Главная > МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ (ФОН НЕИМАН)
<< Предыдущий параграф
Пред.
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

Прежде чем довести до конца обсуждение процесса измерения в смысле развитых в VI. 1 идей с помощью найденных в VI. 2 формальных средств, мы хотели бы еще использовать результаты VI. 2, чтобы исключить многократно предлагавшуюся возможность объяснения статистического характера процесса $1 .(\mathrm{V} .1)$. Она основывается на следующем рассуждении. Пусть $I$ означает наблюдаемую систему, а $I I$ – наблюдателя. Если $I$ находится до измерения в состоянии $\mathrm{U}=P_{\mid \varphi]}$, а $I I-$ в смеси $U=\sum_{n=1}^{\infty} w_{n} P_{\left[\xi_{n}\right]}$, то $I+I I$ будет в однозначно определенной смеси $\mathbf{U}$, именно, как легко сосчитать, следуя VI. 2, будет
\[
\mathbf{U}=\sum_{n=1}^{\infty} w_{n} P_{\left[\Phi_{n}\right]}, \quad \Phi_{n}(q, r)=\varphi(q) \xi_{n}(r) .
\]

Если теперь имеет место измерение величины $A$ в $I$, то его надо понимать как взаимодействие между $I$ и $I I$, т. е. как процесс 2 . (V.1) с некоторым оператором энергии Н. Если оно продолжается время $t$, то превратит $\mathbf{U}$ в
\[
\mathbf{U}^{\prime}=e^{-\frac{2 \pi i}{h} t \mathbf{H}} \mathbf{U} e^{\frac{2 \pi i}{h} t \mathbf{H}},
\]

именно, как легко видеть, в
\[
\left.\mathbf{U}^{\prime}=\sum_{n=1}^{\infty} w_{n} P_{e^{-\frac{2 \pi t}{h} t} \mathbf{H}_{n}}\right]^{.}
\]

Если бы теперь всякое $\Phi_{n}(q, r)$ имело форму $\psi_{n}(q) \eta_{n}(r)$, где $\psi_{n}-$ собственная функция $A$, а $\eta_{n}$ образуют некоторую фиксированную полную ортонормированную систему, то это вмешательство имело бы характер измерения, переводя каждое состояние $\varphi$ системы $I$ в смесь собственных функций $\psi_{n}$ оператора $A$. Статистический характер возникает здесь из того, что, хотя система $I$ и находилась до измерения в одном определенном состоянии, но II была смесью, а в процессе взаимодействия «смешанный» характер $I I$ «заразил» и систему $I+I I$, в частности, превратил в смесь проекцию в $I$. Иными словами, измерение не приводит к определенному результату из-за того, что состояние наблюдателя перед измерением не является точно определенным. Было бы мыслимо, что такой механизм функционирует, так как степень информации наблюдателя о его собственном состоянии могла бы быть ограничета законами природы. Эти границы нашли бы себе выражение в значениях $w_{n}$, которые должны были бы определяться только наблюдателем (т. е. не зависели бы от $\varphi$ !).

Как раз здесь эта попытка объяснения терпит крушение, ибо квантовая механика требует, чтобы было
\[
w_{n}=\left(P_{\left[\psi_{n}\right]} \varphi \cdot \varphi\right)=\left|\left(\varphi, \psi_{n}\right)\right|^{2},
\]
т. е. чтобы $w_{n}$ зависело от $\varphi$ ! Существующее, возможно, другое разложение $\mathbf{U}^{\prime}=\sum_{n=1}^{\infty} w_{n}^{\prime} P_{\left[\Phi_{n}^{\prime}\right]} \quad$ (в котором $\Phi_{n}^{\prime}(q, r)=\psi_{n}(q) \eta_{n}(r)$ ортогональны и нормированы!) тоже не помогает, поскольку $w_{n}^{\prime}$ однозначно устанавливаются (с точностью до порядка) смесью $\mathbf{U}^{\prime}$ (IV. 3) и, следовательно, совпадают с $w_{n}{ }^{214}$ ).

Итак, акаузальность процесса 1. обусловлена не недостаточностью знаний о состоянии наблюдателя. Поэтому в дальненшем мы будем всегда принимать, что оно известно точно.

Обратимся снова к задаче, сформулированной в конце VI. 1. $I$, II и III будут иметь определенное там значение; для квантовомеханического описания систем $I$ и $I I$ будут использоваться обозначения VI.1, в то время как III вообще останется вне вычислений (ср. сказанное по этому поводу в VI. 1). Пусть $A$ означает подлежащую измерению величину (в $I$ ), $\varphi_{1}(q), \varphi_{2}(q), \ldots$ – ее собственные функции, а система $I$ находится в состоянии $\varphi(q)$.

Если I считается наблюдаемой системой, а $I I+I I I$ – наблюдателем, то нам следует прибегнуть к процессу 2 ., и мы найдем, что измерение переводит $I$ из состояния $\varphi$ в одно из состояний $\varphi_{n}$ $(n=1,2, \ldots)$ с соответствующими вероятностями $\left|\left(\varphi, \varphi_{n}\right)\right|^{2}$ $(n=1,2, \ldots)$. К какому же способу описания следует нам прибегнуть, если считать наблюдаемой системой $I+I I$, а наблюдателем – III?

В этом случае мы должны сказать, что $I /$ – это измерительный прибор, показывающий на шкале значение величины $A$ (из I). Положение стрелки на этой шкале есть некоторая физическая величина $B$ (из II), которая, собственно, и наблюдается системой III (если II
214) Эта форма допускает еще некоторые вариации, которые также не заслуживают рассмотрения по аналогичным причинам.
лежит уже внутри организма наблюдателя, то на месте шкалы и положения стрелки выступят соответствующие физиологические понятия, например сетчатка и изображение ча ней) и значения которой однооднозначно связаны со значениями величины $A$. Пусть значения $A$ будут $a_{1}, a_{2}, \ldots$ значения $B-b_{1}, b_{2}, \ldots$, а нумерация выполнена так, что как раз $a_{n}$ и $b_{n}$ связаны друг с другом.

Первоначально $I$ находится в (неизвестном) состоянии $\varphi(q)$, а $I I$ – в (известном) состоянии $\xi(r)$, следовательно, $I+I I$ – в состоянии $\Phi(q, r)=\varphi(q) \xi(r)$. Измерение (пока оно проводится системой $I I$ над системой $I$ ) совершается, как и в прежнем примере, посредством оператора энергии $\mathbf{H}$ (в $I+I I$ ) за время $t$. Это будет процессом 2., который превратит $\Phi$ в $\Phi^{\prime}=e^{-\frac{2 \pi t}{h} t \mathbf{H}} \Phi$. С точки зрения наблюдателя III об измерении можно заговорить, только если дело обстоит так, что начни $I I I$ измерять посредством процесса 1 . одновременно измеримые величины $A$ и $B$ (в $I$ и соответственно в $I I$, или же обе в $I+I I$ ), то пары значений $a_{m}, b_{n}$ с $m
eq n$ стали бы появляться лишь с вероятностью нуль, напротив, пары с $m=n-$ с некоторыми определенными вероятностями $w_{n}$. Иными словами, достаточно «рассмотреть» $I I$, чтобы $A$ из $I$ оказалась бы измеренной. Квантовая механика потребует тогда еще, чтобы $w_{n}=\left|\left(\varphi, \varphi_{n}\right)\right|^{2}$.

Произойди такое, и процесс измерения, в той мере, в какой он протекает в $I I$, будет теоретически «объяснен» – рассматривавшаяся в VI. 1 граница сдвинута из положения $I \mid I I+I I I$ в $I+I I \mid I I I$.

Итак, математическая задача состоит в следующем. Задана полная ортонормированная система $\varphi_{1}, \varphi_{2}, \ldots$ в $I$. Такую же систему $\xi_{1}, \xi_{2}, \ldots$ в $\mathfrak{R}^{I I}$, равно как и состояние $\xi$ в $\mathfrak{R}^{I I}$, надо найти. Далее следует подобрать оператор (энергии) $\mathbf{H}$ в $\mathfrak{R}^{I+I I}$ и значение $t$ так, чтобы выполнялись следующие условия. Если $\varphi$-произвольное состояние в $\mathfrak{M}^{I}$, а
\[
\Phi(q, r)=\varphi(q) \xi(r), \quad \Phi^{\prime}(q, r)=e^{-\frac{2 \pi l}{h} t \mathbf{H}} \Phi(q, r)
\]

по построению, то $\Phi^{\prime}(q, r)$ должна представляться в виде $\sum_{n=1}^{\infty} c_{n} \varphi_{n}(q) \xi_{n}(r)$ (коэффициенты $c_{n}$ могут, естественно, зависеть от $\varphi$ ). $\prod_{\text {При }}$ этом должно быть $\left|c_{n}\right|^{2}=\left|\left(\varphi, \varphi_{n}\right)\right|^{2}$ (то, что последнее условие соответствует сформулированным выше физическим требованиям, было выяснено в VI. 2).

В дальнейшем мы будем наряду с $\varphi_{1}, \varphi_{2}, \ldots$ считать фиксированными и $\xi_{1}, \xi_{2}, \ldots$ и $\xi$, а вместо $\mathbf{H}$ искать унитарный оператор $\Delta=e^{-\frac{2 \pi i}{h} t \mathbf{H}}$.

Математическая задача сводится к уже разрешенной в VI. 2: там была задана $\Phi^{\prime}$, и мы показали существование $c_{n}$, $\varphi_{n}$ и $\xi_{n}$; теперь нам заданы
21 и. Нейман
постоянные $\varphi_{n}, \xi_{n}$ и зависящие от $\varphi \Phi$ и $c_{n}$, и задача состоит в том, чтобы так определить $\Delta$, чтобы эти $c_{n}$, $\varphi_{n}$ и $\xi_{n}$ получились бы из $\Phi^{\prime}=\Delta \Phi$.

Мы покажем, что такое построение $\Delta$ действительно возможно. При этом мы будем интересоваться лишь принципиальной стороной дела, т. е. вопросом существования какого-либо такого $\Delta$. Дальнейший вопрос о том, обладают ли требуемыми свойствами операторы $\Delta=e^{-\frac{2 \pi i}{h} t \mathbf{H}}$ простейших наглядных схем постановки опытов (например, рассмотренных в III. 4), не должен нас заботить. В самом деле, поскольку, как мы видели, наши условия действительно совпадают с наглядным критерием измеримости и, с другой стороны, в упомянутых схемах опытов наглядные требования к измерению тоже удовлетворяются, то квантовая механика должна была бы приводить к грубо противоречащим наблюденію результатам, если бы соответствующие $\Delta$ не удовлетворяли бы (по крайней мере приближенно) нашим условиям ${ }^{215}$ ). Таким образом, в дальнейшем нам надо буде’ найти только абстрактный оператор $\Delta$, точно удовлетворяющий нашим условиям.

Итак, пусть функции $\varphi_{m}\left(m=0, \pm 1, \pm 2, \ldots\right.$ ) и $\xi_{n}$ ( $n=0$, $\pm 1, \pm 2, \ldots$ ) образуют две заданные ортонормированные системы в $\Re^{I}$ и соответственно в $\mathfrak{\Re}^{I I}$ (мы даем теперь $m$ и $n$ пробегать не значения $1,2, \ldots$ а значения $0, \pm 1, \pm 2, \ldots$; это основано на технических соображениях и не имеет принципиального значения) и пусть, простоты ради, состояние $\xi$ совпадает с $\xi_{0}$. Определим оператор $\Delta$ равенством
\[
\Delta \sum_{m, n=-\infty}^{\infty} x_{m n} \varphi_{m}(q) \xi_{n}(r)=\sum_{m, n=-\infty}^{\infty} x_{m n} \varphi_{m}(q) \xi_{m+n}(r) .
\]

Поскольку как $\varphi_{m}(q) \xi_{n}(r)$, так и $\varphi_{m}(q) \xi_{n+m}(r)$ образуют в $\mathfrak{R}^{I+I I}$ полные ортонормированные системы, то такое $\Delta$ будет унитарным. Теперь
\[
\varphi(q)=\sum_{m=-\infty}^{\infty}\left(\varphi, \varphi_{m}\right) \cdot \varphi_{m}(q) ; \quad \xi(r)=\xi_{0}(r) .
\]

Следовательно,
\[
\Phi(q, r)=\varphi(q) \xi(r)=\sum_{m=-\infty}^{\infty}\left(\varphi, \varphi_{m}\right) \cdot \varphi_{m}(q) \xi_{0}(r)
\]

и
\[
\Phi^{\prime}(q, r)=\Delta \Phi(q, r)=\sum_{m=-\infty}^{\infty}\left(\varphi, \varphi_{m}\right) \cdot \varphi_{m}(q) \xi_{m}(r) .
\]
215) Для рассматривавшегося в III. 4 измерения положения соответствующее вычисление имеется в работе Weizsacker’a, Zs. f. Phys. 70 (1931).
Но тем самым наша цель достигнута, мы добились даже равенства $c_{n}=\left(\varphi, \varphi_{n}\right)$.

Мы получим, однако, более наглядное представление о механизме этого процесса, рассмотрев пример с конкретными шредингеровыми волновыми функциями и задавая само $\mathbf{H}$ вместо $\Delta$.

Как наблюдаемый объект, так и наблюдателя (т. е. $I$ и $I I$ ) будет достаточно охарактеризовать одной непрерывно пробегающей от $-\infty$ до $+\infty$ переменной $q$ или $r$, т. е. мы будем представлять их как линейно двигающиеся точки. Их волновые функции будут иметь вид $\psi(q)$ и $\eta(r)$. Мы примем, что их массы $m_{1}$ и $m_{2}$ столь велики, что кинетической энергией
\[
\frac{1}{2 m_{1}}\left(\frac{h}{2 \pi i} \frac{\partial}{\partial q}\right)^{2}+\frac{1}{2 m_{2}}\left(\frac{h}{2 \pi i} \frac{\partial}{\partial r}\right)^{2}
\]

в операторе энергии можно будет пренебречь, и в $\mathbf{H}$ останется только ответственная за измерение энергия взаимодействия, для которой мы выберем специальную форму $\frac{h}{2 \pi i} q \frac{\partial}{\partial r}$.

Зависящее от времени дифференциальное уравнение Шредингера для волновой функции $\psi_{t}=\psi_{t}(q, r)$ системы $I+I I$ будет тогда гласить:
\[
\frac{h}{2 \pi i} \frac{\partial}{\partial t} \psi_{t}(q, r)=-\frac{h}{2 \pi i} q \frac{\partial}{\partial r} \psi_{t}(q, r),
\]
T. e.
\[
\left(\frac{\partial}{\partial t}+q \frac{\partial}{\partial r}\right) \cup_{t}(q, r)=0,
\]

что приведет к
\[
\psi_{t}(q, r)=f(q, r-t q) .
\]

Если для $t=0 \quad \Psi_{0}(q, r)=\Phi(q, r)$, то мы получим $f(q, r)=\Phi(q, r)$ и, следовательно,
\[
\psi_{t}(q, r)=\Phi(q, r-t q) .
\]

Если, в частности, начальные состояния систем I и II представляются функциями $\varphi(q)$ и $\xi(r)$, то, в духе нашей вычислительной схемы (если выбрать участвующее в ней время $t$ равным 1), будет
\[
\Phi(q, r)=\varphi(q) \xi(r), \quad \Phi^{\prime}(q, r)=\psi_{1}(q, r)=\varphi(q) \xi(r-q) .
\]

Покажем теперь, что найденные результаты могут послужить для измерения координаты системы $I$ системой $I I$, т. е. что координаты $q$ и $r$ взаимно связаны. (Поскольку $q$ и $r$ обладают непрерывным спектром, т. е. только сколь угодно точно, но не абсолютно точно измеримы, то это может удаться только приближенно.)

Допустим для этой цели, что $\xi(r)$ отлична от нуля только в очень узком интервале $-\varepsilon&lt;r_{0}&lt;\varepsilon$ (т. е. что координата $r$ наблюдателя
$21^{*}$ известна до измерения очень точно). Кроме того, $\xi$ должна, естественно, быть нормированнон:
\[
\|\xi\|=1, \quad \text { т. е. } \int\left[\left.\xi(r)\right|^{2} d r=1 .\right.
\]

Вероятность того, что $q$ лежит в интервале $q_{0}-\delta&lt;q&lt;q_{0}+\delta$, а $r$-в интервале $r_{0}-\delta^{\prime}&lt;r_{0}&lt;r_{0}+\delta^{\prime}$, будет тогда составлять
\[
\int_{q_{0}-\delta}^{q_{0}+\delta} \int_{r_{0}-\delta^{\prime}}^{r_{0}+\delta^{\prime}}\left|\Phi^{\prime}(q, r)\right|^{2} d q d r=\int_{q_{0}-\delta}^{q_{0}+\delta} \int_{r_{0}-\delta^{\prime}}^{r_{0}+\hat{\delta}^{\prime}}|\varphi(q)|^{2}|\xi(r-q)|^{2} d q d r .
\]

Если $q_{0}$ и $r_{0}$ отличаются друг от друга больше чем на $\delta+\delta^{\prime}+\varepsilon$, то она обратится в нуль, т. е. $q$ и $r$ связаны столь сильно, что их разность никогда не может стать $&gt;\delta+\delta^{\prime}+\varepsilon$. Для случая же $r_{0}=q_{0}$ она, если мы выберем $\delta^{\prime} \geqslant \delta+\varepsilon$, будет из-за допущений относительно $\xi$ равняться $\int_{q_{0}-\delta}^{q_{0}+\delta}|\varphi(q)|^{2} d q$. Так как, однако, мы можем выбрать $\delta, \delta^{\prime}$ и $\varepsilon$ сколь угодно малыми (они должны быть только большими нуля!), то это значит, что $q$ и $r$ связаны сколь угодно сильно, а плотность вероятности имеет требуемое квантовой механикой значение $|\varphi(q)|^{2}$.

Таким образом, условия для измерения в той форме, как они обсуждались в VI. 1 и в этом параграфе, осуществляются.

Обсуждение более сложных примеров, например, аналогичных нашему четырехчленному примеру из VI. 1 , или таких, как контроль со стороны второго наблюдателя III измерения, выполненного II над $I$, проводится совершенно аналогично. Мы предоставим его читателю.

Categories

1
Оглавление
email@scask.ru