В предыдущих параграфах мы пришли к важным выводам об измерительном процессе, шла ли речь об одной величине или же о нескольких, измеримых одноврєменно. Теперь нам надо выяснить, как будут вести себя величины, не измеримые одновременно, – мы будем интересоваться их статистикой в одной и той же системе (и в одном и том же состоянии $\varphi$ ).

Итак, пусть даны две такие величины $\mathfrak{R}$ и ( ), равно как и их (не коммутирующие) операторы $R$ и $S$. Несмотря на это предположение, такие состояния $\varphi$, в ксторых обе величины имеют точно определенные значения (т. е. дисперсию, равную 0), могут существовать, т. е. могут существовать собственные функции, общие для них обеих, нельзя только образовать из них полную ортогональную систему, так как тогда $R$ и $S$ коммутировали бы. (Ср. построение, приведенное в II. 8 для соответствующих разложений единицы $E(\lambda)$, $F(\lambda):$ если $\varphi_{1}, \varphi_{2}, \ldots$ образуют полную ортогональную систему, о которой шла речь, то как $E(\lambda)$, так и $F(\lambda)$ будут суммами $P_{\left[p_{p}\right]}$ и потому будут коммутировать, так как коммутируют $P_{\left[\varphi_{p}\right]}$.) Легко понять, что это означает, что замкнутое линейное многообразие $\mathfrak{M}$, натянутое на эти $\varphi$, должно быть меньше, чем $\mathfrak{R}_{\infty}$, – потому что, будь оно равно $\mathfrak{R}_{\infty}$, искомая полная ортонормированная система могла бы быть построена точно так же, как это было сделано в начале II. 6 для одного оператора.

В состояниях из $\mathfrak{R}$ наши величины $\mathfrak{R}$ и $\mathscr{C}^{\circ}$ измеримы одновременно, что проще всего показать, приведя модель такого одновременного измерения. Поскольку общие собственные функции $\varphi$ операторов $R$ и $S$ растягивают $\mathfrak{R}$, то тем самым существует и растягивающая $\mathfrak{R}$ (т. е. полная в $\mathfrak{M}$ ) ортонормированная система таких $\varphi: \varphi_{1}, \varphi_{2}, \ldots$ (и их можно получить путем только что упомянутого построения из II. 6). Расширим систему $\varphi_{1}, \varphi_{2}, \ldots$ до полной системы $\varphi_{1}, \varphi_{2}, \ldots, \psi_{1}, \psi_{2}, \ldots$ добавляя ортонормированную систему $\psi_{1}, \psi_{2}, \ldots$, которая растягивает $R_{\infty}-\mathfrak{R}$. Пусть теперь $\lambda_{1}, \lambda_{2}, \ldots$ $\ldots, \mu_{1}, \mu_{2}, \ldots$ – все различные числа, $T$ – оператор, определенный соотношением
\[
T\left(\sum_{n} x_{n} \cdot \varphi_{n}+\sum_{n} y_{n} \cdot \psi_{n}\right)=\sum_{n} \lambda_{n} x_{n} \cdot \varphi_{n}+\sum_{n} \mu_{n} y_{n} \cdot \psi_{n},
\]

а $\mathfrak{x}$ – соответствующая этому оператору величина.
Измерение $\mathfrak{z}$ создает (как мы это знаем из III. 3) одно из состояний $\varphi_{1}, \varphi_{2}, \ldots, \psi_{1}, \psi_{2}, \ldots$ Если таким состоянием окажется $\varphi_{n}$ (что мы заметим потому, что результатом измерения будет одно из $\lambda_{n}$ ), то нам будут известны и эначения величин $\mathfrak{\ell}$ и $\boldsymbol{\mathcal { S }}$. Действительно, $\mathfrak{A}$ и $\mathfrak{S}$ имеют в состоянии $\varphi_{n}$ по предположению точно определенные значения, и мы можем с достоверностью предсказать, что в измерении $\mathfrak{A}, \mathscr{\mathscr { S }}$, которое производится немедленно вслед за этим, будут найдены как раз эти значения. С другой стороны, если в результате измерения образуется $\psi_{n}$, то ничего подобного не известно ( $\psi_{n}$ не принадлежит $\left.\mathfrak{2}\right)$; поэтому $\mathfrak{N}$ и (5 не определены точно в состояниии $\psi_{n}$ ). Но вероятность того, что система будет обнаружена в состоянии $\psi_{n}$, равна, как мы знаем, $P_{\left[\psi_{n}\right]} \varphi, \varphi$, а вероятность найти систему в любом из состояний $\psi_{n}(n=1,2, \ldots)$ –

Эта вероятность равна 0 , т. е. $\mathfrak{A}$ и ( измеримы одновременно с достоверностью, если $\varphi=P_{\mathfrak{M} \varphi}$, т. е. если $\varphi$ принадлежит к $\mathfrak{M}{ }^{129}$ ).

Так как нас интересуют сейас одновременно неизмеримые величины, примем, что осуществляется крайний случай $\mathfrak{M}=(0)$, т. е. предположим, что $\mathfrak{A}$ и $\mathfrak{S}$ не измеримы одновременно ни в каком состоянии или, иными словами, что не существует общих собственных функций для $R$ и $S$.

Если операторы $R, S$ обладают разложениями единицы $E(\lambda)$, $F(\lambda)$ и система находится в состоянии $\varphi$, то, как мы знаем из III. 1 , математические ожидания операторов $R$ и $S$ будут равны
\[
\rho=(R \varphi, \varphi), \quad \sigma=(\mathcal{S} \varphi, \varphi),
\]

а их дисперсии, т. е. математические ожидания величин ( $\mathfrak{A}-\rho)^{2}$ и (ङ- ) $)^{2}$ (ср. обсуждение абсолютно точного измерения в III. 3), будут равны
\[
\begin{array}{l}
\varepsilon^{2}=\left((R-\rho \cdot 1)^{2} \varphi, \varphi\right)=\|(R-\rho \cdot 1) \varphi\|^{2}=\|R \varphi-\rho \varphi\|^{2}, \\
\eta^{2}=\left((S-\sigma \cdot 1)^{2} \varphi, \varphi\right)=\|(S-\sigma \cdot 1) \varphi\|^{2}=\|S \varphi-\sigma \varphi\|^{2} .
\end{array}
\]

После известного преобразования эти выражения принимают вид ${ }^{130}$ )
\[
\varepsilon^{2}=\|R \varphi\|^{2}-(R \varphi, \varphi)^{2}, \quad \eta^{2}=\|S \varphi\|^{2}-(S \varphi, \varphi)^{2}
\]
129) Дальнейшее подробное обсуждение «одновременной измеримости в состоянии $\varphi$ из $\mathfrak{M}$ » величин $\mathfrak{R}$ и $\mathfrak{C}$, не измеримых абсолютно точно (непрерыв̈ные спектры) и т. д., предоставляется читателю. Его можно провести точно таким же способом, какой был использован в рассмотрениях III. 3. 130) Вычисление с операторами делается следующим образом:
\[
\begin{aligned}
\varepsilon^{2}=\left((R-\rho \cdot 1)^{2} \varphi, \varphi\right)= & \left(R^{2} \varphi, \varphi\right)-2 \rho \cdot(R \varphi, \varphi)+\rho^{2}= \\
& =\|R \varphi\|^{2}-2 \cdot(R \varphi, \varphi)^{2}+(R \varphi, \varphi)^{2}=\|R \varphi\|^{2}-(R \varphi, \varphi)^{2}
\end{aligned}
\]

и соответственно для $n^{2}$.
(так как $\|\varphi\|=1$, то уже неравенство Шварца, т. е. теорема 1 . из II. 1, показывает, что левые части $\geqq 0$ ). Возникает вопрос: поскольку $\varepsilon$ и $\eta$ не могут одновременно равняться нулю, хотя порознь \& и $\eta$ могут оыть сделаны сколь угодно малыми (ведь $\mathfrak{\Re}$ и ( по отдельности измеримы с произвольной, возможно даже с абсолютной точностью), то должны существовать соотношения между $\varepsilon$ и $\eta$, которые препятствуют их одновременному уменьшению – какой вид они имеют?

Существование таких соотношений было открыто $\mathrm{Heisen-}$ berg’ ом ${ }^{131}$ ), и они чрезвычайно важны для познания неопределенностей, вносимых квантовой механикой в описание природы. Поэтому их называют соотношениями неопределенности. Мы выведем сначала математически самое важное соотношение этого типа, а затем вернемся к его принципиальному значению и его связи с опытом.

В матричной теории важную роль играли операторы $P$ и $Q$ с перестановочными соотношениями
\[
P Q-Q P=\frac{h}{2 \pi i} 1,
\]

они сопоставлялись, например, координате и сопряженному ей импульсу (ср. I. 2) или, более общо, любым двум величинам, которые были канонически сопряженными друг другу в классической механике (см., например, работы, упомянутые в прим. ${ }^{2}$ ) на стр. 10). Рассмотрим несколько более общо любые два эрмитова оператора $P$ и $Q$, для которых
\[
P Q-Q P=a \cdot 1 .
\]
(Так как $(P Q-Q P)^{*}=Q P-P Q, \quad$ то $\quad(a \cdot 1)^{*}=\bar{a} \cdot 1=-a \cdot 1$, $\bar{a}=-a$, т. е. $a$ должно быть чисто мнимым. Это операторное равенство не распространяется, конечно, на области определения обеих его сторон: $P Q-Q P$ может иметь смысл не везде.) Для любого состояния $\varphi$ тогда будет
\[
\begin{aligned}
2 \operatorname{Im}(P \varphi, Q \varphi) & =l[(P \varphi, Q \varphi)-(Q \varphi, P \varphi)]=-l[(Q P \varphi, \varphi)-(P Q \varphi, \varphi)]= \\
& =(l\{P Q-Q P\} \varphi, \varphi)=l a \cdot\|\varphi\|^{2} .
\end{aligned}
\]

Пусть $a
eq 0$, тогда мы имеем (теорема 1. из II. 1)
\[
\|\varphi\|^{2}=-\frac{2 i}{a} \operatorname{Im}(P \varphi, Q \varphi) \leqq \frac{2}{|a|}|(P \varphi, Q \varphi)| \leqq \frac{2}{|a|}\|P \varphi\| \cdot\|Q \varphi\|,
\]
13i) Z. Physik 43 (1927). Эти соображения были обобщены Во h r’ ом, Naturwiss. 16 (1928). Аналитическое рассмотрение, которое мы собираемся сейчас изложить, было предложено Kennard’oм, Z. Physik, Bd. 44 (1926), Robertson придал ему современный вид.
поэтому в случае $\|\varphi\|=1$ это дает
\[
\|P \varphi\| \cdot\|Q \varphi\| \geq \frac{|a|}{2} .
\]

Так как операторы $P-p \cdot 1, Q-\sigma .1$ удовлетворяют тем же перестановочным соотношениям, то имеем аналогично
\[
\|P \varphi-\rho \varphi\| \cdot\|Q p-\sigma \varphi\| \geqq \frac{|a|}{2},
\]

и если мы введем математические ожидания и дисперсии
\[
\begin{array}{ll}
\rho=(P \varphi, \varphi), & \varepsilon^{2}=\|P \varphi-\rho \varphi\|^{2}, \\
\sigma=(Q \varphi, \varphi), & \eta^{2}=\|Q \varphi-\sigma \varphi\|^{2},
\end{array}
\]

то получится
(U.)
\[
\varepsilon r_{i} \geqq \frac{|a|}{2} \text {. }
\]

Для того чтобы имел место знак равенства, необходимо и достаточно, чтобы в неравенствах $\leqq$ использованных при выводе, всегда использовался бы знак $=$. Полагая $P^{\prime}=P-p .1$ и $Q^{\prime}=Q-0.1$, будем иметь
\[
-\frac{i|a|}{a} \operatorname{Im}\left(P^{\prime} \varphi, Q^{\prime} \varphi\right)=\left|\left(P^{\prime} \varphi, Q^{\prime} \varphi\right)\right|=\left\|P^{\prime} \varphi\right\| \cdot\left\|Q^{\prime} \varphi\right\| \cdot
\]

Согласно теореме 1. из II. 1, второе уравнение означает, что $P^{\prime} \varphi$ и $Q^{\prime} \varphi$ отличаются друг от друга лишь на постоянный множитель, и поскольку из $\left\|P^{\prime} \varphi\right\| \cdot\left\|Q^{\prime} \varphi\right\| \geq \frac{|a|}{2}>0$ следует, что $P^{\prime} \varphi
eq 0$ и $Q^{\prime} \varphi
eq 0$, то должно быть $P^{\prime} \varphi=c \cdot Q^{\prime} \varphi, \quad c
eq 0$. Первое уравнение означает, что ( $\left.P^{\prime} \varphi, Q^{\prime} \varphi\right)=c \cdot\left\|Q^{\prime} \varphi\right\|^{2}$ чисто мнимо и даже что коэффициент при $i$ имеет тот же знак, что и у $-\frac{i|a|}{a}$ (вещественного!), т. е. противоположный знаку $a$. Итак, $c=i \gamma, \gamma$ вещественно и в зависимости от того, $\frac{a}{i} \lessgtr 0$. Следовательно,
(GI.) $P^{\prime} \varphi=i \gamma \cdot Q^{\prime} \varphi, \gamma$ вещественно и $\$ 0$ для $i a \lessgtr 0$.

Определение $\rho$ и о требует еще, чтобы было ( $\left.P^{\prime} \varphi, \varphi\right)=0$ и $\left(Q^{\prime} \varphi, \varphi\right)=0$. Но поскольку из (Gl.) следует, что $\left(P^{\prime} \varphi, \varphi\right)=i \gamma\left(Q^{\prime} \varphi, \varphi\right)$, где слева стоит нечто вещественное, а справа – нечто чисто мнимое, то оба эти уравнения выполняются автоматически. Нам еще осталось определить $\varepsilon$ и $\eta$. Имеем
\[
\varepsilon: \eta=\left\|P^{\prime} \varphi\right\|:\left\|Q^{\prime} \varphi\right\|=c|=| \gamma \left\lvert\,, \quad s \eta=\frac{|a|}{2}\right.,
\]

поэтому, так как $\varepsilon$ и $\eta$ оба положительны,
\[
\varepsilon=\sqrt{\frac{|a| \cdot|\gamma|}{2}}, \quad \eta=\sqrt{\frac{|a|}{2|\gamma|}} .
\]

В случае квантовой механики $a=\frac{h}{2 \pi i}$ и мы получаем из (U.)
\[
\left(U^{\prime}\right)
\]
\[
\varepsilon \cdot \eta \geqq \frac{h}{4 \pi} \text {. }
\]

Можно обсудить и соотношение (Gl.) для того случая, когда $P, Q$ являются, например, операторами теории Шредингера: $P=$ $=\frac{h}{2 \pi i} \frac{\partial}{\partial q} \ldots, Q=q \ldots$ (C. I. 2 , мы принимаем, что рассматривается механическая система с одной степенью свободы, ее единственной координатой является $q$.) Тогда ( $G l$.) дает
\[
\left(\frac{h}{2 \pi i} \frac{\partial}{\partial q}-\rho\right) \varphi=i \gamma(q-\sigma) \varphi .
\]

где из-за $t a=\frac{h}{2 \pi}>0 \gamma>0$. Поэтому
\[
\frac{\partial}{\partial q} \varphi=\left\{-\frac{2 \pi}{h} \gamma q+\frac{2 \pi}{h} \gamma \sigma+\frac{2 \pi}{h} \rho l\right\} \varphi .
\]
T. e.
\[
\begin{aligned}
\varphi=e^{q}\left\{-\frac{2 \pi}{h} \gamma q+\frac{2 \pi}{h} \gamma^{\sigma+\frac{2 \pi}{h} \rho l}\right\} d q & \\
& =C e^{-\frac{\pi \gamma}{h} q^{2}+\frac{2 \pi \gamma}{h} \sigma q+\frac{2 \pi p}{h} i q}=C^{\prime} e^{-\frac{\pi \gamma}{h}(q-0)^{2}+\frac{2 \pi p}{h} i q} .
\end{aligned}
\]

Благодаря $\gamma>0$ оказывается, что $\|\varphi\|^{2}=\int_{\infty}^{\infty}|\varphi(q)|^{2} d q$ в самом деле конечно, и $C^{\prime}$ определяется из условия $\|\varphi\|=1$ :
\[
\begin{array}{c}
\|\varphi\|^{2}=\int_{-\infty}^{\infty}|\varphi(q)|^{2} d q=\left|C^{\prime}\right|^{2} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-\frac{2 \pi \gamma}{h}(q-0)^{2}} d q= \\
=\left|C^{\prime}\right|^{2} \sqrt{\frac{h}{2 \pi \gamma}} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^{2}} d x=\left|C^{\prime}\right|^{2} \sqrt{\frac{h}{2 \pi \gamma}} \sqrt{\pi}=\left|C^{\prime}\right|^{2} \sqrt{\frac{h}{2 \gamma}}=1, \\
\left|C^{\prime}\right|=\left(\frac{2 \gamma}{h}\right)^{\frac{1}{4}} .
\end{array}
\]
Поэтому, пренебрегая не имеющим физического смысла множителем модуля 1, найдем, что $C^{\prime}=\left(\frac{2 \gamma}{h}\right)^{\dot{\hbar}}$, т. е.
\[
\varphi=\varphi(q) \equiv\left(\frac{2 \gamma}{h}\right)^{\frac{1}{4}} e^{-\frac{\pi \gamma}{h}(q-\sigma)^{2}+\frac{2 \pi p}{h} i q} .
\]

ะ и $\eta$ мы уже знаем:
\[
\varepsilon=\sqrt{\frac{h \gamma}{4 \pi}}, \quad \eta=\sqrt{\frac{h}{4 \pi \gamma}} .
\]

Поэтому, если отвлечься от условия $\varepsilon \eta=\frac{h}{4 \pi}$, они, пока $\gamma$ меняется от 0 до $+\infty$, пробегают все значения, т. е. любой набор из четыpex величин $p, \sigma, \varepsilon, \eta$, удовлетворяющих условию $\varepsilon \eta=\frac{1}{4 \pi}$, реализуется в точности в одном состоянии $\varphi$. Впервые такие состояния $\varphi$ были исследованы Геизенбергом и применены для разъяснения квантовомеханических соотношений – они исключительно удобны для этой цели, так как дают наивысшую возможную (в квантовой механике) степень приближения к соотношениям классическон механики (где ни $p$, ни $q$ не имеют дисперсии!) и так как $\varepsilon$ и $\eta$ можно придать по произволу приписанные значения (ср. ссылку в прим. ${ }^{131}$ ) на стр. 174).

Наши предыдущие соображения относятся лишь к одному, а именно формальному, аспекту соотношений неопределенности; для полного понимания этих соотношений необходимо еще рассмотреть их с другой точки зрения: с точки зрення непосредственного физического опыта. Действительно, соотношения неопределенности стоят к нему в более прозрачном и более простом отношении, чем многие другие факты, на которых была основана квантовая механика, и потому заслуживают большего, чем приведенное выше чисто формальное доказательство. Наглядное обсуждение тем более необходимо, что на первый взгляд могло бы даже возникнуть впечатление, что мы сталкиваемся здесь с противоречием со здравым смыслом: ведь без дальнейшего обсуждения непонятно, почему нельзя было бы измерить положение и скорость (т. е. координату и импульс) материального тела одновременно и со сколь угодно большой точностью, если только есть достаточно тонкие измерительные средства. Поэтому надо сделать совершенно ясным, путем подробного анализа тончайших процессов измерения (осуществимых, возможно, лишь в смысле мысленных экспериментов), что это не так. Более того, хорошо известные законы волновой оптики, электродинамики и элементарных атомных процессов ставят непреодолимые трудности на пути точного измерения как раз там, где того требует соотношение неопределенности. Дело обстоит даже так, что в этом можно убедиться, еще рассматривая упомянутые процессы чисто классически (не квантово-
12 и. Нейман
теоретически!). Это обстоятельство имеет принципиальное значение, так как показывает, что в классической, обоснованной независимо от справедливости квантовой механики, области (т. е. там, где квантовые явления еще не требуют существенных поправок к старому способу рассмотрения, – значит, единственно непосредственно доступной нашему наглядному восприятию ${ }^{132}$ )) мы не вступаем в противоречие
Рис. 1. с парадоксально звучащими соотношениями неопределенности квантовой механики.
Нам следует, таким образом, показать, что если $p$ и $q$ являются дзумя канонически сопряженными величинами и система находится в состоянии, в котором значение $p$ может быть задано с точностью $\varepsilon$ (т. е. измерение $p$ допустимо с ошибкой в пределах $\varepsilon$ ), то значение $q$ нельзя узнать с точностью, превосходящей $\eta=\frac{h}{2 \pi}: \varepsilon$. Иными словами, измерение $p$ с точностью в вносит неопрәделенность $\eta=\frac{h}{2 \pi}: \varepsilon$ в значение $q$. Естественно, что при таком очень качественном рассмотрении нельзя надеяться точно передать все детали: вместо соотношения $\varepsilon \eta=\frac{h}{4 \pi}$ мы сможем показать только, что $\varepsilon \eta \sim h$ (т. е. $\varepsilon \eta$ равно $h$ по порядку величины) в случае по возможности наиболее точного измерения. В качестве типичного примера мы рассмотрим сопряженную пару: положение (координата)импульс частицы $T^{133}$ ).

Исследуем сначала определение положения. Определить положение частицы $\boldsymbol{T}$ можно, наблюдая ее, т. е. если она освещается и рассеянный ею свет поглощается в глазу. Итак (рис. 1), квант света $\boldsymbol{L}$ испускается источником света $\boldsymbol{l}$ в направлении частицы $\boldsymbol{T}$, при столкновении с $\boldsymbol{T}$ отклоняется от прямолинейного пути $\beta \beta_{1}$ в направлении $\beta \beta_{2}$ и в конце своего пути гибнет, поглощаясь экраном Sch
132) Фундаментальный смысл этого обстоятельства был подчеркнут Бором (см. ссылку в прим. ${ }^{131}$ )). Однако метод описания, которому мы следуем ниже, не является совершенно классическим в одном отношении: мы будем предполагать, что существуют световые кванты или, иными словами, что свет частоты $v$ никогда не проявляет себя с количеством энергии меньщим, чем $h v$.
133) Нижеследующим обсуждением мы обязаны Гайзенбергу и Бору, см. ссылки в прим. ${ }^{131}$ ) на стр. 174.
(представляющим собой глаз или фотографическую пластинку). Измерение состоит в констатации того, что $\boldsymbol{L}$ встречает экран не в точке $\boldsymbol{I}$ (в конце неотклоненного пути $\beta \beta_{1}$ ), а в точке 2 (в конце $\beta \beta_{2}$ ). Но для того чтобы отсюда сделать вывод о месте столкновения (т. е. о месте нахождения частицы $T$ ), надо знать и направления $\beta$ и $\beta_{2}$ (т. е. направление движения кванта света $\boldsymbol{L}$ до и после столкновения): этого можно достичь, добазляя систему диафрагм ss и $s^{\prime} s^{\prime}$. (При этом мы, собственно, не измеряем координату частицы $\boldsymbol{T}$, но лишь судим, имеет ли эта координата определенное-соответствующее точке пересечения направлений $\beta$ и $\beta_{2}$, которую можно выбрать по желанию, установив соответствующим образом щели, – значение или нет. Только суперпозиция многих таких рассуждении, т. е. установка многих щелей $s^{\prime} s^{\prime}$, эквивалентна измерению.) Как же обстоит дело с точностью такого измерения положения?

Его точность принципиальным образом ограничена законами образования оптического изображения. Деиствительно, с помощью света с длиной волны $\lambda$ невозможно резко отобразить объекты меньшие, чем $\lambda$, или же хотя бы подавить дифракцию до такой степени, чтьбы можно было говорить об одном (искаженном) изображении. Конечно, мы не требуем оптического изображения, так как для определения положения $\boldsymbol{T}$ достаточно простого факта отклонения $\boldsymbol{L}$. Однако щели $s s$ и $s^{\prime} s^{\prime}$ нельзя делать уже, чем $\lambda$, так как иначе $\boldsymbol{L}$ не сможет легко преодолеть их без искажений и возникнет целая куча интерференционных полос, так что по направлениям линий, соединяющих последовательные щели $s s$ и $s^{\prime} s^{\prime}$, уже ничего нельзя будет заключить о направлениях световых лучей $\beta$ и $\beta_{2}$. Отсюда следует, что с помощью такой бомбардирующей частицы $\boldsymbol{L}$ невозможно прицелиться и попасть с точностью большей, чем $\lambda$.

Итак, длина волны $\lambda$ это в то же время и мера ошибки при измерении координаты: $\lambda \sim \varepsilon$. ДальнеИшими характеристиками светового кванта $\boldsymbol{L}$ являются его частота у, его энергия $\bar{E}$, его импульс $\bar{p}$; между ними существуют хорошо известные соотношения
\[

u=\frac{c}{\lambda}, \quad \bar{E}=h
u=\frac{h c}{\lambda}, \quad \bar{p}=\frac{\vec{E}}{c}=\frac{h
u}{c}=\frac{h}{\lambda}
\]
$\left(c-\right.$ скорость света) $\left.{ }^{134}\right)$. Следовательно, $\bar{p} \sim \frac{h}{\varepsilon}$. В точно не известном процессе столкновения между $\boldsymbol{L}$ и $\boldsymbol{T}$ происходит некоторая передача импульса, которая, очевидно, имеет порядок самого $\vec{p}$, т. е. тот же порядок, что и $\frac{h}{\varepsilon}$. Отсюда для $T$ вытекает неопределенность $\eta \sim \frac{h}{\varepsilon}$ в значении импульса.
134) Cp., например, оригинальную работу Einstein’a, Ann. Physik 14 (1905) или любой современный учебник.
$12^{*}$
Этим соотношение $\varepsilon \eta \sim h$ было бы доказано, не будь при этом просмотрена одна деталь. Дело в том, что процесс столкновения не так уж неопределенен. В денствительности известны направления движения $\boldsymbol{L}$ до и после ( $\beta$ и $\beta_{2}$ ) и поэтому также его импульсы, откуда может быть найдена передача импульса частице $\boldsymbol{T}$. Следовательно, $\bar{p}$ не является мерой $\eta$. Таковой, скорее, является возможная неопределенность в направлениях лучей $\beta$ и $\beta_{2}$. Чтобы установить точнее связь между «прицелом» на маленький объект $\boldsymbol{T}$ и неопределенностью в направлении, которая с этим связана, разумно воспользоваться приспособлением с лучшей фокусировкой, чем щель $s s$, а именно
Рис. 2. линзой. Следовательно, надо учесть результаты известной теории микроскопа, согласно которой для освещения элемента поверхности с линейными размерами $\varepsilon$ (т. е. для попадания в частицу $\boldsymbol{T}$ лучом $\boldsymbol{L}$ с точностью $\varepsilon$ ) необходимо, чтобы между длиной волны $\lambda$ и апертурой линзы существовало соотношение $\frac{\lambda}{2 \sin \frac{\varphi}{2}} \sim \varepsilon$ (рис. 2) ${ }^{135}$ ). Неопределенность в $t t$-компоненте импульса луча $\boldsymbol{L}$ связана с тем, что его направление лежит в угле между $-\frac{\varphi}{2}$ и $+\frac{\varphi}{2}$, а в остальном неизвестно. Следовательно, ошибка будет порядка $2 \sin \frac{\varphi}{2} \bar{p}=\frac{\lambda}{\varepsilon} \cdot \frac{h}{\lambda}=\frac{h}{\varepsilon}$. Но это – правильная мера для $\eta$, следовательно, снова $\eta \sim \frac{h}{\varepsilon}$, т. е. $\varepsilon \eta \sim h$.

Этот пример очень ясно раскрывает механизм принципа неопределенности: чтобы точнее прицелиться, необходимы широкие глаза (большая апертура ‘ч) и очень корстковолновое излучение, т. е. очень неопределенные (и большие) импульсы световых квантов, которые сталкиваются (эффект Комптона) с наблюдаемым объектом $T$ в значительной степени неконтролируемым образом и тем самым «размазывают» его импульс.
135) По поводу теории микроскопа см., например, Handbuch der Physik, Berlin, 1927, Bd. 18, Kар. 2. $G$. В очень точных измерения $\varepsilon$, а значит и $\lambda$, очень мало, т. е. надо пользоваться $\gamma$-лучами или еще более короткими длинами волн. Обычная линза отказывает при таких условиях, и применимой была бы только такая, молекулы которой не разрушались бы и не выбивались из своих положений этими $\gamma$-лучами. Поскольку существование таких молекул и частиц не нарушает никаких известных законов природы, то их допустимо использовать для целей мысленного эксперимента.
Рассмотрим еще противоположныи процесс измерения: измерение скорости (импульса). Сначала следует заметить, что естественным методом измерения скорости частицы $\boldsymbol{T}$ являются измерение ее положений для двух различных моментов времени, скажем 0 и $t$, и деление изменений координат на $t$. В этом случае, однако, скорость в интервале времени $0, t$ должна быть постоянна; если же она изменяется, то это изменение является мерой отклонения вычисленной выше скорости от настоящей скорости (скажем, в момент времени $t$ ), т. е. мерой неопределенности измерения. То же справедливо для измерения импульса. Дальше, если измерения координаты сделаны с точностью $\varepsilon$, то это в дейтвительности не влияет на точность измерения среднего импульса, так как $t$ можно выбрать произвольно большим. Тем не менее это приведет к изменению импульса порядка $\frac{h}{\varepsilon}$ и, следовательно, к неопределенности в конечном значении импульса порядка $\eta \sim \frac{h}{\varepsilon}$. Итак, в любом случае получается $\varepsilon \eta \sim h$. Чего-нибудь нового, если только это вообще возможно, можно было бы ждать поэтому только от таких измерений импульса, которые не связаны с измерением положения. Такие измерения вполне возможны, и ими часто пользуются в астрономии, они основаны на эффекте Допплера, и мы сенчас рассмотрим этот эффект.

Как хорошо известно, эффект Допплера состоит в следующем. Свет, излученный телом $\boldsymbol{T}$, движущимся со скоростью $v$, частоты $v_{0}$ (измеренной на движущемся теле), воспринимается покоящимся наблюдателем как свет измененной частоты $
u$, которую можно вычислить из соотношения $\frac{
u-
u_{0}}{
u_{0}}=\frac{v}{c} \cos \theta$ ( $\theta$ – угол между направлением движения и направлением излучения. Правда, эта формула нерелятивистская, т. е. она верна лишь при малых $\frac{v}{c}$, но ее легко можно было бы исправить). Поэтому определение скорости возможно, если $
u$ наблюдается, а $v_{0}$ известно, скажем, потому, что это определенная спектральная линия известного элемента. Точнее, измеряется компонента скорости в направлении наблюдения (направлении излучения света) $v \cos \theta=\frac{c\left(v-v_{0}\right)}{v_{0}}$ или же соответствующая компонента импульса $p^{\prime}=p \cos \theta=\frac{m c\left(
u-
u_{0}\right)}{
u_{0}}(m-$ масса тела $\boldsymbol{T})$. Дисперсия $\eta$ импульса $p^{\prime}$ зависит, очевидно, от дисперсии $\Delta v$ частоты $
u$, так что $\eta \sim \frac{m c \Delta
u}{v_{0}} \sim \frac{m c \Delta
u}{
u}$. Импульс тела $T$, конечно, изменяется из-за того, что оно испускает квант света частоты у и тем самым с импульсом
$\bar{p}=\frac{h
u}{c}$, но неопределенность в этой величине $\frac{h \Delta
u}{c}$ пренебрежимо мала по сравнению с $\frac{m c \Delta
u}{
u}{ }^{136}$ ).

Частоту $\vee$ можно измерить каким угодно интерференционным методом. Но при таком измерении абсолютно точное значение $у$ получится, естественно, лишь для чисто монохроматических цугов световых волн. Такой цуг волн имеет форму $a \sin \left(2 \pi\left(\frac{q}{\lambda}-v t\right)+\alpha\right)$ ( $q$ – координата, $t$-время, $a$-амплитуда, $\alpha$ – фаза,-это выражение представляет любую компоненту напряженности электрического или магнитного поля) и, значит, распространен по всему бесконечному пространству и времени. Чтобы избежать этого, приходится заменить это выражение, которое можно записать также и как $a \sin \left(2 \pi
u\left(\frac{q}{c}-t\right)+\alpha\right)$, так как $\lambda=\frac{c}{
u}$, другим, $F\left(\frac{q}{c}-t\right)$, отличным от нуля лишь в конечном интервале изменений своего аргумента. Если световая волна имеет такую форму, то ее, как известно, надо подвергнуть анализу Фурье
\[
F(x)=\int_{0}^{+\infty} a_{
u} \sin \left(2 \pi
u x+\alpha_{
u}\right) d
u .
\]

Тогда интерференционная картина покажет все частоты $
u$, для которых $a_{
u}
eq 0$, причем интервал частот $
u,
u+d
u$ войдет с относительной интенсивностью $a_{v}^{2} d v$. Дисперсия $v$, т. е. $\Delta v$, должна быть вычислена из этого распределения.

Если рассматриваемый цуг волн имеет протяженность $\tau$ по $x$, т. е. соответственные протяженности по $t$ и $q$ составят $\tau$ и $c \tau$, то, как легко видеть, дисперсия частоты $
u$ будет $\sim \frac{1}{\tau}{ }^{137}$ ). Неопреде-
136) Утверждение: $\frac{m c \Delta
u}{
u}$ велико по сравнению с $\frac{h \Delta v}{c}$ – означает, что v мало по сравнению с $\frac{m c^{2}}{h}$, или же $\vec{E}=h
u$ мало по сравнению с $m c^{2}$, т. е. энергия светового кванта $L$ мала по сравнению с релятивистской массой покоя тела $T$, 一 это и без того неизбежное предположение при нерелятивистских вычислениях.
137) Пусть, например, $F(x)$ является конечным монохроматическим цугом волн частоты $
u_{0}$, протяженным от 0 до $\tau$ :
\[
F(x)=\left\{\begin{array}{cl}
\alpha \sin 2 \pi
u_{0} x & \text { для } 0 \leqq x \leqq \tau, \\
0 & \text { вне этого интервала. }
\end{array}\right.
\]
(В силу непрерывности, на концах ингервала $\sin 2 \pi
u_{0} \tau$ должен равняться 0 , т. е. должно быть $\left.\mathrm{v}_{0}=\frac{n}{2 \tau}, n=1,2,3, \ldots\right)$ Тогда на основе известных
ленность положения возникает при таком способе измерения из-за тoro, что тело $T$ испытывает отдачу $\frac{h v}{c}$ (в направлении наблюдения) за время индивидуального акта испускания кванта света, т. е. его скорость подвергается изменению порядка $\frac{h v}{m c}$. Поскольку на процесс испускания требуется промежуток времени $\tau$, то момент этого формул обращения интеграла Фурье (см. прим. ${ }^{87}$ ) на стр. 102) $a_{v}^{2}=b_{v}^{2}+c_{v}^{2}$, где
\[
\begin{array}{l}
\left.\begin{array}{l}
b_{
u} \\
c_{
u}
\end{array}\right\}=2 \int_{-\infty}^{+\infty} F(x)\left\{\begin{array}{l}
\cos \\
\sin
\end{array}\right\} 2 \pi v x \cdot d x=2 a \int_{0}^{\tau} \sin 2 \pi
u_{0} x \cdot\left\{\begin{array}{l}
\cos \\
\sin
\end{array}\right\} 2 \pi
u x \cdot d x= \\
= \pm a \int_{0}^{\tau}\left(\left\{\begin{array}{l}
\sin \\
\cos
\end{array}\right\} \pi\left(
u+
u_{0}\right) x-\left\{\begin{array}{l}
\sin \\
\cos
\end{array}\right\} \pi\left(
u-
u_{0}\right) x\right) d x= \\
=-a\left[\frac{\left\{\begin{array}{c}
\cos \\
\sin
\end{array}\right\} \pi\left(
u+
u_{0}\right) x}{\pi\left(
u+
u_{0}\right)}-\frac{\left\{\begin{array}{c}
\cos \\
\sin
\end{array}\right\} \pi\left(
u-
u_{0}\right) x}{\pi\left(
u-
u_{0}\right)}\right]_{0}^{\tau}= \\
=\left\{\begin{array}{c}
-a\left[\frac{(-1)^{n} \cos \pi
u \tau-1}{\pi\left(
u+
u_{0}\right)}-\frac{(-1)^{n} \cos \pi
u \tau-1}{\pi\left(
u-
u_{0}\right)}\right]= \\
=-\frac{2 a
u_{0}\left(1-(-1)^{n} \cos \pi
u \tau\right)}{\pi\left(
u^{2}-
u_{0}^{2}\right)}, \\
-a\left[\frac{(-1)^{n} \sin \pi
u \tau}{\pi\left(
u+
u_{0}\right)}-\frac{(-1)^{n} \sin \pi
u \tau}{\pi\left(
u-
u_{0}\right)}\right]=\frac{2 a
u_{0}(-1)^{n} \sin \pi
u \tau}{\pi\left(
u^{2}-
u_{0}^{2}\right)},
\end{array}\right. \\
\end{array}
\]

поэтому
\[
\begin{aligned}
a_{
u}=\frac{2 a
u_{0} \sqrt{2-2(-1)^{n} \cos \pi
u \tau}}{\pi\left(
u^{2}-
u_{0}^{2}\right)}=\frac{4 a
u_{0}\left|\left\{\begin{array}{l}
\sin \\
\cos
\end{array}\right\} \frac{1}{2} \pi
u \tau\right|}{\pi\left(
u^{2}-
u_{0}^{2}\right)} & = \\
& =\frac{4 a
u_{0}\left|\sin \pi\left(
u-
u_{0}\right) \tau\right|}{\pi\left(
u^{2}-
u_{0}^{2}\right)} .
\end{aligned}
\]

Как видим, наиболее сильно представлены частоты из окрестности $
u=v_{0}$, так что наибольшая часть энергии цуга волн попадает на тот интервал частот, в котором $\pi\left(
u-v_{0}\right) \tau$ имеет умеренные значения. Поэтому дисперсия $
u-
u_{0}$ (или, что то же самое, дисперсия $
u$ ) по порядку величины равна $\frac{1}{\tau}$. Точное вычисление выражения $\frac{\int_{0}^{\infty} a_{
u}^{2}\left(v-v_{0}\right)}{\int_{0}^{\infty} a_{
u}^{2} d v}$ дает тот же результат.
изменения скорости не может быть локализован точнее, чем в пределах $\tau$. Отсюда следует неопределенность в положении $\varepsilon \sim \frac{h
u}{m c} \tau$. Поэтому
\[
\varepsilon \sim \frac{h v}{m c} \tau, \quad \eta \sim \frac{m c \Delta v}{v}=\frac{m c}{v} \frac{1}{\tau}, \quad \varepsilon \eta \sim h,
\]

так что мы имеем снова $\varepsilon \eta \sim h$.
Если тело $\boldsymbol{T}$ не самосветящееся, как предполагалось выше, а рассеивает чужой свет (т. е. оно освещено), то вычисление выглядит совершенно аналогично.