Последнић параграф учит нас, что самый общий статистический ансамбль, совместный с нашими основными качественными предположениями, характеризуется, согласно закону $S p$., некоторым дефинитным оператором $U$. Ансамбли частного вида, названные нами однородными, характеризуются операторами $U=P_{[\varphi]} \quad(\|\varphi\|=1)$. Поскольку эти ансамбли являются истинными (дальше неразложимыми) состояниями системы $\boldsymbol{S}$, то, мы их будем называть также состояниями (именно, $U=P_{[\varphi]}$ назовем состоянием $\varphi$ ).

Если спектр $U$ чисто дискретен, скажем, с собственными значениями $w_{1}, w_{2}, \ldots$ и с собственными функциями $\varphi_{1}, \varphi_{2}, \ldots$ (которые образуют полную ортонормированную систему), то будем иметь (cp. II. 8)
\[
U=\sum_{n} w_{n} P_{\left[\varphi_{n}\right]} .
\]

В силу дефинитности $U$ все $w_{n} \geqq 0$ [действительно, $U \varphi_{n}=w_{n} \varphi_{n}$, так что $\left(U \varphi_{n}, \varphi_{n}\right)=w_{n}$, и значит, $w_{n} \geqq 0$ ], причем $\sum_{n} w_{n}=$ $=\sum_{n}\left(U \varphi_{n}, \varphi_{n}\right)=\operatorname{Spur} U$ (ср. также начало IV. 1), так что $\sum_{n} w_{n}=1$, если $U$ правильно нормирован. Тем самым можно, согласно сказанному в начале IV. 1 , понимать $U$ как смесь состояний $\varphi_{1}, \varphi_{2}, \ldots$ с соответствующими относительными весами $w_{1}, w_{2}, \ldots$ – если $U$ правильно нормирован, то эти веса правильны и абсолютно.

Но правильно нормированный оператор $U$, т. е. такой, что Spur $U=1$, будет, согласно II. 11 (ср., в частности, прим. 115), стр. 143), вполне непрерывным и, значит, будет обладать чисто дискретным спектром. То же самое, конечно, справедливо и в случае конечного $\operatorname{Spur} U$. (Случай бесконечного $\operatorname{Spur} U$ можно рассматривать как предельный случай, на чем мы не будем останавливаться.) Таким образом, в действительно интересном случае рассматриваемый ансамбль представи́м в виде смеси состоянии, которые мы, кроме того, выбирали попарно ортогональными. Поэтому мы будем общие ансамбли (в противоположность однородным, т. е. состояниям) называть смесями.

Если все собственные значения оператора $U$ просты, т. е. все $w_{1}, w_{2}, \ldots$ отличны друг от друга, то, как мы знаем, система $\varphi_{1}, \varphi_{2}, \ldots$ определяется однозначно с точностью до постоянных множителей модуля 1, а значит, соответствующие состояния (и операторы $\left.P_{\left[\varphi_{1}\right]}, P_{\left[\varsigma_{2}\right]}, \ldots\right)$ – полностью. Равным образом однозначно определяются и веса $w_{1}, w_{2}, \ldots$, разумеется, если не принимать во внимание их порядок. Таким образом, в этом случае можно однозначно указать, из каких (попарно ортогональных) состояний построена смесь $U$. Существенно по-иному обстоит дело, если $U$ обладает также и кратными собственными значениями («вырождения»). В II. 8 мы обсуждали подробно, как могут быть выбраны $\varphi_{1}, \varphi_{2}, \ldots$ это можно сделать бесконечно многими, существенно различными способами (тогда как $w_{1}, w_{2}, \ldots$ все еще могут быть определены однозначно). Следует выписать те из $w_{1}, w_{2}, \ldots$, которые отличны друг от друга: $w^{\prime}$, $w^{\prime \prime}$,…, для каждого из них указать замкнутое линеиное многообразие принадлежацих им собственных функций (т. е. решении уравнения $U f=w f$ ) $\mathfrak{M}_{w^{\prime}}, \mathfrak{M}_{w^{\prime \prime}}, \ldots$ и затем выбрать произвольным способом в каждом из $\mathfrak{M}_{w^{\prime}}, \mathfrak{M}_{w^{\prime \prime}}, \ldots$ ортогональные системы $\chi_{1}^{\prime}, \chi_{2}^{\prime}, \ldots, \chi_{1}^{\prime \prime}, \chi_{2}^{\prime \prime}, \ldots, \ldots$, растягивающие данные многообразия. Эти системы $\chi_{1}^{\prime}, \chi_{2}^{\prime}, \ldots ; \chi_{1}^{\prime \prime}, \chi_{2}^{\prime \prime}, \ldots ; \ldots$ образуют тогда систему $\varphi_{1}, \varphi_{2}, \ldots$, а соответствующие собственные значения $w^{\prime}, w^{\prime}, \ldots ; w^{\prime \prime}, w^{\prime \prime}, \ldots ;$… являются тогда весами $w_{1}, w_{2}, \ldots$ Коль скоро какое-либо $\mathfrak{M}_{w}$ имеет больше чем одно измерение, т. е. имеется кратное собственное значение, принадлежащее ему, $\chi_{1}, \chi_{2}, \ldots$ не определяются больше с точностью до постоянного множителя модуля 1 (например, в качестве $\chi_{1}$ можно взять любой нормированный элемент $\mathfrak{M}_{w}$ ), т. е. соответствующие им состояния также многозначны!

Это явление можно сформулировать также следующим образом: если состояния $\chi_{1}, \chi_{2}, \ldots$ попарно ортогональны (т. е. $\chi_{1}, \chi_{2}, \ldots$ образуют ортонормированную систему, безразлично – конечную или бесконечную) и мы их смешиваем таким образом, что все они входят с одинаковыми весами (скажем, с относительными весами 1:1:..), то получающаяся в результате смесь зависит лишь от замкнутого линейного многообразия $\mathfrak{M}$, растягиваемого $\chi_{1}, \chi_{2}, \ldots$ Действительно,
\[
U=P_{\left[\gamma_{1}\right]}+P_{\left[\gamma_{2}\right]}+\ldots=P_{, 20} .
\]

Если число $\chi_{1}, \chi_{2}, \ldots$ конечно, скажем, равно $s: \chi_{1}, \ldots, \chi_{s}$, то оператор $U$ можно представить себе как смесь всех нормированных элементов $\mathfrak{R}$, т. е. всех состояний из $\mathfrak{M}$. Эти состояния имеют вид
\[
\chi=x_{1} \chi_{1}+\ldots+x_{s} \chi_{s}, \quad\left|x_{1}\right|^{2}+\ldots+\left|x_{s}\right|^{2}=1 .
\]
В самом деле, положим $x_{1}=u_{1}+i v_{1}, \ldots, x_{s}=u_{s}+i v_{s}$, через $K$ обозначим ( $2 s-1)$-мерную поверхность сферы $u_{1}^{2}+v_{1}^{2}+\ldots$ $\ldots+u_{s}^{2}+v_{s}^{2}=1$, соответствующей условию $\left|x_{1}\right|^{2}+\ldots+\left|x_{s}\right|^{2}=1$, и через dо элемент поверхности этой сферы. Положим еще
\[
U^{\prime}=\int_{K} \int \cdots \iint P_{[\gamma]} d 0,
\]

тогда
\[
\begin{array}{l}
\left(U^{\prime} f, g\right)=\iint_{K} \cdots \iint\left(P_{[\chi]} f, g\right) d 0=\iint \cdots \iint(f, \chi) \overline{(g, \chi)} d 0= \\
=\iint \cdots \iint\left(f, \sum_{K}^{s}\left(u_{\mu}+i v_{\mu}\right) \chi_{\mu}\right) \overline{\left(g, \sum_{\mu=1}^{s}\left(u_{\mu}+i v_{\mu}\right) \chi_{\mu}\right)} d 0= \\
=\int_{K} \int \cdots \iint \sum_{\mu,
u=1}^{s}\left(f, \chi_{\mu}\right) \overline{\left(g, \chi_{
u}\right)}\left(u_{\mu}-i v_{\mu}\right)\left(u_{
u}+i v_{
u}\right) d 0= \\
=\sum_{\mu,
u=1}^{s}\left(f, \chi_{\mu}\right) \overline{\left(g, \chi_{
u}\right)} \int_{K} \int \cdots \iint\left[\left(u_{\mu} u_{
u}+v_{\mu} v_{
u}\right)+i\left(u_{\mu} v_{
u}-u_{
u} v_{\mu}\right)\right] d 0 .
\end{array}
\]

Таким образом, поскольку все $u_{\mu} v_{v}, u_{
u} v_{\mu}$-интегралы, а также все $u_{\mu} u_{v}, v_{\mu} v_{v}$-интегралы обращаются в нуль при $\mu
eq
u$ из соображений симметрии ${ }^{176}$ ), а при $\mu=
u$ все эти последние интегралы $=$ $\left.=\frac{C}{2 s}(C>0)^{176}\right)$, находим
\[
\begin{array}{l}
\left(U^{\prime} f, g\right)=\frac{C}{s} \sum_{\mu=1}^{s}\left(f, \chi_{\mu}\right) \overline{\left(g, \chi_{\mu}\right)}=\frac{C}{s} \sum_{\mu=1}^{s}\left(P_{\left[\chi_{\mu}\right]} f, g\right)= \\
=\left(\left\{\frac{C}{s} \sum_{\mu=1}^{s} P_{\left[\chi_{\mu}\right]}\right\} f, g\right) .
\end{array}
\]
${ }^{176}$ ) Замена $u_{p} \rightarrow-u_{\mu}$ (или $u_{
u} \rightarrow-u_{
u}$ и $v_{\mu} \rightarrow-v_{\mu}$ ) является операцией симметрии поверхности $K$, в результаге которой первые множители подынтегральных выражений изменяют знак, так что соответствующие интегралы равны 0. Замены $u_{\mu} \rightarrow v_{\mu}, v_{\mu} \rightarrow u_{\mu}$ и $u_{\mu} \rightarrow u_{v}, u_{v} \rightarrow u_{\mu}$ представляют собой такую операцию симметрии поверхности $K$, при которой последние интегралы переходят друг в друга, ввиду чего сни равны между собой, а значит, равны $\frac{1}{2 s}-$ й их суммы: $\iint_{K} \ldots \iint\left(u_{1}^{2}+v_{1}^{2}+\ldots+u_{s}^{2}+v_{s}^{2}\right) d o=\int_{K} \int \cdots \iint d v=$ = площади поверхности $K$, которую обозначим через $C$.

—————————————————————-
0006ru_fizik_kvant_book11_page-0248.jpg.txt

3]
ВЫвоДЫ из эКСПЕРИМЕНТОВ
247
Это означает, что
\[
U^{\prime}=\frac{C}{s} \sum_{\mu=1}^{s} P_{\left[\chi_{\mu}\right]}=\frac{C}{s} U,
\]
т. е. $U^{\prime}, U$ отличаются друг от друга несущественным образом.

Эти обстоятельства имеют большое значение для характера квантовомеханической статистики. Ввиду этого мы повторим их еще раз:
1. Если смесь состоит из взаимно ортогональных состояний с в точности равными весами, то нельзя больше установить, какие это были состояния. Иными словами, в результате смешивания в точно равных отношениях различных (взаимно ортогональных) компонент можно получить одну и ту же смесь.
2. Полученная таким образом смесь в случае конечного числа компонент идентична смеси всех состояний, являющихся линей ными комбинациями этих компонент.
Вот простейший пример: если смешивать $\varphi$ и $\psi$ (ортогональные!) $1: 1$, то получится то же, что и если, например, смешать $\frac{\varphi+\psi}{\sqrt{2}}$ и $\frac{\varphi-\psi}{\sqrt{2}} 1: 1$, или же все $x \varphi+y \psi\left(|x|^{2}+|y|^{2}=1\right)$. Если смешиваются неортогональные $\varphi$, $\psi$ (отношение может не быть $1: 1$ ), то их тем менее можно идентифицировать по готовой смеси, поскольку эту смесь наверняка можно представлять себе как смесь ортогональных состояний.

Дальнейшее углубление в природу смесей мы отложим до термодинамических рассмотрений в V. 2 и далее.

Формула $\boldsymbol{S} \boldsymbol{p}$. в IV. 2 указывала, как надо вычислять математическое ожидание величины $\mathfrak{f}$ с оператором $R$ в смеси со статистическим оператором $U$ : это Spur ( $U R)$. Вероятность того, что значение $a$ оператора $R$ лежит в интервале $a^{\prime}<a \leqq a^{\prime \prime}\left(a^{\prime}, a^{\prime \prime}\right.$ заданы, $\left.a^{\prime} \leqq a^{\prime \prime}\right)$, находится как в III. 1 или III. 5: с помощью функции
\[
F(x)=\left\{\left.\begin{array}{ll}
1 & \text { для } a^{\prime}<x \leqq a^{\prime \prime}, \\
0 & \text { в оспальных случаях }
\end{array} \right\rvert\,\right.
\]

строится величина $F(\mathfrak{P})$, ее математическое ожидание и будет указанной вероятностью. Если величине $F(\mathfrak{\Re})$ соответствует (согласно $\boldsymbol{I}$. в IV.2) оператор $F(R)$ и если $E(\lambda)$ – относящееся к $R$ разложение единицы, то, как мы неоднократно вычисляли, $F(R)=E\left(a^{\prime \prime}\right)-E\left(a^{\prime}\right)$ и искомая вероятность $w\left(a^{\prime}, a^{\prime \prime}\right)=\operatorname{Spur} U\left(E\left(a^{\prime \prime}\right)-E\left(a^{\prime}\right)\right)$. Поэтому функцией распределения, определяющей статистику величины $\mathfrak{N}$, будет $w(a)=\operatorname{Spur} U E(a)$ [ср. IV. 1, прим. ${ }^{175}$ ) на стр. 243 ; в случае состояний, т. е. когда $U=P_{\{\varphi]}$, снова будет $w(a)=\operatorname{Spur} P_{[\varphi]} E(a)=$ $=(E(a), \varphi, \varphi)$ ]. Естественно, что эти вероятности будут лишь относительными, если оператор $U$ нормирован неправильно.
На вопрос о том, когда величина $\mathfrak{A}$ с оператором $R$ с достоверностью принимает значение $\lambda^{*}$ в смеси со статистическим оператором $U$, можно ответить непосредственно с помощью функции $w(a)$ : для $a<\lambda^{*}$ должно быть $w(a)=0$, а для $a \geqq \lambda^{*} w(a)=1$, или же, если $U$ неправильно нормирован, $=\operatorname{Erw}(1)=\operatorname{Spur} U$. То есть Spur $U E(a)=0$, если $a<\lambda^{*}$, Spur $U(1-E(a))=0$, если $\left.a \geqq \lambda^{*}{ }^{177}\right)$ Но в случае дефинитных операторов $A, B$ из Spur $A B=0$ вытекает что $A B=0$ (cр. II. 11), так что будем иметь $U E(a)=0$, если $a<\lambda^{*}$, и $U E(a)=U$, если $a \geqq \lambda^{*}$, или, что то же самое, поскольку в силу эрмитовости произведения сомнсжители должны коммутировать, $E(a) U=0$ или же $=U$, т. е. если $f=U g$, то $E(a) f\left\{\left.\begin{array}{l}=f \text { для } a \geqq \lambda^{*} \\ =0 \text { для } a<\lambda^{*}\end{array} \right\rvert\,\right.$.
Согласно проведенной в II. 8 дискуссии, это означает, что $R f=\lambda^{*} f$, т. е. $R U g=\lambda^{*} U g$ тождественно по $g$. Следовательно, последнее условие гласит: $R U=\lambda^{*} U$. Если обозначить через $\mathfrak{M}$ замкнутое линейное многообразие, порожденное всеми решениями $h$ уравнения $R h=\lambda{ }^{*} h$, то можно сказать также: $U f$ всегда лежит в $M$.

Тот же результат, впрочем, можно было бы получить из условия обращения в нуль дисперсии, т. е. обращения в нуль (возможно, относительного) математического ожндания величины ( $\left(-\lambda^{*}\right)^{2}$.

Мы ответили в III. 3 на следующие вопросы ( $\mathfrak{A}, \mathscr{C}, \ldots$ – физические величины, $R, S, \ldots$ – их соответствующие операторы):
1. Когда $\mathfrak{R}$ измеримо абсолютно точно? Ответ: Если $R$ обладает чисто дискретным спектром.
2. Когда $\mathfrak{A}$, (е абсолютно точно измеримы одновременно? Ответ: Если $R, S$ обладают чисто дискретными спектрами и перестановочны между собой.
3. Когда несколько величин $\mathfrak{R}$, (,,$\ldots$ абсолютно точно измеримы одновременно? Ответ: Если $R, S, \ldots$ обладают чисто дискретными спектрами и все перестановочны. вольной точностью одновременно? Ответ: Если $R, \mathcal{S}, \ldots$ все перестановочны.
$\left.{ }^{177}\right)$ Если $\operatorname{Spur} U$ бесконечен, то последняя формула, полученная с помощью вычитания, может показаться сомнительной. Тем не менее ее можно обосновать также следующим образом: то, что величина $\mathfrak{A}$ имеет значение $\lambda^{*}$, озна чает, что $w\left(a^{\prime}, a^{\prime \prime}\right)=0$, т. е. Spur $U\left(E\left(a^{\prime \prime}\right)-E\left(a^{\prime}\right)\right)=0$, если $a^{\prime \prime}<\lambda^{*}$ или $a^{\prime} \geqq \lambda^{*}$. Так как этот шпур всегда $\geqq 0$ и так как он не убывает с $a^{\prime \prime}$ и не возрастает с $a^{\prime}$, то при $a^{\prime \prime}<\lambda^{*}$ достаточно рассмотреть его $\lim _{a^{\prime} \rightarrow-\infty}$, а при $a^{\prime} \geqq \lambda^{*}$ – его $\lim _{a^{n} \rightarrow+\infty}$, т. е. $\operatorname{Spur} U E\left(a^{\prime \prime}\right)=0$, если $a^{\prime \prime}<\lambda^{*}$, Spur $U\left(1-E\left(a^{\prime}\right)\right)=0$ при $a^{\prime} \geqq \lambda^{*}$.

—————————————————————-
0006ru_fizik_kvant_book11_page-0250.jpg.txt

3]
ВЫвОДЫ ИЗ эКСПЕРИМЕНТОВ
249
При этом мы использовали следующий принцип, абстрагированный из результата эксперимента Комптона – Симонса:
(M.) Если физическая величина $\mathfrak{A}$ дважды измеряется на системе $S$, причем измерения следуют непосредственно одно за другим, то в обоих случаях получается одно и то же значение. Это будет справедливо даже в том случае, когда в исходном состоянии системы $\boldsymbol{S} \mathfrak{\Re}$ обладала дисперсиен, так что $\mathfrak{A}$-измерение, помимо всего прочего, могло изменить состояние системы $S$.
Физический смысл $M$. мы уже обсудили подробно в III. 3. Дальнейшими предположениями для ответов 1.-4. были: статистическая формула $\boldsymbol{E}_{2}$. из III. 3 для состоянии; допущение $\boldsymbol{F}$. из III. 3, в силу которого величине $F(\Re)$ соответстзует оператор $F(R)$, если только величине $\mathfrak{M}$ соответствует оператор $R$; допущение, согласно которому величине $\mathfrak{A}+($ соответствует оператор $R+S$, если (одновременно измеримым) величинам $\mathfrak{R}$, ( соответствуют операторы $R, S$.

Так как эти три предположения по-прежнему осуществляются (первое вытекает из формулы $S p$. в IV. 2, а два других соответствуют I., II. в IV.2) и так как M. также должно считаться верным, – поскольку мы считаем его необходимым для принципиального построения квантовой механики, – то здесь также останутся в силе приведенные в III. 3 доказательства 1.-4.. Таким образом, указанные ответы снова оказываются правильными.

В III. 5 мы исследовали такие физические величины, которые принимают лишь два значения: 0 и 1 . Они взаимно однозначно соответствуют альтернативным свойствам \&. Дећствительно, если бы было задано (E, то соответствующую величину можно было бы определить так: эта величина будет измерена, если мы сможем рассудить (см. прим. перев. на стр. 187), имеет ( место или нет; ее значениями будут соответственно 1 и 0 . Наоборот, если была задана величина, то ( было следующим свойством: названная величина имеет значение 1 (т. е. не 0 ). Из приведенного там $\boldsymbol{F}$. (т. е. из I. в IV. 2) следовало, что соответствующие операторы $E$ как раз и являются операторами проектирования. Вероятность того, что (E имеет место, равнялась математическому ожиданию определенной выше величины. В III. 5 эта вероятность вычислялась лишь для состояний $\varphi$ (т. е. для $U=P_{[\varphi]}$, $\|\varphi\|=1$ ), но ее можно вычислить и в общем случае по формуле $S p$.: она равна $\operatorname{Spur} U E$ (относительная!, абсолютная, только если $U$ правильно нормирован, т. е. когда $\operatorname{Spur} U=1$ ).

Установив справедливость положений 1.-4., мы тем самым доказали вытекающие из них утверждения $\alpha)-\zeta$ ) из III. 5. Следует отметить, правда, что там $\boldsymbol{\alpha}$ ) давало информацию лишь относительно состояний, а здесь мы распространили его на любые смеси:
$\left.\boldsymbol{a}^{\prime}\right)$ В смеси со статистическим оператором $U$ вероятности того, что свойство \& имеет место или же не имеет места, равны

—————————————————————-
0006ru_fizik_kvant_book11_page-0251.jpg.txt

250
ДЕДУКТИВНОЕ ПостРОЕНИЕ ТЕОРИИ
ITI. IV
соответственно
$\operatorname{Spur}(U E) \quad$ и.ти $\quad \operatorname{Spur}(U(1-E))$
(вероятности относительные!, абсолютными они будут лишь в том случае, когда $U$ правильно нормирован, т. е. когда Spur $U=1$ ).
Если рассматривается несколько величин $\mathfrak{\Re}_{1}, \ldots, \mathfrak{\Re}_{l}$, причем величинам $\mathfrak{R}_{1}, \ldots, \mathfrak{M}_{l}$ соответствуют операторы $R_{1}, \ldots, R_{l}$ с разложениями единицы $E_{1}(\lambda), \ldots, E_{l}(\lambda)$, и если, далее, задано $l$ интервалов $I_{1}: \lambda_{1}^{\prime}<\lambda \leqq \lambda_{1}^{\prime \prime}, \ldots, I_{l}: \lambda_{l}^{\prime}<\lambda \leqq \lambda_{l}^{\prime \prime}$, и положено $E_{1}\left(I_{1}\right)=$ $=E_{1}\left(\lambda_{1}^{\prime \prime}\right)-E_{1}\left(\lambda_{1}^{\prime}\right), \ldots, E_{l}\left(I_{l}\right)=E_{l}\left(\lambda_{l}^{\prime \prime}\right)-E_{l}\left(\lambda_{l}^{\prime}\right), \quad$ то своћствам операторы $E_{1}\left(I_{1}\right), \ldots, E_{l}\left(I_{l}\right)$ (ср. . ) ). Характеристичным условием одновременной рассудимости этих свойств является перестановочность проекционных операторов $E_{1}\left(I_{1}\right), \ldots, E_{l}\left(I_{l}\right)$ (ср. $\left.\gamma\right)$ ). Их одновременному осуществлению будет соответствовать проекционный оператор $E=E_{1}\left(I_{1}\right) \cdot \cdot E_{l}\left(I_{l}\right)$ (ср. $\left.\varepsilon\right)$ ), а соответствующая вероятность будет равна $\operatorname{Spur}(U E)$ (ср. $\left.\boldsymbol{\alpha}^{\prime}\right)$ ).

Пойем теперь по обратному пути: предположим, что мы не знаем состояния системы $\boldsymbol{S}$, но зато проделали в $\boldsymbol{S}$ некоторые измерения, результаты которых нам известны. Ведь в деиствительности дело обстоит всегда именно таким образом, так как узнать что-нибудь о состоянии $\boldsymbol{S}$ можно лишь из результатов измерений. Строго говоря, состояния – это лишь теоретические конструкции, в действительности в нашем распоряжении оказываются лишь результаты измерений, и задача физики состоит в том, чтобы установить связь между прошлыми и будущими измерениями. Конечно, для достижения этой цели всегда вводится вспомогательное понятие «состояния», но физическая теория должна тогда научить нас, как, с одной стороны, заключить из прошлых измерений о настоящем состоянии и как, с другой стороны, перенти от настоящего состояния к будущим результатам измерений. До сих пор мы занимались только вторым вопросом, теперь же нам надо обратиться к первому.

Если предшествующие измерения недостаточны, чтобы однозначно установить настоящее состояние, то при известных обстоятельствах из них можно узнать вероятности, с которыми входят отдельные состояния (это справедливо как в причинных теориях, например в классической механике, так и в квагтовой механике). Итак, задача состоит, собственно, в том, чтобы по данным результатам измерений найти смесь, которая обладала бы той же статистикой, что и ожидаемая для системы $\boldsymbol{S}$, относительно которой нам известно только, что в ней проделаны указанные измерения и что они дали указанные результаты. Конечно, мы должны уточнить смысл выражения: относительно системы $S$ «известно только то» и ничего больше, а также указать, как отсюда может быть получена некоторая статистика.

Связь со стдтистикой должна, во всяком случае, быть следующей: если для многих систем $\boldsymbol{S}_{1}^{\prime}, \ldots, \boldsymbol{S}_{M}^{\prime}$ (многих экземпляров системы $\boldsymbol{S}$ ) эти измерения дают упомянутые результаты, то тогда ансамбль $\left[\boldsymbol{S}_{1}^{\prime}, \ldots, \boldsymbol{S}_{M}^{\prime}\right]$ во всех своих статистических своиствах совпадает со смесью, которая дает те же результаты измерений. То, что измерения на всех системах $\boldsymbol{S}_{1}^{\prime}, \ldots, \boldsymbol{S}_{M}^{\prime}$ дают одни и те же результаты, можно приписать в духе $\boldsymbol{M}$. тому обстоятельству, что первоначально имелся большой ансамбль $\left[S_{1}, \ldots, S_{N}\right]$, в котором были проделаны измерения, а затем из тех элементов, для которых получался требуемый результат, был образован новый ансамбль, который и является ансамблем $\left[\boldsymbol{S}_{1}^{\prime}, \ldots, \boldsymbol{S}_{M}^{\prime}\right]$. Конечно, все зависит от того, как был выбран ансамбль $\left[\boldsymbol{S}_{1}, \ldots, \boldsymbol{S}_{N}\right]$. Этот исходный ансамбль, так сказать, задает априорные вероятности индивидуальных состояний системы $S$. В целом положение вещей хорошо известно из общей теории вероятностей: для того чтобы можно было из результатов измерений делать выводы о состояниях, то есть из следствий – причинах, т. е. для вычисления апостериорных вероятностей, необходимо знать априорные вероятности. Вообще говоря, последние можно выбирать многими способами, вследствие чего наша задача не решается единственным образом, тем не менее мы увидим, что при наличии специальных квантовомеханических соотношений имеется некоторый особенно подходящий выбор первоначального ансамбля $\left[S_{1}, \ldots, S_{N}\right]$ (т. е. априорных вероятностен).

Совсем по-другому обстоит дело, когда известно достаточно много результатов измерении, чтобы полностью определить состояние системы $S$ : в этом случае всякий вопрос должен иметь однозначный ответ. Мы увидим вскоре, каким образом проявляется это обстоятельство.

Отметим, наконец, еще следующее. Вместо того чтобы говорить, что нам известны многие результаты измерений, относящиеся к системе $\boldsymbol{S}$, можно сказать также, что система $\boldsymbol{S}$ подвергалась испытанию относительно какого-то известного свойства ( и что его наличие было установлено. Из $\boldsymbol{\alpha}$ ) – Ђ) нам известно, какая существует связь между этими вещами: если, например, имеются результаты одновременно допустимых измерений, из которых следует, что значения величин $\mathfrak{N}_{1}, \ldots, \mathfrak{R}_{l}$ лежат соответственно в интервалах $I_{1}, \ldots, I_{l}$, то (пользуясь введенными выше символами) проекционным оператором величины ( $\xi$ будет $E=E_{1}\left(I_{1}\right) \ldots E_{l}\left(I_{l}\right)$.

Итак, наши знания о $S$ всегда выражаются в наличии некоторого известного свойтва (5, которое формально характеризуется заданием проекционного оператора $E$. Надо найти статистический оператор $U$ ансамбля $\left[S_{1}^{\prime}, \ldots, S_{M}^{\prime}\right]$ с одинаковыми значениями, равно как и ста-

—————————————————————-
0006ru_fizik_kvant_book11_page-0253.jpg.txt

252
ДЕДУКТИВНОЕ ПОСТРОЕНИЕ ТЕОРИИ
[Гл. IV
тистический оператор $U_{0}$ общего исходного ансамбля $\left[S_{1}, \ldots, S_{N}\right]$. Каковы те математические соотношения, которые связывают между собой $E, U, U_{0}$ ?

В силу $M$. свойство (E наверняка имеет место в $\left[s_{1}^{\prime}, \ldots, S_{M}^{\prime}\right]$, т. е. величина, принадлежащая (E), имеет там значение 1. Это означает, как мы видели в начале этого параграфа, что $E U=U$, т. е. что $U f$ всегда лежит в $\mathfrak{R}$, где $\mathfrak{M}$ означает множество всех $f$, для которых $E f=f$, т. е. замкнутое линеиное многообразие, принадлежащее $E$.

Вместо $E U=U$ мы можем написать также $U E=U, U(1-E)=0$, т. е. $U g=0$ для любых $g=(1-E) f$, иными словами, для всех $g$ из замкнутого линейного многообразня, принадлежащего к $1-E$, т. е. для всех $g$ из $\mathfrak{R}-\mathfrak{R}$. Итак, Uf равно 0 для всех $f$ из $\mathfrak{R}-\mathfrak{M}$, а для $f$ из $\mathfrak{M} U f$ также лежит в $\mathfrak{R}$. На этом пути относительно $U$ больше ничего сказать нельзя.

Этим оператор $U$ определяется тогда и только тогда (в существенном, т. е. с точностью до постоянного множителя), когда множество $\mathfrak{M}$ является 0 – или 1 -мерным. Действительно, в случае $\mathfrak{M}=[0]$ мы имеем $U=0$, что, согласно IV. 2 , замечание 1 , невозможно; в случае же $\mathfrak{R}=[\varphi](\varphi
eq 0$, поэтому можно принять, что $\|\varphi\|=1)$ будем иметь $U f=c \varphi$, так что и для всех $f$ из $\mathfrak{M}$ (поскольку они равны $a \varphi$ ) будет $U f=c f$ и, следовательно, вообще $U f=U E f=c E f$, $U=c E=c P_{[\varphi]}$, и так как $c>0$ (поскольку $U$ дефинитен и $
eq 0$ ), то $U$ в существенном $=E=P_{[\varphi]}$. В том случае, когда у множества $\mathfrak{M}$ число измерений $\geqq 2$, можно выбрать два ортонормированных элемента $\varphi, \psi$ из $\mathfrak{M}$, и тогда $P_{[\varphi]}, P_{[\psi]}$ будут двумя существенно различными операторами $U$, удовлетворяющими нашим условиям. Итак; равенство $E=0$ невозможно, при $E=P_{[\varphi]}(\|\varphi\|=1)$ будет $U=$ $=E=P_{[\varphi]}$, во всех других случаях $U$ многозначно.

То, что для $E=0$ вообще нельзя найти никакого $U$, было бы нехорошо, если бы $S$ могла обгадать таким свойством (E. Однако, согласно $\eta$ ), это исключено: такое свойство (\& никогда не имеет места, его вероятность всегда равна 0 . Одномерное множество $\mathfrak{M}$, т. е. $E=P_{[\varphi]}(\|\varphi\|=1)$, определяет $U$ однозначно, и даже как состояние $\varphi$, т. е. это то самое измерение, которое полностью определяет состояние системы $\boldsymbol{S}$, если оказывается утвердительным, причем этим состоянием оказывается $\varphi^{178}$ ). Все прочие измерения не являются полными и их не хватит для определения состояния.
${ }^{178}$ ) То есть если \& имеет место, то состоянием будет $џ$. Если же оно выступят $1-E=1-P_{\mid \varphi]}, \Re-\mathfrak{M}=\Re-[\varphi]$, которые не определяют $U$ единственным образом. (Æ как раз соответствует вопросу: «Это состояние, есть ли оно $\varphi$ ?».) Измерение, которое при любом исходе определяет состояние однозначно, – это измерение величины $\mathfrak{R}$ оператор которой $R$ обладает дискретным спектром с исключительно простыми собственными значениями, cp. III. 3. Тогда после измерения будет осуществляться одно из состояний $\varphi_{1}, \varphi_{2}, \ldots$
В общем случае мы поступаем следующим образом. Обозначим величину, соответствующую свойству (F, также через (ङ. Тогда $U$ получается за счет того, что в ансамбле $\left[S_{1}, \ldots, S_{N}\right]$, принадлежащем $U_{0}$, измеряется (E, а затем все элементы, для которых получено значение 1 , объединяются в ансамбль оператора $U$ (т. е. в $\left[S_{1}^{\prime}, \ldots, S_{M}^{\prime}\right]$ ). Само измерение своиства ( можно проводить многими различными способами, например измеряя какую-нибудь другую величину $\mathfrak{A}$, известной функцией которой является свойство (F: $=F(\mathfrak{H})$. Если, например, $\varphi_{1}, \varphi_{2}, \ldots$ является ортонормированной системой, растягивающей $\mathfrak{M}$, а $\psi_{1}, \psi_{2}, \ldots$ является соответствующей для $\mathfrak{M}-\mathfrak{R}$, то система $\varphi_{1}, \varphi_{2}, \ldots, \psi_{1}, \psi_{2}, \ldots$ растягивает $\mathfrak{M}+(\mathfrak{R}-\mathfrak{M})=\mathfrak{R}$, т. е. является полной. Пусть $\lambda_{1}, \lambda_{2}, \ldots, \mu_{1}, \mu_{2}, \ldots$ – попарно различные вещественные числа, а оператор $R$ определен посредством
\[
R\left(\sum_{n} x_{n} \varphi_{n}+\sum_{n} y_{n} \psi_{n}\right)=\sum_{n} \lambda_{n} x_{n} \varphi_{n}+\sum_{n} \mu_{n} y_{n} \psi_{n} .
\]

Оператор $R$ имеет, очевидно, чисто дискретный спектр $\lambda_{1}, \lambda_{2}, \ldots$, $\mu_{1}, \mu_{2}, \ldots$ с соответствующими собственными функциями $\varphi_{1}, \varphi_{2}, \ldots$, $\psi_{1}, \psi_{2}, \ldots$, причем все собственные значения просты. Если $F(x)$ какая-нибудь функция, для которой
\[
F\left(\lambda_{n}\right)=1, \quad F\left(\mu_{n}\right)=0,
\]

то $F(R)$ имеет для $\varphi_{1}, \varphi_{2}, \ldots$ собственное значение 1 , а значит, и для любого $f$ из $\mathfrak{R}$. В случае же $\psi_{1}, \psi_{2}, \ldots$ собственным значением будет 0 , а значит, и для любого $f$ из $\mathfrak{\Re}-\mathfrak{R}$. Таким образом, $E=F(R)$. Если $R$ принадлежит $\mathfrak{A}$, то тем самым $\mathfrak{E}=F(\mathfrak{H})$ и (F-измерение можно истолковать как $\mathfrak{A}$-измерение.

В этом случае мы можем вычислить, какая связь существует между $U_{0}, U$. После $\mathfrak{H}$-измерения каждая система будет находиться в одном из состояний $\varphi_{1}, \varphi_{2}, \ldots, \psi_{1}, \psi_{2}, \ldots$ в соответствии с тем, какое из значений $\lambda_{1}, \lambda_{2}, \ldots, \mu_{1}, \mu_{2}, \ldots$ было обнаружено. Относящиеся сюда вероятности будут равны соответственно
\[
\begin{array}{ll}
\operatorname{Spur}\left(U_{0} P_{\left[\varphi_{1}\right]}\right)=\left(U_{0} \varphi_{1}, \varphi_{1}\right), & \operatorname{Spur}\left(U_{0} P_{\left[\varphi_{2}\right]}\right)=\left(U_{0} \varphi_{2}, \varphi_{2}\right), \ldots, \\
\operatorname{Spur}\left(U_{0} P_{\left[\psi_{1}\right]}\right)=\left(U_{0} \psi_{1}, \psi_{1}\right), & \operatorname{Spur}\left(U_{0} P_{\left[\psi_{2}\right]}\right)=\left(U_{0} \psi_{2}, \psi_{2}\right), \ldots
\end{array}
\]
(ср. соображения из III. 3 , справедливость которых была нами установлена), Это значит, что эти части $U_{0}$-ансамбля переходят в ансамбли
(собственных функций оператора $R$ ), т. е., вообще говоря, измерение изменяет состояние системы $S$. Аналогично, E-измерение также изменяет состояние, поскольку после него в случае положительного результата оказывается $U=P_{[\varphi]}$, а в случае отрицательного ғезультата, напротив, $U\left(1-P_{[\varphi]}\right)=U$, $U P_{[\varphi]}=0$, т. е. $U \varphi=0$, тогда как первоначально ни один из этих случаев не был обязательным. Это квантовомеханическое «отыскание» состояния, таким образом, изменяет его, как и следовало ожидать.
$P_{\left[\varphi_{1}\right]}, P_{\left[\varphi_{2}\right]}, \ldots, P_{\left[\psi_{1}\right]}, P_{\left[\psi_{2}\right]}, \ldots$ Поскольку значению $\mathbb{E}=1$ соответствует $\mathfrak{R}=\lambda_{1}, \lambda_{2}, \ldots$ то $U$-ансамбль возникает путем объединения первой группы. Таким образом, находим
\[
U=\sum_{n}\left(U_{0 \varphi_{n}}, \varphi_{n}\right) P_{\left[\varphi_{n}\right]} .
\]

Далее, каждыЙ оператор $P_{\left[\varphi_{n}\right]}$ перестановочен с $R^{179}$ ), а потому $R$ должен коммутировать и с $U$. То есть если $U$ перестановочно не с любым из операторов $R$, получающихся указанным способом, то некоторые измерительные процедуры (а именно те, которые основываются на соответствующих $\mathfrak{R}$ ) исключаются при приготовлении $U$ из $U_{0}$. Тогда мы знаем об $U$ больше, чем то, что он возник посредством (E-измерения. Но поскольку $U$ как раз должен представлять это состояние наших знаний, то мы попытаемся придерживаться следующего условия: если имеются такие $U$, для которых не приходится исключать ни одного измерительного процесса из величины $\mathcal{E}$, то мы окажем им предпочтение. Посмотрим поэтому, существуют ли такие $U$ и что они собой представляют!

Как мы видели, $U$ должен был коммутировать со всеми $R$, получающимися указанным способом. Отсюда следует, что $R U \varphi_{n}=U R \varphi_{n}=$ $=U\left(\lambda_{n} \varphi_{n}\right)=\lambda_{n} U \varphi_{n}$, т. е. $U_{\rho_{n}}$ является собственной функцией оператора $R$ с собственным значением $\lambda_{n}$, в силу чего $U \varphi_{n}=a_{n} \varphi_{n}$. В частности, $U \varphi_{1}=a_{1} \varphi_{1}$. Пусть задан произвольный элемент $\varphi$ из $\mathfrak{M}$, для которого $\|\varphi\|=1$, тогда можно так выбрать систему $\varphi_{1}, \varphi_{2}, \ldots$ $\ldots, \psi_{1}, \psi_{2}, \ldots$ чтобы было $\varphi_{1}=\varphi$, а потому любое такое $\varphi$ является собственной функцией $U$. Все такие $\varphi$ должны тем самым принадлежать одному и тому же собственному значению. Действительно, если бы $\varphi$ и $\psi$ принадлежали различным собственным значениям, то они должны были бы быть ортогональны. Но тогда $\frac{\varphi+\psi}{\sqrt{2}}$ также была бы собственной функцией, гричем, в силу соотношений
\[
\begin{array}{l}
\left(\frac{\varphi+\psi}{\sqrt{2}}, \varphi\right)=\frac{(\varphi, \varphi)}{\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}, \\
\left(\frac{\varphi+\psi}{\sqrt{2}}, \psi\right)=\frac{(\psi, \psi)}{\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}},
\end{array}
\]

не ортогональной ни к $\varphi$, ни к $\psi$, а потому должна была бы при-
$\left.{ }^{179}\right)$ Например, благодаря
\[
R P_{\left[\varphi_{n}\right]} f=R\left(\left(f, \varphi_{n}\right) \cdot \varphi_{n}\right)=\left(f, \varphi_{n}\right) \cdot R \varphi_{n}=\lambda_{n}\left(f, \varphi_{n}\right) \cdot \varphi_{n}
\]

будем иметь
\[
P_{\left[\varphi_{n}\right]} R f=\left(R f, \varphi_{n}\right) \cdot \varphi_{n}=\left(f, R \varphi_{n}\right) \cdot \varphi_{n}=\lambda_{n}\left(f, \varphi_{n}\right) \cdot \varphi_{n} .
\]

—————————————————————-
0006ru_fizik_kvant_book11_page-0256.jpg.txt

3]
ВЫВОДЫ ИЗ ЭКСПЕРИМЕНТОВ
255
надлежать тому же собственному значению, которому принадлежат $\varphi$ и $\psi$, что невозможно, поскольку последние должны были относиться к различным. Следовательно, $U \varphi=a \varphi$ с одним и тем же $a$. Условие $\|\varphi\|=1$ можно, очевидно, опустить, так что для любых $f$ из $\mathfrak{M}$ будет иметь место соотношение $U f=a f$. Таким образом, всегда $U E g=a E g$, т. е. $U E=a E$, но поскольку $U=U E$, то $U=a E$. Далее, $U, E$ оба дефинитны и $
eq 0$. Поэтому $a>0$ и, следовательно, можно положить $U=E$, не изменяя его существенным образом.

Но этот оператор $U$ дейстительно решает поставленную задачу для любого $R$, т. е. для любой системы $\varphi_{1}, \varphi_{2}, \ldots, \psi_{1}, \psi_{2}, \ldots$, если только $U_{0}$ выбрано надлежащим образом. Именно, для $U_{0}=1$ будет
\[
\sum_{n}\left(U_{0} \varphi_{n}, \varphi_{n}\right) P_{\left[\varphi_{n}\right]}=\sum_{n}\left(\varphi_{n}, \varphi_{n}\right) P_{\left[\varphi_{n}\right]}=\sum_{n} P_{\left[\varphi_{n}\right]}=P_{\text {明 }}=E=U .
\]

Тем самым устанавливается, что $U=E$ в смысле набросанной выше программы. Можно определить и оператор $U_{0}$, если допустить, что он универсален, т. е. не зависит ни от $E$, ни от $R$. Желаемое дается тогда оператором $U_{0}=1$, и только им. Именно, мы имеем
\[
\begin{array}{c}
\left(U \varphi_{m}, \varphi_{m}\right)=\left(E \varphi_{m}, \varphi_{m}\right)=\left(\varphi_{m}, \varphi_{m}\right)=1, \\
\left(U \varphi_{m}, \varphi_{m}\right)=\sum_{n}\left(U_{0} \varphi_{n}, \varphi_{n}\right)\left(P_{\left[\varphi_{n}\right]} \varphi_{m}, \varphi_{m}\right)= \\
=\sum_{n}\left(U_{0} \varphi_{n}, \varphi_{n}\right)\left|\left(\varphi_{n}, \varphi_{m}\right)\right|^{2}=\left(U_{0} \varphi_{m}, \varphi_{m}\right),
\end{array}
\]

и следовательно, $\left(U_{0} \varphi_{m}, \varphi_{m}\right)=1$. Поскольку любой $\varphi$ из $\mathfrak{M}$ с $\|\varphi\|=1$ можно выбрать за $\varphi_{1}$, то должно быть $\left(U_{0} \varphi, \varphi\right)=1$, а отсюда следует, что для всех $f$ из $\mathfrak{M}$ будет иметь место равенство $\left(U_{0} f, f\right)=(f, f)$. Но ведь $\mathfrak{M}$ произвольно, а потому это соотношение должно выполняться вообще для всех $f$. Тем самым показано, что $U_{0}=1$.

Пусть даны не обязательно одновременно устанавливаемые, альтернативные свойства (F, Ғ. Согласно изложенному выше, вероятность того, что система $S$, относительно которой только что установлено, что она обладает свойством (F, при непосредственно следующем измерении будет обладать и свойством $¥$, дается выражением $\operatorname{Spur}(E F)=$ $=\sum(E F)(E, F$ являются операторами величин (F, $\boldsymbol{F}$; первая формула справедлива, так как $U=E$, а вторая в силу $E^{2}=E, F^{2}=F$, согласно II. 11). Впрочем, эти вероятности относительные, причем ( нужно считать фиксированным, а $\mathfrak{f}$ переменным; в том случае, когда число $\operatorname{Spur}(E)=\Sigma(E)=$ числу измеренић $\mathfrak{M}$ оказывается конечным, их можно нормировать, деля на э:о число.

Вместо свойств (F, F్ мы можем рассматривать также физические величины. Пусть $\mathfrak{A}_{1}, \ldots, \mathfrak{A}_{j}$ – одновременно измеримые величины и,

—————————————————————-
0006ru_fizik_kvant_book11_page-0257.jpg.txt

256
ДЕДУКТИВНОЕ ПОСТРОЕНИЕ ТЕОРИИ
[Гл. IV
чины. Их операторами пусть будут $R_{1}, \ldots, R_{j}$ и $S_{1}, \ldots, S_{l}$, а разложения единицы для этих операторов обозначим через $E_{1}(\lambda), \ldots, E_{j}(\lambda)$ и $F_{1}(\lambda), \ldots, F_{l}(\lambda)$. Пусть, далее, $I_{1}: \lambda_{1}^{\prime}<\lambda \leqq \lambda_{1}^{\prime \prime}, \ldots, I_{j}: \lambda_{j}^{\prime}<\lambda \leqq \lambda_{j}^{\prime \prime}$, и $J_{1}: \mu_{1}^{\prime}<\lambda \leqq \mu_{1}^{\prime \prime}, \ldots, J_{l}: \mu_{t}^{\prime}<\lambda \leqq \mu_{l}^{\prime \prime}$ – интервалы и $E_{1}\left(I_{1}\right)=$ $=E_{1}\left(\lambda_{1}^{\prime \prime}\right)-E_{1}\left(\lambda_{1}^{\prime}\right), \ldots, E_{j}\left(I_{j}\right)=E_{j}\left(\lambda_{j}^{\prime \prime}\right)-E_{j}\left(\lambda_{j}^{\prime}\right), F_{1}\left(J_{1}\right)=F_{1}\left(\mu_{1}^{\prime \prime}\right)-$ – $F_{1}\left(\mu_{1}^{\prime}\right) \ldots, F_{l}\left(J_{l}\right)=F_{l}\left(\mu_{l}^{\prime \prime}\right)-F_{l}\left(\mu_{l}^{\prime}\right)$. Вопрос состоит в следующем: пусть $\mathfrak{R}_{1}, \ldots, \mathfrak{R}_{j}$ измерены в $\mathcal{S}$ и пусть их значения попали в интервалы $I_{1}, \ldots, I_{j}$ соответственно; сколь вероятно, что величины $\mathscr{E}_{1}, \ldots$, $\mathscr{E}_{l}$ при измерении, непосредственно следующем вслед за первым, попадут в интервалы $J_{1}, \ldots, J_{l}$ соответственно? Очевидно, что надо положить: $E=E_{1}\left(I_{1}\right) \ldots E_{j}\left(I_{j}\right), \quad F=F_{1}\left(J_{1}\right) \ldots F_{l}\left(J_{l}\right)$
$\operatorname{Spur}\left(E_{1}\left(I_{1}\right) \ldots E_{j}\left(I_{j}\right) \cdot F_{1}\left(J_{1}\right) \ldots F_{l}\left(J_{l}\right)\right)=$
\[
=\sum\left(E_{1}\left(I_{1}\right) \ldots E_{j}\left(I_{j}\right) \cdot F_{1}\left(J_{1}\right) \ldots F_{l}\left(J_{l}\right)\right) .
\]

В заключение надо еще раз вернуться к смыслу общего исходного ансамбля $U_{0}=1$. Мы получаем из него ансамбль $U$, разделяя его на две части при $\mathfrak{A}$-измерении. Если бы мы не выполнили этого разделения, т. е. провели бы भ-измерение на всех его элементах, а затем снова объединили их всех в одном ансамбле, то мы снова получили бы $U_{0}=1$. В этом можно легко убедиться или прямым вычислением, или выбирая $E=1$; тогда собственные значения $\lambda_{1}$, $\lambda_{2}, \ldots$ и собственные функции $\varphi_{1}, \varphi_{2}, \ldots$ выпадают, а собственные значения $\lambda_{1}, \lambda_{2}, \ldots$ и собственные функции $\varphi_{1}, \varphi_{2}, \ldots$ образуют полную систему. Итак, хотя при некоторых обстоятельствах $\mathfrak{A}$-измерение и изменяет индивидуальные элементы, все эти изменения должны в точности компенсироваться, поскольку ансамбль в целом не изменяется. Впрочем, это своиство характерно для $U_{0}=1$. Дећствительно, если для всех полных ортонормированных систем $\varphi_{1}, \varphi_{2}, \ldots$ имеет место соотношение
\[
U_{0}=\sum_{n=1}^{\infty}\left(U_{0} \varphi_{n}, \varphi_{n}\right) P_{\left[\varphi_{n}\right]},
\]

то $U_{0}$ перестановочно с $P_{\left[\varphi_{1}\right]}$, а так как это может быть любой $P_{\left[\varphi_{n}\right]}$, то это значит, что $U_{0}$ коммутирует с любым $P_{[\varphi]},\|\varphi\|=1$. Таким обрлзом, имеем
\[
U_{0} \varphi=U_{0} P_{[\varphi] \varphi}=P_{[\varphi]} U_{0} \varphi=\left(U_{0} \varphi, \varphi\right) \cdot \varphi,
\]
т. е. $\varphi$ является собственной функцией $U_{0}$. Равенство $U_{0}=1$ следует отсюда в точности таким же образом, как выше из соответствующих соотношений (с $\mathfrak{M}$ и $E$ вместо $\mathfrak{\text { и }}$ 1) получилось, что $U=E$.

В ансамбле $U_{0}=1$, таким образом, все возможные состояния находятся в наиболее равновесном из всех возможных состояний равновесия, и никакое измерение не может его изменить. Для любой полной ортонормированной системы $\varphi_{1}, \varphi_{2}, \ldots$ имеет место равенство
\[
U_{0}=1=\sum_{n=1}^{\infty} P_{\left[\varphi_{n}\right]},
\]

иными словами, смесь $1: 1: \ldots$ всех состояний $\varphi_{1}, \varphi_{2}, \ldots$ Отсюда мы заключаем, что $U_{0}=1$ соответствует обычному в старой квантовой теории термодинамическому допущению об «априорной равновероятности всех простых квантовых орбит». Такой ансамбль будет играть важную роль и в наших термодинамических рассмотрениях, которым посвящены следующие ниже параграфы.