Мы снова вывели все статистические утверждения квантовой механики, приведенные в I. 2, и даже существенно обобщили их и придали им систематический порядок с одним-единственным исключением. Именно, нам недостает гайзенбергова выражения для вероятности перехода из одного стационарного состояния квантованной системы в другое, хотя как раз оно сыграло важную роль в создании квантовой механики (ср. сказанное по этому поводу в I. 2). Следуя методу Dirac’a ${ }^{138}$, мы покажем теперь, каким образом могут быть выведены эти вероятности переходов из обычных статистических утверждений квантовой механики, т. е. из только что изложенной теории. Это тем более важно, что такой вывод позволит нам глубже заглянуть в механизм переходов между стационарными состояниями, а также в смысл частотно-энергетических условий Эинштейна – Бора. Теория излучения, развитая Дираком, является одним из самых прекрасных достижений в области квантовой механики.
138) Proc. Roy. Soc., London 114 (1927). См. также изложение в книге We y1’я, Gruppentheorie und Quantenmechanik, Leipzig, 1931; 2-е изд., стр. 91 і последующие.
Пусть $S$ – система (например квантованный атом), энергии которой соответствует эрмитов оператор $\mathrm{H}_{0}$. Обозначим координаты, описывающие конфигурационное пространство системы $S$ (если, например, $S$ состоит из $l$ частиц, то имеется $3 l$ декартовых координат: $\left.x_{1}=q_{1}, \quad y_{1}=q_{2}, \quad z_{1}=q_{3}, \ldots, x_{l}=q_{3 l-2}, \quad y_{l}=q_{3 l-1}, \quad z_{l}=q_{3 l}\right)$, для краткости через $\xi$; далее, для простоты пусть $H_{0}$ имеет чисто дискретный спектр: собственные значения $W_{1}, W_{2}, \ldots$ собственные функции $\varphi_{1}(\xi), \varphi_{2}(\xi), \ldots$ (некоторые из $W_{n}$ могут совпадать). Произвольное состояние системы $S$, т. е. волновая функция $\varphi(\xi)$, развивается в соответствии с временным уравнением Шредингера (ср. III. 2)
\[
\frac{h}{2 \pi i} \frac{\partial}{\partial t} \varphi_{t}(\xi)=-\mathrm{H}_{0} \varphi_{t}(\xi)
\]
т. е. если при $t=t_{0} \quad \varphi_{t}(\xi)=\varphi(\xi)=\sum_{k=1}^{\infty} a_{k} \varphi_{k}(\xi)$, то для произвольного времени
\[
\varphi_{t}(\xi)=\sum_{k=1}^{\infty} a_{k} e^{-\frac{2 \pi t}{h} W_{k}\left(t-t_{0}\right)} \varphi_{k}(\xi) .
\]

Состояние $\varphi(\xi)=\varphi_{k}(\xi)$ переходит, следовательно, в $e^{-\frac{2 \pi i}{h} W_{k}\left(t-t_{0}\right)} \varphi_{k}(\xi)$, т. е. само в себя (так как множитель $e^{-\frac{2 \pi i}{h} W_{k}\left(t-t_{0}\right)}$ не играет роли). Значит, состояния $\varphi_{k}(\xi)$ стационарны. Таким образом, мы сперва вовсе не находим переходов из одного состояния $\varphi_{k}(\xi)$ в другое. Как же получается, что о таких переходах все-таки говорят? Объяснение несложно. Мы не учли агента, который вызывает такие переходы, – свет. Ведь уже согласно первоначальной теории Бора стационарные квантовые орбиты нарушались лишь при испускании света (ср. прим. ${ }^{5}$ ) на стр. 12), но если не обращать на него внимания (как в только что намеченной постановке задачи), то совершенно разумно, что получается абсолютная и постоянная стабильность. Таким образом, следует расширить исследуеиую систему так, чтобы она включила в себя и свет, которыи, возможно, будет испущен $\boldsymbol{S}$, т. е. вообще весь свет, который может вступать во взаимодействие с $\boldsymbol{S}$. Обозначим через $\boldsymbol{L}$ систему, образуемую светом (т. е. электромагнитным полем классической теории, исключая стационарное поле, порождаемое электронными и ядерными зарядами). Рассмотрению подлежит тогда система $\boldsymbol{S}+\boldsymbol{L}$.
Итак, надо найти следующие вещи:
1. Набор переменных для квантовомеханического описания системы $\boldsymbol{L}$, т. е. конфигурационное пространство $\boldsymbol{L}$.
2. Оператор энергии системы $\boldsymbol{S}+\boldsymbol{L}$. Эта энергия состоит из трех частей:
a) Энергия системы $\boldsymbol{S}$, существующая независимо от $\boldsymbol{L}$, т. е. невозмущенная энергия $S$ : для системы $S$-это оператор $\mathrm{H}_{0}$.
$\boldsymbol{\beta}$ ) Энергия системы $\boldsymbol{L}$, существующая независимо от $\boldsymbol{S}$, т. е. невозмущенная энергия $\boldsymbol{L}$. Обозначим соответствующий оператор через $\mathrm{H}_{l}$.
$\gamma$ ) Остальная часть энергии, т. е. энергия взаимоденствия $\boldsymbol{S}$ и $\boldsymbol{L}$. Обозначим ее оператор через $\mathrm{H}_{w}$.
Как видно, здесь идет речь о вопросах, на которые, в духе основных принципов квантовой механики, сначала нужно ответить классически, с тем чтобы полученные таким образом результаты можно было затем перевести на язык операторов (ср. I. 2). Встанем поэтому сперва на чисто классическую точку зрения относительно природы света: будем рассматривать его (в духе электромагнитной теории света) как осцилляторное состояние электромагнитного поля ${ }^{139}$ ).

Во избежание излишних усложнений (диссипация света в бесконечном пространстве и т. д.) будем считать, что $\boldsymbol{S}$ и $\boldsymbol{L}$ заключены в очень большой замкнутой полости $\boldsymbol{H}$ объема $\mathscr{c}$ с абсолютно отражающими стенками. Состояние электромагнитного поля в $\boldsymbol{H}$ описывается, как известно, напряженностями электрического и магнитного полей: $\mathfrak{\zeta}=\left\{\mathfrak{\zeta}_{x}, \mathfrak{E}_{y}, \tilde{\Xi}_{z}\right\}, \mathfrak{F}_{2}=\left\{\mathfrak{J}_{x}, \mathfrak{J}_{y}, \mathfrak{J}_{z}\right\}$. Все величины $\mathfrak{E}_{x}, \ldots, \mathfrak{J}_{z}$ являются функциями декартовых координат $x, y, z$ общей точки полости $\boldsymbol{H}$ и времени $t$. Следует указать еще, что теперь мы будем часто рассматривать вещественные пространственные векторы разные конструкции с ними, как, например, внутреннее или скалярное произведение
\[
[\mathfrak{a}, \mathfrak{b}]=\mathfrak{a}_{x} \mathfrak{b}_{x}+\mathfrak{a}_{y} \mathfrak{b}_{y}+\mathfrak{a}_{z} \mathfrak{b}_{z} .
\]

Здесь, конечно, не возникает опасности спутать это скалярное произведение с внутренним произведением $(\varphi, \psi)$ в $\Re_{\infty}$. Обозначим дифференциальный оператор $\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2}}{\partial y^{2}}+\frac{\partial^{2}}{\partial z^{2}}$ через $\Delta$, а известные векторные операции – через div, grad и rot. Векторы ( 5 и $\mathfrak{y}$ удовлетворяют в пустом пространстве $\boldsymbol{H}$ уравнениям Максвелла:
\[
\begin{array}{l}
\operatorname{div} \mathfrak{F}=0, \operatorname{rot} \mathfrak{E}+\frac{1}{c} \frac{\partial}{\partial t} \mathfrak{J}=0, \\
\operatorname{div} \mathfrak{E}=0, \quad \operatorname{rot} \mathfrak{y}-\frac{1}{c} \frac{\partial}{\partial t} \mathfrak{E}=0 .
\end{array}
\]
139) Интересующийся этими вопросами читатель может найти изложение электромагнитной теории света в любом учебнике электродинамики, например, Abraham-Becker. Theorie der Elektrizität, Berlin, 1930. (Eсть pycский перевод: Абрагам-Беккер, Теория электричества, ОНТИ, Л.-М., 1936.) Ср. также дальнейшее изложенне, проходящее в рамках теории Максвелла.
Первое уравнение первой строки будет удовлетворено, если положить $\mathfrak{y}=\operatorname{tot} \mathfrak{A}$ (где $\mathfrak{A}=\left\{\mathfrak{A}_{x}, \mathfrak{A}_{y}, \mathfrak{A}_{z}\right\}$ – так называемый векторпотенциал; его компоненты также зависят от $x, y, z, t$ ), а второеесли $£=-\frac{1}{c} \frac{\partial}{\partial t} \mathfrak{A}$. После этого уравнения второй строки приобретают вид
\[
\operatorname{div} \mathfrak{A}=0, \quad \Delta \mathfrak{A}-\frac{1}{c^{2}} \frac{\partial^{2}}{\partial t^{2}} \mathfrak{A}=0 .
\]
[В целях повышения симметрии пространства и времени, вектор-потенциал вводится часто несколько отличным способом. То, что предложенный способ введения $\mathfrak{A}$ дает общее решение уравнений Максвелла – здесь надо обратить особое внимание на то, что из первого уравнения второй строки следует лишь, что $\frac{\partial}{\partial t} \operatorname{div} \mathfrak{A}=0$, т. е. $\operatorname{div} \mathfrak{A}=$ $=f(x, y, z)$, -доказывается в большинстве изложений теории Максвелла. Поэтому мы не станем дольше останавливаться на этом. Ср. прим. ${ }^{139}$ ) на стр. 191.] Уравнения ( $\boldsymbol{A}$.) являются исходным пунктом для дальнейшего. Своиство стенок полости $\boldsymbol{H}$ отражать свет можно выразить в виде условия перпендикулярности вектора-потенциала $\mathfrak{A}$ к стенкам на границах $\boldsymbol{H}$. Известный метод нахождения всех таких $\mathfrak{A}$ состоит в следующем. Так как в рассматриваемой проблеме $t$ нигде не фигурирует явно, то наиболее общим выражением для $\mathfrak{A}$ будет линейная комбинация всех решений, имеющих вид произведения вектора, зависящего от $x, y, z$, на зависящий от времени скаляр,
\[
\mathfrak{A} \equiv \mathfrak{A}(x, y, z, t) \equiv \overline{\mathfrak{A}}(x, y, z) \cdot \tilde{q}(t) .
\]

Уравнения ( $\boldsymbol{A}$. ) дают тогда
(A.) $\operatorname{div} \overline{\mathfrak{A}}=0, \Delta \overline{\mathfrak{U}}=\eta \overline{\mathfrak{U}}$, $\overline{\mathfrak{A}}$ перпендикулярно к стенкам $\boldsymbol{H}$ на границе.
\[
\frac{\partial^{2}}{\partial t^{2}} \tilde{q}(t)=c^{2} \eta \tilde{q}(t) .
\]

Здесь, согласно ( $A_{1}$.), $\eta$ зависит лишь от $x, y, z$, а согласно ( $A_{2}$.) – лишь от $t$. Значит, $\eta$ есть константа.

Таким образом, уравнения ( $A_{1}$.) формулируют проблему собственных значений, в которой $\eta$ является параметром для собственных значений и $\overline{\mathfrak{A}}$-собственной фуннцией Теория таких задач полностью разработана, и мы приведем здесь лишь результаты ${ }^{140}$ ).
140) Cp. R. Courant und D. H:1bert, Methoden der mathematischen Physik I, VI, § 2,2. -5., cтp. 358-363, Berlin, 1924.
Задача ( $\boldsymbol{A}_{\mathbf{1}}$.) имеет чисто дискретный спектр, все собственные значения $\eta_{1}, \eta_{2}, \ldots$ (пусть им соответствуют $\overline{\mathfrak{A}}_{1}, \overline{\mathfrak{U}}_{2}, \ldots$ ) отрицательны и стремятся к – при $n \rightarrow+\infty$. Полную систему $\overline{\mathfrak{N}}_{1}, \overline{\mathfrak{N}}_{2}, \ldots$ можно нормировать условием
\[
\iint_{\boldsymbol{H}} \int\left[\overline{\mathfrak{P}}_{m}, \overline{\mathfrak{\mathfrak { A }}}_{n}\right] d x d y d z=\left\{\begin{array}{c}
4 \pi c^{2} \text { для } m=n, \\
0 \text { для } m
eq n .
\end{array}\right.
\]
(Мы выбрали $4 \pi c^{2}$ вместо обычной 1 , поскольку в дальнейшем такая нормировка окажется немного более практичной.) Обозначим $\eta_{n}(<0)$ через $-\frac{4 \pi^{2} \rho_{n}^{2}}{c^{2}}\left(\rho_{n}>0\right.$, при $n \rightarrow+\infty$ имеем также $\left.\rho_{n} \rightarrow+\infty\right)$, тогда (A2.) даст
\[
\tilde{q}_{n}(t)=\gamma \cos 2 \pi p_{n}(t-\tau)(\gamma, \tau \text { произвольны }) .
\]

Таким образом, самое общее решение $\mathfrak{U}$ имеет вид
\[
\begin{aligned}
\mathfrak{A}=\mathfrak{A}(x, y, z, t) & \equiv \sum_{n=1}^{\infty} \overline{\mathfrak{A}}_{n}(x, y, z) \tilde{q}_{n}(t)= \\
& =\sum_{n=1}^{\infty} \overline{\mathfrak{P}}_{n}(x, y, z) \Upsilon_{n} \cos 2 \pi \rho_{n}\left(t-\tau_{n}\right)
\end{aligned}
\]
$\left(\gamma_{1}, \gamma_{2}, \ldots, \tau_{1}, \tau_{2}, \ldots\right.$ – произвольные константы). Энергия произвольного поля $\mathfrak{A}=\sum_{n=1}^{\infty} \overline{\mathfrak{A}}_{n}(x, y, z) \tilde{q}_{n}(t)$ (где $\mathfrak{A}$ не предполагается решением задачи (A.), т. е. коэффициенты $\tilde{q}_{n}(t)$ произвольны) составляет
\[
\begin{array}{l}
E=\frac{1}{8 \pi} \iint_{H} \int([\mathfrak{5},(\mathfrak{5}]+[\mathfrak{S}, \mathfrak{5}]) d x d y d z= \\
= \frac{1}{8 \pi} \iint_{H} \int\left(\frac{1}{c^{2}}\left[\frac{\partial}{\partial t} \mathfrak{A}, \frac{\partial}{\partial t} \mathfrak{A}\right]+[\operatorname{rot} \mathfrak{A}, \operatorname{rot} \mathfrak{A}]\right) d x d y d z= \\
=\frac{1}{8 \pi} \sum_{m, n}^{\infty} \iint_{H} \int\left(\frac{1}{c^{2}} \frac{\partial}{\partial t} \tilde{q}_{m}(t) \frac{\partial}{\partial t} \tilde{q}_{n}(t)\left[\overline{\mathfrak{P}}_{m}, \overline{\mathfrak{U}}_{n}\right]+\right. \\
\left.\quad+\bar{q}_{m}(t) \tilde{q}_{n}(t)\left[\operatorname{rot} \overline{\mathfrak{P}}_{m}, \operatorname{rot} \overline{\mathfrak{A}}_{n}\right]\right) d x d y d z .
\end{array}
\]
13 и Нейман
Интегрируя по частям, получим ${ }^{141}$ )
\[
\begin{array}{l}
\iint_{\boldsymbol{H}} \int\left[\operatorname{rot} \overline{\mathfrak{A}}_{m}, \operatorname{rot} \overline{\mathfrak{A}}_{n}\right] d x d y d z \\
=\iint_{H} \int\left[\operatorname{rot} \operatorname{rot} \overline{\mathfrak{A}}_{m}, \overline{\mathfrak{A}}_{n}\right] d x d y d z= \\
= \iint_{H} \int\left[-\Delta \overline{\mathfrak{A}}_{m}+\operatorname{grad} \operatorname{div} \overline{\mathfrak{A}}_{m}, \overline{\mathfrak{A}}_{n}\right] d x d y d z= \\
=\frac{4 \pi^{2} \rho_{m}^{2}}{c^{2}} \iint_{H} \int\left[\overline{\mathfrak{A}}_{m}, \overline{\mathfrak{A}}_{n}\right] d x d y d z .
\end{array}
\]

Поэтому
\[
\begin{array}{l}
E=\frac{1}{8 \pi} \sum_{m, n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{c^{2}} \frac{\partial}{\partial t} \tilde{q}_{m}(t) \frac{\partial}{\partial t} \tilde{q}_{n}(t)+\frac{4 \pi^{2} \rho_{m}^{2}}{c^{2}} \tilde{q}_{m}(t) \tilde{q}_{n}(t)\right) \times \\
\times \iint_{H} \int\left[\overline{\mathfrak{A}}_{m}, \overline{\mathfrak{A}}_{n}\right] d x d y d z=\frac{1}{2} \sum_{m=1}^{\infty}\left[\left(\frac{\partial}{\partial t} \tilde{q}_{m}(t)\right)^{2}+4 \pi^{2} \rho_{m}^{2}\left(\tilde{q}_{m}(t)\right)^{2}\right] .
\end{array}
\]

Но $\tilde{q}_{1}, \tilde{q}_{2}, \ldots$ можно рассматривать как координаты, описывающие мгновенное состояние поля, т. е. как координаты конфигурационного пространства системы $\boldsymbol{L}$. Сопряженные импульсы $\tilde{p}_{n}$ (в смысле классической механики) находятся из формулы
\[
E=\frac{1}{2} \sum_{n=1}^{\infty}\left(\left(\frac{\partial}{\partial t} \tilde{q}_{n}\right)^{2}+4 \pi^{2} \rho_{n}^{2} \tilde{q}_{n}^{2}\right)
\]

в форме
\[
\tilde{p}_{n}=\frac{\partial}{\partial\left(\frac{\partial}{\partial t} \tilde{q}_{n}\right)} E=\frac{\partial}{\partial t} \tilde{q}_{n}, \quad E=\frac{1}{2} \sum_{n=1}^{\infty}\left(\tilde{p}_{n}^{2}+4 \pi^{2} \rho_{n}^{2} \tilde{q}_{n}^{2}\right)
\]
141) Именно,

благодаря тождеству
\[
[\mathfrak{a}, \operatorname{rot} \mathfrak{b}]-[\text { rot } \mathfrak{a}, \mathfrak{b}]=\operatorname{div}(\mathfrak{a} \times \mathfrak{b})
\]
( $\mathfrak{a} \times \mathfrak{b}$-так называемое внешнее, векторное произведение векторов $\mathfrak{a}$ и $\mathfrak{b}$ ), если только нормальная компонента произведения $a \times b$ исчезает на границе $H$. Так как $\mathfrak{a} \times \mathfrak{b}$ перпендику.ярно к $\mathfrak{a}$ и $\mathfrak{b}$, то это безусловно так, если а или $\mathfrak{b}$ перпендикулярно к $\boldsymbol{H}$. У нас $\mathfrak{a}=\operatorname{rot} \mathfrak{A}_{m}, \mathfrak{b}=\mathfrak{A}_{n}$, так что первое безусловно выполняется.
(ср. I. 2). Отсюда можно получить уравнения движения классической механики
\[
\frac{\partial}{\partial t} \tilde{p}_{n}=-\frac{\partial}{\partial \tilde{q}_{n}} E=-4 \pi^{2} \rho_{n}^{2} \tilde{q}_{n}, \quad \frac{\partial}{\partial t} \tilde{q}_{n}=\frac{\partial}{\partial \tilde{p}_{n}} E=\tilde{p}_{n},
\]
T. e.
\[
\frac{\partial^{2}}{\partial t^{2}} \tilde{q}_{n}+4 \pi^{2} \rho_{n}^{2} \tilde{q}_{n}=0
\]

что в точности совпадает с уравнениями ( $\boldsymbol{A}_{\mathbf{2}}$.), вытекающими из уравнений Максвелла. Тем самым доказана теорема Джинса:

Поле излучения $\boldsymbol{L}$ можно описать в смысле чисто классической механики координатами $\tilde{q}_{1}, \tilde{q}_{2}, \ldots$ – которые связаны с мгновенным значением вектор-потенциала $\mathfrak{U}$, описывающего поле, соотношением
\[
\mathfrak{A} \equiv \mathfrak{A}(x, y, z) \equiv \sum_{n=1}^{\infty} \tilde{q}_{n} \overline{\mathfrak{A}}_{n}(x, y, z),-
\]

посредством энергии (гамильтоновой функции)
\[
E=\frac{1}{2} \sum_{n=1}^{\infty}\left(\tilde{p}_{n}^{2}+4 \pi^{2} \rho_{n}^{2} \tilde{q}_{n}^{2}\right)
\]

Точка массы 1 , движущаяся по прямой линии, с координатой $\tilde{q}$, находящаяся в потенциальном поле $C \widetilde{q^{2}}, C=2 \pi^{2} p^{2}$, обладает энергией $\frac{1}{2}\left[\left(\frac{\partial}{\partial t} \tilde{q}\right)^{2}+4 \pi^{2} p^{2} \tilde{q}^{2}\right]$. Или же, поскольку опять $\tilde{p}=\frac{\partial}{\partial t} \tilde{q}$, равнои $\frac{1}{2}\left(\tilde{p^{2}}+4 \pi^{2} \tilde{\rho}^{2} \tilde{q^{2}}\right)$. Уравнение движения такой частицы имеет, следовательно, вид $\frac{\partial^{2}}{\partial t^{2}} \tilde{q}+4 \pi^{2} \rho^{2} \tilde{q}=0$, решением которого является $\tilde{q}=$ $=\gamma \cos 2 \pi \rho(t-\tau)$ ( $\gamma, \tau$ произвольны). Благодаря такому характеру движения эта система называется «линейным осциллятором частоты р». Следовательно, $\boldsymbol{L}$ можно рассматривать как совокупность некоторой последовательности линеиных осцилляторов, частоты которых являются собственными частотами полости $\boldsymbol{H}: \boldsymbol{p}_{1}, \mathrm{p}_{2}, \ldots$

Это «механическое» описание электромагнитного поля важно потому, что его можно немедленно реинтерпретировать в духе обычного метода квантовой механики, описывая конфигурационное пространство системы $\boldsymbol{L}$ координатами $\tilde{q}_{1}, \tilde{q}_{2}, \ldots$ и заменяя в выражении для $E$ величины $\tilde{p}_{n}$ и $\tilde{q}_{n}$ на $\frac{h}{2 \pi i} \frac{\partial}{\partial \tilde{q}_{n}} \ldots$ и $\tilde{q}_{n} \ldots$ соответственно. Последние операторы обозначим через $\widetilde{P}_{n}$ и $\tilde{Q}_{n}$. Тем самым вопросы $13^{*}$
1. и 2. $\beta$ ) будут разрешены, в частности, оператором, о котором шла речь в 2. $\beta$ ), явится
\[
\mathrm{H}_{l}=\frac{1}{2} \sum_{n=1}^{\infty}\left(\tilde{P}_{n}+4 \pi^{2} \rho_{n}^{2} \tilde{Q}_{n}^{2}\right)
\]

Boпpoc 2. $\alpha$ ) был решен заранее, так как мы приняли, что $\mathrm{H}_{0}$ известно. Таким образом, остается лишь вопрос 2. ү), который, однако, не готовит нам дополнительных трудностей.

Согласно классической электродинамике, взаимодействие между $\boldsymbol{S}$ и $\boldsymbol{L}$ вычисляется следующим образом: Пусть $\boldsymbol{S}$ состоит из $l$ частиц (скажем, протоны и электроны) с зарядами и массами $e_{1}, m_{1}, \ldots$ $\ldots, e_{l}, m_{l}$ соответственно и с декартовыми координатами $x_{1}=q_{1}$, $y_{1}=q_{2}, \quad z_{1}=q_{3}, \ldots, x_{l}=q_{3 l-2}, y_{l}=q_{3 l-1}, \quad z_{l}=q_{3 l}$ (совокупность которых образует символ $\xi$, введенный выше) и пусть им соответствуют импульсы $p_{1}^{x}, p_{1}^{y}, p_{1}^{z}, \ldots, p_{l}^{x}, p_{l}^{y}, p_{l}^{z}$. Тогда энергия взаимодействия будет иметь вид (в достаточном приближении)

Соответствующий оператор квантовой механики получается путем замены $p_{v}^{x}, p_{v}^{y}, p_{v}^{z}, x_{v}, y_{v}, z_{v}(v=1, \ldots, l)$ на операторы
\[
\frac{h}{2 \pi i} \frac{\partial}{\partial x_{
u}} \cdots, \frac{h}{2 \pi i} \frac{\partial}{\partial y_{
u}} \cdots, \frac{h}{2 \pi i} \frac{\partial}{\partial z_{
u}} \cdots, x_{
u} \cdots, y_{v} \cdots, z_{
u} \cdots,
\]

которые мы обозначим через $P_{v}^{x}, P_{v}^{y}, P_{v}^{z}, Q_{v}^{x}, Q_{
u}^{y}, Q_{v}^{z}$. Учитывая еще, что
\[
\mathfrak{A}(x, y, z)=\sum_{n=1}^{\infty} \tilde{q}_{n} \overline{\mathfrak{A}}_{n}(x, y, z),
\]

получаем искомый оператор $\mathrm{H}_{w}$ в виде
\[
\begin{aligned}
\mathrm{H}_{w v}=\sum_{n=1}^{\infty} \sum_{
u=1}^{l} \frac{e_{
u}}{c m_{
u}} \widetilde{Q}_{n}\{ & P_{
u}^{x} \overline{\mathfrak{A}}_{n, x}\left(Q_{v}^{x}, Q_{
u}^{y}, Q_{v}^{z}\right)+ \\
& \left.+P_{
u}^{y} \overline{\mathfrak{A}}_{n, y}\left(Q_{
u}^{x}, Q_{
u}^{y}, Q_{v}^{z}\right)+P_{
u}^{z} \overline{\mathfrak{A}}_{n, z}\left(Q_{v}^{x}, Q_{
u}^{y}, Q_{v}^{z}\right)\right\} .
\end{aligned}
\]

Здесь следует заметить, что мы заменили произведения $p_{y}^{x} \overline{\mathfrak{A}}_{n, x}\left(x_{v}, y_{v}, z_{v}\right)$ операторами, используя произвольный порядок сомножителей: $P_{v}^{x} \overline{\mathfrak{A}}_{n, x}\left(Q_{v}^{x}, Q_{y}^{y}, Q_{v}^{z}\right)$, хотя мы могли бы с равным основанием взять $\overline{\mathfrak{A}}_{n, x_{n}}\left(Q_{v}^{x}, Q_{y}^{y}, Q_{v}^{z}\right) P_{v}^{x}$, а чтобы обеспечить эрмитовость возникающего
${ }^{142}$ ) См., например, ссылку в прим. ${ }^{138}$ ) на стр. 189.
оператора, в дећствительности следовало бы пользоваться симметричной записью вида
\[
\frac{1}{2}\left(P_{v}^{x} \overline{\mathfrak{A}}_{n, x}\left(Q_{v}^{x}, Q_{v}^{y}, Q_{v}^{z}\right)+\overline{\mathfrak{A}}_{n, x}\left(Q_{v}^{x}, Q_{v}^{y}, Q_{v}^{z}\right) P_{v}^{x}\right), \ldots
\]

К счастью, все это не играет роли ввиду того, что
\[
\begin{array}{l}
{\left[P_{v}^{x} \overline{\mathfrak{A}}_{n, x}\left(Q_{v}^{x}, Q_{v}^{y}, Q_{v}^{z}\right)+\ldots\right]-\left[\overline{\mathfrak{A}}_{n, x}\left(Q_{v}^{x}, Q_{v}^{y}, Q_{v}^{z}\right) P_{v}^{x}+\ldots\right]=} \\
\left.\quad=\left[P_{v}^{x} \overline{\mathfrak{A}}_{n, x}\left(Q_{v}^{x}, Q_{v}^{y}, Q_{v}^{z}\right)-\overline{\mathfrak{A}}_{n, x}\left(Q_{v}^{x}, Q_{v}^{y}, Q_{v}^{z}\right) P_{v}^{x}\right]+\ldots{ }^{143}\right)= \\
\quad=\frac{h}{2 \pi i} \frac{\partial}{\partial x} \overline{\mathfrak{A}}_{n, x}\left(Q_{v}^{x}, Q_{v}^{y}, Q_{v}^{z}\right)+\ldots=\frac{h}{2 \pi i} \operatorname{div} \overline{\mathfrak{A}}_{n}\left(Q_{v}^{x}, Q_{v}^{y}, Q_{v}^{z}\right)=0 .
\end{array}
\]

Таким образом, полная энергия нашей системы $\boldsymbol{S}+\boldsymbol{L}$ и ее оператор
\[
\mathrm{H}=\mathrm{H}_{0}+\mathrm{H}_{l}+\mathrm{H}_{w}
\]

теперь полностью определены. Но прежде чем преобразовывать $H$ дальше, заметим следующее: конфигурационное пространство системы $\boldsymbol{S}+\boldsymbol{L}$ описывается координатами $\underset{\sim}{\sim}$ (т. е, $q_{1}, \ldots, q_{3 l}$ или же $x_{1}, y_{1}$, $z_{1}, \ldots, x_{l}, y_{l}, z_{l}$ ) и $\tilde{q}_{1}, \tilde{q}_{2}, \ldots$, а волновая функция зависит от всей их совокупности. Но допускать в рассмотрение системы с бесконечно многими степенями свободы или же волновые функции с бесконечно большим числом переменных неудобно в формальном отношении и сомнительно с точки зрения законности математических операций, – наши предписания относились ведь всегда к случаю конечного числа координат. Мы будем поэтому сперва учитывать лишь $N$ первых из координат $\tilde{q}_{1}, \tilde{q}_{2}, \ldots$, а именно $\tilde{q}_{1}, \ldots, \tilde{q}_{N}$ (т. е. мы ограничим $\mathfrak{A}$ линейными комбинациями $\overline{\mathfrak{A}}_{1}, \ldots, \overline{\mathfrak{A}}_{N}$ ), и лишь после того, как будет получен готовый результат для такой упрощенной системы, мы выполним фактически необходимый предельный переход $N \rightarrow+\infty$.
143) Так как $P_{v}^{x}$ коммутирует с $Q_{v}^{x}, Q_{v}^{z}$ и не коммутирует только с $O_{y}^{x}$, то для того, чтобы обосновать последующее преобразование (мы опускаем излишние индексы и заменяем $\mathfrak{A}$ на $F$ ), следует доказать соотношение
\[
P F(Q)-F(Q) P=\frac{h}{2 \pi i} F^{\prime}(Q),
\]

в котором $P=\frac{h}{2 \pi i} \frac{\partial}{\partial q} \cdots, Q=q \cdots$ Это соотношение, играющее в матричной теории исключительно важную роль, проще всего проверяется с помощью прямого вычисления.
Таким образом, получаем
\[
\begin{array}{l}
\mathrm{H}=\mathrm{H}_{0}+\frac{1}{2} \sum_{n=1}^{N}\left(\widetilde{P}_{n}^{2}+4 \pi^{2} \rho_{n}^{2} \widetilde{Q}_{n}^{2}\right)+ \\
+\sum_{n=1}^{N} \sum_{v=1}^{l} \frac{e_{v}}{c m_{v}} \widetilde{Q}_{n}\left\{P_{v}^{x} \widetilde{\mathfrak{A}}_{n, x}\left(Q_{v}^{x}, Q_{v}^{y}, Q_{v}^{z}\right)+\right. \\
\left.+P_{
u}^{y} \overline{\mathfrak{A}}_{n, y}\left(Q_{
u}^{x}, Q_{v}^{y}, Q_{v}^{z}\right)+P_{v}^{z} \overline{\mathfrak{A}}_{n, z}\left(Q_{v}^{x}, Q_{v}^{y}, Q_{v}^{z}\right)\right\} . \\
\end{array}
\]

Вместо $\widetilde{P}_{n}, \widetilde{Q}_{n_{*}}$ удобно ввести (не эрмитовы!) оператор $\widetilde{R}_{n}$ и сопряженныи ему $\widetilde{R}_{n}^{*}$ :
\[
\tilde{R}_{n}=\frac{1}{\sqrt{2 h_{\rho_{n}}}}\left(2 \pi \rho_{n} \tilde{Q}_{n}+i \tilde{P}_{n}\right), \quad \tilde{R}_{n}^{*}=\frac{1}{\sqrt{2 h \rho_{n}}}\left(2 \pi \rho_{n} \tilde{Q}_{n}-i \widetilde{P}_{n}\right) .
\]

Тогда $\tilde{Q}_{n}=\frac{1}{2 \pi} \sqrt{\frac{h}{2 \rho_{n}}}\left(\widetilde{R}_{n}+\widetilde{R}_{n}^{*}\right)$, и так как $\widetilde{P}_{n} \widetilde{Q}_{n}-\widetilde{Q}_{n} \widetilde{P}_{n}=\frac{h}{2 \pi i} 1$, то
\[
\begin{array}{l}
\widetilde{R}_{n} \tilde{R}_{n}^{*}=\frac{1}{2 h \rho_{n}}\left(\widetilde{P}_{n}^{2}+4 \pi^{2} \rho_{n}^{2} \widetilde{Q}_{n}^{2}\right)+\frac{1}{2} \cdot 1, \\
\widetilde{R}_{n}^{*} \widetilde{R}_{n}=\frac{1}{2 h \rho_{n}}\left(\widetilde{P}_{n}^{2}+4 \pi^{2} \rho_{n}^{2} \widetilde{Q}_{n}^{2}\right)-\frac{1}{2} \cdot 1 .
\end{array}
\]

Поэтому, в частности, $\widetilde{R}_{n} \widetilde{R}_{n}^{*}-\widetilde{R}_{n}^{*} \widetilde{R}_{n}=1$. После этого формула для энергии принимает вид
\[
\begin{array}{l}
\mathrm{H}=\mathrm{H}_{0}+\sum_{n=1}^{N} h \rho_{n} \widetilde{R}_{n}^{*} \tilde{R}_{n}+ \\
+\sum_{n=1}^{N} \sum_{v=1}^{l} \frac{e_{v}}{2 \pi c m_{
u}} \sqrt{\frac{h}{2 \rho_{
u}}}\left(\tilde{R}_{n}+\tilde{R}_{n}^{*}\right)\left[P_{v}^{P \overline{\mathfrak{A}}_{n, x}}\left(Q_{v}^{x}, Q_{y}^{y}, Q_{v}^{z}\right)+\right. \\
\left.+P_{v}^{y} \overline{\mathfrak{A}}_{n, y}\left(Q_{v}^{x}, Q_{v}^{y}, Q_{v}^{z}\right)+P_{v}^{z} \overline{\mathfrak{A}}_{n, z}\left(Q_{v}^{x}, Q_{v}^{y}, Q_{v}^{z}\right)\right]+C, \\
\end{array}
\]

где $C=\mathrm{const}=\frac{1}{2} \sum_{n=1}^{N} h \rho_{n}$. Поскольку аддитивная постоянная в выражении для энергии не имеет смысла, то константу $C$ можно опустить. Это тем более желательно, поскольку при $N \rightarrow+\infty C$ становится бесконечным, что нарушило бы разумную конечность теории.

Эрмитов оператор $\widetilde{R}_{n}^{*} \widetilde{R}_{n}$ является гипермаксимальным и обладает чисто дискретным спектром, именно, состоящим из чисел $0,1,2, \ldots$
Соответствующие собственные функции обозначим через $\psi_{0}^{n}\left(\tilde{q}_{n}\right), \psi_{1}^{n}\left(\tilde{q}_{n}\right)$, $\psi_{2}^{n}\left(\tilde{q}_{n}\right), \ldots$
[Если положить $\frac{1}{2 \pi} \sqrt{\frac{h}{\rho_{n}}} q$ вместо $\tilde{q}_{n}$, то
\[
\frac{1}{\sqrt{2 h \rho_{n}}} 2 \pi \rho_{n} \tilde{q}_{n}=2 \pi \sqrt{\frac{\rho_{n}}{2 h}} \tilde{q}_{n} \quad \text { и } \frac{1}{2 h \rho_{n}} \frac{h}{2 \pi i} \frac{\partial}{\partial \tilde{q}_{n}}=\frac{1}{2 \pi} \sqrt{\frac{\hbar}{2 \rho_{n}}} \frac{1}{i} \frac{\partial}{\partial q_{n}}
\]

перейдут в $\frac{1}{\sqrt{2}} q$ и $\frac{1}{\sqrt{2}} \frac{1}{i} \frac{\partial}{\partial q}$ соответственно, так что получим
\[
\begin{aligned}
\widetilde{R}_{n} & =\frac{1}{\sqrt{2}}\left(q+\frac{\partial}{\partial q}\right), \quad \tilde{R}_{n}^{*}=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(q-\frac{\partial}{\partial q}\right), \\
\widetilde{R}_{n} \widetilde{R}_{n}^{*} & =-\frac{1}{2} \frac{\partial^{2}}{\partial q^{2}}+\frac{1}{2} q^{2}+\frac{1}{2}, \\
\widetilde{R}_{n}^{*} \tilde{R}_{n} & =-\frac{1}{2} \frac{\partial^{2}}{\partial q^{2}}+\frac{1}{2} q^{2}-\frac{1}{2} .
\end{aligned}
\]

Теорию собственных значении этих операторов можно найти во многих изложениях, например, Courant-Hilbert, стр. 261, формулы (42), (43) и относящийся к ним материал, а также стр. 76, формулы (60), (61) (русский перевод: Р. Курант и Д. Гильберт, Методы математической физики, ГТТИ, 1933, стр. 84, формулы (30), (31) и стр. 310, формулы (48), (49)); или W е 1, Gruppentheorie und Quantenmechanik, стр. 74 и далее.]

Так как $\psi_{1}(\xi), \psi_{2}(\xi), \ldots$ образуют полную ортогональную систему в пространстве $\xi$, а $\psi_{0}^{n}\left(\tilde{q}_{n}\right), \psi_{1}^{n}\left(\tilde{q}_{n}\right), \ldots$ образуют полную ортогональную систему в пространстве $\tilde{q}_{n}$, то
\[
\Phi_{k M_{1}} \ldots M_{N}\left(\xi, \tilde{q}_{1}, \ldots, \tilde{q}_{N}\right)=\psi_{k}(\xi) \cdot \psi_{M_{1}}^{1}\left(\tilde{q}_{1}\right) \ldots \psi_{M_{N}}^{N}\left(\tilde{q}_{N}\right),
\]
$k=1,2, \ldots, M_{1}, \ldots, M_{N}=0,1,2, \ldots$ образуют полную ортогональную систему в пространстве $\xi, \tilde{q}_{1}, \ldots, \tilde{q}_{N}$, т. е. в конфигурационном пространстве. Мы можем тогда разложить любую волновую функцию $\Phi=\Phi\left(\xi, \tilde{q}_{1}, \ldots, \tilde{q}_{N}\right)$ следующим образом:
\[
\begin{array}{r}
\Phi\left(\xi, \tilde{q}_{1}, \ldots, \tilde{q}_{N}\right)=\sum_{k=1}^{\infty} \sum_{M_{1}=0}^{\infty} \ldots \sum_{M_{n}=0}^{\infty} a_{k M_{1} \ldots M_{N}} \Phi_{k M_{1} \ldots M_{N}}\left(\xi \tilde{q}_{1} \ldots \tilde{q}_{N}\right)= \\
=\sum_{k=1}^{\infty} \sum_{M_{1}=0}^{\infty} \ldots \sum_{M_{N}=0}^{\infty} a_{k M_{1} \ldots M_{N}} \psi_{k}(\xi) \psi_{M_{1}}^{1}\left(\tilde{q}_{1}\right) \ldots \psi_{M_{N}}^{N}\left(\tilde{q}_{N}\right) .
\end{array}
\]

То обстоятельство, что мы нумеруем полную ортогональную систему и коэффициенты разложения $N+1$ индексом $k, M_{1}, \ldots, M_{N}$,
а не одним, не играет никакой роли. Как показывают рассуждения в II. 2, гильбертово пространство волновых функций Ф можно интерпретировать также как пространство ( $N+1$-кратных) последовательностей $a_{k M_{1}} \ldots M_{N}\left(\right.$ с конечнои $\left.\sum_{k=1}^{\infty} \sum_{M_{1}=0}^{\infty} \ldots \sum_{M_{N}=0}^{\infty}\left|a_{k M_{1}} \ldots M_{N}\right|^{2}\right)$. Какон же вид принимает оператор $\mathrm{H}$ при таком понимании гильбертова пространства? Чтобы выяснить это, вычислим сначала $\mathrm{H} \Phi_{k M_{1}} \ldots M_{N}$. Так как $\mathrm{H}_{0}$ дейстеует только на $\xi$, а $\psi_{k}(\xi)$ является собственной функцией $\mathrm{H}_{0}$ с собственным значением $W_{k}$ и, далее, так как $\tilde{R}_{n}^{*} \tilde{R}_{n}$ действует лишь на $\tilde{q}_{n}$, и $\psi_{M_{n}}^{n}\left(\tilde{q}_{n}\right)$ является собственной функцией $\tilde{R}_{n}^{*} \tilde{R}_{n}$ с собственным значением $M_{n}$, то
\[
\begin{array}{l}
H \Phi_{k M_{1}} \ldots M_{N}=\left(W_{k}+\sum_{n=1}^{N} h \rho_{n} M_{n}\right) \Phi_{k M_{1}} \ldots M_{N}+ \\
+\sum_{n=1}^{N} \sum_{y=1}^{l} \frac{e_{v}}{2 \pi c m_{
u}} \sqrt{\frac{h}{2 \rho_{n}}}\left[P_{v}^{x \overline{\mathfrak{X}}_{n, x}}\left(Q_{v}^{x}, Q_{v}^{y}, Q_{v}^{z}\right)+\right. \\
\left.+P_{
u}^{y \overline{\mathfrak{A}}_{n, y}}\left(Q_{
u}^{x}, Q_{
u}^{y}, Q_{
u}^{z}\right)+P_{
u}^{z \overline{\mathfrak{A}}_{n, z}}\left(Q_{
u}^{x}, Q_{v}^{y}, Q_{
u}^{z}\right)\right] \times \\
\times \psi_{k}(\xi) \psi_{M_{1}}^{1}\left(\tilde{q}_{1}\right) \ldots\left(\tilde{R}_{n}+\tilde{R}_{n}^{*}\right) \psi_{M_{n}}^{n}\left(\tilde{q}_{n}\right) \ldots \psi_{M_{N}}^{N}\left(\tilde{q}_{N}\right) . \\
\end{array}
\]

Для любого оператора $A$, который (подобно выражению […]) действует лишь на переменную $\xi$, можно пользоваться разложением
\[
A \psi_{k}(\xi)=\sum_{j=1}^{\infty}\left(A \psi_{k}, \psi_{j}\right) \cdot \psi_{j}(\xi)=\sum_{j}(A)_{k j} \psi_{j}(\xi)
\]

где $(A)_{k j}=\left(A \psi_{k}, \psi_{j}\right)$. Дальше, как показано в упомянутой выше работе,
\[
\tilde{R}_{n} \psi_{M}^{n}\left(\tilde{q}_{n}\right)=\sqrt{M} \psi_{M-1}^{n}\left(\tilde{q}_{n}\right), \quad \tilde{R}_{n}^{*} \psi_{M}^{n}\left(\tilde{q}_{n}\right)=\sqrt{M+1} \psi_{M+1}^{n}\left(\tilde{q}_{n}\right)
\]
(при $M=0$ правую часть первого уравнения надо считать, не обращая внимания на появляющееся в ней выражение $\psi_{-1}^{n}$, равной нулю). Следовательно,
\[
\begin{aligned}
H & \Phi_{k M_{1}} \ldots M_{N}=\left(W_{k}+\sum_{n=1}^{N} h \rho_{n} M_{n}\right) \Phi_{k M_{1}} \ldots M_{N}+ \\
+ & \sum_{j=1}^{\infty} \sum_{n=1}^{N} \sqrt{\frac{h}{2 \rho_{n}}}\left(\sum_{v=1}^{l} \frac{e_{v}}{2 \pi c m_{v}}\left(P_{v}^{x} \overline{\mathfrak{d}}_{n, x}\left(Q_{v}^{x}, Q_{v}^{y}, Q_{v}^{z}\right)+\ldots\right)_{k j}\right) \times \\
& \times\left(\sqrt{M_{n}+1} \Phi_{j M_{1}} \ldots M_{n}+\ldots M_{N}+\sqrt{M_{n}} \Phi_{j M_{1}} \ldots M_{n}-1 \ldots M_{N}\right) .
\end{aligned}
\]
Теперь оператор $\mathrm{H}$ можно представить себе как оператор, денствующий на коэффициенты $a_{k M_{1}} \ldots M_{N}$ по формуле
\[
\mathrm{H}_{k M_{1}} \sum_{M_{N}} a_{k M_{1} \ldots M_{N}} \Phi_{k M_{1} \ldots M_{N}}=\sum_{k M_{1} \ldots M_{N}} a_{k M_{1} \ldots M_{N}}^{\prime} \Phi_{k M_{1} \ldots M_{N}},
\]

где
\[
\begin{array}{l}
H a_{k M_{1} \ldots M_{N}}=a_{k M_{1} \ldots M_{N}}^{\prime}=\left(W_{k}+\sum_{n=1}^{N} h \rho_{n} M_{n}\right) a_{k M_{1} \ldots M_{N}}+ \\
+\sum_{j=1}^{\infty} \sum_{n=1}^{N} \sqrt{\frac{h}{2 \rho_{n}}}\left(\sum_{v=1}^{l} \frac{e_{v}}{2 \pi c m_{v}}\left(P_{v}^{x \overline{\mathfrak{A}}_{n, x}}\left(Q_{v}^{x}, Q_{v}^{y}, Q_{v}^{z}\right)+\ldots\right)_{k j}\right) \times \\
\times\left(\sqrt{M_{n}} a_{j M_{1}} \ldots M_{n^{-1}} \ldots M_{N}+\sqrt{M_{n}+1} a_{j M_{1} \ldots M_{n}+1 \ldots M_{N}}\right) . \\
\end{array}
\]

Здесь наше обсуждение оператора $\mathrm{H}$ достигло того этапа, когда можно уже осуществить предельный переход $N \rightarrow \infty$. Поскольку система индексации коэффициентов $a_{k M_{1}} \ldots M_{N}$ изменяется при таком процессе, то в результате возникает совершенно новыи оператор $H$. Нам нужно ввести компоненты $a_{k M_{1} M_{2}} \ldots$ с бесконечно многими индексами $M_{1}, M_{2}, \ldots$, но уже для того, чтобы гарантировать конечность суммы $\sum_{n=1}^{\infty} h \rho_{n} M_{n}$, фигурирующей в $\mathrm{H}$, следует ограничиться такими последовательностями $M_{1}, M_{2} \ldots$ которые содержат лишь конечное число элементов, отличных от нуля. Итак, начиная с этого момента будет строиться гильбертово пространство последовательностен $a_{k M_{1} M_{2}} \ldots$ с конечнои суммой $\sum_{k=1}^{\infty} \sum_{M_{1}=0}^{\infty} \sum_{M_{2}=0}^{\infty}\left|a_{k M_{1} M_{2}} \ldots\right|^{2} ;$ при этом индексы $k, M_{1}, M_{2}$ пробегают следующую область: $k=1$, $2, \ldots, M_{1}, M_{2}, \ldots=0,1,2, \ldots$ с конечным (но произвольным) числом $M_{n}
eq 0^{144}$ ). Окончательно оператор принимает следующий
144) То, что так описанная система индексов $k, M_{1}, M_{2}, \ldots$ действительно образует последовательность, можно проще всего доказать следующим образом. Пусть $\pi_{1}, \pi_{2}, \pi_{3}, \ldots$ есть ряд простых чисел $2,3,5, \ldots$ Произведения $\pi_{1}^{k-1} \pi_{2}^{M_{1}} \pi_{3}^{M_{2}} \ldots$ в действительности будут конечны, так как, кроме конечного числа исключений, все $M_{n}=0$, т. е. сомножители $\pi_{n+1}^{M_{n}}=1$. Далее, если $k, M_{1}, M_{2}, \ldots$ пробегают полностью всю нашу систему индексов, то числа $\pi_{1}^{k-1} \pi_{2}^{M_{1}} \pi_{3}^{M_{2}} \ldots$ пробегают совокупность всех чисел $1,2,3, \ldots$ и принимают каждое значение только один раз. Поэтому можно воспользоваться числами $\pi_{1}^{k-1} \pi_{2}^{M_{1}} \pi_{3}^{M_{2}} \ldots$, чтобы получить однократную систему текущих индексов для коэффициентов $a_{k M_{1} M_{2}} \ldots$.
вид:
\[
\begin{array}{l}
\mathrm{H} a_{k M_{1} M_{2}} \ldots=a_{k M_{1} M_{2}}^{\prime}=\left(W_{k}+\sum_{n=1}^{\infty} h p_{n} M_{n}\right) a_{k M_{1} M_{2}} \ldots+ \\
+\sum_{j=1}^{\infty} \sum_{n=1}^{\infty} w_{k j}^{n}\left(\sqrt{M_{n}+1} a_{j M_{1} M_{2} \ldots M_{n}+1 \ldots}+\sqrt{M_{n}} a_{j M_{1} M_{2}} \ldots M_{n}-1 \ldots\right),
\end{array}
\]

где $w_{j k}^{n}$ определяется выражением
\[
w_{k j}^{n}=\sqrt{\frac{h}{2 \rho_{n}}} \sum_{v=1}^{l} \frac{e_{v}}{2 \pi c m_{v}}\left(P_{v}^{x \overline{\mathfrak{A}}_{n, x}}\left(Q_{v}^{x}, Q_{v}^{y}, Q_{
u}^{z}\right)+\ldots\right)_{k j} .
\]

Прежде чем извлекать из этого результата интересующие нас физические выводы, напомним, что он был получен на основе электродинамической теории света. Было бы желательно установить сперва, достаточно ли проделанного нами шаблонного квантовомеханического преобразования, чтобы передать отклонения света от волновой модели, в частности его на самом деле дискретно-корпускулярную природу. (Конечно, вполне разумно было бы ожидать, что для достижения этой цели надо бы исходить прямо из корпускулярной модели, а не «квантовать» электромагнитное поле, как было сделано выше.)

Непосредственно из вида полученного выражения $H$ для энергии ясно, что что-то вроде световых корпускул в нем есть. Действительно, если опустить в этом выражении второй член, представляющий своего рода возмущение и который, как вскоре будет видно, является причиной квантовых скачков системы $S$ из одного «стационарного состояния» в другое (т. е. причиной интересующего нас сейчас явления, которое, однако, всегда существенно слабее, чем сама материальная система $S$ и уже присутствующее излучение, и которые, как мы увидим, овеществлены в первом слагаемом $\mathrm{H}$ ), то останется только
\[
\mathrm{H}_{1} a_{k M_{1} M_{2}} \ldots=\left(W_{k}+\sum_{n=1}^{\infty} h \rho_{n} M_{n}\right) a_{n M_{1} M_{2}} \ldots .
\]

Но это выражение для энергии можно интерпретировать следующим образом: это энергия $W_{k}$ системы $\boldsymbol{S}$, к которой добавляются энергии $h \rho_{n} M_{n}(n=1,2, \ldots)$, в связи с чем напрашивается интерпретация чисел $M_{n}=0,1,2, \ldots$ как чисел частиц, обладающих соответственно энергиями $h \rho_{n}$. Но $h \rho_{n}$ – это в точности та энергия, которую, но Эйнштейну, надо приписать световому кванту частоты $p_{n}$ (ср. прим. ${ }^{134}$ ) на стр. 179). Итак, строение $\mathrm{H}_{1}$ говорит в пользу того представления, что находящееся в полости $\boldsymbol{H}$ электромагнитное поле (за вычетом электростатической части), т. е. $\boldsymbol{L}$, состоит в действительности из квантов света с частотами $p_{1}, p_{2}, \ldots$ и с энергиями
$h \rho_{1}, h \rho_{2}, \ldots$ числа которых указываются индексами $M_{1}, M_{2}, \ldots$ $(=0,1,2, \ldots)$. То обстоятельство, что других частот, помимо $\rho_{1}, \rho_{2}, \ldots$ нет, можно сделать легко понятным, если заметить, что эти частоты являются собственными частотами полости $\boldsymbol{H}$. Действительно, векторы-потенциалы $\overline{\mathfrak{A}}_{n}(x y z) \gamma \cos 2 \pi \rho_{n}(t-\tau)$ представляют собой единственно возможные в $\boldsymbol{H}$ стационарные электромагнитные колебания.

Приведенные соображения и интерпретации обладают поэтому лишь эвристической силой; полностью удовлетворительный и окончательный ответ на наш вопрос мы получим лишь тогда, когда, и если, нам удастся получить выражение $\mathrm{H}$ для оператора энергии, отправляясь от модели световых квантов для изучения $\boldsymbol{L}$. Мы вынуждены были провести сначала классическое рассмотрение из-за того, что доквантовомеханическая гипотеза световых квантов не дает нам выражения для энергии взаимодействия кванта света с материей (в этом пункте реинтерпретацию классической электродинамики никогда не удавалось провести). Теперь же мы сможем определить этот член взаимодействия сравнением коэффициентов, если только окажется, что результат, который мы получим, пользуясь общим выражением для энергии взаимодейстия, совпадет по форме с оператором $\mathrm{H}$. Что такое конфигурационное пространство $\boldsymbol{L}$ (вопрос 1.) с точки зрения гипотезы световых квантов? Один-единственный световой квант (в полости $\boldsymbol{H}$ ) можно было бы охарактеризовать известными координатами, совокупность которых мы обозначим символом $u^{145}$ ). Пусть его стационарные состояния (в $\boldsymbol{H}$ ) обладают волновыми
145) В качестве координат, описывающих световой квант, можно использовать, например, его импульсы $p_{x}, p_{y}, p_{z}$, а также координату $\pi$, определяющую его состояние поляризации. Компоненты $p_{x}, p_{y}, p_{z}$ определяют направление движения светового кванта, т. е. его направляющие косинусы $\alpha_{x}, \alpha_{y}, \alpha_{z}\left(\alpha_{x}^{2}+\alpha_{y}^{2}+\alpha_{z}^{2}=1\right)$, равно как его частоту $v$, длину волны $\lambda$ и энергию, ибо согласно Эйнштейну длина вектора импульса равна $\frac{h \vee}{c}$ (ср. прим. ${ }^{134}$ ) на стр. 179), и следовательно,
\[
p_{x}=\frac{h \vee}{c} \alpha_{x}, \quad p_{y}=\frac{h \vee}{c} \alpha_{y}, \quad p_{z}=\frac{h \vee}{c} \alpha_{z},
\]
т. e.
\[
\begin{array}{c}

u=\frac{c}{h} \sqrt{p_{x}^{2}+p_{y}^{2}+p_{z}^{2}}, \quad \lambda=\frac{c}{
u}, \quad \text { энергия }=h
u, \\
\alpha_{x}=\frac{c p_{x}}{h
u}, \quad \alpha_{y}=\frac{c p_{y}}{h
u}, \quad \alpha=\frac{c p_{z}}{h
u} .
\end{array}
\]

Здесь, однако, начинает мешать то обстоятельство, что наши собственные колебания $\overline{\mathfrak{A}}_{n}(x, y, z) \gamma \cos 2 \pi_{\rho_{n}}(t-\tau)$ являются стоячими волнами – иных и не может быть в полости $\boldsymbol{H}$ из-за отражающих стенок, – а такие собст-
функциями $\psi_{1}(u), \psi_{2}(u), \ldots$ (которые образуют полную ортонормированную систему) и энергиями $E_{1}, E_{2}, \ldots$ Эти стационарные состояния отвечают электромагнитным собственным колебаниям $\overline{\mathfrak{A}}_{1}, \overline{\mathfrak{A}}_{2}, \ldots$ с частотами $p_{1}, p_{2}, \ldots$ (Согласно представлениям Эйнштенна должно быть $E_{n}=h \rho_{n}$, что также будет доказано.) В связи с этим надо заметить следующее: уже при электромагнитном рассмотрении мы так нормировали энергию света, что ее иинимальное значение было равным 0 , оно соответствовало индексам $M_{1}=M_{2}=\ldots=0$. Тем самым мы признали и несуществование за возможное состояние света, и это объективно оправдано. Ведь световые кванты могут в самом деле испускаться и поглощаться, т. е. создаваться и уничтожаться. Между тем такое представление совершенно чуждо квантовой механике: каждая ча-

венные колебания $\overrightarrow{\mathfrak{A}}_{n}$ нельзя поставить в соответствие ни с каким «направлением луча» $\alpha_{x}, \alpha_{y}, \alpha_{z}$. Непосредственно ясно, что наряду с направлением $\alpha_{x}, \alpha_{y} \alpha_{z}$, во всяком случае, имеется п противоположное направление $-\alpha_{x}$, $-\alpha_{y},-\alpha_{z}$, и то же утверждение справедливо и для импульса. Следовательно, в полости $\boldsymbol{H}$ надо пользоваться не $p_{x}, p_{y}, p_{z}, \pi$, а какими-то другими координатами.

В некоторых новых изложения рассматриваемого предмета это затруднение преодолевается с помощью следующего приема. Будем считать, что полость $\boldsymbol{H}$ является параллелепипедом
\[
-A<x<A, \quad-B<y<B, \quad-C<z<C,
\]

граничные поверхности которого $x= \pm A, y= \pm B, z= \pm C$ не считаются отражающими стенками. Отождествим вместо этого
\[
x=A \text { с } x=-A, \quad y=B \text { с } y=-B, \quad z=C \text { с } z=-C .
\]

Это означает, что излучение, падающее на стенку $x=A$ в точке $A, y, z$ возобновляет в точке – $A, y, z$ свое движение в том же направлении (снова внутри полости $H$ ), как если бы ничего не случилось, и т. д. (ср., например, статью Л. Ландау и Р. Пайерлса, L. L a ndau und R. P eierls, Z. Physik, 62 (1930) ). Можно сказать также, что пространство считается периодическим в направлениях $x, y, z$ с соответствующими периодами $2 A, 2 B, 2 C$.

Аналитически рассмотрение остается прежним, но граничными условиями теперь будут $\mathfrak{U}(A, y, z)=\mathfrak{U}(-A, y, z), \mathfrak{U}(x, B, z)=\mathfrak{U}(x,-B, z)$, $\mathfrak{N}(x, y, C)=\mathfrak{U}(x, y,-C)$ (вместо прежних: $\frac{\partial}{\partial n} \mathfrak{U}=0$ на границе), а «элементарные решения», по которым идет разложение, примут вид
\[
\left\{\begin{array}{l}
\cos \\
\sin
\end{array}\right\}\left[2 \pi
u\left(t-c\left(\alpha_{x} x+\alpha_{y} y+\alpha_{z} z\right)\right)\right]
\]
(а не $\overline{\mathfrak{U}}(x, y, z) \tilde{p}(t))$. Можно легко найти принадлежащие собственным решениям $
u=\rho_{n}$ и
\[
\alpha_{x}=\alpha_{n, x}, \quad \alpha_{y}=\alpha_{n, y}, \quad \alpha_{z}=\alpha_{n, z} \quad(n=1,2, \ldots) .
\]

Дальнейшее же развитие теории совпадает с приводимым в тексте.
стица привносит свои координаты в конфигурационное пространство системы и тем самым настолько интимно входит в формальное описание всећ системы, что фактически ведет себя, как абсолютно неуничтожаемая. Поэтому и после уничтожения ей приходится приписывать своего рода латентное существование, когда ее координаты все еще принадлежат конфигурационному пространству. Следовательно, одно из состояний $\psi_{n}(u)$ с энергией $E_{n}=0$ должно отвечать несуществованию кванта света, – мы предпочитаем обозначать такое состояние через $\psi_{0}(a)\left(E_{0}=0\right)$, так что волновые функции $\psi_{1}(a)$, $\psi_{2}(u), \ldots$ описывают существующий световой квант, но только $\psi_{0}(u), \psi_{1}(u), \psi_{2}(u), \ldots$ образуют полную ортогональную систему.

Перейдем теперь к рассмотрению $\boldsymbol{L}$, системы всех световых квантов. Поскольку в счет идут и неприсутствующие кванты, то $\boldsymbol{L}$ состоит из столь многих квантов, что их никогда не может оказаться больше этого числа, т. е. количество световых квантов в $\boldsymbol{L}$ бесконечно велико. Поскольку все же нецелесообразно с самого начала иметь дело с бесконечно многими составляющими системы $\boldsymbol{L}$, то будем сперва поступать так, как если бы имелось всего $\mathcal{S}$ световых квантов $(S=1,2, \ldots$ ), и только в конце перейдем к пределу $S \rightarrow+\infty{ }^{146}$ ). Перенумеруем эти световые кванты с помощью чисел $1, \ldots, S$ и обозначим их координаты через $u_{1}, \ldots, u_{S}$. Конфигурационное пространство системы $\boldsymbol{L}$ будет тогда описываться переменными $u_{1}, \ldots, u_{s}$, а конфигурационное пространство $\boldsymbol{S}+\boldsymbol{L}-$ переменными $\xi, u_{1}, \ldots, u_{s}$. Наиболее общей волновой функцией $\boldsymbol{S}+\boldsymbol{L}$ будет поэтому $f\left(\xi, u_{1}, \ldots, u_{S}\right)$, а совокупность функций $\varphi_{k}(\xi) \psi_{n_{1}}\left(a_{1}\right) \ldots \psi_{n_{S}}\left(u_{s}\right), k=1,2, \ldots, n_{1}, \ldots, n_{S}=0,1,2, \ldots$ образует полную ортогональную систему.

Далее, световые кванты обладают фундаментальным свойством быть совершенно тождественными друг другу. Это значит, что на свете не существует способа различить два кванта с одинаковыми координатами $u$. Иными словами, состояние, в котором световые кванты с номерами $m$ и $n$ имеют некие координаты, например $a_{m}=u^{\prime}$, $u_{n}=u^{\prime \prime}$, нельзя отличить от состояния, в котором $u_{m}=u^{\prime \prime}, u_{n}=u^{\prime}$. (Это классический, а не квантовомеханический, способ описания, так как мы задали значения $u$, а не волновую функцию $\varphi(i) !$ ) Квантовомеханически это будет означать, что состояния, принадлежащие волновым функциям $f\left(\xi, u_{1}, \ldots, u_{m}, \ldots, u_{n}, \ldots, u_{S}\right)$ и
${ }^{146}$ ) Этот предельный переход $S \rightarrow+\infty$ отличается от предельного перехода $N \rightarrow+\infty$, проделанного в электромагнитной теории Действительно, если и индексы $M_{1}, M_{2}, \ldots$ интерпретировать как числа световых квантов, то $N$ будет ограничивать число некогерентных световых квантов (т. е. световых квантов с несовпадающими частотой, направлением распространения они совместно определяют импульс – и поляризацией; ср. прим. ${ }^{143}$ ) на стр. 197), тогда как $S$ ограничивает число световых квантов вообще.
$f\left(\xi, u_{1}, \ldots, u_{n}, \ldots, u_{m}, \ldots, u_{S}\right)$ неразличимы. Иными словами, любая физическяя величина $\mathfrak{R}$ имеет в обоих этих состояниях одно и то же математическое ожидание (а значит, поскольку то же справедливо для $F(\Re)$, каждая физическая величина имеет одну и ту же статистику – ср. в III. 1 обсуждение предложений $\boldsymbol{E}_{1}$. и $\boldsymbol{E}_{2}$.). Обозначим функциональную операцию, которая переставляет $u_{m}$ и $u_{n}$, через $O_{m n}\left(O_{m n}\right.$ является одновременно эрмитовым и унитарным оператором $O_{m n}^{2}=1$, в чем легко убедиться), тогда сделанное утверждение будет означать, что математическое ожидание $\mathfrak{A}$ по какой-нибудь волновой функции $f$ будет совпадать с математическии ожиданием по волновой функции $O_{m n} f$, т. е.
\[
(R f, f)=\left(R O_{m n} f, O_{m n} f\right)=\left(O_{m n} R O_{m n} f, f\right),
\]

откуда
\[
R=Q_{m n} R O_{m n}, \quad \text { или же } \quad R O_{m n}=O_{m n} R .
\]

Это означает, что в рассматриваемом случае допустимы лишь такие операторы $R$, которые коммутируют со всеми $O_{m n}(m, n=1, \ldots$ $\ldots, S, m
eq n$ ), т. е. (вспоминая определение $O_{m n}$ ) такие, в которые все координаты $u_{1}, \ldots, u_{S}$ входя? симметрично.

Волновая функция $f$, симметричная по всем переменным $u_{1}, \ldots, u_{S}$, т. е. для которой $O_{m n} f=f(m, n=1, \ldots, S, m
eq n)$, переходит под действием такого оператора $R$ в новую волновую функцию того же рода: $O_{m n} R f=R O_{m n} f=R f$. Такие $f$ образуют замкнутое линеиное многообразие, т. е. они образуют гильбертово подпространство $\overline{\mathfrak{R}}_{\infty}^{(S)}$ в гильбертовом пространстве $\mathfrak{R}_{\infty}^{(S)}$ всех функций $f$, а операторы $R$ отображают элементы $\overline{\mathfrak{R}}_{\infty}^{(S)}$ на элементы из того же подпространства, т. е. их можно рассматривать как операторы в гильбертовом пространстве $\overrightarrow{\mathfrak{R}}_{\infty}^{(S)}$. Таким образом, пространство $\overline{\mathfrak{R}}_{\infty}^{(S)}$ столь же полезно для нужд квантовой механики, как и первоначально рассматривавшееся $\mathfrak{R}_{\infty}^{(S)}$, и возникает вопрос, не надо ли ввиду симметрии $\boldsymbol{L}$ по отношению к обменам световыми квантами ограничиться симметричными волновыми функциями, т. е. заменить $\mathfrak{R}_{\infty}^{(S)}$ на $\overline{\mathfrak{P}}_{\infty}^{(S)}$. Мы сделаем это, и результат, т. е. желаемое полное совпадение с выражением для $\mathrm{H}$, полученным в электромагнитной теории, оправдает нас post factum ${ }^{147}$ ).

Волновые функции $\varphi_{k}(\xi) \psi_{n_{1}}\left(u_{1}\right) \ldots \psi_{n_{S}}\left(u_{S}\right)$ образуют полную ортонормированную систему в $\mathfrak{R}_{\infty}^{(S)}$. Пользуясь этой системой, построим теперь полную ортонормированную систему в $\overline{\mathfrak{R}}_{\infty}^{(S)}$. Пусть $M_{0}$,
147) Такая замена $\mathfrak{R}_{\infty}^{(S)}$ на $\bar{\Re}_{\infty}^{(S)}$ равнозначна замене обычной статистики так называемой статистикой Бозе – Эйнштейна, если рассматривать следствия этой замены безотносительно к квантовой механике. Ср. по этому поводу работы Дирака в прим. ${ }^{138}$ ) на стр. 189.
$M_{1}, \ldots$ – некоторые числа $=0,1,2, \ldots$ удовлетворяющие условию $M_{0}+M_{1}+\ldots=S$ (так что лишь конечное число из них отлично от нуля). Обозначим через $\left[M_{0}, M_{1}, \ldots\right]$ совокупность всех систем индексов $n_{1}, \ldots, n_{S}$, в которых 0 фигурирует $M_{3}$ раз, 1 фигурирует $M_{1}$ раз, … Имеется в точности $M_{0} ! M_{1} ! \ldots$ различных систем. Положим
\[
\Phi_{M_{0} M_{1}}\left(u_{1} \ldots u_{S}\right)=\sum_{n_{1} \ldots n_{S} \mathbf{B}\left[M_{0} M_{1} \ldots\right]} \psi_{n_{1}}\left(u_{1}\right) \ldots \psi_{n_{S}}\left(u_{S}\right) .
\]

Так как волновая функция $\Phi_{M_{0} M_{1}} \ldots$ является суммой $M_{0} ! M_{1} ! \ldots$ попарно ортогональных слагаемых, модуль каждого из которых равен 1, то квадрат модуля этой вөлновой функции будет суммой $M_{0} ! M_{1} ! \ldots$ единиц, так что ее модуль будет равен $\sqrt{M_{4} ! M_{1} ! \ldots}$. Две различные волновые функции содержат попарно ортогональные слагаемые, а потому сами взаимно ортогональны. Волновые функции
\[
\Psi_{M_{0} M_{1} \ldots}\left(u_{1} \ldots u_{S}\right)=\frac{1}{\sqrt{M_{0} ! M_{1} ! \ldots}} \Phi_{M_{0} M_{1} \ldots}\left(u_{1} \ldots u_{S}\right)
\]

образуют, таким образом, ортонормированную систему. Волновая функция $f\left(\xi, u_{1}, \ldots, u_{S}\right)$, симметричная по $u_{1}, \ldots, u_{S}$, имеет одно и то же внутреннее произведение со всеми слагаемыми, образующими функцию $\varphi_{k}(\xi) \Phi_{M_{0} M_{1}} \ldots\left(u_{1}, \ldots, u_{S}\right)$, значит, она ортогональна к каждому из них, если она ортогональна к $\varphi_{k}(\xi) \Phi_{M_{0} M_{1}} \ldots\left(u_{1}, \ldots, u_{S}\right)$, т. е. к $\varphi_{k}(\xi) \psi_{M_{0} M_{1}} \ldots\left(u_{1}, \ldots, u_{S}\right)$. Следовательно, если она ортогональна ко всем $\varphi_{k}(\xi) \psi_{M_{0} M_{1}} \ldots\left(u_{1}, \ldots, u_{s}\right)$, то она будет ортогональна ко всем $\varphi_{k}(\xi) \psi_{n_{1}}\left(u_{1}\right) \ldots \dot{\varphi}_{n_{S}}\left(u_{S}\right)$ и, следовательно, она $\equiv 0$. Стало быть, волновые функции $\varphi_{k}(\xi) \psi_{M_{0} M_{1}} \ldots\left(u_{1} \ldots u_{S}\right)$ (которые сами принадлежат к $\overline{\mathfrak{R}}_{\infty}^{(S)}$ ) образуют полную ортонормированную систему в $\overline{\mathfrak{R}}_{\infty}^{(S)}$.

Рассмотрим теперь набор энергий, выступающих в системе $\boldsymbol{S}+\boldsymbol{L}$. Во-первых, $[2 . \boldsymbol{\alpha})]$ там имеется энергия системы $\boldsymbol{S}$, оператор которой для $S$ определяется уравнением $\mathrm{H}_{0} \varphi_{k}(\xi)=W_{k} \varphi_{k}(\xi)$ и, значит, для $\boldsymbol{S}+\boldsymbol{L}$ – уравнением
\[
\mathrm{H}_{0} \varphi_{k}(\xi) \Psi_{M_{0} M_{1} \ldots}\left(u_{1} \ldots u_{S}\right)=W_{k} \varphi_{k}(\xi) \psi_{M_{0} M_{1} \ldots .}\left(u_{1} \ldots u_{S}\right) .
\]
$\mathrm{H}_{l^{\prime}} \psi_{n}(u)=E_{n} \psi_{n}(u)$. Поэтому $m$-и квант $(m=1, \ldots, S$ ) обладает в $\boldsymbol{S}+\boldsymbol{L}$ энергией
\[
\begin{array}{l}
\mathrm{H}_{l_{m}} \varphi_{k}(\xi) \psi_{n_{1}}\left(u_{1}\right) \ldots \psi_{n_{m}}\left(u_{m}\right) \ldots \psi_{n_{S}}\left(u_{S}\right)= \\
=E_{n_{m} \varphi_{k}}(\xi) \psi_{n_{1}}\left(u_{1}\right) \ldots \psi_{n_{m}}\left(u_{m}\right) \cdot{ }^{n}\left(u_{S}\right),
\end{array}
\]
так что нужно образовать сумму $\mathrm{H}_{l}=\mathrm{H}_{l_{1}}+\ldots+\mathrm{H}_{l_{s}}$. Наконец, [2. $\gamma$ )] пусть энергия взаимоденствия светового кванта $l^{\prime}$ с системой $S$ описывается, пока еще точно не известным, оператором $V$, который мы представим в виде матрицы:
\[
V_{l^{\prime}} \varphi_{k}(\xi) \psi_{n}(u)=\sum_{j=0}^{\infty} \sum_{p=0}^{\infty} V_{k n / j p} \varphi_{j}(\xi) \psi_{p}(u) .
\]

В системе $\boldsymbol{S}+\boldsymbol{L}$, следовательно, будем иметь для $m$-го светового кванта
\[
\begin{array}{l}
V_{l_{m}} \varphi_{k}(\xi) \psi_{n_{1}}\left(u_{1}\right) \ldots \psi_{n_{m}}\left(u_{m}\right) \ldots \psi_{n_{s}}\left(u_{S}\right)= \\
=\sum_{j=1}^{\infty} \sum_{p=0}^{\infty} V_{k n_{m} / j p} \varphi_{j}(\xi) \psi_{n_{1}}\left(u_{1}\right) \cdots \psi_{p}\left(u_{m}\right) \cdots \psi_{n_{S}}\left(u_{S}\right)= \\
=\sum_{j=0}^{\infty} \sum_{p_{1} \ldots p_{m} \ldots p_{s}=0}^{\infty} \delta\left(n_{1}-p_{1}\right) \ldots V_{k n_{m} / j p_{m}} \ldots \delta\left(n_{S}-p_{S}\right) \times \\
\times \varphi_{j}(\xi) \psi_{p_{1}}\left(u_{1}\right) \cdots \psi_{p_{m}}\left(u_{m}\right) \cdots \psi_{p_{S}}\left(u_{S}\right) \\
\end{array}
\]
( $\delta(n)$ равно 1 при $n=0,0$ при $n
eq 0$ ), и нужно образовать сумму $\mathrm{H}_{w}=V_{l_{1}}+\ldots+V_{l_{s}}$.
Собирая все вместе, будем иметь
\[
\begin{array}{l}
H \varphi_{k}(\xi) \psi_{n_{1}}\left(u_{1}\right) \cdots \psi_{n_{S}}\left(u_{S}\right)= \\
=\left(W_{k}+E_{n_{1}}+\ldots+E_{n_{S}}\right) \varphi_{k}(\xi) \psi_{n_{1}}\left(u_{1}\right) \cdots \psi_{n_{S}}\left(u_{S}\right)+ \\
+\sum_{j=1}^{\infty} \sum_{p_{1} \cdots p_{s}=0}^{\infty} \sum_{m=1}^{S} \delta\left(n_{1}-p_{1}\right) \ldots V_{k n_{m} / p_{m}} \cdots \delta\left(n_{S}-p_{S}\right) \times \\
\quad \times \varphi_{j}(\xi) \psi_{p_{1}}\left(u_{1}\right) \cdots \psi_{p_{S}}\left(u_{S}\right) .
\end{array}
\]

В результате легкого вычисления это выражение принимает вид
\[
\begin{array}{l}
\mathrm{H} \varphi_{k}(\xi) \Phi_{M_{0} M_{1} \ldots}\left(u_{1} \ldots u_{S}\right)= \\
=\left(W_{k}+\sum_{n=0}^{\infty} M_{n} E_{n}\right) \varphi_{k}(\xi) \Phi_{M_{0} M_{1} \ldots}\left(u_{1} \ldots u_{S}\right)+ \\
+\sum_{j=1}^{\infty} \sum_{n, p=0}^{\infty} M_{n} V_{k n / j p} \varphi_{j}(\xi) \Phi_{M_{0} M_{1} \ldots M_{n}-1} \ldots M_{p^{+1}} \ldots\left(u_{1} \ldots u_{S}\right)
\end{array}
\]
(для $n=p$ надо заменить $\ldots M_{n}-1 \ldots M_{p}+1 \ldots$ на $\ldots M_{n} \ldots$ ) н, значит, для ортонормированных функций
\[
\begin{array}{l}
\mathrm{H} \varphi_{k}(\xi) \psi_{M_{0} M_{1} \ldots}\left(u_{1} \ldots u_{s}\right)= \\
=\left(W_{k}+\sum_{n=0}^{\infty} M_{n} E_{n}\right) \varphi_{k}(\xi) \psi_{M_{0} M_{1} \ldots}\left(u_{1} \ldots u_{S}\right)+ \\
+\sum_{j=1}^{\infty} \sum_{n, p=0}^{\infty} \sqrt{M_{n}\left(M_{p}+1-\delta(n-p)\right)} V_{k n_{i}^{\prime} p^{\varrho}, j}(\xi) \times \\
\times \psi_{M_{0} M_{1}} \ldots M_{n^{-1}} \ldots M_{p}+1 \ldots\left(u_{1} \ldots u_{s}\right) \text {. } \\
\end{array}
\]

Общую волновую функцию $f\left(\xi, u_{1}, \ldots, u_{S}\right)$ из $\overline{\mathfrak{R}}_{\infty}^{(S)}$ можно разложить по этим ортонормированным функциям:

Следовательно, $\mathfrak{R}_{\infty}^{(S)}$ можно представлять себе и как гильбертово пространство последовательностей $a_{k M_{0} M_{1}}, \ldots, k=1,2, \ldots, M_{0}, M_{1}, \ldots=$ $=0,1,2, \ldots, M_{0}+M_{1}+\ldots=S$, с конечной суммой $\sum_{k M_{0} M_{1} \ldots}\left|a_{k M_{0} M_{1} \ldots}\right|^{2}$. В этом случае оператор
\[
\mathrm{H} a_{k M_{0} M_{1}} \ldots=a_{k M_{0} M_{1}}^{\prime} \ldots
\]

определяется из уравнения

так что
$H a_{k M_{0} M_{1} \ldots}=a_{k M_{0} M_{1} \ldots}^{\prime}=\left(W_{k}+\sum_{n=0}^{\infty} M_{n} E_{n}\right) a_{k} M_{0} M_{1} \ldots+$ $+\sum_{j=1}^{\infty} \sum_{m, p}^{\infty} \sqrt{M_{n}\left(M_{p}+1-\delta(n-p)\right)} \overline{V_{k n / j p}} a_{j M_{0} M_{1} \ldots M_{n}-1 \ldots M_{p}+1 \ldots}$ ( $k, j$ и $n, p$ обменялись ролями по сравнению с формулой для $\varphi_{k}(\xi) \psi_{M_{0} M_{1}} \ldots\left(u_{1} \ldots u_{S}\right)$; вместо $V_{j p / k n}$ мы написали $\overline{V_{k n / j p}}$, учитывая эрмитовость $V$.)

Перейдем к подготовке перехода к пределу $S \rightarrow+\infty$. Так как $M_{0}$ определяется числами $M_{1}, M_{2}, \ldots$ согласно соотношению
14 и. Нейман
$M_{0}=S-M_{1}-M_{2}-\ldots$ то можно вместо $a_{k M_{0} M_{1}} \ldots$ писать $a_{k M_{1} M_{2}} \ldots$. При такой записи индексы оказываются ограниченными условиями $k=$ $=1,2, \ldots, M_{1}, M_{2}, \ldots=0,1,2, \ldots, M_{1}+M_{2}+\ldots \leqq S$. Если заметить, что $E_{0}=0$ и ввести обозначения $S V_{k o / j o}=V_{k / j}, \sqrt{S} V_{k o / j n}=$ $=V_{k / j n}, \sqrt{S} V_{k n / j o}=\bar{V}_{j / k n}\left(V_{k n / j p}\right.$ – эрмитова матрица!), то найдем $\mathrm{H} a_{k M_{1} M_{2}} \ldots=a_{k M_{1} M_{2}}^{\prime} \ldots=\left(W_{k}+\sum_{n=1}^{\infty} M_{n} E_{n}\right) a_{k M_{1} M_{2} \ldots}+$ $+\sum_{j=1}^{\infty} V_{k / j} a_{j M_{1} M_{2} \ldots}+$ $+\sum_{j=1}^{\infty} \sum_{n=1}^{\infty} \sqrt{M_{n}} \sqrt{\frac{S-M_{1}-M_{2}-\ldots+1}{S}} V_{j / k n} a_{j M_{1} M_{2} \ldots M_{n}-1} \ldots+$ $+\sum_{j=1}^{\infty} \sum_{n=1}^{\infty} \sqrt{M_{n}+1} \sqrt{\frac{S-M_{1}-M_{2}-\cdots}{S}} \bar{V}_{k / j n} a_{j M_{1} M_{2} \ldots M_{n}+1 \ldots}+$ $+\sum_{j=1}^{\infty} \sum_{n, p=1}^{\infty} \sqrt{M_{n}\left(M_{p}+1\right)} \bar{V}_{k n / j p} a_{j M_{1} M_{2} \ldots M_{n}-1 \ldots M_{p}+1} \ldots$.

Теперь можно устремить $S \rightarrow+\infty$. Коэффициенты $a_{k M_{1} M_{2}} \ldots$ будут тогда снова определены для всех последовательностей $k M_{1} M_{2} \ldots$, в которых $k=1,2, \ldots, M_{1}, M_{2}, \ldots=0,1,2, \ldots$ причем только лишь конечное (но произвольное) число $M_{n}
eq 0$ (ср. прим. ${ }^{144}$ ) на стр. 201), а из $\mathrm{H}$ получится
\[
\begin{array}{l}
\mathrm{H} a_{k M_{1} M_{2} \ldots}=a_{k M_{1} M_{2} \ldots}^{\prime}=\left(W_{k}+\sum_{n=1}^{\infty} M_{n} E_{n}\right) a_{k M_{1} M_{2} \ldots}+ \\
+\sum_{j=1}^{\infty} V_{k / j} a_{j M_{1} M_{2}} \ldots+\sum_{j=1}^{\infty} \sum_{n=1}^{\infty}\left(V_{j / k n} \sqrt{M_{n}+1} a_{j M_{1} M_{2}} \ldots M_{n}+1 \ldots+\right. \\
\left.+\bar{V}_{k / j n} \sqrt{M_{n}} a_{j M_{1} M_{2}} \ldots M_{n}^{-1} \ldots\right)+ \\
\quad+\sum_{j=1}^{\infty} \sum_{n, p=1}^{\infty} \bar{V}_{k n / j p} \sqrt{M_{n}\left(M_{p}+1\right)} a_{j M_{1} M_{2} \ldots M_{n}-1 \ldots M_{p}+1} .
\end{array}
\]

Сходство с уравнением, получєнным на основе электромагнитной теории излучения, ‘теперь очевидно; чтобы сделать оба выражения тождественными, следует лишь положить
\[
E_{n}=h \rho_{n}, \quad V_{k i j}=0, \quad V_{k / i n}=w_{j k}^{n}=\bar{w}_{k j}^{n}, \quad V_{k n / j p}=0,
\]
Итак, мы видим, что концепция световых квантов оказывается тождественной классической электромагнитной концепции, если:
1. Последняя переписывается в соответствии с общей квантовомеханической схемоћ.
2. Энергия каждого светового кванта, в соответствии с правилом Эйнштейна, приравнивается $h$-кратной частоте.
3. Энергия взаимодейтвня светового кванта с материей определяется правильным образом (ср. приведенное выше выражение для $V$ ).
На этом пути блестяще разрешается один из труднейших парадоксов квантовой теории в ее ранней форме – двойственная природа света (электромагнитныє волны и дискретные корпускулы световых квантов) ${ }^{148}$ ). Конечно, трудно найт прямую, наглядную интерпретацию только что вычисленной энергии взаимодействия $V$ света и материи. Это тем более трудно, что ее единственно отличные от нуля матричные элементы $V_{k n / j p}$ (т. е. для которых $n=0, p
eq 0$ или $n
eq 0, p=0$ ) зависят от числа всех возможных световых квантов $S$ (они пропорциональны $\frac{1}{\sqrt{\bar{S}}}$ ), а ведь окончательно нужно положить $S \rightarrow+\infty$. Тем не менее можно примириться с этим, если учесть, что любое модельное описание является лишь приближением, тогда как точное содержание теории и как раз дается выражением для оператора $H$.

Возвратимся теперь к нашей первоначальной задаче: определению вероятностей перехода. Согласно временному уравнению Шредингера, изменения в коэффициентах $a_{k M_{1} M_{2}} \ldots=a_{k M_{1} M_{2}} \ldots(t)$ определяются из
\[
\begin{array}{l}
\frac{h}{2 \pi i} \frac{\partial}{\partial t} a_{k M_{1} M_{2}} \ldots=-\mathrm{H} a_{k M_{1} M_{2}} \ldots=-\left(W_{k}+\sum_{n=1}^{\infty} h \rho_{n} M_{n}\right) a_{k M_{1} M_{2}}- \\
-\sum_{j=1}^{\infty} \sum_{n=1}^{\infty} w_{k j}^{n}\left(\sqrt{M_{n}+1} a_{j M_{1} M_{2} \ldots M_{n}+1} \ldots+\sqrt{M_{n}} a_{j M_{1} M_{2}} \ldots M_{n}-1 \ldots\right) \cdot
\end{array}
\]

Так как главное изменение в $a_{k M_{1} M_{2}} \ldots$ вызывается первым членом этого выражения, то целесообразно выделить его с помощью подстановки
\[
-\frac{2 \pi l}{h}\left(W_{k}+\sum_{n=1}^{\infty} h \rho_{n} M_{n}\right) t \cdot b_{k M_{1} M_{2}} \ldots
\]
148) Дальнейшие подробности относительно того, как понималась эта «двойственная природа» и как парадоксально она воспринималась, читатель найдет в литературе того времени. См., например, работы, указанные в прим. ${ }^{6}$ ), стр. 13.

Часто говорилось, что квантовая механика предписывает материи ту же двойственную природу, поскольку дискретные частицы (электроны, протоны)
$14^{*}$
Тогда
\[
\frac{\partial}{\partial t} b_{k M_{1} M_{2}} \ldots=
\]
$=-\frac{2 \pi i}{h} \sum_{j=1}^{\infty} \sum_{n=1}^{\infty} w_{k j}^{n} \cdot\left(e^{-\frac{2 \pi i}{h}\left(W_{j}-W_{k}+h \rho_{n}\right) t} \sqrt{M_{n}+1} b_{j M_{1} M_{2} \ldots M_{n}+1 \ldots}\right.$
\[
\left.-e^{-\frac{2 \pi i}{h}\left(W_{j}-W_{k}-h \rho_{n}\right) t} \sqrt{\bar{M}_{n}} b_{j M_{1} M_{2} \ldots M_{n}-1 \ldots}\right) \text {. }
\]

Физический смысл коэффициентов $a_{k M_{1} M_{2}} \ldots$ и $b_{k M_{1} M_{2}} \ldots$ можно уяснить себе из способа их введения: при конечном $\bar{M}_{0}+\bar{M}_{1}+$ $+\bar{M}_{2}+\ldots=S$ волновая функция $\varphi_{\bar{k}}(\xi) \Psi_{\bar{M}_{0} \bar{M}_{1} \ldots}\left(u_{1} \ldots u_{S}\right)$ описывала состояние, в котором система $\boldsymbol{S}$ находилась на $k$-й квантовой орбите и имелось $\bar{M}_{0}, \bar{M}_{1}, \bar{M}_{2}, \ldots$ световых квантов в состояниях $\psi_{0}, \psi_{1}, \psi_{2}, \ldots$ соответственно, т. е. $\bar{M}_{0}$ световых квантов в состоянии «несуществования», а $\bar{M}_{1}, \bar{M}_{2}, \ldots$ в состояниях, принадлежащих соответствующим собственным колебаниям $\overline{\mathfrak{A}}_{1}, \overline{\mathfrak{P}}_{2}, \ldots$ Коэффициенты $a_{k M_{1} M_{2}} \ldots$, принадлежащие этой волновой функции, имеют тогда вид
\[
a_{k M_{1} M_{2} \ldots}=\delta(k-\bar{k}) \delta\left(M_{1}-\bar{M}_{1}\right) \delta\left(M_{2}-\bar{M}_{2}\right) \ldots
\]
(Лишь конечное число множителе отлично от 1 , так как равенство $M_{n}=\bar{M}_{n}=0$ имеет лишь конечное число исключений.) Это, конечно, останется справедливым и после перехода к пределу $S \rightarrow+\infty$. В случае произвольного состояния $a_{k M_{1} M_{2}} \ldots$ системы $\boldsymbol{S}+\boldsymbol{L}$ упомянутая конфигурация (если она измеряется, см. сказанное в III. 3 по поводу невырожденного чисто дискретного спектра) имеет, следовательно, вероятность
\[
\left|\sum_{k M_{1} \bar{M}_{2} \ldots} a_{k M_{1} M_{2} \ldots} \delta(k-\bar{k}) \delta\left(M_{1}-\bar{M}_{1}\right) \delta\left(M_{2}-\bar{M}_{2}\right) \ldots\right|^{2}=
\]
\[
=\left|a_{\bar{k} \bar{M}_{1} \bar{M}_{2}} \ldots\right|^{2}=\left|b_{\bar{k} \bar{M}_{1} \vec{M}_{2}} \ldots\right|^{2} .
\]

В частности, полная вероятность того, что система $S$ находится на $k$-й квантовой орбите, равна $\theta_{\bar{k}}=\sum_{\bar{M}_{1} \bar{M}_{2}}\left|b_{\bar{k} \bar{M}_{\mathrm{I}} \bar{M}_{2}} \ldots\right|^{2}$.

также описываются волновыми функциями и проявляют типично волновые свойства, например, дифрагируют на решетке. [Cp. эксперименты D a v iso n’a-Germer’a, Phys. Rev. 30 (1927), Proc. Nat. Acad. Sci. U. S. A. 14 (1928), а также C.P. T h om p s on’ a, Proc. Roy. Soc. 117 (1928) и R u p p’ a, Ann. Physik 85 (1928).] В противоположность этому, однако, надо подчеркнуть, что квантовая механика выводит обе «природы» из одной единой теории элементарных явлений. Парадокс прежней квантовой теории состоял в том, что для объяснения эксперимента приходилось попеременно привлекать две противоречащих друг другу теории (электромагнитную теорию Максвелла – Герца и теорию световых квантов Эйнштейна).
Пусть первоначально ( $t=0$ ) атом находился в $k$-м состоянии и пусть имелось $\bar{M}_{1}, \bar{M}_{2}, \ldots$ световьх квантов в состояниях $\overline{\mathfrak{N}}_{1}, \overline{\mathfrak{A}}_{2}, \ldots$, т. е.
\[
b_{k M_{1} M_{2} \ldots}=a_{k M_{1} M_{2}} \ldots=\delta(k-\bar{k}) \delta\left(M_{1}-\bar{M}_{1}\right) \delta\left(M_{2}-\bar{M}_{2}\right) \ldots
\]

В силу приведенного выше дифференциального уравнения и как первое приближение (т. е. для настолько коротких промежутков времени $t$, что правая часть может считаться постоянной) отличными от нуля будут вообще лишь те из $\frac{\partial}{\partial t} b_{k M_{1} M_{2}} \ldots$, для которых либо набор $M_{1}, M_{2}, \ldots, M_{n}+1, \ldots$ либо набор $M_{1}, M_{2}, \ldots, M_{n}-1, \ldots$ совпадает с набором $\bar{M}_{1}, \bar{M}_{2}, \ldots$ т. е. все $k, \bar{M}_{1}, \bar{M}_{2}, \ldots$ $\ldots, \bar{M}_{n} \pm 1, \ldots$ После интегрирования найдем для них
\[
\begin{array}{l}
b_{k \bar{M}_{1} \bar{M}_{2} \ldots \bar{M}_{n}+1 \ldots}=w_{k \vec{k}}^{n} \frac{1-e^{-\frac{2 \pi l}{h}\left(W_{\tilde{k}^{-}}-W_{k}-h \rho_{n}\right)^{t}}}{W_{\bar{k}}-W_{k}-h \rho_{n}} \sqrt{\bar{M}_{n}+1}, \\
b_{k \bar{M}_{1} \bar{M}_{2} \ldots \bar{M}_{n}-1 \ldots=w_{k \vec{k}}^{n}} \frac{1-e^{-\frac{2 \pi l}{h}\left(W_{\vec{k}}-W_{k}+h \rho_{n}\right) t}}{W_{\vec{k}}-W_{k}+h \rho_{n}} \sqrt{\bar{M}_{n}} . \\
\end{array}
\]

Все прочие $b_{k M_{1} M_{2}} \ldots$ равны в этом приближении нулю. (За исключением коэффициента $b_{\bar{k} \bar{M}_{1} \bar{M}_{2}} \ldots$, который в этом приближении, т. е. с точностью до $t^{2}$-членов, должен был бы равняться своему начальному значению 1. Тем не менее тот вывод, что $\frac{\partial}{\partial t} b_{\bar{k} \bar{M}_{1} \bar{M}_{2} \ldots}=0$, становится сомнительным из-за того, что правая часть нашего дифференциального уравнения содержит в этом случае в нашем приближении бесконечно много членов $b_{\bar{k} \bar{M}_{1} \bar{M}_{2}} \ldots \bar{M}_{n} \pm 1 \ldots$, не обращающихся в нуль. Поэтому из малости каждого из этих слагаемых – при малых $t$ – нельзя еще делать вывод о малости их суммы. И действительно, вычисление приближений более высоких порядков показало бы, что отклонение $b_{\bar{k} \bar{M}_{1} \bar{M}_{2}} \ldots$ от 1 пропорционально $t$, а не $t^{2}{ }^{149}$ ). Поскольку, однако,
\[
\sum_{k M_{1} M_{2}}\left|b_{k M_{1} M_{2}} \ldots\right|^{2}=\sum_{k M_{1} M_{2}} \ldots\left|a_{k M_{1} M_{2}} \ldots\right|^{2}=1
\]

так что
\[
\left|b_{\bar{k} \bar{M}_{1} \bar{M}_{2}} \ldots\right|^{2}=1-\sum_{k M_{1} M_{2} \ldots
eq \overline{k M}_{1} \bar{M}_{2}}\left|b_{k M_{1} M_{2} \ldots} \ldots\right|^{2},
\]
149) Точное решение этого дифференциального уравнения было дано Weißkopf’ом и Wigner’om (Z. Physik 63 (1930)). С помощью этого решения можно убедиться в справедливости сделанных утверждений.
то прямое вычисление коэффициента $b_{\bar{k}_{1} \bar{M}_{2}} \ldots$ на самом деле не обязательно.)

Из приведенных формул ясно видна качественная природа процесса: коэффициент $b_{\bar{k}_{1} \bar{M}_{1} \bar{M}_{2} \ldots \bar{M}_{t}+1}$, соответствующић испусканию светового кванта $\overline{\mathfrak{A}}_{n}$ (с частотой $\rho_{n}$ ), становится тем больше, чем меньше знаменатель $W_{\bar{k}}-W_{k}-h \rho_{n}$, т. е. чем ближе частота света $\rho_{n}$ к «боровской частоте» $\frac{W_{\bar{k}}-W_{k}}{h} 150$ ); аналогичным образом коэффициент $b_{\bar{k} \bar{M}_{1} \bar{M}_{2}} \ldots \bar{M}_{n}-1 \ldots$, соответствующий поглощению, возрастает при приближении $\rho_{n}$ к $\frac{W_{k}-W_{\vec{k}}}{h}$. Мы видим, таким образом, что боровское соотношение частот выполняется не точно (ведь $\rho_{n}$ цредоставляют в наше распоряжение не все частоты), но все же с подавляюще большой вероятностью – если время $t$ мало, а частоты $\rho_{n}$ расположены очень густо (как то и будет для большой полости $\boldsymbol{H}$ ). Далее, частоту таких процессов увеличивают и матричные элементы $w_{k \vec{k}}^{n}$. Мы вскоре сможем отождествить их с вероятностями переходов.

Из нашей формулы для $b_{k \bar{M}_{1} \bar{M}_{2}} \ldots \bar{M}_{n^{ \pm}} \ldots$ следует, что $\left|b_{k M_{1} M_{2}} \ldots\right|^{2}=0$ для $k M_{1} M_{2} \ldots
eq \bar{k} \bar{M}_{1} \bar{M}_{2} \ldots, k \bar{M}_{1} \bar{M}_{2} \ldots \bar{M}_{n} \pm 1 \ldots$
${ }^{150}$ Н. Бор, как известно, установил в 1913 г. фундаментальный принцип (см. ссылку в прим. 5) на стр. 12), согласно которому при переходах из стационарного состояния с энергией $W^{(1)}$ в стационарное состояние с энергией $W^{(2)}$ атом испускает свет частоты $\frac{W^{(1)}-W^{(2)}}{h}$ (конечно, $W^{(1)}>W^{(2)}$ ). В нашем случае этому соответствует $\frac{W_{\bar{k}}-W_{k}}{h}$,
151) Имеет место
\[
\begin{aligned}
\left.\left|e^{i x}-1\right|^{2}=\left(e^{i x}-1\right) \overline{\left(e^{i x}-1\right.}\right) & =\left(e^{i x}-1\right)\left(e^{-i x}-1\right)= \\
& =2-e^{i x}-e^{-i x}=2-2 \cos x=2(1-\cos x) .
\end{aligned}
\]
Отсюда получаем для $\theta_{k}, k
eq \vec{k}$, выражение
\[
\begin{aligned}
\theta_{k}=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2}{\bar{h}^{2}}\left(\bar{M}_{n}+1\right)\left|w_{k \bar{k}}^{n}\right|^{2} & \frac{1-\cos 2 \pi\left(\rho_{n}-\frac{W_{\bar{k}}-W_{k}}{h}\right) t}{\left(\rho_{n}-\frac{W_{\bar{k}}-W_{k}}{h}\right)^{2}}+ \\
& +\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2}{h^{2}} \bar{M}_{n}\left|w_{k \bar{k}}^{n}\right|^{2} \frac{1-\cos 2 \pi\left(\rho_{n}-\frac{W_{k}-W_{\bar{k}}}{h}\right) t}{\left(\rho_{n}-\frac{W_{k}-W_{\bar{k}}}{h}\right)^{2}} .
\end{aligned}
\]
(Первая сумма $\sum_{n=1}^{\infty}$ соответствует испусканию, а вторая сумма $\sum_{n=1}^{\infty}$ поглощению.) Чтобы можно было придать этим $\theta_{k}$ замкнутый вид, надо сделать упрощающие предположения. Именно, будем считать, что, с одной стороны, полость $\boldsymbol{H}$ очень велика (т. е. ее объем $\mathscr{l} \rightarrow \infty$ ), а с другой стороны, будем подсчитывать собственные колебания $\overline{\mathfrak{A}}_{n}$ в $\boldsymbol{H}$ статистически. Для этой цели объединим в каждой из приведенных сумм члены, принадлежащие частотам $p_{n}$, заключенным в интервале между $\rho$ и $p+d \rho$ (вместо $w_{k \vec{k}}^{n}$ мы подставим его значение и предположим, что $d \rho \ll \rho$ ):
$\frac{1}{4 \pi^{2} c^{2} h_{\rho}}\left[\sum_{\rho \leqq \rho_{n}<\rho+d_{\rho}}\left|\sum_{
u=1}^{l} \frac{e_{v}}{m_{v}}\left(P_{v}^{x} \overline{\mathfrak{U}}_{n, x}\left(Q_{v}^{x}, Q_{v}^{y}, Q_{v}^{z}\right)+\ldots\right)_{k}\right|^{2}\left(\bar{M}_{n}+1\right)\right] \times$
\[
\times \frac{1-\cos 2 \pi\left(\rho-\frac{W_{\vec{k}}-W_{k}}{h}\right) t}{\left(\rho-\frac{W_{\vec{k}}-W_{k}}{h}\right)^{2}},
\]

а затем повторим эту процедуру, но с $\bar{M}_{n}$ вместо $\bar{M}_{n}+1$ и $\frac{W_{k}-W_{\bar{k}}}{h}$ вместо $\frac{W_{\bar{k}}-W_{k}}{h}$. После этого остается еще вычислить квадратные скобки [..].

Заметим теперь, что при обычном способе описания не задают значенић $M_{1}, M_{2}, \ldots$ но ограничиваются гораздо меньшим, а именно заданием интенсивностей, т. е. заданием энергии излучения $I(p) d p$. приходящейся на спектральный интервал от $\rho$ до $\rho+d \rho$ и единицу

—————————————————————-
0006ru_fizik_kvant_book11_page-0217.jpg.txt

216
КВАНТОВОМЕХАНИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА
[Гл. III
объема. Это означает, что
\[
\begin{array}{c}
\sum_{\substack{n \\
\rho \rho_{n}<\rho+d \rho}} h \rho_{n} \bar{M}_{n} \approx h \rho \sum_{\substack{\rho \leq \rho_{n}<\rho+d \rho}} \bar{M}_{n}=\mathcal{V} I(\rho) d \rho, \\
\sum_{\rho \leq \rho_{n}<\rho+d \rho}^{n} \bar{M}_{n}=\frac{\mathcal{V I}(\rho)}{h \rho} d \rho .
\end{array}
\]

Число частот $\rho_{n}$, лежащих в интервале $\rho \leqq \rho_{0}<\rho+d \rho$, равно $\frac{8 \pi \mathscr{V} \rho^{2}}{c^{2}} d \rho$, согласно всегда справедливой асимптотической формуле Вейля (ср. ссылку в прим. ${ }^{140}$ ) на стр. 192) $\frac{8 \pi \mathcal{V}^{2}}{c^{2}} d \rho$, и, следовательно,
\[
\sum_{\substack{n \\ \rho \leqq \rho+d_{n}}}\left(\bar{M}_{n}+1\right) \approx \frac{
u\left(I(\rho)+\frac{8 \pi h \rho^{3}}{c^{3}}\right)}{h \rho} d \rho .
\]

Итак, для квадратных скобок […] мы получим в указанных выше двух случаях следующие выражения:
\[
w_{k \bar{k}}(\rho) \frac{\mathscr{V}\left(I(\rho)+\frac{8 \pi h \rho^{3}}{c^{3}}\right)}{h \rho} d \rho \text { и } w_{k \bar{k}}(\rho) \frac{\mathscr{V} I(\rho)}{h \rho} d \rho,
\]

если только величина
\[
\left|\sum_{v=1}^{l} \frac{e_{v}}{m_{v}}\left(P_{v}^{x} \overline{\mathfrak{A}}_{n, x}\left(Q_{v}^{x}, Q_{v}^{y}, Q_{v}^{z}\right)+\ldots\right)_{k \bar{k}}\right|^{2}
\]

флуктуирует (достаточно быстро) в интервале $p \leqq \rho_{n}<p+d \rho$ вокруг некоторого среднего значения, которое мы обозначили через $w_{k \bar{k}}(\rho)$. Напишем еще $
u_{\bar{k} k}$ вместо $\frac{W_{\bar{k}}-W_{k}}{h}$ и $
u_{k \bar{k}}$ вместо $\frac{W_{k}-W_{\vec{k}}}{h}$, тогда наши суммы примут вид
\[
\begin{aligned}
\theta_{k}=\frac{
u}{4 \pi^{2} c^{2} h^{2}} \int_{0}^{\infty}\left\{\left(I(\rho)+\frac{8 \pi h}{c^{3}} \rho^{3}\right)\right. & \frac{1-\cos 2 \pi\left(\rho-
u_{\bar{k} k}\right) t}{\left(\rho-
u_{\bar{k} k}\right)^{2}}+ \\
& \left.+I(\rho) \frac{1-\cos 2 \pi\left(\rho-
u_{k \bar{k}}\right) t}{\left(\rho-
u_{k \bar{k}}\right)^{2}}\right\} \frac{w_{k \bar{k}}(\rho)}{\rho^{2}} d \rho .
\end{aligned}
\]

При малых $t$ этот интеграл будет, очевидно, порядка $t^{2}$ (потому что таков порядок величины 1 – $\cos 2 \pi c t$ ), за исключением лишь того

—————————————————————-
0006ru_fizik_kvant_book11_page-0218.jpg.txt

61
ТЕОРИЯ ИЗЛУЧЕНИЯ
217
участка области интегрирования, в котором знаменатель $\left(\rho-
u_{\bar{k} k}\right)^{2}$ или $\left(p-
u_{k}\right)^{2}$ мал. Здесь могут возникнуть вклады, большие по сравнению с $t^{2}$, и если это так, то эти вклады и будут представлять собой асимптотические выражения для $\theta_{k}$. Действительно, окажется, что это так, ибо мы получим вклады порядка $t$, – их-то и надо нам теперь вычислить.

Так как $
u_{\bar{k} k}=-
u_{k \bar{k}}=\frac{W_{\vec{k}}-W_{k}}{h}$, то при $W_{\tilde{k}}>W_{k}$ малым будет только знаменатель первого члена, а при $W_{\bar{k}}<W_{k}$-только знаменатель второго, поэтому при $W_{\vec{k}}>W_{k}$ мы оставим лишь первый член, а при $W_{\bar{k}}<W_{k}$-лишь второй. Кроме того, так как для $p$, лежащего вдали от $
u_{\bar{k} k}$ и $
u_{k \bar{k}}\left(\right.$ обозначим для краткости $\left.\bar{v}_{k \vec{k}}=\frac{\left|W_{\bar{k}}-W_{k}\right|}{h}\right)$, получаются вклады в интеграл лишь порядка $t^{2}$, то можно заменить подынтегральное выражение его значением при $p=\bar{v}_{k \vec{k}}$, т. е. через
\[
\frac{I w_{k \bar{k}}\left(\bar{v}_{k \bar{k}}\right)}{\bar{v}_{k \bar{k}}^{2}},
\]

где $I=I\left(\bar{v}_{k \bar{k}}\right)+\frac{8 \pi h}{c^{3}} \bar{v}_{k \bar{k}}^{3}$ или $I\left(\bar{v}_{k \bar{k}}\right)$ соответственно. Следовательно,
\[
\theta_{k}=\frac{V I w_{k \bar{k}}\left(\bar{v}_{k \bar{k}}\right)}{4 \pi^{2} c^{2} h^{2} \bar{v}_{k \bar{k}}^{2}} \int_{0}^{\infty} \frac{1-\cos 2 \pi\left(\rho-\bar{v}_{k \bar{k}}\right) t}{\left(\rho-\bar{v}_{k \bar{k}}\right)^{2}} d \rho .
\]

Далее, $\int_{0}^{\infty}$ можно заменить на $\int_{-\infty}^{\infty}$, так как это ведет лишь к дополнительным вкладам порядка $t^{2}$, и ввести еще новую переменную интегрирования $x=2 \pi\left(p-\bar{
u}_{k \bar{k}}\right) t$. Поскольку
\[
\left.\int_{-\infty}^{\infty} \frac{1-\cos 2 \pi\left(\rho-\bar{v}_{k \bar{k}}\right)^{t}}{\left(\rho-\bar{v}_{k \bar{k}}\right)^{2}} d \rho=2 \pi t \int_{-\infty}^{\infty} \frac{1-\cos x}{x^{2}} d x=152\right)=2 \pi^{2} t,
\]
152) Имеем (ср. Courant – Hilbert, стр. 49),
\[
\begin{aligned}
\int_{-\infty}^{\infty} \frac{1-\cos x}{x^{2}} d x=2 \int_{0}^{\infty} \frac{1-\cos x}{x^{2}} d x=\int_{0}^{\infty} \frac{1-\cos 2 y}{y^{2}} d y & = \\
& =2 \int_{0}^{\infty} \frac{\sin ^{2} y}{y^{2}} d y=\pi .
\end{aligned}
\]
то окончательно находим
\[
\theta_{k}=\frac{\gamma I w_{s \bar{k}}\left(\overline{{ }^{
u}}{ }_{k \bar{k}}\right)}{2 h^{2} \bar{v}_{k \bar{k}}^{2}} t,
\]

тем доказывается также и то, что $\theta_{k}$ порядка $t$.
Для вычисления $w_{k \bar{k}}\left(\overline{
u_{k}} \bar{k}\right)$ нужно получить для величины
\[
\left|\sum_{
u=1}^{t} \frac{e_{
u}}{m_{
u}}\left(P_{
u}^{x} \mathfrak{U}_{n, x}\left(Q_{
u}^{x}, Q_{
u}^{y}, Q_{
u}^{z}\right)+\ldots\right)_{k \bar{k}}\right|^{2}
\]

выражение, свободное от $\overline{\mathfrak{U}}_{n}$. К такому выражению можно прийти, если заменить вектор $\overrightarrow{\mathfrak{U}}_{n}$, имея в виду его быстро осциллирующии характер, иррегулярно ориентированным вектором постоянной длины (ввиду его постоянства в пространстве, т. е. независимости от $Q_{v}^{x}$, $Q_{
u}^{y}, Q_{v}^{z}$, он является численным вектором, умноженным на матрицу 1). Постоянную длину $\gamma_{n}$ можно найти из условия нормировки
\[
\iint_{\boldsymbol{H}} \int\left[\overline{\mathfrak{A}}_{n}, \overline{\mathfrak{A}}_{n}\right] d x d y d z=4 \pi c^{2} .
\]

Поэтому
\[
\mathcal{V}^{\rho} \gamma_{n}^{2}=4 \pi c^{2}, \quad \gamma_{n}^{2}=\frac{4 \pi c^{2}}{\mathscr{V}}
\]

На $x$-компоненту $\overline{\mathfrak{R}}_{n, x}^{2}$ приходится в среднем $\frac{1}{3}$ скалярного произведения $\left[\overline{\mathfrak{A}}_{n}, \overline{\mathfrak{A}}_{n}\right]=\overrightarrow{\mathfrak{A}}_{n, x}^{2}+\overline{\mathfrak{A}}_{n, y}^{2}+\overline{\mathfrak{A}}_{n, z}^{2}=\gamma_{n}^{2}$, т. е. она равна $\frac{1}{3} \gamma_{n}^{2}=$ $=\frac{4 \pi c^{2}}{3 \mathscr{V}}$, и аналогично для остальных компонент $\overline{\mathfrak{A}}_{n, \text { у и }}^{2} \overline{\mathfrak{\mathfrak { A }}}_{n, z}^{2}$. Имеем, следовательно,
\[
\begin{array}{l}
w_{k \bar{k}}(\rho)=\underset{\rho \leqq \rho_{n}<\rho+d_{\rho}}{\text { Среднее }}\left|\sum_{
u=1}^{l} \frac{e_{v}}{m_{v}}\left(P_{v}^{x} \overline{\mathfrak{U}}_{n, x}\left(Q_{v}^{x}, Q_{v}^{y}, Q_{v}^{z}\right)+\ldots\right)_{k \bar{k}}\right|^{2} \approx \\
\approx \frac{4 \pi c^{2}}{3 \mathscr{V}}\left(\left|\left(\sum_{
u=1}^{l} \frac{e_{
u}}{m_{v}} P_{v}^{x}\right)_{k \bar{k}}\right|^{2}+\ldots\right) . \\
\end{array}
\]

Так как $H_{0}$, т. е. энергия одной только системы $\boldsymbol{S}$, равняется кинетическон энергии + потенциальная энергия и имеет, следовательно, вид
\[
H_{0}=\sum_{
u=1}^{l} \frac{1}{2 m_{y}}\left(\left(P_{v}^{x}\right)^{2}+\left(P_{v}^{y}\right)^{2}+\left(P_{y}^{z}\right)^{2}\right)+V\left(Q_{1}^{x}, Q_{1}^{y}, Q_{1}^{z}, \ldots, Q_{l}^{x}, Q_{l}^{y}, Q_{l}^{z}\right),
\]
то оказывается, что ${ }^{153}$ )
\[
H_{0} Q_{v}^{x}-Q_{v}^{x} \mathrm{H}_{0}=\frac{h}{2 \pi i} \frac{1}{m_{v}} P_{v}^{x},
\]

и поскольку $\mathrm{H}_{0}$ – диагональная матрица с диагональными элементами $W_{1}, W_{2}, \ldots\left[\left(\mathrm{H}_{0}\right)_{k j}=W_{k} \delta_{k j}\right]$, то отсюда следует для матричных элементов, что
\[
\begin{array}{l}
\left(P_{v}^{x}\right)_{k \bar{k}}=\frac{2 \pi i m_{v}}{h}\left(\mathrm{H}_{0} Q_{v}^{x}-Q_{v}^{x} \mathrm{H}_{0}\right)_{k \bar{k}}=\frac{2 \pi i m_{v}}{h}\left(W_{k}-W_{\bar{k}}\right)\left(Q_{v}^{x}\right)_{k \bar{k}}= \\
= \pm i \cdot 2 \pi m_{
u} \bar{v}_{k \bar{k}}\left(Q_{
u}^{x}\right)_{k \bar{k}}
\end{array}
\]

Таким образом,
\[
w_{k \bar{k}}(\rho)=\frac{16}{3} \frac{\pi^{3}}{\mathcal{\gamma}} \frac{c^{2}}{h^{2}} \bar{v}_{k \bar{k}}^{2}\left(\left|\left(\sum_{
u=1}^{l} e_{
u} Q_{
u}^{x}\right)_{k \bar{k}}\right|^{2}+\ldots\right) .
\]

Подстановка в выражение для $\theta_{k}$ дает формулу
\[
\theta_{k}=\frac{8 \pi^{3}}{3 h^{2}}\left(\left|\left(\sum_{v=0}^{l} e_{
u} Q_{
u}^{x}\right)_{k \bar{k}}\right|^{2}+\ldots\right) \cdot I t .
\]

Полученный результат, положив еще $w_{k \bar{k}}=\left|\left(\sum_{
u=1}^{l} e_{
u} Q_{
u}^{x}\right)_{k \bar{k}}\right|^{2}+\ldots$ можно, очевидно, интерпретировагь следующим образом. Атом $S$ в $k$-м состоянии претерпевает следующие переходы (квантовые скачки):
1. Переход в высшее состояние $\bar{k}\left(W_{\bar{k}}>W_{k}\right)$ происходит $\frac{8 \pi^{3}}{3 h^{2}} w_{k \bar{k}} I\left(\frac{W_{\bar{k}}-W_{k}}{h}\right)$ раз в секунду, т. е. его частота пропорциональна интенсивности поля излучения соответствующей боровской частоты $\frac{W_{\bar{k}}-W_{k}}{h}$.
$\left.{ }^{153}\right) P_{
u}^{x}$ коммутирует со всеми $Q_{\mu}^{x}, Q_{\mu}^{y}, Q_{\mu}^{z}, P_{\mu}^{x}, P_{\mu}^{y}, P_{\mu}^{z}$, за исключением $Q_{
u}^{x}$. Именно,
\[
P_{
u}^{x} Q_{
u}^{x}-Q_{
u}^{x} P_{
u}^{x}=\frac{h}{2 \pi i} 1 .
\]

И значит,
\[
\mathrm{H}_{0} Q_{
u}^{x}-Q_{
u}^{x} \mathrm{H}_{0}=\frac{1}{2 m_{
u}}\left(P_{v}^{x}\right)^{2} Q_{
u}^{x}-Q_{
u}^{x} \frac{1}{2 m_{
u}}\left(P_{v}^{x}\right)^{2}=\frac{h}{2 \pi i} \frac{1}{m_{v}} P_{v}^{x},
\]

ср. прим. ${ }^{143}$ ) на стр. 197.
2. Переход в низшее состояние $\bar{k}\left(W_{\bar{k}}<W_{k}\right)$ происходит $\frac{8 \pi^{3}}{2 h^{2}} w_{k \bar{k}} I\left(\frac{W_{k}-W_{\bar{k}}}{h}\right)$ раз в секунду, т. е: его частота пропорциональна интенсивности поля излучения соответствующей боровской частоты $\frac{W_{k}-W_{\vec{k}}}{h}$.
3. Кроме этого, происходит еще переход в низшее состояние $\bar{k}\left(W_{\bar{k}}<W_{k}\right)$ с частотои $\frac{64 \pi^{4}}{3 h c^{3}} w_{\bar{k} \bar{k}}\left(\frac{W_{k}-W_{\bar{k}}}{h}\right)^{3}$ раз в секунду, т. е. с частотой, совершенно не зависящей от присутствующего поля излучения.

Переход 1. соответствует процессам поглощения из поля излучения; переход 2. – процессам излучения, индуцированным полем излучения; а переход 3. соответствует процессам спонтанного излучения, которые всегда будут происходить с атомом, пока он не добьется окончательного покоя в своем низшем стационарном состоянии (минимальное $W_{k} l$ ).

Три механизма переходов 1. – 3. были термодинамически найдены Einstein’ом еще до открытия квантовои механики ${ }^{154}$ ), не хватало лишь значений «вероятностей переходов» $w_{k \bar{k}}$. Приведенное выше выражение
\[
w_{k \bar{k}}=\left|\left(\sum_{
u=1}^{l} e_{
u} Q_{v}^{x}\right)_{k \bar{k}}\right|^{2}+\left|\left(\sum_{v=1}^{l} e_{
u} Q_{v}^{y}\right)_{k \bar{k}}\right|^{2}+\left|\left(\sum_{v=1}^{l} e_{
u} Q_{v}^{z}\right)_{k \bar{k}}\right|^{2},
\]

как уже упоминалось, содержится в первой интерпретации, данной Гейзенбергом. Мы получили его снова (следуя Дираку) из общей теории.
154) Physik. Z. 18 (1917).