поскольку $w_{n}^{\prime}$ однозначно устанавливаются (с точностью до порядка) смесью $\mathbf{U}^{\prime}$ (IV. 3) и, следовательно, совпадают с $w_{n}{ }^{214}$ ).

Итак, акаузальность процесса 1. обусловлена не недостаточностью знаний о состоянии наблюдателя. Поэтому в дальненшем мы будем всегда принимать, что оно известно точно.

Обратимся снова к задаче, сформулированной в конце VI. 1. $I$, II и III будут иметь определенное там значение; для квантовомеханического описания систем $I$ и $I I$ будут использоваться обозначения VI.1, в то время как III вообще останется вне вычислений (ср. сказанное по этому поводу в VI. 1). Пусть $A$ означает подлежащую измерению величину (в $I$ ), $\varphi_{1}(q), \varphi_{2}(q), \ldots$ — ее собственные функции, а система $I$ находится в состоянии $\varphi(q)$.

Если I считается наблюдаемой системой, а $I I+I I I$ — наблюдателем, то нам следует прибегнуть к процессу 2 ., и мы найдем, что измерение переводит $I$ из состояния $\varphi$ в одно из состояний $\varphi_{n}$ $(n=1,2, \ldots)$ с соответствующими вероятностями $\left|\left(\varphi, \varphi_{n}\right)\right|^{2}$ $(n=1,2, \ldots)$. К какому же способу описания следует нам прибегнуть, если считать наблюдаемой системой $I+I I$, а наблюдателем — III?

В этом случае мы должны сказать, что $I /$ — это измерительный прибор, показывающий на шкале значение величины $A$ (из I). Положение стрелки на этой шкале есть некоторая физическая величина $B$ (из II), которая, собственно, и наблюдается системой III (если II
214) Эта форма допускает еще некоторые вариации, которые также не заслуживают рассмотрения по аналогичным причинам.
лежит уже внутри организма наблюдателя, то на месте шкалы и положения стрелки выступят соответствующие физиологические понятия, например сетчатка и изображение ча ней) и значения которой однооднозначно связаны со значениями величины $A$. Пусть значения $A$ будут $a_{1}, a_{2}, \ldots$ значения $B-b_{1}, b_{2}, \ldots$, а нумерация выполнена так, что как раз $a_{n}$ и $b_{n}$ связаны друг с другом.

Первоначально $I$ находится в (неизвестном) состоянии $\varphi(q)$, а $I I$ — в (известном) состоянии $\xi(r)$, следовательно, $I+I I$ — в состоянии $\Phi(q, r)=\varphi(q) \xi(r)$. Измерение (пока оно проводится системой $I I$ над системой $I$ ) совершается, как и в прежнем примере, посредством оператора энергии $\mathbf{H}$ (в $I+I I$ ) за время $t$. Это будет процессом 2., который превратит $\Phi$ в $\Phi^{\prime}=e^{-\frac{2 \pi t}{h} t \mathbf{H}} \Phi$. С точки зрения наблюдателя III об измерении можно заговорить, только если дело обстоит так, что начни $I I I$ измерять посредством процесса 1 . одновременно измеримые величины $A$ и $B$ (в $I$ и соответственно в $I I$, или же обе в $I+I I$ ), то пары значений $a_{m}, b_{n}$ с $m
eq n$ стали бы появляться лишь с вероятностью нуль, напротив, пары с $m=n-$ с некоторыми определенными вероятностями $w_{n}$. Иными словами, достаточно «рассмотреть» $I I$, чтобы $A$ из $I$ оказалась бы измеренной. Квантовая механика потребует тогда еще, чтобы $w_{n}=\left|\left(\varphi, \varphi_{n}\right)\right|^{2}$.

Произойди такое, и процесс измерения, в той мере, в какой он протекает в $I I$, будет теоретически «объяснен» — рассматривавшаяся в VI. 1 граница сдвинута из положения $I \mid I I+I I I$ в $I+I I \mid I I I$.

Итак, математическая задача состоит в следующем. Задана полная ортонормированная система $\varphi_{1}, \varphi_{2}, \ldots$ в $I$. Такую же систему $\xi_{1}, \xi_{2}, \ldots$ в $\mathfrak{R}^{I I}$, равно как и состояние $\xi$ в $\mathfrak{R}^{I I}$, надо найти. Далее следует подобрать оператор (энергии) $\mathbf{H}$ в $\mathfrak{R}^{I+I I}$ и значение $t$ так, чтобы выполнялись следующие условия. Если $\varphi$-произвольное состояние в $\mathfrak{M}^{I}$, а
\[
\Phi(q, r)=\varphi(q) \xi(r), \quad \Phi^{\prime}(q, r)=e^{-\frac{2 \pi l}{h} t \mathbf{H}} \Phi(q, r)
\]

по построению, то $\Phi^{\prime}(q, r)$ должна представляться в виде $\sum_{n=1}^{\infty} c_{n} \varphi_{n}(q) \xi_{n}(r)$ (коэффициенты $c_{n}$ могут, естественно, зависеть от $\varphi$ ). $\prod_{\text {При }}$ этом должно быть $\left|c_{n}\right|^{2}=\left|\left(\varphi, \varphi_{n}\right)\right|^{2}$ (то, что последнее условие соответствует сформулированным выше физическим требованиям, было выяснено в VI. 2).

В дальнейшем мы будем наряду с $\varphi_{1}, \varphi_{2}, \ldots$ считать фиксированными и $\xi_{1}, \xi_{2}, \ldots$ и $\xi$, а вместо $\mathbf{H}$ искать унитарный оператор $\Delta=e^{-\frac{2 \pi i}{h} t \mathbf{H}}$.

Математическая задача сводится к уже разрешенной в VI. 2: там была задана $\Phi^{\prime}$, и мы показали существование $c_{n}$, $\varphi_{n}$ и $\xi_{n}$; теперь нам заданы
21 и. Нейман
постоянные $\varphi_{n}, \xi_{n}$ и зависящие от $\varphi \Phi$ и $c_{n}$, и задача состоит в том, чтобы так определить $\Delta$, чтобы эти $c_{n}$, $\varphi_{n}$ и $\xi_{n}$ получились бы из $\Phi^{\prime}=\Delta \Phi$.

Мы покажем, что такое построение $\Delta$ действительно возможно. При этом мы будем интересоваться лишь принципиальной стороной дела, т. е. вопросом существования какого-либо такого $\Delta$. Дальнейший вопрос о том, обладают ли требуемыми свойствами операторы $\Delta=e^{-\frac{2 \pi i}{h} t \mathbf{H}}$ простейших наглядных схем постановки опытов (например, рассмотренных в III. 4), не должен нас заботить. В самом деле, поскольку, как мы видели, наши условия действительно совпадают с наглядным критерием измеримости и, с другой стороны, в упомянутых схемах опытов наглядные требования к измерению тоже удовлетворяются, то квантовая механика должна была бы приводить к грубо противоречащим наблюденію результатам, если бы соответствующие $\Delta$ не удовлетворяли бы (по крайней мере приближенно) нашим условиям ${ }^{215}$ ). Таким образом, в дальнейшем нам надо буде’ найти только абстрактный оператор $\Delta$, точно удовлетворяющий нашим условиям.

Итак, пусть функции $\varphi_{m}\left(m=0, \pm 1, \pm 2, \ldots\right.$ ) и $\xi_{n}$ ( $n=0$, $\pm 1, \pm 2, \ldots$ ) образуют две заданные ортонормированные системы в $\Re^{I}$ и соответственно в $\mathfrak{\Re}^{I I}$ (мы даем теперь $m$ и $n$ пробегать не значения $1,2, \ldots$ а значения $0, \pm 1, \pm 2, \ldots$; это основано на технических соображениях и не имеет принципиального значения) и пусть, простоты ради, состояние $\xi$ совпадает с $\xi_{0}$. Определим оператор $\Delta$ равенством
\[
\Delta \sum_{m, n=-\infty}^{\infty} x_{m n} \varphi_{m}(q) \xi_{n}(r)=\sum_{m, n=-\infty}^{\infty} x_{m n} \varphi_{m}(q) \xi_{m+n}(r) .
\]

Поскольку как $\varphi_{m}(q) \xi_{n}(r)$, так и $\varphi_{m}(q) \xi_{n+m}(r)$ образуют в $\mathfrak{R}^{I+I I}$ полные ортонормированные системы, то такое $\Delta$ будет унитарным. Теперь
\[
\varphi(q)=\sum_{m=-\infty}^{\infty}\left(\varphi, \varphi_{m}\right) \cdot \varphi_{m}(q) ; \quad \xi(r)=\xi_{0}(r) .
\]

Следовательно,
\[
\Phi(q, r)=\varphi(q) \xi(r)=\sum_{m=-\infty}^{\infty}\left(\varphi, \varphi_{m}\right) \cdot \varphi_{m}(q) \xi_{0}(r)
\]

и
\[
\Phi^{\prime}(q, r)=\Delta \Phi(q, r)=\sum_{m=-\infty}^{\infty}\left(\varphi, \varphi_{m}\right) \cdot \varphi_{m}(q) \xi_{m}(r) .
\]
215) Для рассматривавшегося в III. 4 измерения положения соответствующее вычисление имеется в работе Weizsacker’a, Zs. f. Phys. 70 (1931).
Но тем самым наша цель достигнута, мы добились даже равенства $c_{n}=\left(\varphi, \varphi_{n}\right)$.

Мы получим, однако, более наглядное представление о механизме этого процесса, рассмотрев пример с конкретными шредингеровыми волновыми функциями и задавая само $\mathbf{H}$ вместо $\Delta$.

Как наблюдаемый объект, так и наблюдателя (т. е. $I$ и $I I$ ) будет достаточно охарактеризовать одной непрерывно пробегающей от $-\infty$ до $+\infty$ переменной $q$ или $r$, т. е. мы будем представлять их как линейно двигающиеся точки. Их волновые функции будут иметь вид $\psi(q)$ и $\eta(r)$. Мы примем, что их массы $m_{1}$ и $m_{2}$ столь велики, что кинетической энергией
\[
\frac{1}{2 m_{1}}\left(\frac{h}{2 \pi i} \frac{\partial}{\partial q}\right)^{2}+\frac{1}{2 m_{2}}\left(\frac{h}{2 \pi i} \frac{\partial}{\partial r}\right)^{2}
\]

в операторе энергии можно будет пренебречь, и в $\mathbf{H}$ останется только ответственная за измерение энергия взаимодействия, для которой мы выберем специальную форму $\frac{h}{2 \pi i} q \frac{\partial}{\partial r}$.

Зависящее от времени дифференциальное уравнение Шредингера для волновой функции $\psi_{t}=\psi_{t}(q, r)$ системы $I+I I$ будет тогда гласить:
\[
\frac{h}{2 \pi i} \frac{\partial}{\partial t} \psi_{t}(q, r)=-\frac{h}{2 \pi i} q \frac{\partial}{\partial r} \psi_{t}(q, r),
\]
T. e.
\[
\left(\frac{\partial}{\partial t}+q \frac{\partial}{\partial r}\right) \cup_{t}(q, r)=0,
\]

что приведет к
\[
\psi_{t}(q, r)=f(q, r-t q) .
\]

Если для $t=0 \quad \Psi_{0}(q, r)=\Phi(q, r)$, то мы получим $f(q, r)=\Phi(q, r)$ и, следовательно,
\[
\psi_{t}(q, r)=\Phi(q, r-t q) .
\]

Если, в частности, начальные состояния систем I и II представляются функциями $\varphi(q)$ и $\xi(r)$, то, в духе нашей вычислительной схемы (если выбрать участвующее в ней время $t$ равным 1), будет
\[
\Phi(q, r)=\varphi(q) \xi(r), \quad \Phi^{\prime}(q, r)=\psi_{1}(q, r)=\varphi(q) \xi(r-q) .
\]

Покажем теперь, что найденные результаты могут послужить для измерения координаты системы $I$ системой $I I$, т. е. что координаты $q$ и $r$ взаимно связаны. (Поскольку $q$ и $r$ обладают непрерывным спектром, т. е. только сколь угодно точно, но не абсолютно точно измеримы, то это может удаться только приближенно.)

Допустим для этой цели, что $\xi(r)$ отлична от нуля только в очень узком интервале $-\varepsilon<r_{0}<\varepsilon$ (т. е. что координата $r$ наблюдателя
$21^{*}$ известна до измерения очень точно). Кроме того, $\xi$ должна, естественно, быть нормированнон:
\[
\|\xi\|=1, \quad \text { т. е. } \int\left[\left.\xi(r)\right|^{2} d r=1 .\right.
\]

Вероятность того, что $q$ лежит в интервале $q_{0}-\delta<q<q_{0}+\delta$, а $r$-в интервале $r_{0}-\delta^{\prime}<r_{0}<r_{0}+\delta^{\prime}$, будет тогда составлять
\[
\int_{q_{0}-\delta}^{q_{0}+\delta} \int_{r_{0}-\delta^{\prime}}^{r_{0}+\delta^{\prime}}\left|\Phi^{\prime}(q, r)\right|^{2} d q d r=\int_{q_{0}-\delta}^{q_{0}+\delta} \int_{r_{0}-\delta^{\prime}}^{r_{0}+\hat{\delta}^{\prime}}|\varphi(q)|^{2}|\xi(r-q)|^{2} d q d r .
\]

Если $q_{0}$ и $r_{0}$ отличаются друг от друга больше чем на $\delta+\delta^{\prime}+\varepsilon$, то она обратится в нуль, т. е. $q$ и $r$ связаны столь сильно, что их разность никогда не может стать $>\delta+\delta^{\prime}+\varepsilon$. Для случая же $r_{0}=q_{0}$ она, если мы выберем $\delta^{\prime} \geqslant \delta+\varepsilon$, будет из-за допущений относительно $\xi$ равняться $\int_{q_{0}-\delta}^{q_{0}+\delta}|\varphi(q)|^{2} d q$. Так как, однако, мы можем выбрать $\delta, \delta^{\prime}$ и $\varepsilon$ сколь угодно малыми (они должны быть только большими нуля!), то это значит, что $q$ и $r$ связаны сколь угодно сильно, а плотность вероятности имеет требуемое квантовой механикой значение $|\varphi(q)|^{2}$.

Таким образом, условия для измерения в той форме, как они обсуждались в VI. 1 и в этом параграфе, осуществляются.

Обсуждение более сложных примеров, например, аналогичных нашему четырехчленному примеру из VI. 1 , или таких, как контроль со стороны второго наблюдателя III измерения, выполненного II над $I$, проводится совершенно аналогично. Мы предоставим его читателю.